北师大版八年级下册数学[分式的加减(基础)知识点整理及重点题型梳理]

北师大版八年级下册数学

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

分式的加减（基础）

【学习目标】

1．能利用分式的基本性质通分．

2．会进行同分母分式的加减法．

3．会进行异分母分式的加减法．

【要点梳理】

要点一、同分母分式的加减

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；

上述法则可用式子表为：

a b a b c c c

±±=. 要点诠释：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.

（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.

要点二、分式的通分

与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.

（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.

（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.

要点三、异分母分式的加减

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.

上述法则可用式子表为：

a c ad bc ad bc

b d bd bd bd

±±=±=. 要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.

（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.

要点四、分式的混合运算

与分数的加、减乘、除混合运算一样，分式的加、减乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计

算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式.

要点诠释：（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础，要牢牢掌握..

（2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的.

（3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律，将大大提高运算速度.

【典型例题】

类型一、同分母分式的加减

1、计算：（1）22222333a b a b a b a b a b a b

+--+-； （2）222422x x x x x +-+--； 【答案与解析】

解：（1）22222333a b a b a b a b a b a b +--+-222222333a b a b a b a a b a b ab

++--+===； （2）2222

24242222

x x x x x x x x x x +-+-+=----- ()222224222x x x x x x -+--===--

【总结升华】本例为同分母分式加减法的运算，计算时注意运算符号，结果一定要化简． 举一反三：

【变式】计算：（1）22a b b a b a a b b a

++----； （2）x

x x x x x x x +---+--+++35223634222. 【答案】

解：（1）22a b b a b a a b b a ++----22a b b a b a b a b a +=-----221a b b a b a b a b a

+---===--． （2）22246225333x x x x x x x x

+----+-+++ ()

222462253133

x x x x x x x x ++-----+===++ 类型二、异分母分式的加减

2、计算：

（1）21132a ab +；（2）2

312224x x x x +-+--；（3）211a a a ---．

【答案与解析】

解：（1）原式2222323666b a b a a b a b a b +=

+=； （2）原式2312224x x x x =-++--31222(2)(2)

x x x x x =-++--+ 3(2)(2)24(2)4(2)(2)(2)(2)2x x x x x x x x x --++-=

==-+-++； （3）原式222222211(1)111111111

a a a a a a a a a a a a a a +----+=-=-===------． 【总结升华】（1）异分母分式的加减法关键是确定最简公分母；（2）整式和分式相加减时，

把整式看作分母是1的“分式”，按异分母分式的加减法的步骤进行运算．

举一反三：

【变式】计算：（1）

212293m m ---；（2）112323x y x y ++-. 【答案】

解：（1）212293m m ---122(3)(3)(3)(3)(3)

m m m m m +=-+--+ 12262(3)2(3)(3)(3)(3)3

m m m m m m m ---===-+-+-+． （2）()()()()

112323232323232323x y x y x y x y x y x y x y x y -++=++-+-+- ()()22

23234232349x y x y x x y x y x y -++==+--. 类型三、分式的加减运算的应用

3、（2015?青海）先化简再求值：，其中．

【答案与解析】

解：原式=×

=×

=a ﹣2，

当a=2+时，原式=2+﹣2=．

【总结升华】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．举一反三：

【变式】（2015?北仑区一模）先化简分式（﹣）÷，再在﹣3＜x≤2中取一个合适的x，求出此时分式的值．

【答案】解：原式=?=?=2x+4，

根据﹣3＜x≤2，当x=2时，原式=8．

类型四、分式的混合运算

4、（2016?陕西）化简：（x﹣5+）÷．

【思路点拨】根据分式的除法，可得答案．

【答案与解析】

解：（x﹣5+）÷

=?

