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乘法公式(题型扩展)

乘法公式的复习

一、复习:

(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 (a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3

归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2

② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]

=(xy )2-(z +m )2 =x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2

⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )

=(x -y )2-z 2 =(x -y )(x -y )-z 2 =x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2

⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)

=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4

⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2

=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz

例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+

∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=?-

例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-

∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -

∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=?-

例3：计算19992-2000×1998

〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1）

=19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1

例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。

〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。解：a 2+b 2=(a+b)2-2ab=4-2=2 （a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0

例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x 2-z 2的值。

〖解析〗此题若想根据现有条件求出x 、y 、z 的值，比较麻烦，考虑到x 2-z 2是由x+z 和x-z 的积得来的，所以只要求出x-z 的值即可。

解：因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x 2-z 2=（x+z ）(x-z)=14×4=56。

例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？

〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。观察到1=（2-1）和上式可构成循环平方差。

解：（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1

=（2-1）（22+1）（24+1）……（22048

+1）+1 =24096 =161024

因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为6。

例7．运用公式简便计算

（1）1032 （2）1982 解：（1）1032=(100+3)2 =1002+2?100?3+32 =10000+600+9 =10609 （2）1982=(200-2)2 =2002-2?200?2+22 =40000-800+4 =39204

例8．计算

（1）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （2）(3x +y -2)(3x -y +2) 解：（1）原式=[(a -3c )+4b ][(a -3c )-4b ]=(a -3c )2-(4b )2=a 2-6ac +9c 2-16b 2 （2）原式=[3x +(y -2)][3x -(y -2)]=9x 2-( y 2-4y +4)=9x 2-y 2+4y -4

例9．解下列各式

（1）已知a 2+b 2=13，ab =6，求(a +b )2，(a -b )2的值。（2）已知(a +b )2=7，(a -b )2=4，求a 2+b 2，ab 的值。

（3）已知a (a -1)-(a 2

-b )=2，求22

a b ab +-的值。

（4）已知13x x -=，求441

x x

+的值。

分析：在公式(a +b )2=a 2+b 2+2ab 中，如果把a +b ，a 2+b 2和ab 分别看作是一个整体，

则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。解：（1）∵a 2+b 2=13，ab =6

∴(a +b )2=a 2+b 2+2ab =13+2?6=25 (a -b )2=a 2+b 2-2ab =13-2?6=1 （2）∵(a +b )2=7，(a -b )2=4

∴ a 2+2ab +b 2=7 ① a 2-2ab +b 2=4 ② ①+②得 2(a 2+b 2)=11，即22112

a b += ①-②得 4ab =3，即34

ab =

（3）由a (a -1)-(a 2-b )=2 得a -b =-2

()22221222a b ab a b ab +∴-=+-()()22

112222

a b =-=?-=

（4）由13x x -=，得19x x 2

??-= ??? 即22129x x +-= 2

2111x x ∴+= 2

21121x x 2

??∴+= ??

? 即4412121x x ++= 441119x x +=

例10．四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？分析：由于1?2?3?4+1=25=52

2?3?4?5+1=121=112

3?4?5?6+1=361=192

…… 得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上1，都是平方数。解：设n ，n +1，n +2，n +3是四个连续自然数

则n (n +1)(n +2)(n +3)+1 =[n (n +3)][(n +1)(n +2)]+1 =(n 2+3n )2+2(n 2+3n )+1

=(n 2+3n )(n 2+3n +2)+1 =(n 2+3n +1)2

∵n 是整数，∴ n 2，3n 都是整数 ∴ n 2+3n +1一定是整数

∴(n 2+3n +1)是一个平方数 ∴四个连续整数的积与1的和必是一个完全平方数。

例11．计算（1）(x 2-x +1)2 （2）(3m +n -p )2 解：（1）(x 2-x +1)2=(x 2)2+(-x )2+12+2? x 2?(-x )+2?x 2?1+2?(-x )?1=x 4+x 2+1-2x 3+2x 2-2x

=x 4-2x 3+3x 2-2x +1

（2）(3m +n -p )2=(3m )2+n 2+(-p )2+2?3m ?n +2?3m ?(-p )+2?n ?(-p )=9m 2+n 2+p 2+6mn -6mp -2np 分析：两数和的平方的推广

(a +b +c )2 =[(a +b )+c ]2 =(a +b )2+2(a +b )?c +c 2 =a 2+2ab +b 2+2ac +2bc +c 2 =a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac 即(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac

