2018年广东省湛江第一中学新高一实验班招生面试数学试卷(解析版)
2018年湛江第一中学高一试验班招生面试试题
数学试卷
说明：
1．本试卷分选择题和非选择题，满分100分。考试用时90分钟。
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号、试室号、座位号填写在答题卡上。 3．答题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1
．已知
113a b
=+,则
2523a ab b
b ab a --=+-( ) A ．116-
B ．138
-
C ．156
D ．137
2．如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，AB ＝2，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +5（m ﹣5）＝0的两个正实数根分别为x 1，x 2，且2x 1+x 2＝7，则m 的值是（ ） A ．2
B ．6
C ．2或6
D ．7
4． 甲乙丙丁四名同学参加某次过关考试，甲乙丙三个人分别去老师处问询成绩，老师给每个人只提供了其他三人的成绩．然后，甲说：我们四个人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；丙说：甲乙丁恰好有一人过关．假设他们说的都是真的，则下列结论正确的是（ ）
A ．甲没过关
B ．乙过关
C ．丙过关
D ．丁过关
5．已知m,n 是正整数，并且2223,120mn m n m n mn ++=+=，则22m n +=（ ） A ．209 B ．49 C ．93 D ．34
6．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝8，AD 平分∠BAC ，点PQ 分别是AB 、AD 边上的动点，则PQ +BQ 的最小值是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
7．已知非零实数a,b,c 满足
a 21+4a 2
=
b 4
，
b 2
1+10b 2
=
c 10
,
c 21+16c 2
=
a 2
则a b c ++=( ) A ．1312
B ．
1912
C ．
1710
D ．
1910
8．如图，在x 轴正半轴上依次截取OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n ﹣1A n ＝1（n 为正整数），过点A 1、A 2、A 3、…、A n 分别作x 轴的垂线，与反比例函数y ＝（x ＞0）交于点P 1、P 2、P 3、…、P n ，连接P 1P 2、P 2P 3、…、P n ﹣1P n ，过点P 2、P 3、…、P n 分别向P 1A 1、P 2A 2、…、P n ﹣1A n ﹣1作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
机密★启用前
第3页（/共4页） 第4页/（共34页）
知人善教 培养品质 引发成长动力
9．已知x 、y 都是正实数，且满足x 2+2xy +y 2+x +y ﹣12＝0，则x （1﹣y ）的最小值为 ．
10． 将正整数对作如下分组，第1组为{（1，2），（2，1）}，第2组为{（1，3），（3，1）}，第3组为{（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）}，第4组为{（1，5），（2，4），（4，2），（5，1）}…则第30组第16个数对为 ．
11．因式分解:2()4()()c a b c a b ----= ．
12．若实数a 满足a 3＜a ＜a 2，则不等式x +a ＞1﹣ax 的解集为 ．
13．设有正数11a =，12n n a a +=+（n 是正整数），
++
=L ．
14．一枚均匀的普通骰子被掷三次，若前两次所掷点数之和等于第三次的点数，则掷得的点数至少有一次是2的概率是 ．
15．若0x y z ++=,0xyz ≠,则111111
()()()3x y z y z z x x y
++++++= ．
16．规定运算*a b 满足：*1(0),*(*)(*)a a a a b c a b c =≠=,其中,0b c ≠,,,a b c 为实数，则方程2*250x x =的解x= ．
三．解答题（共5小题，17~18题9分，19题10分，20~21题12分）
17．如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM ，弦CD ∥BM ，交AB 于点F ，且＝
，连接AC ，
AD ，延长AD 交BM 于点E ． （1）求证：△ACD 是等边三角形；
（2）连接OE ，若⊙O 的半径为2，求OE 的值．
18．在直角坐标系中，有以A （﹣1，﹣1），B （1，﹣1），C （1，1），D （﹣1，1）为顶点的正方形，设它
在折线y ＝|x ﹣a |+a 上侧部分的面积为S ，试求S 关于的函数关系式，并画出它们的图象．
19．已知平面直角坐标系中，B（﹣3，0），A为y轴正半轴上一动点，半径为的⊙A交y轴于点G、H（点G在点H的上方），连接BG交⊙A于点C．
（1）如图①，当⊙A与x轴相切时，求直线BG的解析式；
（2）如图②，若CG＝2BC，求OA的长；
（3）如图③，D为半径AH上一点，且AD＝1，过点D作⊙A的弦CE，连接GE并延长交x轴于点F，当
⊙A与x轴相离时，
2
OG
OF
的值不是否改变？请说明理由．
20．如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶
点为D的抛物线y＝ax2+bx+c过A、B、C三点．
