§3.2.2复数代数形式的乘除运算
一.教学目标:
1.知识与技能:理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则,深刻理解它是乘法运算
2.
3.情感、态度与价值观:复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味,学生不易接受,教学时,我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的,让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。 二.教学重难点:
重点:复数代数形式的乘除法运算。 难点:对复数除法法则的运用。
三.教具准备:多媒体、实物投影仪。 四.教学设计过程:
(一)复习巩固,问题引入
已知z 1 =a +bi (a 、b ∈R ), z 2 ﹦c +di (c 、d ∈R ) 复数和的定义:z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . 复数差的定义:z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . 复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1.
复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)
复数z =a +bi 的共轭复数: z =a -bi
问题:复数乘除法的定义是什么?复数的乘法是否也满足交换律和结合律? (二)讲解新课:
1.复数乘法运算规则:
规定复数的乘法按照以下的法则进行:
设z 1=a +bi ,z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数,那么它们的积(a +bi )(c +di )=(ac -bd )+(bc +ad )i .
其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把i 2换成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
2. 复数乘法运算律:
(1) 复数的乘法运算满足交换律z 1z 2=z 2z 1
(2) 复数的乘法运算满足结合律z 1(z 2z 3)=(z 1z 2)z 3 (3) 复数的乘法运算满足分配律z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3.
例1计算
(1) (1﹢2i)(3-4i) (2)(1-2i)(3+4i)(-2+i) (3)(1+i)2. (4)(2-i)2.
例2动手算一算,你发现了什么?
(1)i, i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i 7 , i 8 (2)(3+4i) (3-4i) ; 结论:互为共轭复数的两个复数相乘后得到的是一个实数
3.复数除法定义:满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y ∈R)叫复数a+bi 除以复数
c+di 的商,记为:(a+bi)÷(c+di)或者di
c bi
a ++
4.复数除法运算规则:
利用(c +di )(c -di )=c 2+d 2.于是将
di
c bi
a ++的分母实数化得:
原式=
22
()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i
c di c di c di c d
++-+?-+-==++-+ 222222
()()ac bd bc ad i ac bd bc ad
i c d c d c d
++-+-=
=++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=
i d
c ad
bc d c bd ac 2
222+-+++. 点评:利用初中我们学习的化简无理分式时,都是采用的分母有理化思想方法,而复数
c +di 与复数c -di ,相当于我们初中学习的23+的对偶式23-,它们之积为1是有理数,而(c +di )·(c -di )=c 2+
d 2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化
例3计算(12)(34i i +÷-
解:(12)(34)i i +÷-1234i
i
+=
- 22(12)(34)386451012
(34)(34)342555
i i i i i i i i ++-++-+=
===-+-++
例4i
43+
解:
i
i i i 4342)1)(41(++++-22
143247(7)(34)
343434i i i i i i i +-++++-===+++ 21432825251.2525
i i i
i ++--=
==-
巩固练习:
1.设z =3+i ,则z
1
等于 A.3+i B.3-i C.
10
1103+i D.
i 10
1103+ 2.
ai
b bi
a ai
b bi a +-+-+的值是 A.0 B.i C.-i
D.1
3.已知z 1=2-i ,z 2=1+3i ,则复数5
2
1z z i +的虚部为 A.1
B.-1
C.i
D.-i
4.设i
y i i x -+-=+1231 (x ∈R ,y ∈R ),则x =___________,y =___________.
答案:1.D 2.A 3.A 4.53 , -5
9
课后作业:课本第112页 习题3. 2 A 组4,5,6 B 组1,2 教学反思:
复数的乘法法则是:(a +bi )(c +di )=(ac -bd )+(bc +ad )i . 复数的代数式相乘,可按多项式类似的办法进行,不必去记公式.
复数的除法法则是:
2
222d
c ad
bc d c bd ac di c bi a +-+++=++i (c +di ≠0). 两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式,然后把分子与分母都乘以分
母的共轭复数,再把结果化简 高考题选
1.(2007年北京卷)
2
2
(1)
i =+ i - .
2. (2007年湖北卷)复数z=a+bi,a,b ∈R,且b ≠0,若24z bz -是实数,则有序实数对(a,b )可以是 .(写出一个有序实数对即可)
【答案】:
(2,1).
