人教版高中数学选修(2-3)-1.3解排列组合问题的四大原则

解排列组合问题的四大原则

排列、组合是高中数学的重要内容，新教材中概率与统计的增加更突出了排列、组合的重要性．高考对排列组合的考查以两个基本原理——分类加法计数原理和分步乘法计数原理为出发点，侧重检测解题思想和解题技巧，因而对解题策略和思维模式的培养和提炼是平时训练的核心．下面通过具体的例题来解析排列组合问题的解题策略之“四大原则”． 一、特殊优先原则

该原则是指在有限制的排列组合问题中优先考虑特殊元素或特殊位置． 例１ （2003年北京市西城区一模题（文））甲、乙、丙三个同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天１人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，则可以排出不同的值班表有（ ） A ．90种 B ．89种 C ．60种 D ．59种

解析：特殊元素优先考虑，甲同学不值周一的班，则先考虑甲，分步完成：①从除周一的5天中任取2天安排甲有25C 种；②从剩下的4天中选2天安排乙有24C 种；③仅剩2天安排丙有22C 种．由分步乘法计数原理可得一共有

22254260C C C =··种，即选C ．

评注：特殊优先原则是解有限制的排列组合问题的总原则，对有限制的元素和有限制的位置一定要优先考虑． 二、先取后排原则

该原则充分体现了m m m

n m n C A A =·的精神实质，先组合后排列，从而避免了不必

要的重复与遗漏．

例2 （2004年高考全国卷Ⅲ）将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）． A ．12种 B ．24种 C ．36种 D ．48种

解析：先分组再排列：将4名教师分成3组有24C 种分法，再将这三组分配

到三所学校有33A 种分法，由分步乘法计数原理知一共有2

3

4336C A =·种不同分配方

案．

评注：先取后排原则也是解排列组合问题的总原则，尤其是排列与组合的综合问题．若本例简单分步：先从4名教师中取3名教师分给3所学校有34A 种方

法，再将剩下的1名教师分给3所学校有3种选择，则共有3

4372A =·种分配方案，则有明显重复（如：甲、乙、丙、丁和甲、乙、丁、丙）．因此，处理多元素少位置问题时一般采用先取后排原则． 三、正难则反原则

若从正面直接解决问题有困难时，则考虑事件的对立事件，从不合题意要求的情况入手，再整体排除．

例3 （2004年北京市春招卷）在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少取到１件次品的不同取法的种数是（ ）

A ．12

6

94C C B ．12

6

99C C

C ．33

10094C C - D ．33

10094A C -

解析：从100件次品中取3件产品，至少有1件次品的对立事件是取到3件

全部是正品，即从94件正品中取3件正品有3

94C 种取法，所以满足条件的不同取

法是33

10094C C -，故选C ．如果从正面考虑，则必须分取到1，2，3件次品这三类，

没有应用排除法来得简单．而本例最易迷惑人的是B ：12

6

99C C ，即从6件次品中取1件确保了至少有1件次品，再从剩下的99件产品中任取2件即可．事实上这样分步并不相互独立，第一步对第二步有明显影响，设次品为ABCDEF ，正品

为甲乙丙丁戊…则12

6

99C C 可以是ＡＢ甲，也可能是ＢＡ甲，因而重复． 评注：正难则反原则也是解决排列组合问题的总原则，如果从正面考虑不易突破，一般寻找反面途径．利用正难则反原则的语境有其规律，如当问题中含有“至少”，“最多”等词语时，易用此原则． 四、策略针对原则

不同类型的排列、组合问题有着不同的应对策略，不同的限制条件要采用不同的解题方法．

1．相邻问题捆绑法（整体法），相隔问题插空法

例4 （2004年高考重庆卷（理））某校高三年级举行一次演讲比赛，共有

高中数学完整讲义——排列与组合5.排列组合问题的常见模型1

高中数学讲义 1．基本计数原理 ⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理． ⑵乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =???种不同的方法．又称乘法原理． ⑶加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合 ⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示． 排列数公式：A (1)(2) (1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤． 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=． ⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合． 组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示． 组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()! m n n n n n m n m m n m ---+==-，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0 C 1n =） 知识内容 排列组合问题的常见模型 1