（1）请直接写出B、C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交
线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；
（3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC于点N，点Q从点B出发，以每秒1个
单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t（秒），当t（秒）为何值时，存在△QMN为等腰直
角三角形？
21．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝x有两个实数根x1，x2，且满足x1＞0，x2﹣x1＞1．
（1）试证明c＞0；
（2）证明b2＞2（b+2c）；
（3）对于二次函数y＝x2+bx+c，若自变量取值为x0，其对应的函数值为y0，则当0＜x0＜x1时，试比较y0
与x1的大小．
第7页（/共4页）第8页/（共34页）知人善教培养品质引发成长动力
2018年湛江第一中学高一试验班招生面试试题
数学试卷参考答案
说明：
1．本试卷分选择题和非选择题，满分100分。考试用时90分钟。
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号、试室号、座位号填写在答题卡上。 3．答题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
一．选择题（共5小题） 1．已知
113a b
=+,则
2523a ab b
b ab a --=+-( ) A ．11
6
-
B ．138
-
C ．
156
D ．
137
【分析】将
113a b
=+变形为a -b ＝ - 3ab 代入到
2523a ab b b ab a --=+-2(a?b )?5ab
3ab?(a?b )中，再合并、约分即可的． 【解答】解：∵11
3a b =+ ∴a -b ＝ - 3ab
∴2523a ab b b ab a
--=
+-2(a?b )?5ab
3ab?(a?b ) ＝
2(?3ab )?5ab 3ab?(?3ab )
＝?11ab 6ab
＝﹣116
．
【点评】本题主要考查分式的求值，将已知代数式整体代入到变式中以能够约分求值是关键．
2 ．如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，AB ＝2，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】连接CD ，作DM ⊥BC ，DN ⊥AC ，证明△DMG ≌△DNH ，则S 四边形DGCH ＝S 四边形DMCN ，求得扇形FDE 的面积，则阴影部分的面积即可求得． 【解答】解：连接CD ，作DM ⊥BC ，DN ⊥AC ．
∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点，
∴DC ＝AB ＝1，四边形DMCN 是正方形，DM ＝．
则扇形FDE 的面积是：＝．
∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点， ∴CD 平分∠BCA ， 又∵DM ⊥BC ，DN ⊥AC ，
∴DM ＝DN ，
∵∠GDH ＝∠MDN ＝90°， ∴∠GDM ＝∠HDN ， 则在△DMG 和△DNH 中，
，
∴△DMG ≌△DNH （AAS ），
∴S四边形DGCH＝S四边形DMCN＝．
则阴影部分的面积是：﹣．
【点评】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DMG≌△DNH，得到S四边形DGCH＝S四边形DMCN是关键．
3．关于x的一元二次方程x2﹣mx+5（m﹣5）＝0的两个正实数根分别为x1，x2，且2x1+x2＝7，则m的值是（）
A．2B．6C．2或6D．7
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系和两根都为正根得到x1+x2＝m＞0，x1?x2＝5（m﹣5）＞0，则m＞5，由2x1+x2＝7得到m+x1＝7，即x1＝7﹣m，x2＝2m﹣7，于是有（7﹣m）（2m ﹣7）＝5（m﹣5），然后解方程得到满足条件的m的值．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝m＞0，x1?x2＝5（m﹣5）＞0，
则m＞5，
∵2x1+x2＝7，
∴m+x1＝7，即x1＝7﹣m，
∴x2＝2m﹣7，
∴（7﹣m）（2m﹣7）＝5（m﹣5），
整理得m2﹣8m+12＝0，
（m﹣2）（m﹣6）＝0，
解得m1＝2，m2＝6，
∵m＞5，
∴m＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根分别为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1?x2＝．也考查了一元二次方程的解法．
4．甲乙丙丁四名同学参加某次过关考试，甲乙丙三个人分别去老师处问询成绩，老师给每个人只提供了其他三人的成绩．然后，甲说：我们四个人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；丙说：甲乙丁恰好有一人过关．假设他们说的都是真的，则下列结论正确的是（）
A．甲没过关B．乙过关C．丙过关D．丁过关
【分析】因为甲说：我们四个人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；所以四人组有且只有两人过关，两人不过关，又因为，丙说：甲乙丁恰好有一人过关，所以丙过关，故选C.