=（x﹣1）（x﹣3）

=x2﹣4x+3．

【总结升华】本题考查了分式混合运算，利用分式的除法转化成分式的乘法是解题关键．

最新人教版初中八年级数学上册《分式的加减》导学案

15.2.2分式的加减 第1课时分式的加减 一、新课导入 1.导入课题： 同分母分数加减法法则你能说出来吗？异分母分数加减法法则又是怎样的呢？分式的加减法又该怎样去运算呢？ 2.学习目标： （1）类比分数的加减法，归纳分式的加减法法则. （2）利用分式加减法法则进行分式加减法运算. 3.学习重、难点： 重点：分式的加减法法则. 难点：分式加减法法则的应用. 二、分层学习 1.自学指导： （1）自学内容：教材第139页问题3到第140页例6前. （2）自学时间：5分钟. （3）自学方法：回顾异分母分数加减法法则，类比分式的加减法，得出分式的加减法法则，并能用字母表示出来. （4）自学参考提纲： ①分式的加减法与分数的加减法类似，它们的实质相同，由此可得分式加减法法法则是同分母分式相加减， 分母不变，把分子相加减，异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减. ②你能用字母表示分式加减法法则吗？

③试一试： 2.自学：同学们结合自学指导进行自学. 3.助学： （1）师助生: ①明了学情：了解学生是否能从分数加减法的计算方法类比出分式的加减法法则. ②差异指导：着重指导异分母分数（分式）加减法法则的归纳与字母表述，引导学生从异分母分数加减法去思考异分母分式加减法的步骤. （2）生助生：学生之间相互交流和帮助. 4.强化： (1)分式加减法法则(文字、符号). （2）计算： 1.自学指导： （1）自学内容：教材第140页例6. （2）自学时间：5分钟. (3)自学方法：利用分式加减法进行运算时，先看它们是同分母还是异分母，在计算异分母分式加减时应先做什么？ （4）自学参考提纲：

八年级上册第十五章分式知识点总结及练习

第十五章 分式 一、知识概念： 1.分式：形如 A B ，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 2.分式有意义的条件：分母不等于0. 3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变. 4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分. 5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分. 6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式. 7.分式的四则运算： ⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c ±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd ±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd ?= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc ÷=?= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n n n a a b b ?? = ???

8.整数指数幂： ⑴m n m n a a a +?=（m n 、是正整数） ⑵() n m mn a a =（m n 、是正整数） ⑶()n n n ab a b =（n 是正整数） ⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >） ⑸n n n a a b b ?? = ??? （n 是正整数） ⑹1 n n a a -=（0a ≠，n 是正整数） 9. 分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).

分式方程知识点复习总结大全

分式方程知识点复习总结大全重点：1理解分式的概念、有意义的条件，分式的值为零的条件。 2理解分式的基本性质. 3会用分式乘除的法则进行运算. 4熟练地进行分式乘除法的混合运算. 5熟练地进行分式乘方的运算. 6熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 7熟练地进行分式的混合运算. 8掌握整数指数幂的运算性质. 9会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是 原方程的增根. 10利用分式方程组解决实际问题. 难点： 1能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2灵活应用分式的基本性质将分式变形. 3灵活运用分式乘除的法则进行运算 4熟练地进行分式乘除法的混合运算. 5熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 6熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 7熟练地进行分式的混合运算. 8会用科学计数法表示小于1的数. 9会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是 原方程的增根. 10会列分式方程表示实际问题中的等量关系. 16.1分式及其基本性质

1.分式的概念：形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式。其中A 叫做分式的分子,B叫做分式的分母。分母，分式才有意义 整式和分式统称有理式, 即有有理式=整式+分式. 分式值为0的条件：分子等于0，分母不等于0（两者必须同时满足，缺一不可） 例1：（ 2011重庆江津）下列式子是分式的是( ) A. B. C. D. 【答案】B. 注意：不是分式 例2：已知，当x为何值时，分式无意义? 当x为何值时，分式有意义? 例3：（2011四川南充市）当分式的值为0时，x的值是（）（A）0（B）1（C）－1（D）－2 【答案】B 2.分式的基本性质 (1)分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. ，，且均表示的是整式。 （2）分式的变号法则：