高中数学排列组合难题十一种方法

高考数学排列组合难题解决方法 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =+++ 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =??? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = C 14A 34C 13 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

排列组合问题之捆绑法-插空法和插板法

行测答题技巧：排列组合问题之捆绑法，插空法和插板法 “相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再 考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。 例1 ?若有A、B、C、D E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法 【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“ A，B”、C D E “四个人”进行排列，有■< 种排法。又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有I种排法。根据分步乘法原理，总的排法有I -种 例2.有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。若 将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法 共有多少种 【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有丄种排法；又3 本数学书有丄种排法，2本外语书有雹种排法；根据分步乘法原理共有排法.<■'I - -- I 种。 【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑” 起来的大元素内部的顺序问题。解题过程是“先捆绑，再排列”。 “不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将 问题解决的策略。 例3.若有A、B、C、D E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法

【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。首先将C、D E三个人排列, 有「「种排法；若排成D C E，则D C E “中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：?D C E ,此时可将 A B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有q种插法。由乘法原理，共有排队方法：匚二 :-。 例4.在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种 【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目 去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有「种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有」：.方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为匚-.,=504种。 例4.一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，为了节约用电， 可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种 【解析】：若直接解答须分类讨论，情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有'种方法（请您想想为什么不是八），因此所有不同的关灯方法有'_「种。 【王永恒提示】：运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列，再插空”。 练习：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进去2个新节目，有多少种安排方法（国考2008-57） A. 20 B . 12 C . 6 D . 4 插板法是用于解决“相同元素”分组问题，且要求每组均“非空”，即要求

高中数学选修--排列组合(基础)方法练习

排列组合 1、分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有N =m +n 种不同的方法。 2、分步乘法计数原理： 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有N =m ×n 种不同的方法。 3、排列及排列数： （1） 排列：从n 个不同元素中取出m 个（m ≤n ）个元素，按照一定的顺 序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 （2） 排列数：从n 个不同元素中取出m 个（m ≤n ）个元素的所有排列的 个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示。 （3） 排列数公式：()()11+-???-=m n n n A m n . （4） 全排列：n 个不同元素全部取出的排列，叫做n 个不同元素的一个全 排列， ()()n n n n A n n =???????-?-?=12321！ ()!!m n n A m n -= ，规定0！=1 4、组合及组合数： （1） 组合：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 （2） 组合数：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合个数， 叫做从n 个不同元素取出m 个元素的组合数，用m n C 表示。 （3） 计算公式：()()()()!!!1111m n m n m m m n n n A A C m m m n m n -=???-+-???-==. 由于0！=1，所以10=n C . 5、组合数的性质：

高二数学知识点：排列与组合

高二数学知识点：排列与组合 排列组合公式/排列组合计算公式 排列P------和顺序有关 组合C-------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序，组合不分 例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法."排列" 把5本书分给3个人，有几种分法"组合" 1.排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n，m)表示. p(n，m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n，m)表示. c(n，m)=p(n，m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n，m)=c(n，n-m); 3.其他排列与组合公式

从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n，r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，...nk这n 个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1，m). 排列(Pnm(n为下标，m为上标)) Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符 号);Pnn(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n 组合(Cnm(n为下标，m为上标)) Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标)=1;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m 2019-07-0813：30 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。N-元素的总个数R参与选择的元素个数!-阶乘，如9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个，表达式应该为n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从n到(n-r+1)个数为n-(n-r+1)=r 举例： Q1：有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数?

高中数学-排列组合解法大全

排列组合解法大全 复习巩固 1.分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有n类办法，在第 1类办法中有m1种不同的方法，在第 2 类办法中有m2种不同的方法，?，在第n 类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第 1步有m1种不同的方法，做第 2步有m2种不同的方法，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下 : 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事 , 即采取分步还是分类 , 或是分步与分类同时进行 , 确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题, 元素总数是多少及取出多少个元素 . 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一. 特殊元素和特殊位置优先策略 例 1. 由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 . 解: 由于末位和首位有特殊要求 , 应该优先安排 , 以免不合要求的元素占了这两个位置 . 先排末位共有C13 然后排首位共有C14 最后排其它位置共有A43 由分步计数原理得C41C13A43 288 练习题 :7 种不同的花种在排成一列的花盆里 , 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二. 相邻元素捆绑策略 例 2. 7 人站成一排 , 其中甲乙相邻且丙丁相邻 , 共有多少种不同的排法 . 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素部进行自排。由分步计数原理可得共有A55A22A22480种不同的排法 练习题 : 某人射击 8 枪，命中 4 枪， 4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为20

