衡水金卷2021-2022学年度高考模拟数学(文)试题(四)及答案解析
普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
文数（四）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}0,1,3A =，()(){}
120B x x x =+-<，则A
B =（ ）
A ．{}0
B ．{}0,1,3
C ．{}0,1
D ．{}0,1,2 2．若复数3i
12i
z -+=
-（i 是虚数单位），则4i z +=（ ）
A B C ．2 D ．4
3．若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）
A ．c c a b >
B ．20c a b >-
C ．22a b >
D ．22
11
a b
c c >++ 4．下列结论中正确的个数是（ ） ①“3
x π
=
”是“1sin 22
x π??
+
= ??
?”的充分不必要条件； ②命题“,sin 1x x ?∈≤R ”的否定是“,sin 1x x ?∈>R ”；
③函数()cos f x x =
在区间[)0,+∞内有且仅有两个零点.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
5．已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意的x ∈R 恒成立，若k 的取值范围为区间D ，在区间
[]1,3-上随机取一个数k ，则k D ∈的概率是（ ）
A ．
12 B ．13 C ．14 D ．1
5
6．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，目取其半，万事不竭”，其意思是：一尺长木棍，每天截取一半，永远截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则空白处可填入的是（ ）
A ．S S i =-
B ．1
S S i =- C ．2S S i =- D ．12S S i
=-
7．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．
163π B ．643 C ．1664
3
π+ D ．1664π+ 8．已知某函数在[],ππ-上的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）
A ．sin 2
x
y = B ．cos y x x =+ C ．ln cos y x = D ．sin y x x =+
9．《九章算术》卷第五《商功》中有记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”现有一个刍甍，如图，四边形ABCD 为正方形，四边形ABFE 、CDEF 为两个全等的等腰梯形，4AB =，1
2
EF AB ∥，若这个刍甍的体积为
40
3
，则CF 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos cos 2cos a B b A c C +=，7c =
ABC ?的
面积为
2
，则ABC ?的周长为（ ）
A ．1+
B ．2+
C ．4
D ．5+
11．设12,F F 分别是椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的左，右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，
若12AF F ?的面积是12BF F ?的三倍，23
cos 5
AF B ∠=，则椭圆E 的离心率为（ ）
A ．
12 B ．2
3
C D ．2
12．已知定义在区间0,2π?
?
??
?
上的函数()f x ，()f x '为其导函数，且()()sin cos 0f x x f x x '->恒成立，则（ ）
A ．226f f ππ????>
? ????? B 43ππ????
> ? ?????
C 63f ππ????<
? ????? D ．()12sin16f f π??
< ???
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．某乡镇中学有初级职称教师160人，中级职称教师30人，高级职称教师10人，要从其中抽取20人进行体检，如果采用分层抽样的方法，则高级职称教师应该抽取的人数为 ． 14．已知平面向量,a b ，7,4a b =
=，且6a b +=，则a 在b 方向上的投影是 ．
15．若双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的渐近线与圆(2
22x y +=相交，则此双曲线的离心率的取
值范围是 ．
16．已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，若2AB =，1AC =，
60BAC ∠=?，4PA =，则球的体积为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17． 已知数列{}n a 满足11a =，()
1n n n na na a n +=-∈*N .
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 的前n 项和为n S ，23n n S b =-，求数列{}n n b a ?的前n 项和n T . 18． 在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上. （1）求证：BC ⊥平面1A AB ；
（2）若3AD =
，2AB BC ==，P 为AC 的中点，求三棱锥1P A BC -的体积.
19． 某市甲、乙两地为了争创“市级文明城市”，现市文明委对甲、乙两地各派10名专家进行打分评优，所得分数情况如下茎叶图所示.
（1）分别计算甲、乙两地所得分数的平均值，并计算乙地得分的中位数；
（2）从乙地所得分数在[)60,80间的成绩中随机抽取2份做进一步分析，求所抽取的成绩中，至少有一份分数在[)75,80间的概率；
（3）在甲、乙两地所得分数超过90分的成绩中抽取其中2份分析其合理性，求这2份成绩都是来自甲地的概率.