八年级数学分式的加减法练习题

17.2.2 分式的加减法（1） 同步练习 一、请你填一填(每小题4分,共36分) 1. 异分母分式相加减，先________变为________分式，然后再加减. 2. 分式xy 2,y x +3,y x -4 的最简公分母是________. 3. 计算：222321xyz z xy yz x +-=_____________. 4. 计算：)1 1(1x x x x -+-=_____________. 5. 已知22y x M -=2222y x y xy --+y x y x +-,则M=____________. 6. 若（3－a ）2与|b －1|互为相反数，则b a -2 的值为____________. 7. 如果x ＜y ＜0，那么x x | |+xy xy | |化简结果为____________. 8. 化简y x y x --2 2 的结果为____________. 9. 计算22+-x x －22 -+x x =____________. 二、判断正误并改正: (每小题4分,共16分) 1. a b a b a a b a a b a --+=--+=0（ ） 2. 11 )1(1 )1(1)1()1(1)1(22222-=--=---=-+-x x x x x x x x x （ ） 3. )(21 21 21 2222y x y x +=+（ ） 4.222b a c b a c b a c +=-++（ ） 三、认真选一选:(每小题4分,共8分) 1. 如果x ＞y ＞0,那么x y x y -++11的值是（ ） A.零 B.正数 C.负数 D.整数

最新人教版八年级数学上册《分式的加减》精品教案

15.2.2 分式的加减 第1课时 分式的加减 一、教学目标： （1）熟练地进行同分母的分式加减法的运算. （2）会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减. （3）渗透类比转化的数学思想方法． 二、重点、难点 1．重点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 2．难点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 三、教学过程 1、课堂引入 1.出示问题3、问题4，教师引导学生列出答案. 引语：从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式的加减法运算. 2．下面我们先观察分数的加减法运算，请你说出分数的加减法运算的法则吗？ 3. 分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减法法则？ 4．请同学们说出2243291,31,21xy y x y x 的最简公分母是什么？你能说出最简公分母的确定方法吗？ 2、例题讲解 例6.计算(1)b a a b b a b a b a b a 22255523--+++ （2）96312-++a a [分析] 第（1）题是同分母的分式减法的运算，分母不变，只把分子相减，第二个分式的分子式个单项式，不涉及到分子是多项式时，第二个

多项式要变号的问题，比较简单； （补充）例.计算 （1） 2222223223y x y x y x y x y x y x --+-+--+ (2) 96261312--+-+-x x x x 解：96261312--+-+-x x x x =) 3)(3(6)3(2131-+-+-+-x x x x x =)3)(3(212)3)(1()3(2-+---++x x x x x =)3)(3(2)96(2-++--x x x x =) 3)(3(2)3(2-+--x x x =623+--x x 3、随堂练习 计算（1） m n m n m n m n n m -+---+22 （2）b a b a b a b a b a b a b a b a ---+-----+-87546563 4、小结 谈谈你的收获 5、布置作业 6、板书设计 四、教学反思： 作者留言： 非常感谢！您浏览到此文档。为了提高文档质量，欢迎您点赞或留言告诉我文档的不足之处，以便于对该文档进行完善优化，在此本人深表感

八年级数学下册第十六章分式知识点总结

第十六章 分式知识点及典型例子 一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。 例1.下列各式a π，11x +，15 x+y ，22a b a b --，-3x 2，0?中，是分式的有（ ）个。 二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】 分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】 分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B ≠0且A=0 即子零母不零】 例2.下列分式，当x 取何值时有意义。（1）2132 x x ++； （2）2323x x +-。 例3.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）。 A ．121x + B ．21x x + C ．231x x + D ．2221x x + 例4．当x______时，分式2134 x x +-无意义。当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。 例5.已知1x -1y =3，求5352x xy y x xy y +---的值。 三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不 变。 （0≠C ） 四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。 例6.不改变分式的值，使分式115101139 x y x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（? ）。 例7.不改变分式2323523 x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（? ）。 例8.分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（ ）。 例9.约分：（1）22699x x x ++-； （2）2232m m m m -+- C B C A B A ??=C B C A B A ÷÷=