插空法解排列组合题

插空法解排列组合题 令狐采学 曾安雄 插空法就是先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。运用插空法解答有关元素不相邻问题非常方便。下面举例说明。 一. 数字问题 例1. 把1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1，2不相邻的五位数，则所有不同排法有多少种？ 解析：本题直接解答较为麻烦，因为可先将3，4，5三个元素排定，共有种排法，然后再将1，2插入四个空位共有种排法，故由乘法原理得，所有不同的五位数有 二. 节目单问题 例2. 在一张节目单中原有六个节目，若保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？

解析：若直接解答则较为麻烦。故可先用一个节目去插七个空位，有种方法；再用另一个节目去插八个空位有种方法；用最后一个节目去插九个空位有种方法。由乘法原理得，所有不同的添加方法为：。 三. 关灯问题 例3. 一条马路上有编号1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏灯关掉，但不能同时关掉相邻两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？ 解析：如果直接解答须分类讨论，故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插七个空位共有种方法，因此所有不同的关灯方法为种。 四. 停车问题 例4. 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？ 解析：先排好8辆车有种方法，要求空位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空当中任选一个，将空位置插入其中有种方法。所以共有种方法。 五. 座位问题

例5. 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种类有多少种？ 解法1：先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有种，产生的四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有 种，所以每个人左右两边都空位的排法有种。 解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有种。

(完整)高中数学排列组合专题复习

高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m种不同的方法，在第2类 1 办法中有 m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不同的方法，那么2 完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 m种不同的方法，做第2步 1 有 m种不同的方法，…，做第n步有n m种不同的方法，那么完成这件事共2 有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 两个位置.

插空法解排列组合题

插空法解排列组合题 曾安雄 插空法就是先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。运用插空法解答有关元素不相邻问题非常方便。下面举例说明。 一. 数字问题 例1. 把1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1，2不相邻的五位数，则所有不同排法有多少种？ 解析：本题直接解答较为麻烦，因为可先将3，4，5三个元素排定，共有种排法，然后再将1，2插入四个空位共有种排法，故由乘法原理得，所有不同的五位数有 二. 节目单问题 例2. 在一张节目单中原有六个节目，若保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？ 解析：若直接解答则较为麻烦。故可先用一个节目去插七个空位，有种方法；再用另一个节目去插八个空位有种方法；用最后一个节目去插九个空位有种方法。由乘法原理得，所有不同的添加方法为： 。

三. 关灯问题 例3. 一条马路上有编号1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏灯关掉，但不能同时关掉相邻两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？ 解析：如果直接解答须分类讨论，故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插七个空位共有种方法，因此所有不同的关灯方法为 种。 四. 停车问题 例4. 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？ 解析：先排好8辆车有种方法，要求空位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空当中任选一个，将空位置插入其中有种方法。所以共有 种方法。 五. 座位问题 例5. 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种类有多少种？

高中数学：排列与组合练习

高中数学:排列与组合练习 1．(昆明质检)互不相同的5盆菊花,其中2盆为白色,2盆为黄色,1盆为红色,先要摆成一排,要求红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,共有摆放方法(D) A．A55种B．A22种 C．A24A22种D．C12C12A22A22种 解析:红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,即红色菊花两边各一盆白色菊花,一盆黄色菊花,共有C12C12A22A22种摆放方法． 2．(广州测试)某学校获得5个高校自主招生推荐名额,其中甲大学2个,乙大学2个,丙大学1个,并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加,学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象,则不同的推荐方法共有(B) A．36种B．24种 C．22种D．20种 解析:根据题意,分两种情况讨论:第一种,3名男生每个大学各推荐1人,2名女生分别推荐给甲大学和乙大学,共有A33A22＝12种推荐方法；第二种,将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学,共有C23A22A22＝12种推荐方法．故共有24种推荐方法,选B. 3．(广东珠海模拟)将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有(C) A．480种B．360种 C．240种D．120种 解析:根据题意,将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则必须有2个小球放入1个盒子,其余的小球各单独放入一个盒子,分2步进行分析:①先将5个小球分成4组,有C25＝10种分法；②将分好的4组全排列,放入4个盒子,有A44＝24种情况,则不同放法有10×24＝240种．故选C. 4．某小区有排成一排的7个车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为(C) A．16 B．18