几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。

二、乘法公式的用法

(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。

例1. 计算：()()

53532222x y x y +- 解：原式()()

=-=-532592

44x y x y

(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。

例2. 计算：()()()(

)

111124-+++a a a a

解：原式()()()=-++1112

a a a

()()=-+=-11144

a a a

例3. 计算：()()32513251x y z x y z +-+-+--

解：原式()()[]()()[]

=-++--+25312531y z x y z x

()()

=--+=-+---253149252061

y z x y x z yz x

三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。

例4. 计算：()()5785782

a b c a b c +---+

解：原式()()[]()()[]

=+-+-++---+578578578578a b c a b c a b c a b c

()=-=-101416140160a b c ab ac

四、变用: 题目变形后运用公式解题。例5. 计算：()()x y z x y z +-++26

解：原式()[]()[]=++-+++x y z z x y z z 2424

()()

=++-=+-+++x y z z x y z xy xz yz

24122442

五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：

()()()()(

)

()()122232442

222222

....a b ab a b a b ab a b a b a b a b

a b a b ab

+-=+-+=+++-=++--=

灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。例6. 已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。解：()a b a b ab 222

2242526+=-+=+?=

例7. 计算：()()a b c d b c d a ++-+++-22

解：原式()()[]()()[

]

=++-++--b c a d b c a d 22

()()

[

]

=++-=++++-222224422

b c a d a b c d bc ad

例8. 已知实数x 、y 、z 满足x y z xy y +==+-592，，那么x y z ++=23（）

解：由两个完全平方公式得：()()[]

ab a b a b =+--1

22 从而 ()[]

z x y y 222

59=

--+- ()(

)

()

--+-=-+-=--+=--25414

529696932

y y y y y y y

()∴∴，∴∴z y z y x x y z 22

30032

2322308

+-====++=+?+=

三、学习乘法公式应注意的问题

（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．例1 计算(-2x 2-5)(2x 2-5) 分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x 2”符号相反，因而“-5”是公式(a +b )(a -b )=a 2-b 2中的a ，而“2x 2”则是公式中的b ．

解：原式=(-5-2x 2)(-5+2x 2)=(-5)2-(2x 2)2=25-4x 4．

例2 计算(-a 2+4b )2

分析：运用公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2时，“-a 2”就是公式中的a ，“4b ”就是公式中的b ；若将题目变形为(4b -a 2)2时，则“4b ”是公式中的a ，而“a 2”就是公式中的b ．（解略）

（二）、注意为使用公式创造条件例3 计算(2x +y -z +5)(2x -y +z +5)．

分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x ”、“5”两项同号，“y ”、“z ”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．

解：原式=〔(2x +5)+(y -z )〕〔(2x +5)-(y -z )〕 =(2x +5)2-(y -z )2

=4x 2+20x +25-y +2yz -z 2．

例4 计算(a -1)2(a 2+a +1)2(a 6+a 3+1)2

分析：若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便．

解：原式=[(a -1)(a 2+a +1)(a 6+a 3+1)]2 =[(a 3-1)(a 6+a 3+1)]2

=(a 9-1)2=a 18-2a 9

例5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．

分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简．

解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)

=(24-1)(24+1)(28+1)

=（28-1）（28+1）

=216-1

（三）、注意公式的推广

计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．

可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．

例6 计算(2x+y-3)2

解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)

=4x2+y2+9+4xy-12x-6y．

（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式

例7 (1)已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值；

(2)已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值．

分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：x2+y2=(x+y)2-2xy，

x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，(x+y)2-(x-y)2=4xy，问题则十分简单．

解：(1)∵x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，将已知条件代入得100=103-3xy·10，

∴xy=30 故x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×30=40．

(2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8×6=1．

例8 计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2．

分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出

(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)，因而问题容易解决．

解：原式=[(a+b)+c]2+[(a+b)-c]2+[c+(a-b)]2+[c-(a-b)]2

=2[(a+b)2+c2]+2[c2+(a-b)2]

=2[(a+b)2+(a-b)2]+4c2

=4a2+4b2+4c2

（五）、注意乘法公式的逆运用

例9 计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2．

分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多．

解：原式=[(a-2b+3c)+(a+2b-3c)][(a-2b+3c)-(a+2b-3c)]