八年级数学下册分式加减法教案

授课内容: 分式的加减法 教学目标： 1、掌握同分母分式的加减运算法则，会进行同分母分式的加减运算. 2、理解通分的概念，能对异分母的分式进行通分. 3、掌握异分母分式的加减运算法则，会进行异分母分式的加减运算. 4、会进行分式的混合运算. 教学重难点：通分 授课内容: 1、同分母分式的加减（这是重点） 法则： 同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减. 用式子可以表示为： c b a c b c a ±=± 注意：同分母分式的加减运算法则和分数的加减运算法则在实质上是相同的，但分式的分子常常是一个多项式，“把分子相加减”就是把各个分式的“分子整体”相加减，各分子都应加括号，尤其是相减时，要注意避免符号错误，分子相加减的实质就是整式的加减.最后结果要求是最简分式. 2、通分（这是重点、难点） 根据分式的基本性质，异分母的分式可化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.为了计算方便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的共同分母. 确定最简公分母的方法： 先对分式的分母进行分解因式，如果分母中含有相同字母，则取相同字母的最高次幂作为最简公分母的一个因式，如果只在一个分母中出现的字母，则连同它的指数作为最简公分母的一个因式. 举例说明： ab a 3,22 最简公分母：b a 2. 16 24,432--x x 最简公分母： （x+4）（x －4） 3、异分母分式的加减（这是重点、难点） 法则： 异分母分式相加减，先通分化为同分母的分式，然后再加减. 注意：异分母分式的加减必须转化为同分母分式的加减，然后按照同分母分式加减法的法则进行计算，转化的关键是通分.异分母分式的加减运算综合性较强，运算时要用到前面的一系列知识，如整式的四则运算、因式分解、约分、通分等. 其一般步骤为： ①通分：将异分母的分式化成同分母的分式； ②写成“分母不变，分子相加减”的形式； ③分子去括号，合并同类项； ④分子、分母约分，将结果化成最简分式的形式.

最新冀教版八年级数学上册《分式的加减》教案(优质课一等奖教学设计)

《分式的加减》教案 教学目标 1、知识与技能 (1)通过实例和分数的加减法，了解分式的加减法法则. (2)运用分式的加减法法则进行分式运算. 2、数学思考 (1)用分数的加减法法则得出分式的加减法法则. (2)能正确的进行分式的加减运算. 3、解决问题 能运用分式的加减法法则解决实际问题. 4、情感态度 通过师生互动，学生自主探究，让学生充分参与到数学学习的过程中来. 教学重点 理解分式的加减法法则. 教学难点 对异分母分式的加减运算. 教学设计 情境设计：回顾上节所讲的分式的乘除运算知识，出示本节所要学的分式的加减运算题，由此将学生引入问题情境，引入新课. 教学方法

独立探究，合作交流与教师引导相结合. 教具准备 小黑板、彩色粉笔等. 教学过程 一、创设问题情境引入新课(预计5分钟) 铺垫： 在上一节课我们学习了分式的乘除运算，请问大家还能否会相继一份是的乘除法法则吗？(倾听同学们的回答)乘 法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；分式的除法：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置，与被除式相乘.那请同学们看一看这两道题，他们又有什么新特点呢？(出示小黑板) 学生根据已有的知识列出了这两道题的式子，并请两位同学到黑板上写出答案.然后大家一起来讨论这两个式子的最后结果正确吗？ 从上面的问题可知，为讨论数量关系有需要进行分式的加减运算.这就是今天我们要学习的新内容“分式的加减”(板书). 二、层层递进，探索新知(预计20分钟) 1、分式的加减法法则：请大家计算出这些分数的加减式子，并且同学之间相互讨论，是否分数的加减与分式的加减法类似呢？又能否由此推广出分式的加减法法则呢？

八年级上册《分式》知识点归纳与总结上课讲义

八年级上册《分式》知识点归纳与总结 主讲 王老师 一、分式的定义： 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 二、与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（? ??≠=00B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或???<<0 0B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（?? ?<>00B A 或???><00B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B 0≠） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0,0B ≠） 三、分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：C B C ??=A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 四、分式的约分 1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式。 3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母 相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。 4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 ◆约分时。分子分母公因式的确定方法： 1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式. 3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式. 五、分式的通分 1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 （依据：分式的基本性质！） 2．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 ◆通分时，最简公分母的确定方法： 1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式. 3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.