20． 已知点()00,M x y 在圆2
2
:4O x y +=上运动，且存在一定点()6,0N ，点(),P x y 为线段MN 的中
点.
（1）求点P 的轨迹C 的方程；
（2）过()0,1A 且斜率为k 的直线l 与点P 的轨迹C 交于不同的两点,E F ，是否存在实数k 使得
12OE OF ?=，并说明理由.
21． 已知函数()()ln f x x ax a =-∈R . （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）当1a =时，方程()()2f x m m =<-有两个相异实根12,x x ，且12x x <，证明：2
122x x ?<.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3,
sin x y αα
?=??
=??（α是参数），以原点O 为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 24πρθ?
?
-
= ??
?
. （1）将直线l 的极坐标方程化为普通方程，并求出直线l 的倾斜角；
（2）求曲线C 上的点到直线l 的最大距离. 23．选修4-5：不等式选讲
已知函数()()22f x x x a a =++->-，若()7f x ≥的解集是{
3x x ≤-或}4x ≥. （1）求实数a 的值；
（2）若x ?∈R ，不等式()()31f x f m ≥+恒成立，求实数m 的取值范围.
文数（四）答案
一、选择题
1-5:CBDAC 6-10:BCACD 11、12：DC
二、填空题
13．1 14．
13
8
15
．( 16
三、解答题
17．解：（1）∵1n n n na na a +=-， ∴
11
n n a n a n
++=. ∴1
2112
1n n n n n a a a a a a a a ---=
???
?12
112
1
n n n n n -=????=--， ∴数列{}n a 的通项公式为n a n =. （2）由23n n S b =-，得13b =， 又()11232n n S b n --=-≥， ∴1122n n n n n b S S b b --=-=-，
即()
122,n n b b n n -=≥∈*N ，
∴数列{}n b 是以3为首项，2为公比的等比数列， ∴()
132n n b n -=?∈*N ，
∴1
32n n n b a n -?=?，
∴()012131222322n n T n -=?+?+?+
+?， ()123231222322n n T n =?+?+?+
+?，
两式相减，得(
)0121322222n n n T n --=++++-?()3121n
n ??=--??，
∴()3123n
n T n =-+.
18．解：（1）∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱， ∴1A A ⊥平面ABC .
又BC ?平面ABC ，∴1A A BC ⊥. ∵AD ⊥平面1A BC ，且BC ?平面1A BC ， ∴AD BC ⊥.
又1A A ?平面1A AB ，AD ?平面1A AB ，1A A AD A =，
∴BC ⊥平面1A AB .
（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1A A AB ⊥. ∵AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上， ∴1AD A B ⊥.
在Rt ABD ?中，AD =2AB BC ==，
∴sin 2
AD ABD AB ∠=
=， 即60ABD ∠=?，
在1Rt ABA ?中，1tan60A A AB =?=由（1）知，BC ⊥平面1A AB ，AB ?平面1A AB ， 从而BC AB ⊥， ∴11
22222
ABC S AB BC =
?=??=. ∵F 为AC 的中点，
∴1
12
BCF ABC S S ?=
=. ∴1111
3
P A BC A PBC BCF V V S AA --?==
?
=113??=
. 19．解：（1）由题得，甲地得分的平均数为
()1
7778838580898892979986.810
?+++++++++=， 乙地得分的平均数为
()1
657275798280848696918110
?+++++++++=， 乙地得分的中位数为
8280
812
+=. （2）由茎叶图可知，乙地得分中分数在[)60,80间的有65,72,75,79四份成绩，随机抽取2份的情况有：
()65,72，()65,75，()65,79，()72,75，()72,79，()75,79，共6种，其中至少有一份分数在[)
70,80间的情况有：()65,75，()65,79，()72,75，()72,79，()75,79，共5种. 故所求概率56
P =
. （3）甲、乙两地所得分数中超过90分的一共有5份，记甲地中的三份分别为,,A B C ，乙地中的两份分别为,a b .