=2a(-4b+6c)=-8ab+12ac．

例10 计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2

分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便．

解：原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2

=[(2a+3b)+(4a-5b)]2

=(6a-2b)2=36a2-24ab+4b2．

四、怎样熟练运用公式：

（一）、明确公式的结构特征

这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．

（二）、理解字母的广泛含义

乘法公式中的字母a 、b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的围正确运用公式．如计算（x +2y －3z ）2，若视x +2y 为公式中的a ，3z 为b ，则就可用（a －b ）2=a 2－2ab +b 2来解了。

（三）、熟悉常见的几种变化

有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点．

常见的几种变化是：

1、位置变化如（3x +5y ）（5y －3x ）交换3x 和5y 的位置后即可用平方差公式计算了．

2、符号变化如（－2m －7n ）（2m －7n ）变为－（2m +7n ）（2m －7n ）后就可用平方差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）

3、数字变化如98×102，992，912等分别变为（100－2）（100+2），（100－1）2

，（90+1）2

后就能够用乘法公式加以解答了．

4、系数变化如（4m +2

n ）（2m －4

n ）变为2（2m +4

n ）（2m －4

n ）后即可用平方差公

式进行计算了．

5、项数变化如（x +3y +2z ）（x －3y +6z ）变为（x +3y +4z －2z ）（x －3y +4z +2z ）后再适当分组就可以用乘法公式来解了．

（四）、注意公式的灵活运用

有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算（a 2+1）2·（a 2－1）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便．即原式=[（a 2+1）（a 2－1）]2=（a 4－1）2=a 8－2a 4+1．

对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（1－

21）（1－

）（1－

） (1)

91）（1－

101

），若分别算出各因式

的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而

逆用平方差公式，则可巧解本题．

即原式=（1－

1）（1+

1）（1－

）（1+31）×…×（1－

1）（1+

）

1×2

3×3

2×3

4×…×10

9×10

11 =2

1×10

11=

．有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：a 2+b 2=（a +b ）2－2ab ，a 2+b 2=（a －b ）2+2ab 等．

用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效．

如已知m +n =7，mn =－18，求m 2+n 2，m 2－mn + n 2的值．

面对这样的问题就可用上述变式来解，

即m 2+n 2=（m +n ）2－2mn =72－2×（－18）=49+36=85， m 2－mn + n 2= （m +n ）2－3mn =72－3×（－18）=103．

下列各题，难不倒你吧？！ 1、若a +a

1=5，求（1）a 2+

1a ，（2）（a －a

1）2的值．

2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1的末位数字．

（答案：1.（1）23；（2）21．2. 6 ）

五、乘法公式应用的五个层次

乘法公式：(a ＋b)(a －b)=a 2－b 2，(a ±b)=a 2±2ab ＋b 2，

(a ±b)(a 2±ab ＋b 2)=a 3±b 3．

第一层次──正用

即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用．例1计算

(2)(－2x －y)(2x －y)．

(2)原式=[(－y)－2x][(－y)＋2x]=y 2－4x 2．

第二层次──逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用．例2计算

(1)19982－1998·3994＋19972；

解(1)原式=19982－2·1998·1997＋19972 =(1998－1997)2=1

第三层次──活用：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式．

例3化简：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1．

分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“2－1”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解．

解原式=(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1

=(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=216．

例4计算：(2x－3y－1)(－2x－3y＋5)

分析仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符．于是可创造条件─“拆”数：－1=2－3，5=2＋3，使用公式巧解．

解原式=(2x－3y－3＋2)(－2x－3y＋3＋2)

=[(2－3y)＋(2x－3)][(2－3y)－(2x－3)]

=(2－3y)2－(2x－3)2=9y2－4x2＋12x－12y－5．

第四层次──变用：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a2＋b2=(a＋b)2－2ab，a3＋b3=(a＋b)3－3ab(a＋b)等，则求解十分简单、明快．

例5已知a＋b=9，ab=14，求2a2＋2b2和a3＋b3的值．

解：∵a＋b=9，ab=14，∴2a2＋2b2=2[(a＋b)2－2ab]=2(92－2·14)=106，

a3＋b3=(a＋b)3－3ab(a＋b)=93－3·14·9=351

第五层次──综合后用：将(a＋b)2=a2＋2ab＋b2和(a－b)2=a2－2ab＋b2综合，

可得 (a＋b)2＋(a－b)2=2(a2＋b2)；(a＋b)2－(a－b)2=4ab；

等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷．

例6计算：(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)．

解：原式=1

[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-

[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]2

=(2x＋5)2－(y－z)2=4x2＋20x＋25－y2＋2yz－z2

六、正确认识和使用乘法公式

1、数形结合的数学思想认识乘法公式：

对于学习的两种（三个）乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2、完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2，可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。假设a、b都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。