初中八年级的数学下册的分式学习知识点总结计划.docx

第十六章 分式 1. 分式的定义：如果 A 、 B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A 叫做分式。 B 分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零。 2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 A A ?C A A C B B ?C B B C （ C 0） 3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式 4. 分式的运算： 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。 a c ac a c a d ad ( a )n a n b ? ; ? d bd b d b c bc b b n 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减， 先通分，变为同分母分式，然后再加减 a b a b , a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd 混合运算 : 运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于 1， 即 a 1(a 0) ；当 n 为正整数时， a n 1 a n （ a 0) 6. 正整数指数幂运算性质也可以推广到 整数指数幂 ． (m,n 是整数 ) （ 1）同底数的幂的乘法： a m ?a n a m n ； （ 2）幂的乘方： ( a m )n a mn ; （ 3）积的乘方： ( ab) n a n b n ； （ 4）同底数的幂的除法： a m a n a m n ( a ≠ 0) ； （ 5）商的乘方： ( a )n n a n ； (b ≠ 0) b b 7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

人教版初二数学上册知识点归纳

人教版初二数学上册知识点归纳 因式分解 1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化. 2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”. 3．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂. 注意公式：a+b=b+a ； a-b=-(b-a)； (a-b)2=(b-a)2； (a-b)3=-(b-a)3. 4．因式分解的公式： (1)平方差公式： a2-b2=（a+ b ）（a- b ）； (2)完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2. 5．因式分解的注意事项： （1）选择因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公式、三 分组、四 十字； （2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性； （3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止； （4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正； （5）因式分解的最后结果要求加以整理； （6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式. 6．因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项. 7．完全平方式：能化为（m+n ）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式 x2+px+q ， 有“ x2+px+q 是完全平方式 ? q 2p 2 =??? ??”. 分式 1．分式：一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示为B A 的形式，如果B 中含有字母，式子B A 叫做分式. 2．有理式：整式与分式统称有理式；即 ?? ?分式整式 有理式. 3．对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有 意义；（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义. 4．分式的基本性质与应用： （1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；

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第十六章 分式 1.分式的定义：如果 A 、 B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A 叫做分式。 B 分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零。 2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 A A C A A C B B C B B （ C 0） C 3.分式的通分和约分：关键先是分解因式 4.分式的运算： 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。 a c ac ; a c a d ad ( a )n a n b d bd b d b c bc b b n 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减， 先通分，变为同分母分式，然后再加减 a b a b , a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd 混合运算 :运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于 1， 即 a 1(a 0) ；当 n 为正整数时， a n 1 a n （ a 0) 6.正整数指数幂运算性质也可以推广到 整数指数幂 ．(m,n 是整数 ) （ 1）同底数的幂的乘法： a m a n a m n ； （ 2）幂的乘方： ( a m )n a mn ; （ 3）积的乘方： ( ) n n n ； ab a b （ 4）同底数的幂的除法： a m a n a m n ( a ≠ 0) ； （ 5）商的乘方： ( a ) n n a n ； (b ≠ 0) b b 7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母） ，把分式方程转化 为整式方程。 解分式方程时， 方程两边同乘以最简公分母时， 最简公分母有可能为０， 这样就产生了增根，因 此分式方程一定要验根。 解分式方程的步骤 ： (1) 能化简的先化简 (2) 方程两边同乘以最简公分母， 化为整式方程； (3)解整式方程； (4) 验根． 增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为 0，二是其值应是去分母后所的整式方 程的根。 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式 方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 列方程应用题的步骤是什么？ (1) 审； (2) 设； (3) 列； (4) 解； (5) 答．

