分类讨论思想
在数学中,如果一个命题的条件或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法叫做分类讨论。
在数学学习中,我们不仅要分阶段学习知识,还要适时的总结一下数学思想方法。初中常见的数学思想有:分类讨论思想、数形结合思想、转化思想、方程思想等。分类讨论思想是大家在中学阶段需要掌握的重要思想方法。特别就中考而言,经常出现带有这种思想的考题。几乎可以这么说:“分类讨论一旦出现,就是中高档次题”。今天,我们就带着大家把初一一年常见的分类讨论问题大致整理一下。
在分类讨论的问题中有三个重要的注意事项。
1. 什么样的题会出现分类讨论思想--往往是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定,无法进行下一步”(如几何中,画图的不确定;代数中,出现字母系数等)。
2. 分类讨论需要注意什么----关键是“不重、不漏”,特别要注意分类标准的统一性。
3. 分类讨论中最容易错的是什么--总是有双重易错点“讨论有重漏,讨论之后不检验是否合题意”。
【例1】解方程:|x-1|=2
分析:绝对值为2 的数有2个
解:x-1=2或x-1=-2, 则x=3或x=-1
说明应该说,绝对值问题是我们在上学期最初见过的“难题”。其实归根究底,一般考察绝对值的问题有三。
1. 化简(如当a<0
处理方法:根据绝对值符号内的式子的正负性
2. 类似于“解方程”(如本题)
处理方法:注意解往往不只一个,需关注绝对值为正数的数有两个。
3. 使用绝对值的几何意义解题(如已知|x-1|<2,求x的取值范围)
处理方法:画数轴,|x-1|<2表示数轴上到表示1的点的距离小于2的点。
【例2】试比较1+a与1-a的大小。
分析:常规的比较大小的方法有很多种,现阶段最常用的是作差法。两个数量的大小可以通过它们的差来判断:
①a>b即a-b>0 ②a=b即a-b=0 ③a
解:作差(1+a)-(1-a)=2a
分类讨论:
①当a>0时,2a>0,即(1+a)-(1-a)>0,即1+a>1-a
②当a=0时,2a=0,即(1+a)-(1-a)=0,即1+a=1-a
③当a<0时,2a<0,即(1+a)-(1-a)<0,即1+a<1-a
答:当a>0时,1+a>1-a ;当a=0时,1+a=1-a ;当a<0时,1+a<1-a 。
【例3】 已知线段AB 长度为6cm ,点C 在直线AB 上,且AC=2cm ,求BC 的长度。
分析:注意点C 的位置不能确定。在直线上,与一个定点的距离为定值的点有两个。
处理方法:画一个示意图,往往能帮助理解。
解:如示意图,有两种情况。
如图1,点C 在AB 之间时,BC=AB-AC=6cm-2cm=4cm
如图2,点C 在BA 的延长线上时,BC=AB+AC=6cm+2cm=8cm
【例4】一张桌子有四个角,砍掉一只角后,还剩几个角?
解:5个或4个或3个。
【例5】已知△ABC 周长为20cm ,AB=AC ,其中一边边长是另一边边长的2倍,BC 长多少?
解:设AB=AC=x
①当AB=2BC 时,BC=0.5x
据题意,列x+x+0.5x=20,解得x=8cm ,则BC=0.5x=4cm
②当BC=2AB 时,BC=2x
据题意,列x+x+2x=20,解得x=5cm ,则BC=2x=10cm
检验:当AB=2BC 时,三边长为8cm ,8cm ,4cm ,可组成三角形; 当BC=2AB 时,三边长为5cm ,5cm ,10cm ,不可组成三角形,舍。 答:BC 长为4cm 。
【例6】 富城书店推出售书优惠方案:①一次性购书不超过100元,不享受优惠;②一次性购书超过100元,但不超过200元,一律打九折;③一次性购书超过200元,一律打八折。如果小明一次性购书 付款162元,那么小明所购书的价格为多少。
解:付款162元,由于162>100,可确定享受了优惠。
因不确定是打九折还是打八折,所以分类。
①∵200×109=180>162,∴162元可能享受了九折优惠,162÷10
9=180(元); ②∵200×108=160<162,∴162元可能享受了八折优惠,162÷10
8=202.5(元) 答:小明所购书的价格为180元或202.5元。
【例7】 三人分糖,每人都得整数块,乙比丙多得13块,甲所得的糖果数是
乙的2倍,已知糖果总数是一个小于50的质数,且它的各位数字之和为11,试求甲、乙、丙各分得几块糖?