高中数学排列组合专题

排列组合 一．选择题（共5小题） 1．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有（） A．36种B．42种C．50种D．72种 2．某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有（） A．8种 B．10种C．12种D．32种 3．某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（） A．72 B．120 C．144 D．168 4．现将甲乙丙丁4个不同的小球放入A、B、C三个盒子中，要求每个盒子至少放1个小球，且小球甲不能放在A盒中，则不同的放法有（） A．12种B．24种C．36种D．72种 5．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（） A．300种B．240种C．144种D．96种 二．填空题（共3小题） 6．某排有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，则不同的坐法有种． 7．四个不同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有种（用数字作答）． 8．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的

插法共有种． 三．解答题（共8小题） 9．一批零件有9个合格品，3个不合格品，组装机器时，从中任取一个零件，若取出不合格品不再放回，求在取得合格品前已取出的不合格品数的分布列10．已知展开式的前三项系数成等差数列． （1）求n的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中系数最大的项． 11．设f（x）=（x2+x﹣1）9（2x+1）6，试求f（x）的展开式中： （1）所有项的系数和； （2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和． 12．求（x2+﹣2）5的展开式中的常数项． 13．求值C n5﹣n+C n+19﹣n． 14．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的种数．（1）选5名同学排成一行； （2）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端； （3）全体站成一排，其中甲、乙必须在两端； （4）全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端； （5）全体站成一排，男、女各站在一起； （6）全体站成一排，男生必须排在一起； （7）全体站成一排，男生不能排在一起； （8）全体站成一排，男、女生各不相邻； （9）全体站成一排，甲、乙中间必须有2人； （10）全体站成一排，甲必须在乙的右边； （11）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变； （12）排成前后两排，前排3人，后排4人． 15．用1、2、3、4、5、6共6个数字，按要求组成无重复数字的自然数（用排列数表示）．

-排列组合的方法捆绑法,插空法和插板法

“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。 例1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？ 【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“A，B”、C、D、E“四个人”进行排列，有种排法。又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有种排法。根据分步乘法原理，总的排法有种。 例2．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？ 【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有种排法；又3本数学书有种排法，2本外语书有种排法；根据分步乘法原理共有排法种。 【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。解题过程是“先捆绑，再排列”。 “不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。 例3．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？ 【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。首先将C、D、E三个人排列，有种排法；若排成D C E，则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位

置，也即是：︺ D ︺ C ︺ E ︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。由乘法原理，共有排队方法： 。 例4．在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？ 【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为=504种。 例4．一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？ 【解析】：若直接解答须分类讨论，情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有种方法（请您想想为什么不是），因此所有不同的关灯方法有种。 【王永恒提示】：运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列，再插空”。 练习：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进去2个新节目，有多少种安排方法？（国考2008-57） A．20 B．12 C．6 D．4 插板法是用于解决“相同元素”分组问题，且要求每组均“非空”，即要求每组至少一个元素;若对于“可空”问题，即每组可以是零个元素，又该如何解题呢?下面先给各位考生看一道题目：

高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识

高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识 1.排列及计算公式 从n个不同元素中，任取mm≤n个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 pn,m表示. pn,m=nn-1n-2……n-m+1= n!/n-m!规定0!=1. 2.组合及计算公式 从n个不同元素中，任取mm≤n个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 cn,m 表示. cn,m=pn,m/m!=n!/n-m!*m!;cn,m=cn,n-m; 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=pn,r/r=n!/rn-r!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/n1!*n2!*...*nk!. k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为cm+k-1,m. 排列Pnmn为下标，m为上标 Pnm=n×n-1....n-m+1;Pnm=n!/n-m!注：!是阶乘符号;Pnn两个n分别为上标和下标=n!;0!=1;Pn1n为下标1为上标=n 组合Cnmn为下标，m为上标 Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!n-m!;Cnn两个n分别为上标和下标 =1 ;Cn1n为下标1为上标=n;Cnm=Cnn-m 加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。 两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。 排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。