最新初二数学分式的加减法练习题

17.2分式的运算 17.2.2 分式的加减法（1） 同步练习 一、请你填一填(每小题4分,共36分) 1. 异分母分式相加减，先________变为________分式，然后再加减. 2. 分式xy 2,y x +3,y x -4的最简公分母是________. 3. 计算：2223 2 1xyz z xy yz x +-=_____________. 4. 计算：)11(1x x x x -+-=_____________. 5. 已知22y x M -=2222y x y xy --+y x y x +-,则M=____________. 6. 若（3－a ）2与|b －1|互为相反数，则b a -2的值为____________. 7. 如果x ＜y ＜0，那么x x ||+xy xy ||化简结果为____________. 8. 化简y x y x --2 2的结果为____________. 9. 计算22+-x x －2 2-+x x =____________. 二、判断正误并改正: (每小题4分,共16分) 1. a b a b a a b a a b a --+=--+=0（ ） 2. 1 1)1(1 )1(1 )1()1(1 )1(22222-=--=---=-+-x x x x x x x x x （ ） 3. )(21 21 21 2222y x y x +=+（ ） 4.2 22b a c b a c b a c +=-++（ ） 三、认真选一选:(每小题4分,共8分) 1. 如果x ＞y ＞0,那么x y x y -++11的值是（ ）

北师大版八年级数学下册分式知识点归纳总结及习题精练

分式及其运算知识点归纳总结 一、知识点归纳 1、分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，B 中含有字母且B 不等于0，那么式子 B A 叫做分式． 需要注意的四点： （1）分式的分母中必须含有字母； （2）分式的分母的值不能为0； （3）分式是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开； （4）判断分式需要看最初的形式 2、分式有无意义的条件： 两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0， 分母为0时，分式无意义 3、分式的值： （1）分式的值为0，满足 000≠=?=B A B A 且 （2）分式的值为1，满足 01≠=?=B A B A （3）分式的值为-1，满足 01≠-=?-=B A B A （4）分式的值为正，满足 ?? ?<>?>00000B A B A B A 或 （5）分式的值为负，满足?? ?>?<0 0000B A B A B A 或 4、分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． )0(,≠÷÷==m m b m a b a bm am b a ，前提条件是0≠m ,强调是同时 5、分式的符号：y y y x x x -- ==-（符号调整时注意不要改变分式的值）． 6、约分和最简分式： 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．对分式进行约分化

简时，通常要使结果成为最简分式（即分子和分母已没有公因式）或者整式． 通分：最简公分母 7、分式的乘除运算 乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 分式的加减运算 同分母的分式相加减，分母不变_，把分子相加减； 异分母的分式相加减，先通分，化成同分母的分式，然后再加减． 在进行分式的运算前，要先把分式的分子和分母分解因式 分式的乘除要约分，加减要通分，最后的结果要化成最简． 有时进行分项化简 分式及其运算的题型总结 题型一：分式的定义及有无意义 1、下列各式是分式的有_________________．（填写序号） ①1π；②2x x ；③(3)(1)x x +÷-；④2 10xy -；⑤242x x --；⑥109x y +． 2、当x 取何值时，下列分式有意义 （1） ax x ； （2）2 3 9 x x +- （3 （4）2 x -． 3、当x =______分式212x x x ---=0，当x =________时，216(3)(4)x x x --+=0 4、已知当2x =-时，分式 x b x a --无意义，当4x =时，该分式的值为0，则a b +=___________． 5、若分式 224x x x m ++不论x 取何实数总有意义,则m 的取值范围