【分析】:222
24()4()42(2)
z b z a b i b a b i a a b b b a b i -=+-+=--+-是实数,所以2a b =,
取(,)(2,1)a b =.
【高考考点】:本题主要考查复数的基本概念和运算. 【易错点】:复数的运算公式不能记错。 【高学科网备考提示】:复数的基本概念和运算,是高考每年必考的内容,应熟练掌握。 3.(2007年福建卷)复数2
1
(1i)
+等于( D ) A .
12 B .12- C .1i 2 D .1i 2- 4.(2007年广东卷)若复数(1+bi )(2+i)是纯虚数(i 是虚数单位,b 为实数),则b=
(A) -2 (B) -1
2 (C) 12
(D) 2
答案:B ;解析:(1+bi )(2+i)=(2-b )+(2b+1)i ,故2b+1=0,故选B ;
5.(2007年湖南卷)复数2
2i 1+i ??
???
等于( C )
A .4i
B .4i -
C .2i
D .2i -
6.(2007年江西卷)化简
2
24(1)
i
i ++的结果是( C ) A.2i +
B.2i -+
C.2i - D.2i --
7.(2007年全国卷I )设a 是实数,且1i 1i 2
a +++是实数,则a =( B )
A .12
B .1
C .
3
2
D .2 8.(2007年全国卷Ⅱ)设复数z 满足12i
i z
+=,则z =( C ) A .2i -+ B .2i -- C .2i - D .2i +
9.(2007年陕西卷)在复平面内,复数z =
i
+21
对应的点位于(D) (A )第一象限 (B )第二象限 (C )第在象限 (D )第四象限
10.(2007年四川卷)复数3
11i i i
++-的值是( ) (A )0 (B )1 (C )1- (D )i
解析:选A .23331(1)201(1)(1)2i i i i i i i i i i i +++=+=+=-=--+.
本题考查复数的代数运算.
11.(2007年天津卷)i 是虚数单位,3
2i 1i
=-( C ) A.1i + B. 1i -+ C.1i - D.1i --
12.(2007年浙江卷)已知复数11i z =-,121i z z =+,则复数2z = 1 .
13.(2007年上海卷)已知2,ai b i ++是实系数一元二次方程20x px q ++=的两根,则,p q 的值为 (A )
A 、4,5p q =-=
B 、4,5p q ==
C 、4,5p q ==-
D 、4,5p q =-=- 14.(2007年重庆卷)复数
3
22i i +的虚部为__54
____.
15.(2007年安徽卷)若a 为实数,
i
ai 212++=-2I ,则a 等于(B) (A )2
(B )-2
(C )22
(D )-22
16.(2007年山东卷)若cos sin z i θθ=+(i 虚数单位),则21z =-使的值可能是(D )
(A)
6π (B)
4
π (C)
3π (D) 2π
17.(2007年宁夏卷)i 是虚数单位,51034i
i
-+=+ 12i + .(用a bi +的形式表示,a b ∈R ,)
新授课:3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 教学目标 重点:复数代数形式的加法、减法的运算法则. 难点:复数加法、减法的几何意义. 知识点:.掌握复数代数形式的加、减运算法则; .理解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 能力点:培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力. 教育点:通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,培养学生对数学探索和渴求的思想. 在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神. 自主探究点:如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题. 考试点:会计算复数的和与差;能用复数加、减法的几何意义解决简单问题. 易错易混点:复数的加法与减法的综合应用. 拓展点:复数与其他知识的综合. 一、引入新课 复习引入 .虚数单位:它的平方等于,即; .对于复数: 当且仅当时,是实数; 当时,为虚数; 当且时,为纯虚数; 当且仅当时,就是实数. .复数集与其它数集之间的关系:. 一一对应 .复数几何意义: 复数复平面内的向量 我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算. 【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫. 二、探究新知
探究一:复数的加法 .复数的加法法则 我们规定,复数的加法法则如下: 设,是任意两个复数,那么: 提出问题: ()两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗? ()当时,与实数加法法则一致吗? ()它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法? 学生明确: ()仍然是个复数,且是一个确定的复数; ()一致; ()实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项.【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神. .复数加法的运算律 实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗? 对任意的,有 (交换律), (结合律). 【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力. .复数加法的几何意义 复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗? 设分别与复数对应,则有,由平面向量的坐标运算有 . 这说明两个向量的和就是与复数对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示:
高中数学选修1,2《复数代数形式的四则运算》教案 知识与技能:掌握复数的四则运算; 过程与方法:理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律 情感态度与价值观:通过复数的四则运算学习与掌握,进一步理解复数引发学生对数学学习的兴趣,激起学生的探索求知欲望。 教学重难点 熟练运用复数的加减法运算法则。 教学过程 教学设计流程 一、导入新课: 复数的概念及其几何意义; 二、推进新课: 建立复数的概念之后,我们自然而然地要讨论复数系的各种运算问题。 设Z1 =a+bi, Z2 =c+di是任意两个复数,我们规定: 1、复数的加法运算法则:Z1+Z2=(a+从)+(b+d)i 2、复数的加法运算律: 交换律:Z1+Z2=Z2+Z1 结合律:Z1+Z2+Z3=Z1+(Z2+Z3) 3、复数加法的几何意义: 4、复数的减法运算法则: Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i 5、复数减法的几何意义: 三、例题讲解 例1:计算:(7-3i)+(-1-i)-(6+3i)