5．已知m,n是正整数，并且22
23,120
mn m n m n mn
++=+=，则22
m n
+=（）
A．209B．49C．93D．34
【分析】将m2n+mn2分解成含m+n与mn的乘积的形式。
【解答】解：∵m2n+mn2=mn(m+n)=120 ，mn+(m+n)=23
∴m+n=8mn=15 ，则m=3，n=5 或m=5 , n=3
则m2+n2=52+32=34，故答案选D
【点评】本题考查了灵活利用因式分解解决数学问题，另外可巧用换元法。
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB、AD
边上的动
第11页（/共4页）第12页/（共34页）知人善教培养品质引发成长动力
点，则PQ+BQ的最小值是（）
A．4B．5C．6D．7
【分析】如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′，由△AQP≌△AQP′，得PQ＝QP′，欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，即当BP′⊥AC时，BQ+QP′的值最小，此时Q与D 重合，P′与C重合，最小值为BC的长．
【解答】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′，
在△AQP和△AQP′中，
，
∴△AQP≌△AQP′，
∴PQ＝QP′
∴欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，
∴当BP′⊥AC时，BQ+QP′的值最小，此时Q与D重合，P′与C重合，最小值为BC的长．
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝8，∠BAC＝30°，
∴BC＝AB＝4，
∴PQ+BQ的最小值是4，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点P、Q的位置是解题的关键．
7．已知非零实数a,b,c满足
a2
1+4a2
=b
4
，
b2
1+10b2
=c
10
,c
2
1+16c2
=a
2
则a b c
++=() A．
13
12
B．
19
12
C．
17
10
D．
19
10
【分析】题目给的式子不能约分，但倒数之后可以，巧用倒数是解这道题的关键。
【解答】解：∵
a2
1+4a
=b
4
，
b2
1+10b
=c
10
,c
2
1+16c
=a
2
∴4+
1
a2
=4
b
, 10+1
b2
=10
c
, 16+1
c2
=2
a
∴
1
a2
+1
b2
+
1
c2
+30=2
a
+4
b
+10
c
∴
1
a
?2
a
+1+1
b
?
4
b
+4+
1
c
?10
c
+25=0
∴(
1
a
?1)
2
+(1
b
?2)
2
+(1
c
?5)
2
=0
∴
{
1
a
?1=0
1
b
?2=0
1
c
?5=0
解得{
a=1
b=1
2
c=1
5
∴a+b+c=1+
1
2
+1
5
=17
10
故选C
【点评】本题考查代数式的灵活转变，巧用非负数得出a,b, c的值。
8．如图，在x轴正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A n﹣1A n＝1（n为正整数），过点A1、A2、A3、…、
A n分别作x轴的垂线，与反比例函数y＝（x＞0）交于点P1、P2、P3、…、P n，连接P1P2、P2P3、…、
P n﹣1P n，过点P2、P3、…、P n分别向P1A1、P2A2、…、P n﹣1A n﹣1作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是（）
A．B．C．D．
【分析】由OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A n﹣1A n＝1可知P1点的坐标为（1，y1），P2点的坐标为（2，y2），P3点的坐标为（3，y3）…P n点的坐标为（n，y n），把x＝1，x＝2，x＝3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…S n﹣1的值，故可得出结论．
【解答】解：（1）设OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A n﹣1A n＝1，