高中数学排列组合经典题型全面总结版

高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种

专题十一：隔板法在解排列组合问题中的应用(同元分组问题)

隔板法在解排列组合问题中的应用 隔板法又称隔墙法、插板法是处理名额分配、相同物体的分配等排列组合问题的重要方法，本文将将通过例题将这种方法作以介绍，供同学们学习时参考. 一、将n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题 例1将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？ 分析：本题中的小球大小形状完全相同，故这些小球没有区别，问题等价于将小球分成三组，允许有若干组无元素，用隔板法. 解析：将20个小球分成三组需要两块隔板，将20个小球及两块隔板排成一排，两块隔板将小球分成三块，从左到右看成三个盒子应放的球数，每一种隔板与球的排法对应一种分法.将20个小球和2块隔板排成一排有22个位置，先从这22个位置中取出两个位置放隔 板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有222C 种不同的放法，再将小球 放入其他位置，由于小球与隔板都无差别，故小球之间无序，只有1种放法，根据分步计数 原理，共有222C ×1=231种不同的方法. 点评：对n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题,可以看成将这n 件物品分成m 组，允许若干组为空的问题.将n 件物品分成m 组，需要1m -块隔板，将这n 件物品和1m -块隔板排成一排，占1n m +-位置，从这1n m +-个位置中选1m -个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有11m n m C -+-种不同的方法， 再将物品放入其余位置，因物品相同无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种放法，根据分步计数原理，共有11m n m C -+-×1=11m n m C -+-种排法,因 1m -块隔板将n 件相同物品分成m 块，从左到右可以看成每人所得的物品数，每一种隔板与物品的 排法对应于一种分法，故有11m n m C -+-种分法. 二、将n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），每人（或位置）必须有物品问题 例2将20个优秀学生名额分给18个班，每班至少1个名额，有多少种不同的分配方法？ 分析：本题是名额分配问题，用隔板法. 解析：将20个名额分配给18个班，每班至少1个名额，相当于将20个相同的小球分成18组，每组至少1个，将20个相同的小球分成18组，需要17块隔板，先将20个小球排成一排，因小球相同，故小球之间无顺序，是组合，只有1种排法，再在20个小球之间的19个空档中，选取17个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有1719C 种不同的放法，根据分步计数原理，共有17 19C 种不同的方法，因17块隔板将20个小球分成18组，从左到右可以看成每班所得的名额数，每一种隔板与小球的排法对应于一种分法，故有11m n m C -+-种分法. 点评：：对n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），每个人（或位置）必须有

高中数学排列组合难题十一种方法

~ 高考数学排列组合难题解决方法 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2 步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 … 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 两个位置 . 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C / 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 443

、 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不 种在两端的花盆里，问有多少不同的种法 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一 个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A 种不同的排法 练习题1.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, ５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个 解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法， 再排小集团内部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222 222A A A 种排法. ： 2.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那 么共有陈列方式的种数为254 254A A A 3. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255 255A A A 种 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场, 则节目的出场顺序有多少种 （ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插 入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4 6A 不同的方法, 由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种 小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。