如图1，两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积）为(a+b)(a-b)，通过左右两图的对照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；图2中的两个图阴影部分面积分别为(a+b)2与(a-b)2，通过面积的计算方法，即可得到两个完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b)2=a2-2ab+b2。

2、乘法公式的使用技巧：

①提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。例1、运用乘法公式计算：

（1）(-1+3x)(-1-3x)；（2）(-2m-1)2

解：（1）(-1+3x)(-1-3x)=[-(1-3x)][-(1+3x)]=(1-3x)(1+3x)=12-(3x)2=1-9x2. （2） (-2m-1)2=[-(2m+1)]2=(2m+1)2= 4m2+4m+1.

②改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显.

例2、运用乘法公式计算：

（1）(1

3a-

b )(-

b -

); （2）(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)

解：（1）(1

3a-

b )(-

b -

)=(-

a )(-

b -

a )

a )(

b +

a )=(

b)2- (

a)2 =

b2-

(2) (x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)= (x-1/2) )(x+1/2)(x2+1/4)

=(x2-1/4) (x2+1/4)= x2-1/16.

③逆用公式

将幂的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b2= (a+b)(a-b)，逆用积的乘方公式，得a n b n=(ab)n,等等，在解题时常会收到事半功倍的效果。

例3、计算：

（1）(x/2+5)2-(x/2-5)2 ; （2）(a-1/2)2(a2+1/4) 2(a+1/2)2

解：（1）(x/2+5)2-(x/2-5)2 =[(x/2+5)+(x/2-5)] [(x/2+5)-(x/2-5)]

=(x/2+5+x/2-5)( x/2+5-x/2+5)=x ·10=10x.

（2）(a-1/2)2(a 2+1/4) 2(a+1/2)2

=[(a-1/2)(a 2+1/4) (a+1/2)] 2 =[(a-1/2 ) (a+1/2) (a 2+1/4)] 2 =[(a 2-1/4 ) (a 2+1/4)] 2 =(a 4-1/16 ) 2 =a 8-a 4/8+1/256.

④合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各因式的前面，视为一组；符号相反的项放在后面，视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。

计算：（1）(x+y+1)(1-x-y); （2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5). 解：（1） (x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)= [1+(x+y)][1-(x+y)]=12-(x+y)2

=1-(x 2+2xy+y 2)= 1-x 2-2xy-y 2.

（2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)

=[ (2x+5)+(y-z)][(2x+5)-(y-z)]

= (2x+5)2-(y-z)2 =(4x 2+20x+25)-(y 2-2yz+z 2)

= 4x 2+20x+25-y 2+2yz-z 2 = 4x 2-y 2-z 2+2yz +20x+25 .

七、巧用公式做整式乘法

整式乘法是初中数学的重要容，是今后学习的基础，应用极为广泛。尤其多项式乘多项式，运算过程复杂，在解答中，要仔细观察，认真分析题目中各多项式的结构特征，将其适当变化，找出规律，用乘法公式将其展开，运算就显得简便易行。

一. 先分组，再用公式

例1. 计算：()()a b c d a b c d -+-----

简析：本题若以多项式乘多项式的方法展开，则显得非常繁杂。通过观察，将整式()a b c d -+-运用加法交换律和结合律变形为()()--++b d a c ；将另一个整式()----a b c d 变形为()()---+b d a c ，则从其中找出了特点，从而利用平方差公式即可将其展开。

解：原式[]()()[]

=--++---+()()b d a c b d a c

=---+=++---()()b d a c b bd d a ac c

二. 先提公因式，再用公式

例2. 计算：8244x y x y +?

? ???-?? ??

简析：通过观察、比较，不难发现，两个多项式中的x 的系数成倍数，y 的系数也成倍数，而且存在相同的倍数关系，若将第一个多项式中各项提公因数2出来，变为

244x y +?

? ??

?，则可利用乘法公式。解：原式=+?

? ???-?? ??

?24444x y x y

()=-?? ??????????