∴设P1（1，y1），P2（2，y2），P3（3，y3），…P4（n，y n），
∵P1，P2，P3…Bn在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴y1＝2，y2＝1，y3＝…y n＝，
∴S1＝×1×（y1﹣y2）＝×1×1＝；
∴S1＝；
（3）∵S1＝×1×（y1﹣y2）＝×1×（2﹣）＝1﹣；
∴S2＝×1×（y2﹣y3）＝﹣；
S3＝×1×（y3﹣y4）＝×（﹣）＝﹣；
…
∴S n﹣1＝﹣，
∴S1+S2+S3+…+S n﹣1═1﹣+﹣+﹣+…﹣＝．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
二．填空题（共8小题）
9．已知x、y都是正实数，且满足x2+2xy+y2+x+y﹣12＝0，则x（1﹣y）的最小值为﹣1．【分析】已知等式左边变形后，分解因式得到x+y＝3或2x+y＝﹣4（舍去），表示出y代入所求式子中配方即可求出最小值．
【解答】解：x2+2xy+y2+x+y﹣12＝0＝（x+y）2+（x+y）﹣12＝0，即（x+y﹣3）（x+y+4）＝0，
可得x+y＝3或x+y＝﹣4（舍去），即y＝﹣x+3，
当y＝﹣x+3时，x（1﹣y）＝x（1+x﹣3）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了配方法的应用，解一元二次方程﹣因式分解法，以及二次函数的最值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10．将正整数对作如下分组，第1组为{（1，2），（2，1）}，第2组为{（1，3），（3，1）}，第3组为{（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）}，第4组为{（1，5），（2，4），（4，2），（5，1）}…则第30组第16个数对为．
【分析】第n组各个数对的和都为n+2
【解答】解：根据归纳推理可知，每对数字中两个数字不相等，且第一组每一对数字和为3，第二组每一对数字和为4，第三组每一对数字和为5，以此类推，第30组每一对数字和为32
第15页（/共4页）第16页/（共34页）知人善教培养品质引发成长动力
∴第30组第一对数为（1,31），第二数对为（2,30）……第15对数为（15,17），第16对数为（17，15） 【点评】此题考查了数学归纳推理，找出第n 组各个数对的和都为 n +2是解本题的关键．
11．因式分解:2()4()()c a b c a b ----= ．
【分析】遇到这种需要先把题目的因式拆开，再重新找因式。
【解答】解：2()4()()c a b c a b ----=a 2?2ac +c 2?4ab +4b 2+4ac ?4bc
=a 2+2ac +c 2?4ab ?4bc +4b 2 =(a +c )2?4b (a +c )+4b 2=(a +c ?2b )2
【点评】此题考查了因式分解。
12．若实数a 满足a 3
＜a ＜a 2
，则不等式x +a ＞1﹣ax
的解集为
．
【分析】对不等式x +a ＞1﹣ax 进行移项，合并同类项得x +ax ＞1﹣a ，根据a 满足a 3＜a ＜a 2，可得a ＜﹣1，再根据a 的范围求原不等式的解即可．
【解答】解：不等式x +a ＞1﹣ax 可变形为（1+a ）x ＞1﹣a ， ∵a 满足a 3
＜a ＜a 2
，
则
，
由③得：a （a ﹣1）（a +1）＜0， 由②得，a 2
﹣a ＞0，
∴a +1＜0，
∴a ＜﹣1，即a +1＜0，
∴原不等式的解为：x ＜
．
【点评】当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解
集进行判断，求得另一个字母的值．本题需注意，在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向，余下运算不受影响，该怎么算还怎么算．
13．设有正数11a =，12n n a a +=+（n 是正整数），=L ．
【分析】首先由11a =，12n n a a +=+可知，a n 为等差数列，找出a n 的通项公式即可做题。
【解答】解：∵11a =，12n n a a +=+
∴a 2=a 1+2=3，a 3=a 2+2=5，a 4=a 3+2=7……..