分析: 1. 两个限制条件:整数、质数
2.一个常见说法:乙比丙多得13块,甲所得的糖果数是乙的2倍
3.一个常见不等式列法:糖果总数是小于50
解:设丙获得了x 块粮果,则乙的糖果数为(x+13)块,甲的糖果数为2(x+13), 根据题意,可列不等式 2(x+13)+(x+13)+x<50
整理这个不等式,解得x<11/4=2.75
由于糖果块数必为正整数,所以x=1或2
①当x=1时,x+13=14,2(x+13)=28
总块数1+14+28=43,为质数,但4+3=7≠11,则x=1应舍去;
②当x=2时,x+13=15,2(x+13)=30
总块数2+15+30=47,为质数4+7=11,合题意。
答:甲分得糖果数为30块,乙分得15块,丙分得2块。
练习题
1.解方程:(1)|x+4|=3 (2)22)3(-=a
2.|a|+a 的值的情况讨论。
3. 如果a 、b 、c 是非零有理数,求c
c b b a a ++的值 4.比较a 2-a+4与a 2+3的大小
5.数轴上有A 、B 两点,若A 点对应的数是-2,且A 、B 两点的距离为3,则点B 对应的数为多少(画图表示)。
6.平面内有四点,经过两点可画多少条直线。
7.平面内有三条直线,它们可能有几个交点?
8. 已知∠A0B=120o,∠BOC=30o,则∠AOC 为多少。
9.在一条直线上顺次取A 、B 、C 三点,已知AB =5cm ,点O 是线段AC 的中点,且OB=1.5cm ,求线段BC 的长。
10. 已知△ABC 周长为18cm ,AB=AC ,其中一边边长比另一边边长大3cm ,BC 长多少?
11. 在△ABC 中,若AB=3,BC=1-2x ,CA=8,求x 的取值范围。
12. A 、B 两地相距480千米,一列慢车从A 地开出,每小时行60千米,一列快车从B 地开出,每小时行65千米,慢车先开出1小时,两车相向而行,慢车开出x 小时后,两车相距100千米,则列方程为 13.甲班学生到集市上购买苹果,苹果价格如下表所示:
购苹果数 不超过30kg 30kg 以上但不超过50kg 50kg 以上
价格(元/kg ) 3元 2.5元 2元
甲班分两次共购买苹果70kg (第二次多于第一次),共付189元,则甲班第一次,第二次分别购买苹果多少千克。
新初中数学概率经典测试题及答案 一、选择题 1.下列说法正确的是 () A.要调查现在人们在数学化时代的生活方式,宜采用普查方式 B.一组数据3,4,4,6,8,5的中位数是4 C.必然事件的概率是100%,随机事件的概率大于0而小于1 D.若甲组数据的方差2s甲=0.128,乙组数据的方差2s乙=0.036,则甲组数据更稳定 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用概率的意义以及全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义分别分析得出答案. 【详解】 A、要调查现在人们在数学化时代的生活方式,宜采用抽查的方式,故原说法错误; B、一组数据3,4,4,6,8,5的中位数是4.5,故此选项错误; C、必然事件的概率是100%,随机事件的概率大于0而小于1,正确; D、若甲组数据的方差s甲2=0.128,乙组数据的方差s乙2=0.036,则乙组数据更稳定,故原说法错误; 故选:C. 【点睛】 此题考查概率的意义,全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义,正确掌握相关定义是解题关键. 2.如图,飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同.若某人向游戏板投掷飞镖一次(假设飞镖落在游戏板上),则飞镖落在阴影部分的概率是() A.1 2 B. 1 3 C.4 9 D. 5 9 【答案】C 【解析】 【分析】 根据几何概率的求法:飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值.