八年级数学《分式方程》知识点

八年级数学《分式方程》知识点 一、理解定义 1、分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 2、解分式方程的思路是： （1） 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。 （2） 解这个整式方程。 （3） 把整式方程的根带入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根 是原方程的增根，必须舍去。 （4） 写出原方程的根。 “一化二解三检验四总结” 3、 增根：分式方程的增根必须满足两个条件： （1）增根是最简公分母为0；（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。 4、分式方程的解法： (1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； (3)解整式方程； (4)验根． 注：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 5、分式方程解实际问题 （1）步骤：审题—设未知数—列方程—解方程—检验—写出答案，检验时要注意从方程本 身和实际问题两个方面进行检验。 （2）应用题基本类型； 二、例题讲析 例1：解方程214111 x x x +-=-- （1） 增根是使最简公分母值为零的未知数的值。 （2） 增根是整式方程的根但不是原分式方程的，所以解分式方程一定要验根。 例2：解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+有增根，则常数a 的值。 解：化整式方程的(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程的根，把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10，解得6a = 所以4a =-或6a =时，原方程产生增根。 方法总结：1.化为整式方程。 2.把增根代入整式方程求出字母的值。 例3：解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+无解，则常数a 的值。 解：化整式方程的(1)10a x -=- 当10a -=时，整式方程无解。解得1a =原分式方程无解。

八年级_分式知识点总结与复习题

分式知识点总结及章末复习 知识点一：分式的定义 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 知识点二：与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（???≠=0 0B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或? ??<<00B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或???><0 0B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 经典例题 1、代数式14x - 是（ ） A.单项式 B.多项式 C.分式 D.整式 2、在2x ，1()3x y +，3ππ-，5a x -，24x y -中，分式的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 3、总价9元的甲种糖果和总价是9元的乙种糖果混合，混合后所得的糖果每千克比甲种 糖果便宜1元，比乙种糖果贵0.5元，设乙种糖果每千克x 元，因此，甲种糖果每千克 元，总价9元的甲种糖果的质量为 千克. 4、当a 是任何有理数时，下列式子中一定有意义的是（ ） A. 1a a + B.21a a + C.211a a ++ D.211 a a +- 5、当1x =时，分式①11x x +-，②122x x --，③211x x --，④311x +中，有意义的是（ ） A.①③④ B.③④ C.②④ D.④ 6、当1a =-时，分式 211 a a +-（ ）A.等于0 B.等于1 C.等于－1 D.无意义 7、使分式8483x x +-的值为0，则x 等于（ ） A.38 B.12- C.83 D.12 8、若分式2212 x x x -+-的值为0，则x 的值是（ ） A.1或－1 B.1 C.－1 D.－2 9、当x 时，分式 11x x +-的值为正数. 10、当x 时，分式11 x x +-的值为负数. 11、当x = 时，分式132x x +-的值为1.

人教版八年级数学上册分式的加减法练习题精选41

人教版八年级数学上册分式的加减法练习题精选41 人教版八年级数学上册分式的加减法练习题精选 9x———－———－5y 8y x2＋y x2＋y ———－——— 3 1 3x ＋n 3x－n b——－——－6 3 b b ———－———＋——— b 5b b b＋1 b＋1 b＋1 ———－——— 1 2 4c2 d 7cd2 ————＋————x 7x 4x＋8 (4x＋8)2 ————－———x 5 x2－b2 x＋b ———－a a－ a－8 2 人教版八年级数学上册分式的加减法练习题精选 6x———＋———＋y 3x x ＋y x＋y ———＋——— 5 2 3y ＋n 3y－n b——－——＋5 6 b b ———－———－———9m 3m m m－7 m－7 m－7 ———＋——— 1 1 2cd 6cd2 ————－———— 8y 6y 2y＋5 (2y＋5)2 ————－———n 3 a2－n2 a－n ———＋a a＋ a－4 6 人教版八年级数学上册分式的加减法练习题精选 2x———＋———－y 5y x3＋y x3＋y

———－——— 3 2 3x ＋3a 3x－3a a——＋——＋9 5 a a ———－———－——— 3n n n n－5 n－5 n－5 ———－——— 4 2 8cd2 2c2 d ————－———— b 5b 3b－1 (3b－1)2 ————－———m 4 m2－n2 m－n ———－a2 a－ a－8 2 人教版八年级数学上册分式的加减法练习题精选 9x———－———－3y 5y x＋y3 x＋y3 ———－——— 4 2 y＋n y－n b——＋——－6 8 b b ———＋———＋——— 6b b b b－4 b－4 b－4 ———＋——— 3 4 8c2d2 2c2d2 ————－————m 3m 4m＋8 (4m＋8)2 ————＋———y 1 x2－y2 x－y ———－x2 x＋5 x－5 人教版八年级数学上册分式的加减法练习题精选 9x———－———＋y 3x x3－y x3－y ———－——— 4 2 2y ＋ b 2y－b m——－——＋3 6 m m ———＋———－———y y y y－5 y－5 y－5 ———－——— 4 1 7c2d 4cd2 ————－———— 8a 2a 3a－1 (3a－1)2 ————－———y 4 22 m－y m＋y ———－a2