进而得到a n =2n ?1
+L 1+√3
+
√3+√5
+?+
√119+√121
=
√3?12
+
√5?√32
+
√7?√52
+?+
√121?√119
2
=
√3?1+√5?√3+√7?√5+?+√121?√119
2
= √121?1
2
=
11?12
=5
【点评】本题考查的是等差数列的归纳，同时根式的分母有理化，运算过程必须很熟练才能快速做题。
14．一枚均匀的普通骰子被掷三次，若前两次所掷点数之和等于第三次的点数，则掷得的点数至少有一次是2的概率是
．
【分析】首先根据题意列出前两次所掷的骰子情况，然后求得前两次所掷点数之和等于第3次的点数的可
能情况与掷得点数至少有一次是2的情况，求其比值即可求得答案．
【解答】解：列表法得：
1+6＝7
2+6＝8
3+6＝9
4+6＝10
5+6＝11
6+6＝12
1+5＝6
2+5＝7
3+5＝8
4+5＝9
5+5＝10
6+5＝11
1+4＝52+4＝63+4＝74+4＝85+4＝96+4＝10
1+3＝42+3＝53+3＝64+3＝75+3＝86+3＝9
1+2＝32+2＝43+2＝54+2＝65+2＝76+2＝8
1+1＝22+1＝33+1＝44+1＝55+1＝66+1＝7
∴前两次所掷点数之和等于第3次的点数共有15种可能，掷得点数至少有一次是2的有8种，
∴若前两次所掷点数之和等于第3次的点数，则掷得点数至少有一次是2的概率为：．
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．若0
x y z
++=,0
xyz≠,则
111111
()()()3
x y z
y z z x x y
++++++=．
【分析】将
111111
()()()3
x y z
y z z x x y
++++++=进行去括号就会找到解题思路。
【解答】解：∵0
x y z
++=,0
xyz≠,
∴z=?(x+y)，y=?(x+z)，x=?(y+z)
∴
111111
()()()3
x y z
y z z x x y
++++++=
x
y
+x
z
+y
z
+y
x
+z
x
+z
y
+3
=y+z
x +x+z
y
+x+y
z
+3
= （-1）+（-1）+（-1）+3
= 0
【点评】本题考查的是代数式巧妙变形，借助已知条件变形、化简、运算，问题即可解决。
16．实数范围内，规定运算a*b满足a*a＝1（a≠1），a*（b*c）＝（a*b）c，其中bc≠0，则方程x2*19＝99x
的解x＝＝0或1881．
【分析】首先根据规定运算推出a*b＝，从而将方程x2*19＝99x可变形为＝99x，解方程求解即可．【解答】解：首先，a*1＝a*（a*a）＝（a*a）a＝a
所以1＝1*1＝1*（a*a）＝（1*a）a，推出1*a＝，
∴（）＝1*（a*b）＝（1*a）b＝，推出a*b＝，
∴x2*19＝99x可变形为＝99x，
解得x＝0或1881．
故答案为：0或1881．
【点评】考查了新定义运算和一元二次方程的应用，关键是得到x2*19变形后的式子是解题的难点．三．解答题（共6小题）
17．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且＝，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）连接OE，若⊙O的半径为2，求OE的值．
第19页（/共4页）第20页/（共34页）知人善教培养品质引发成长动力
【分析】（1）由AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，易得BE⊥AB，又由弦CD∥BM，可得AB ⊥CD，又由且＝，即可得＝＝，继而证得结论；
（2）由△ACD是等边三角形，CD⊥AB，可求得BE的长，继而求得答案．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，
∴AB⊥BE，
∵弦CD∥BM，
∴CD⊥AB，
∴＝，
∵＝，
∴＝＝，
∴AD＝AC＝CD，
∴△ACD是等边三角形；
（2）解：由（1）知，△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，
∵AD＝AC，CD⊥AB，
∴∠DAB＝30°，
∴BE＝AE，
∵OA＝OB＝r＝2，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，
∴BE2＝，
在Rt△OBE中，OE2＝22+＝，
∴OE＝．
【点评】此题考查了切线的性质、垂径定理、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握切线的性质是关键．