随机抽取其中2份，所有情况如下：(),A B ，(),A C ，(),B C ，(),a b ，(),A a ，(),A b ，(),B a ，(),B b ，
(),C a ，(),C b ，一共10种.
其中两份成绩都来自甲地的有3种情况：(),A B ，(),A C ，(),B C ，. 故所求概率3
10
p =
. 20．解：（1）由中点坐标公式，得00
62
2
x x y y +?=????=??
即()f x ，()f x .
∵点()00,M x y 在圆2
2
4x y +=上运动，
∴22
004x y +=，
即()()2
2
2624x y -+=，
整理，得()2
231x y -+=.
∴点P 的轨迹C 的方程为()2
231x y -+=.
（2）设()11,E x y ，()22,F x y ，直线l 的方程是1y kx =+，代入圆()2
231x y -+=.
可得()
()2212390k x k x +--+=， 由232240k k ?=-->，得3
04
k -
<<， 且()122231k x x k -+=
+，122
9
1x x k
=+， ∴()()()22
12121212291111k y y kx kx k x x k x x k =++=+++=++()()2
222
2432391111k k k k k k k --+=++++. ∴212122
8610
121k k AB AB x x y y k ++?=+=
=+， 解得1
2
k =
或1，不满足0?>. ∴不存在实数1
2
k =
使得OF . 21．解：（1）由题得，()()110ax f x a x x x
-=
-=>. 当0a <时，由于0x >，可得10ax ->， 即()0f x '>.
∴()f x 在区间()0,+∞内单调递增， 当0a >时，由()0f x '>，得1
0x a
<<， 由()0f x '<，得1x a
>， ∴()f x 在区间10,
a ?? ???内单调递增，在区间1,a ??+∞ ???
内单调递减. （2）由（1）可设，方程()()2f x m m =<-的两个相异实根12,x x ，满足ln 0x x m --=， 且101x <<，21x >，
即1122ln ln 0x x m x x m --=--=. 由题意，可知11ln 2ln 22x x m -=<-<-，
又由（1）可知，()ln f x x x =-在区间()1,+∞内单调递减，故22x >. 令()ln g x x x m =--， 则()11122
11223ln ln 2g x g x x x x ??-=-++-
???
.
令()()2
2
3lnt ln 22h t t t t =-++->， 则()
()()2
2
21t t h t t -+'=-
. 当2t >时，()0h t '<，()h t 是减函数， ∴()()3
22ln 202
h t h <--
<. ∴当22x >时，()12220g x g x ??
-< ???
， 即()1212g x g x ??
<
???
. ∵()g x 在区间()0,1内单调递增， ∴122
2x x <
， 故2
122x x ?<.
22．解；（1
）由sin 4πρθ?
?
-= ??
?
， 得sin cos 2ρθρθ-=，
将cos sin x y ρθρθ=??=?
代入上式，化简，得2y x =+.
所以直线l 的倾斜角为
4
π
. （2）在曲线C
上任取一点)
,sin A
αα，
则点A 到直线l
的距离d =
当()sin 601α-?=-时，d
取得最大值，且最大值是23．解：（1）∵2a >-，
∴()22,2,
2,2,22,.x a x f x a x a x a x a -+-<-??
=+-≤≤??+->?
作出函数()f x 的图象，如图所示：
由()7f x ≥的解集为{
3x x ≤-或4x ≥及函数图象，
可得627,827,a a +-=??+-=?
解得3a =.
（2）由题知，x ?∈R ，不等式()()31f x f m ≥+恒成立， 即x ?∈R ，不等式32332x x m m ?++-?≥++-??恒成立， 由（1）可知，235x x ++-≥（当且仅当23x -≤≤时取等号）， ∴3235m m ++-≤?，
当3m ≤-时，3215m m ---+≤， ∴8m ≥-， ∴83m -≤≤-，
当32m -<<时，3215m m +-+≤，成立； 当2m ≥时，3215m m ++-≤， ∴7m ≤， ∴27m ≤≤，
综上所述，实数m 的取值范围为[]8,7-.