【详解】 ∵总面积为3×3=9,其中阴影部分面积为4×1 2 ×1×2=4, ∴飞镖落在阴影部分的概率是4 9 . 故答案选:C. 【点睛】 本题考查了几何概率的求法,解题的关键是根据题意将代数关系用面积表示出来,一般用阴影区域表示所求事件(A);然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例,这个比例即事件(A)发生的概率. 3.袋中有8个红球和若干个黑球,小强从袋中任意摸出一球,记下颜色后又放回袋中,摇匀后又摸出一球,再记下颜色,做了50次,共有16次摸出红球,据此估计袋中有黑球()个. A.15 B.17 C.16 D.18 【答案】B 【解析】 【分析】 根据共摸球50次,其中16次摸到红球,则摸到红球与摸到黑球的次数之比为8: 17,由此可估计口袋中红球和黑球个数之比为8: 17;即可计算出黑球数. 【详解】 ∵共摸了50次,其中16次摸到红球,∴有34次摸到黑球,∴摸到红球与摸到黑球的次 数之比为8: 17,∴口袋中红球和黑球个数之比为8: 17,∴黑球的个数8÷ 8 17 = 17(个),故答 案选B. 【点睛】 本题主要考查的是通过样本去估计总体,只需将样本"成比例地放大”为总体是解本题的关键. 4.欧阳修在《卖油翁》中写道:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以构酌油之,自钱孔入,而钱不湿”,可见卖油的技艺之高超.如图,若铜钱半径为,中间有边长为的正方形小孔,随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计),则油恰好落入孔中的概率是()
七年级数学上册经典练习题 七年级有理数 一、境空题 1、31-的倒数是____;3 21的相反数是____. 2、比–3小9的数是____;最小的正整数是____. 3、在数轴上,点A 所表示的数为2,那么到点A 的距离等于3个单位长度的点所表示的数是____. 4、两个有理数的和为5,其中一个加数是–7,那么另一个加数是____. 5、某旅游景点11月5日的最低气温为 2-,最高气温为8℃,那么该景点这天的温差是____. C 6、计算:.______)1()1(101100=-+- 7、平方得4 12的数是____;立方得–64的数是____. 8、+2与2-是一对相反数,请赋予它实际的意义:___________________。 9、绝对值大于1而小于4的整数有____________,其和为_________。 10、若a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,则 3 (a + b) 3-cd =__________。 11、若0|2|)1(2=++-b a ,则b a +=_________。 12、数轴上表示数5-和表示14-的两点之间的距离是__________。 13、在数5-、 1、 3-、 5、 2-中任取三个数相乘,其中最大的积是___________,最小的积是____________。 14、若m ,n 互为相反数,则│m-1+n │=_________. 二、选择题(每小题3分,共21分) 15、有理数a 、b 在数轴上的对应的位置如图所示: 则( ) 0-11a b A .a + b <0 B .a + b >0; C .a -b = 0 D .a -b >0 16、下列各式中正确的是( ) A .22)(a a -= B .33)(a a -=; C .|| 22a a -=- D .|| 33a a = 17、如果0a b +>,且0ab <,那么( ) A.0,0a b >> ;B.0,0a b << ;C.a 、b 异号;D. a 、b 异号且负数和绝对值较小 18、下列代数式中,值一定是正数的是( ) A .x 2 B.|-x+1| C.(-x)2+2 D.-x 2+1 19、算式(-34 3)×4可以化为() (A )-3×4-43×4 (B )-3×4+3 (C )-3×4+4 3×4 (D )-3×3-3 20、小明近期几次数学测试成绩如下:第一次85分,第二次比第一次高8分,第三次比第二次低12分,第四次又比第三次高10分.那么小明第四次测验的成绩是…………() A 、90分 B 、75分 C 、91分 D 、81分 21、一家商店一月份把某种商品按进货价提高60%出售,到三月份再声称以8折(80%)大拍卖,那么该商品三月份的价格比进货价………………………………………()
七年级上册数学思维训练题1 (林志鸿 编) 一、基础题 1.实数在数轴上的位置如图所示,下列各式正确的是( )A. B. b a 第1题图 C. D. 2.湛江是个美丽的海滨城市,三面环海,海岸线长达1556000米,数据1556000用 科学记数法表示为( ) A. B、 C. D. 3.下列各题中合并同类项,结果正确的是( ) A、 B、 C、 D、 4、解方程1- ,去分母,得( ) A、 B、
C、 D、 . 5. 已知(+=0,则的值是( ) A、1 B、-1 C、-3 D、3 6.已知整式的值为9,则的值为( ) A.18 B.12 C.9 D.7 7、假期张老师带学生乘车外出参加创新素质实践活动,甲车主说“每人8折”,乙车主说:“学生9折,老师免费”,张老师计算了一下,不论坐谁的车,费用都一样,则张老师带的学生数为( )A.8名 B.9名 C.10名 D.17名 8. 如图所示, ∠AOB是平角, ∠AOC=300, ∠BOD=600, 射线OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线, ∠MON等于_________________。 9.2.40万精确到 位,有效数字有 个. 10.单项式的系数是__________,次数是___________. 11.计算的结果为 . 12.在数轴上,若A点表示数x,点B表示数-5,A、B两点之间的距离为7, 则x = _______.