最新八年级数学上册重点知识点

最新八年级数学上册重点知识点 因式分解 1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化. 2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”. 3．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂. 注意公式：a+b=b+a ； a-b=-(b-a)； (a-b)2 =(b-a)2 ； (a-b)3 =-(b-a)3 . 4．因式分解的公式： (1)平方差公式： a 2 -b 2 =（a+ b ）（a- b ）； (2)完全平方公式： a 2 +2ab+b 2 =(a+b)2 , a 2 -2ab+b 2 =(a-b)2 . 5．因式分解的注意事项： （1）选择因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公式、三 分组、四 十字； （2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性； （3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止； （4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正； （5）因式分解的最后结果要求加以整理； （6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式. 6．因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项. 7．完全平方式：能化为（m+n ）2 的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x 2 +px+q ， 有“ x 2 +px+q 是完全平方式 ? q 2p 2 =?? ? ??”. 分式 1．分式：一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示为 B A 的形式，如果B 中含有字母，式子B A 叫做分式. 2．有理式：整式与分式统称有理式；即 ? ??分式整式 有理式. 3．对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义. 4．分式的基本性质与应用：

北师大八年级数学下册《分式的加减法》练习题

初中数学试卷 《分式的加减法》练习题 一、填空题： 1.计算：242+- x = ． 2.计算： a b a b b a +=++________． 3.分式2 5,34c a bc a 的最简公分母是_________．． 4.计算： 23124xy x +=________． 5. 计算213122x x x ---- 的结果是____________．． 6.计算：abc ac ab 433265+-= ． 7.若222222m xy y x y x y x y x y --=+--+，则m =________． 8.当分式2121111 y y y ---+-的值等于零时，则y=_________． 二、选择题： 1.下若x x 1=，则分式36224+-+x x x 的值为( ) A ．0 B ． 1 C ．－1 D ．－2 2.分式x-y +2 2y x y +的值为（ ） A. 2 2x y y x y -++ B .x+y C. 22x y x y ++ D.以上都不对 3. 如果分式b a b a +=+111，那么a b b a +的值( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2

4.化简1 1 (m )(n )n m -÷-的结果是( ) A ．1 B ．m n C ．n m D ．－1 5.化简1 1 1 23x x x ++等于（ ） A ．12x B ．32x C ．116x D ．5 6x 6.计算37444a a b b a b b a a b ++----得（ ） A ．264a b a b +-- B ．264a b a b + - C ．2- D ．2 三、解答题 1.计算 （1）222)3(9)3(x y x y x ----- （2）211x x x --- （3）441 2222+----+x x x x x x （4）23111y y y y ??-÷+- ?--?? 2.已知21 (y 1)(y 2)12y A B y y +=+-+-+，求A 、B 的值． 3.先化简，再求值:26333x x x x x x +-+--，其中3 2x =．

八年级下数学《分式》知识点复习

松阳中学八年级数学复习 分式知识点 1.分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 叫做分式。 2.分式有意义、无意义的条件： 分式有意义的条件：分式的分母不等于0；分式无意义的条件：分式的分母等于0。 3.分式值为零的条件： 分式A B =0的条件是A ＝0，且B ≠0. （首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。） 4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 用式子表示为 （其中A 、B 、C 是整式）， 5.分式的通分： 和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。 通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点： （1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的； （2）如果各分母的系数都是整数时，取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； （3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。 6.分式的约分： 和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。 约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。 （1）约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分； （2）找公因式的方法： ① 当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式； ②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。 B A 0≠C C B C A B A ??=C B C A B A ÷÷=