?=-

244328

2x y x y

三. 先分项，再用公式

例3. 计算：()()232236x y x y ++-+

简析：两个多项中似乎没多大联系，但先从相同未知数的系数着手观察，不难发现，x 的系数相同，y 的系数互为相反数，符合乘法公式。进而分析如何将常数进行变化。若将2分解成4与-2的和，将6分解成4与2的和，再分组，则可应用公式展开。解：原式=[]()()[]

()()24232423x y x y +--++-

()

=+--=+++-()24234161212922

x y x x y y

四. 先整体展开，再用公式例4. 计算：()()a b a b +-+221

简析：乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，即[]()a b -+21，再将第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。解：原式[]=+-+()()a b a b 221

=+-++=-++()()()

a b a b a b a b a b

2224222

五. 先补项，再用公式

例5. 计算：331313131842+++++()()()()

简析：由观察整式()31+，不难发现，若先补上一项()31-，则可满足平方差公式。多次利用平方差公式逐步展开，使运算变得简便易行。

解：原式=+++++-331313131312

842()()()()()

+++-=+

++-=++-=+

-=+3313131312

33131312

33131233125232

8422844881616()()()()()()()()()

()

六. 先用公式，再展开

例6. 计算：11211311411102222-?

? ???-?? ???-?? ???-?? ??

?…

简析：第一个整式1122-?

? ???可表示为11222-?? ?????????

??，由简单的变化，可看出整式符合

平方差公式，其它因式类似变化，进一步变换成分数的积，化简即可。

解：原式=+?

? ???-?? ???+?? ???-?? ???+?? ???-?? ???+?? ???-?? ??

?11211211311311411411101110…

=???????=

321243235434111091011

…

七. 乘法公式交替用

例7. 计算：()()()()x z x xz z x z x xz z +-+-++222222

简析：利用乘法交换律，把第一个整式和第四个整式结合在一起，把第二个整式与第三个整式结合，则可利用乘法公式展开。

解：原式[][

]

=+++-+-()()()()x z x xz z x xz z x z 222222

[][]=++--()()()()x z x z x z x z 2

[]=+-=+-=-=-+-()()()()()

x z x z x z x z x z x x z x z z 33

642246

八、中考与乘法公式

1. 结论开放

例1. （02年中考）请你观察图1中的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是______________。

分析：利用面积公式即可列出()()x y x y x y +-=-22 或()()x y x y x y 22-=+-或()x y x xy y -=-+2

222 在上述公式中任意选一个即可。

例2. （03年中考）

如图2，在长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a b >），把余下的部分剪成一个矩形，如图3，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是______________。

分析：利用面积公式即可列出()()a b a b a b +-=-22或()()a b a b a b 22-=+- 2. 条件开放

例3. （03年中考）多项式912x +加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是____________（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）。

分析：解答时，可能习惯于按课本上的完全平方公式，得出

()9163122x x x ++=+ 或()9163122

x x x +-=-只要再动点脑筋，还会得出

()

9181492191132422

x x x x x ++=+?? ?

+-= 9191222x x +-= 故所加的单项式可以是±6x ，或814

x ，或-1，或-92x 等。 3. 找规律

例4. （01年中考）观察下列各式：

()()()()()()

x x x x x x x x x x x x -+=--++=--+++=-111111

111223324

……

由猜想到的规律可得()()

x x x x x n n n -+++++=--1112…____________。分析：由已知等式观察可知 ()()

x x x x x x n n n n -+++++=---+111121… 4. 推导新公式

例5. 在公式()a a a +=++1212

2中，当a 分别取1，2，3，……，n 时，可得下列n 个等式

()()()

()111211212221

313231121

222222

2+=+?++=+?++=+?++=++…

…

n n n 将这n 个等式的左右两边分别相加，可推导出求和公式：

123++++=…n __________（用含n 的代数式表示）

分析：观察已知等式可知，后一个等式的右边第一项等于前一个等式的左边，将已知等式左右两边分别相加，得：

()n n n +=+?+?++?+112122222… 移项，整理得：

()1231

1++++=

+…n n n

例6. （04年中考）阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些等式也可以用这种形式表示，例如：()()22322a b a b a ab b ++=++ 就可以用图4或图5等图表示。

（1）请写出图6中所表示的代数恒等式____________；

（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：

()()a b a b a ab b ++=++34322

（3）请仿照上述方法另写一个含有a ，b 的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形。

解：（1）()()2222522a b b a a b ab ++=++ （2）如图7

（3）略