13.今年国庆长假期间,“富万家”超市某商品按标价打八折销售,小玲购了一件该商品,付款56元,则该项商品的标价为 元。 14.已知 ……,按照这种规律,若 (a、b为正整数)则 . 15. 若(m+n)人完成一项工程需要m天,则n人完成这项工程需要天 (假定每个人的工作效率相同). 二.提高题 16. “*”是规定的一种运算法则:a*b=a2-b. (1)求4*(-1)的值为 (2)若3*x=2,求x的值; (3)若(-4)*x=2+x, 求x的值. 17.小明用的练习本可以到甲、乙两家商店购买,已知两商店的标价都
1.有人编写了一个程序,从1开始,交替做乘法或加法,(第一次可以是加法,也可以是乘法),每次加法,将上次运算结果加2或是加3;每次乘法,将上次运算结果乘2或乘3,例如30,可以这样得到: 1 +3 =4*2=8+2=10*3=30,请问怎样可以得到:2的100次+2的97次-2 解答:1+3=4+2=2的3次-2=2的3次+2-2=(2的3次+2-2)*2=……==2的100次+2的97次-2的97次=2的100次+2的97次-2的97次+2=2的100次+2的97次-2的97次+2+2=……=2的100次+2的97次-2 2.下诗出于清朝数学家徐子云的著作,请算出诗中有多少僧人? 巍巍古寺在云中,不知寺内多少僧。 三百六十四只碗,看看用尽不差争。 三人共食一只碗,四人共吃一碗羹。 请问先生明算者,算来寺内几多僧? 解答:三人共食一只碗:则吃饭时一人用三分之一个碗, 四人共吃一碗羹:则吃羹时一人用四分之一个碗, 两项合计,则每人用1/3+1/4=7/12个碗, 设共有和尚X人,依题意得: 7/12X=364 解之得,X=624 3.两个男孩各骑一辆自行车,从相距2O英里(1英里合1.6093千米)的两个地方,开始沿直线相向骑行。在他们起步的那一瞬间,一辆自行车车把上的一只苍蝇,开始向另一辆自行车径直飞去。它一到达另一辆自行车车把,就立即转向往回飞行。这只苍蝇如此往返,在两辆自行车的车把之间来回飞行,直到两辆自行车相遇为止。如果每辆自行车都以每小时1O 英里的等速前进,苍蝇以每小时15英里的等速飞行,那么,苍蝇总共飞行了多少英里? 解答:每辆自行车运动的速度是每小时10英里,两者将在1小时后相遇于2O英里距离的中点。苍蝇飞行的速度是每小时15英里,因此在1小时中,它总共飞行了15英里。 4.《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一,共三卷,上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则,中卷举例说明筹算分数法和开平方法,都是了解中国古代筹算的重要资料。下卷收集了一些算术难题,“鸡兔同笼”问题是其中之一。原题如下:令有雉(鸡)兔同笼,上有三十五头,下有九十四足。问雄、兔各几何? 解答:设x为雉数,y为兔数,则有 x+y=b,2x+4y=a 解之得:y=b/2-a, x=a-(b/2-a) 根据这组公式很容易得出原题的答案:兔12只,雉22只。
培优数学试题 1、设三个互不相等的有理数,既可表示为1,,a b a +的形式式,又可表示为0,b a , b 的形式,求20062007a b +。 2、三个有理数,,a b c 的积为负数,和为正数,且||| | || ||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac =+++++则321ax bx cx +++的值是多少? 3、 若|||||| 0,a b ab ab a b ab +-f 则的值等于多少? 4、如果m 是大于1的有理数,那么m 一定小于它的( ) A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 5、已知两数a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,x 的绝对值是2,求 220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 6、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数,求321a b +-的值。
7、(1)123456-+-+-+…20012002+-的值是__________________。 (2)如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置,如下图所 示,那么||||a b a b -++化简的结果等于( ) A.2a B.2a - C.0 D.2b (3)已知2(3)|2|0a b -+-=,求b a 的值是( ) A.2 B.3 C.9 D.6 8、若,,a b c 为整数,且20072007||||1a b c a -+-=,试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 9、已知,a b 为非负整数,且满足||1a b ab -+=,求,a b 的所有可能值。 10、已知|a b -2|与|a -1|互为相互数,试求下式的值. ()()()()()() 1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++L