18．在直角坐标系中，有以A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）为顶点的正方形，设它在折线y＝|x﹣a|+a上侧部分的面积为S，试求S关于的函数关系式，并画出它们的图象．
【分析】思路点拨先画出符合题意的图形，然后对不确定折线y＝|x﹣a|+a及其中的字母a的取值范围进行分类讨论，a的取值决定了正方形在折线上侧部分的图形的形状．
【解答】解：（1）当a≥1时，y＝|x﹣a|+a的图象与正方形ADCD没有公共部分，S＝0；
（2）当0≤a＜1时，S＝；
（3）当﹣1≤a＜0时，S＝＝2﹣（1+a）2；
（4）当a＜﹣1时，S＝2．
答：S与a的函数关系式为S＝；
函数图象如下图所示：
【点评】我们把有自变量或关于自变量的代数式包含在绝对值符号在内的一类函数称为绝对值函数．去掉绝对值符号，把绝对值函数化为分段函数，这是解绝对值的一般思路．
19．（人教版）已知平面直角坐标系中，B（﹣3，0），A为y轴正半轴上一动点，半径为的⊙A交y轴于点
G、H（点G在点H的上方），连接BG交⊙A于点C．
（1）如图①，当⊙A与x轴相切时，求直线BG的解析式；
（2）如图②，若CG＝2BC，求OA的长；
（3）如图③，D为半径AH上一点，且AD＝1，过点D作⊙A的弦CE，连接GE并延长交x轴于点F，当
⊙A与x轴相离时，
2
OG
OF
的值不是否改变？请说明理由．
【分析】（1）根据题意应先求出G点的坐标，再将B、G两点的坐标代入一次函数关系式y＝kx+b中；（2）由题意需过点C作CM⊥GH于点M，再利用比例线段求解；
（3）需连接CH、EH，作DN⊥EG于点N，再
2
OG
OF
求的值．
【解答】解：（1）⊙A与x轴相切，OA＝，G（0，5）．
设直线BG的解析式为：y＝kx+b，将B、G两点的坐标代入一次函数关系式y＝kx+b中，
，
解得：
得出直线BG的解析式为：y＝+5，
y＝+5．
（2）
过点C作CM⊥GH于点M，则CM∥BO，∴△GCM∽△GBO，
∴，
∵CG＝2BC，B0＝3，
∴，
∴CM＝2．
设GM＝x，则MH＝5﹣x，
∴x（5﹣x）＝22，
解得：x l＝1，x2＝4，
∴MG＝1或MG＝4．
GO＝6或GO＝，
当GO＝＜，
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则A点在y轴的负半轴，不合题意，故舍．
∴GO＝6．∴OA＝GO﹣AG＝．
（3）的值不变，其值为7．
证明：连接CH、EH，作DN⊥EG于点N，则DN∥HE．
OG＝OB?①，
同理OG＝FO?②，
＝0B?＝7，
故的值不变，其值为7．
【点评】此题作为压轴题，综合考查函数、方程与圆的切线，三角形相似的判定与性质等知识．
20．如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线y＝ax2+bx+c过A、B、C三点．（1）请直接写出B、C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；
（3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC于点N，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t（秒），当t（秒）为何值时，存在△QMN为等腰直角三角形？
【分析】（1）分别令y＝0和x＝0代入y＝﹣x+3即可求出B和C的坐标，然后设抛物线的交点式为y ＝a（x+2）（x﹣4），最后把C的坐标代入抛物线解析式即可求出a的值和顶点D的坐标；
（2）若四边形DEFP为平行四边形时，则DP∥BC，设直线DP的解析式为y＝mx+n，则m＝﹣，求出直线DP的解析式后，联立抛物线解析式和直线DP的解析式即可求出P的坐标；
（3）由题意可知，0≤t≤6，若△QMN为等腰直角三角形，则共有三种情况，①∠NMQ＝90°；②∠MNQ ＝90°；③∠NQM＝90°．
【解答】解：（1）令x＝0代入y＝﹣x+3
∴y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0代入y＝﹣x+3
∴x＝4，
∴B（4，0），
设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣4），
把C（0，3）代入y＝a（x+2）（x﹣4），
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+3，∴顶点D的坐标为（1，）；
（2）当DP∥BC时，
此时四边形DEFP是平行四边形，
设直线DP的解析式为y＝mx+n，
∵直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