插板法插空法解排列组合问题

插板法、插空法解排列组合问题 华图教育 邹维丽 排列组合问题是行测数学运算中的经常碰到的一类问题，试题具有一定的灵活性、机敏性和综合性，也是考生比较头疼的问题。掌握排列组合问题的关键是明确基本概念，熟练基本题型。解决排列组合问题的方法很多，有插板法，捆绑法，优先法等等，本文主要介绍插板法、插空法在行测数学运算中的应用，以供大家参考。 所谓插板法，就是在n 个元素间的n-1个空中插入若干个（b ）个板，可以把n 个元素分成b+1组的方法，共有b n C 1-种方法。 应用插板法必须满足三个条件： (1) 这n 个元素必须互不相异； (2) 所分成的每一组至少分得一个元素； (3) 分成的组别彼此相异 举个普通的例子来说明。 把8个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？问题的题 干满足条件（1），（2），（3），所以适用插板法。在8个小球间的7个空插入3个板，共有3537=C 种情况。 上面介绍的插板法主要是用解决相同元素的名额分配问题，而对于排列组合中常出现的几个元素的不相邻问题，我们可以用插空法来解决，对这种问题，可先将余下的元素进行排列，然后在这些元素形成的空隙中将不相邻的元素进行排列。 下面我们通过几道题来熟悉这两种方法的应用。 例1 某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法？（ ）（国2010 -46） A.7 B.9 C.10 D.12 【解析】C 。本题乍一看不满足应用插板法的条件，插板法的条件（2）要求所分成的每一组至少分得一个元素，可本题要求每个部门至少发放9份材料。事实上，我们可以分两步来解这道题： 1. 先给每个部门发放8份材料，则还剩下30-8*3=6份材料。 2. 本题即可转化为：将6份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放1份材料。 问一共有多少种不同的发放方法？应用插板法可得共有1035=C

高中数学排列组合难题十一种方法

高考数学排列组合难题解决方法 1. 分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有： N = mi + m2 j + m n 种不同的方法. 2. 分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有： N = mi江m2汇川X m n 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下： 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进 行,确定分多少步及多少类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略

解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得 练习题:7种不同的花种在排成一列的xx，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的xx，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法 练习题1.用1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 5在两个奇数之间，这样的五位数有多少个？ 解：把1，5，2，4当作一个小集团与3排队共有种排法，再排小集团内部共有种排法，由分步计数原理共有种排法. 1524

高中数学排列与组合复习(题型完美版)

第十讲排列与组合 课程类型：□复习□预习□习题针对学员基础：□基础□中等□优秀 本章主要内容： 1.加法计数原理与乘法计数原理； 2.排列数与组合数； 3.排列的综合应用； 4.组合的综合应用. 本章教学目标： 1.掌握分类用加法分步用乘法两类计数原理； 2.掌握排列数与组合数的运算方法； 3.掌握排列与组合的综合应用. 第一节计数原理 【知识与方法】 一．分类加法计数原理 1．完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝种不同的方法． 2．完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事共有N＝种不同的方法．二．分步乘法计数原理 1．完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法． 授课班级授课日期学员 高二数学16班5月25日D组杨佩云 晓明同学准备周六从射洪到成都去玩，他可选择乘坐汽车，一天有4班，也可选择火车，一天有3班，那么晓明从射洪到成都共有多少中选择？若晓明到了成都之后有准备去都江堰，从成都到都江堰的 汽车有6班，火车有2班，那么晓明从射洪到都江堰共有多少种选择？ 课前导入

2．完成一件事需要n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，…，做第n 步有m n 种不同的方法，则完成这件事共有N ＝ 种不同的方法． 题型一 计数原理 【例1】某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，试问要“完成的这件事”指的是什么？若配成“一荤一素”是否“完成了这件事”？要“完成配成套餐”这件事需分类，还是分步，为什么？ 【例2】n b a )( 展开后共有多少项？ 【例3】甲、乙、丙准备周末出去郊游，问共有多少种情况？ 【变式1】(a 1＋a 2＋a 3)(b 1＋b 2＋b 3)(c 1＋c 2＋c 3＋c 4)展开后共有________项. 【变式2】将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有（ ） A ．53种 B ．35种 C ．3种 D ．15种 【变式3】某校高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班．现选两个班的学生参加社会实践活动，若要求这两个班来自不同年级，则有不同的选法____________种． 【变式4】（2016?新课标Ⅱ）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ） A ．24 B ．18 C ．12 D ．9 【例4】有一个圆被两相交弦分成四块，现用5种不同的颜料给这四块涂色，要求相邻的两块颜色不同，每块只涂一种颜色，共有多少种涂色方法？ 注意：1.在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事． 2.在分步乘法计数原理中，事情是分多步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事．