七(下)数学思维拓展训练 时间:45分钟 分值:100分 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.若n 为正整数,且x 2n =3,则(3x 3n )2-4(x 2)2n 的值为( ) (A )207 (B )36 (C )45 (D )217 2.一个长方形的长是2x 厘米,宽比长的一半少4厘米,若将长方形的长和宽都增加3厘米,则该长方形的面积增加为( ) (A)9 (B )2x 2+x -3 (C )-7x -3 (D )9x -3 3.若(x-5)·A= x 2+x+B ,则( ) (A )A=x+6,B=-30 (B )A=x -6,B=30 (C )A=x+4,B=-20 (D )A=x -4,B=20 4.已知6141319,27,81===c b a ,则a ,b ,c 大小关系是( ) (A )a>c>b (B )a>b>c (C )ac>a 5.如图1,直线MN//PQ ,OA ?OB ,?BOQ=30?.若以点O 为旋转中心,将射线OA 顺时针旋转60?后,这时图中30?的角的个数是 ( ) (A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个 二、填空题(每小题5分,共25 6.用如图 2所示的正方形和长方形卡片若干张,拼成一个边长为a+b 的正方形,需要B 类卡片_______张. 7.如图3,AB ∥CD ,M 、N 分别在AB ,CD 上,P 为两平行线间一点,那么∠1+∠2+∠3= ?. 图1 N M A B P Q b b 图2
图4 8.如图4,一把矩形直尺沿直线断开并错位,点E 、D 、B 、F 在同一条直线上,若 ∠ADE = . 9.三个程组111 222 a x b y c a x b y c += ??+=?的解是3 4 x y =?? =?,求方程组111222 325325a x b y c a x b y c +=?? +=?的解.”提出各自的想法.甲说:“这个题目好象条件不够,不能求解”;乙说:“它们的系数有一定的规律,可以试试”;丙说:“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5,通过换元替代的方法来解决”.参考他们的讨论,你认为这个题目的解应该是 . 10. 数学家发明了一个魔术盒,当任意数对()b a ,进入其中时,会得到一个新的数: ()()21--b a .现将数对()1,m 放入其中得到数n ,再将数对()m n ,放入其中后,如果最 后得到的数是 .(结果要化简) 三、解答题(每小题10分,共50分) 11. 计 算 : (1+2+3+...+2013)(2+3+4+ (2012) - (1+2+3+ (2012) (2+3+4+…+2013). 12.图5是按一定规律排列的方程组集合和它解的集合的对应关系图,若方程组集合中的方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、……方程组n . (1)将方程组1的解填入图中; (2)请依据方程组和它的解变化的规律,将方程组n 和它的解直接填入集合图中; (3)若方程组?? ?-=+1x y x 的解是??=10 x ,求m 的值,并判断该方程组是否符合(2) 中的规律? 13.如图6(1C N 图3 方程组对应方程组集解的 图5
初一经典应用题汇总 1、绿谷商场“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示: 类别冰箱彩电 进价(元/台) 2 320 1 900 售价(元/台) 2 420 1 980 (1) 按国家政策,农民购买“家电下乡”产品可享受售价13%的政府补贴.农民田大伯到该商场购买 了冰箱、彩电各一台,可以享受多少元的政府补贴? (2)为满足农民需求,商场决定用不超过85 000元采购冰箱、彩电共40台, 且冰箱的数量不少于彩电数量的. ①请你帮助该商场设计相应的进货方案; ②哪种进货方案商场获得利润最大(利润=售价进价),最大利润是多少? 解: (1) (2420+1980)×13%=572 答: 可以享受政府572元的补贴. (2) ①设冰箱采购x台,则彩电采购(40-x)台,根据题意,得 2320x+1 900(40-x)≤85000, x≥(40-x). 解不等式组,得≤x≤ ∵x为正整数. ∴x= 19,20,21.