∴m＝﹣，
∴y＝﹣x+n，
把D（1，）代入y＝﹣x+n，
∴n＝，
∴直线DP的解析式为y＝﹣x+，
∴联立，
解得：x＝3或x＝1（舍去），
∴把x＝3代入y＝﹣x+，y＝，
∴P的坐标为（3，）；
（3）由题意可知：0≤t≤6，
设直线AC的解析式为：y＝m1x+n1，
把A（﹣2，0）和C（0，3）代入y＝m1x+n1，得：，
∴解得，
∴直线AC的解析式为：y＝x+3，
由题意知：QB＝t，
如图1，当∠NMQ＝90°，
∴OQ＝4﹣t，
令x＝4﹣t代入y＝﹣x+3，
∴y＝t，
∴M（4﹣t，t），
∴MQ＝t，
∵MN∥x轴，
第27页（/共4页）第28页/（共34页）知人善教培养品质引发成长动力
∴N的纵坐标为t，
把y＝t代入y＝x+3，
∴x＝t﹣2，
∴N（t﹣2，t），
∴MN＝（4﹣t）﹣（﹣2）＝6﹣t，当MN＝MQ时，
∴6﹣t＝t，
∴t＝，
此时QB＝，符合题意，
如图2，当∠QNM＝90°时，
∵QB＝t，
∴点Q的坐标为（4﹣t，0）
∴令x＝4﹣t代入y＝x+3，
∴y＝9﹣t，
∴N（4﹣t，9﹣t），
∵MN∥x轴，
∴点M的纵坐标为9﹣t，
∴NQ＝9﹣t，∴令y＝9﹣t代入y＝﹣x+3，
∴x＝2t﹣8，
∴M（2t﹣8，9﹣t），
∴MN＝（2t﹣8）﹣（4﹣t）＝3t﹣12，当NQ＝MN时，
∴9﹣t＝3t﹣12，
∴t＝，
∴此时QB＝，符合题意
如图3，当∠NQM＝90°，
过点Q作QE⊥MN于点E，
过点M作MF⊥x轴于点F，
设QE＝a，
令y＝a代入y＝﹣x+3，
∴x＝4﹣，
∴M（4﹣a，a），
令y＝a代入y＝x+3，
∴x＝﹣2，
∴N（﹣2，a），
第31页（/共4页） 第32页/（共34页）
知人善教 培养品质 引发成长动力
∴MN ＝（4﹣a ）﹣（a ﹣2）＝6﹣2a ，
当MN ＝2QE 时， ∴6﹣2a ＝2a ， ∴a ＝，
∴M （2，）
∴MF ＝QE ＝EM ＝QF ＝，OF ＝2
∴OQ ＝OF ﹣QF ＝
∴QB ＝OB ﹣OQ ＝
∴t ＝，此情况符合题意，
综上所述，当△QMN 为等腰直角三角形时，此时t ＝或或．
【点评】本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，相似三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
21．已知关于x 的一元二次方程x 2+bx +c ＝x 有两个实数根x 1，x 2，且满足x 1＞0，x 2﹣x 1＞1．
（1）试证明c ＞0； （2）证明b 2＞2（b +2c ）；
（3）对于二次函数y ＝x 2+bx +c ，若自变量取值为x 0，其对应的函数值为y 0，则当0＜x 0＜x 1时，试比较y 0与x 1的大小．
【分析】（1）利用根与系数的关系，来可以求出c
和两根之和、两根之积的关系式，然后利用已知条件就
可以证明题目结论；
（2）利用根与系数的关系得出x1+x2＝﹣（b﹣1），x1?x2＝c，把它们代入（x2﹣x1）2可得出b2﹣2b﹣4c+1，然后再利用（x2﹣x1）2＞1求出b2﹣2b﹣4c＞0即可证明；
（3）本题主要用作差法来比较y0与x1的大小，先把x0，x1分别代入方程得出关于y0，与x1的代数式，再用作差法比较大小．
【解答】解：（1）将已知的一元二次方程化为一般形式即x2+（b﹣1）x+c＝0，
∵x1，x2是该方程的两个实数根
∴x1+x2＝﹣（b﹣1），x1?x2＝c，
而x1＞0，x2＞x1+1＞0，
∴c＞0；
（2）（x2﹣x1）2＝（x2+x1）2﹣4x1x2＝（b﹣1）2﹣4c
＝b2﹣2b﹣4c+1，
∵x2﹣x1＞1，∴（x2﹣x1）2＞1，
于是b2﹣2b﹣4c+1＞1，即b2﹣2b﹣4c＞0，
∴b2＞2（b+2c）；
（3）当0＜x0＜x1时，有y0＞x1，
∵y0＝x02+bx0+c，x12+bx1+c＝x1，
∴y0﹣x1＝x02+bx0+c﹣（x12+bx1+c）＝（x0﹣x1）（x0+x1+b），
∵0＜x0＜x1，
∴x0﹣x1＜0，
又∵x2﹣x1＞1
∴x2＞x1+1，x1+x2＞2x1+1，∵x1+x2＝﹣（b﹣1）∴﹣（b﹣1）＞2x1+1，
于是2x1+b＜0
∵0＜x0＜x1
∴x0+x1+b＜0，
由于x0﹣x1＜0，x0+x1+b＜0，
∴（x0﹣x1）（x0+x1+b）＞0，即y0﹣x1＞0，
∴当0＜x0＜x1时，有y0＞x1．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要会代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1?x2＝．