课后小结 复数的加法与减法的运算及几何意义 课后习题 课本习题3.2 A组1题、2题、3题. 高中数学选修1-2《复数代数形式的四则运算》教案【二】 教学目标: 知识与技能:理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则,深刻理解它是乘法运算的逆运算 过程与方法:理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 情感、态度与价值观:复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味,学生不易接受,教学时,我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的,让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。 教学重点:复数代数形式的除法运算。 教学难点:对复数除法法则的运用。 教学过程: 学生探究过程: 1. 复数的加减法的几何意义是什么? 2. 计算(1) (2) (3) 3. 计算:(1) (2) (类比多项式的乘法引入复数的乘法) 讲解新课: 1.复数代数形式的乘法运算 ①.复数的乘法法则:。 例1.计算(1) (2) (3) (4)
复数代数形式的四则运算(教学设计)(2) §3.2.2复数代数形式的乘除运算 教学目标: 知识与技能目标: 理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则,熟练进行复数的乘法和除法的运算。理解复数乘法的交换律、结合律、分配律;了解共轭复数的定义及性质 过程与方法目标: 理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 情感、态度与价值观目标: 复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味,学生不易接受,教学时,我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的,让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。 教学重点:复数代数形式的除法运算。 教学难点:对复数除法法则的运用。 教学过程: 一、复习回顾,新课引入: 1、复数z1与z2的和的定义:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 2、复数z1与z2的差的定义:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 3、复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 4、复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 二、师生互动、新课讲解: 1.乘法运算规则: 规定复数的乘法按照以下的法则进行: 设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2.乘法运算律: (1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R). ∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i, z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i. 又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1,b1a2+a1b2=b2a1+a2b1. ∴z1z2=z2z1. (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R). ∵(z1z2)z3=[(a1+b1i)(a2+b2i)](a3+b3i)=[(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i](a3+b3i) =[(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3]+[(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3]i =(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i, 同理可证: z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i, ∴(z1z2)z3=z1(z2z3). (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R). ∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+b1i)[(a2+a3)+(b2+b3)i] =[a1(a2+a3)-b1(b2+b3)]+[b1(a2+a3)+a1(b2+b3)]i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i. z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i) =(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i =(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i
复数的代数形式及其运算 例1.计算: i i i i i 2 1 2 1 ) 1( ) 1( 2005 40 40 + + - + + - - + 解:提示:利用i i i i= ± = ±2005 2,2 ) 1( 原式=0 变式训练1: 2 = (A)1 -(B) 1 22 +(C) 1 22 -+(D)1 解:21 2 ===-+故选C; 例2. 若0 1 2= + +z z,求2006 2005 2003 2002z z z z+ + + 解:提示:利用z z z= =4 3,1 原式=2 ) 1(4 3 2002- = + + +z z z z 变式训练2:已知复数z满足z2+1=0,则(z6+i)(z6-i)=▲ . 解:2 例3. 已知4, a a R >∈,问是否存在复数z,使其满足ai z i z z+ = + ?3 2(a∈R),如果存在,求出z的值,如果不存在,说明理由 解:提示:设) , (R y x yi x z∈ + =利用复数相等的概念有 ? ? ? = = + + a x y y x 2 3 2 2 2 3 4 2 2 2> ? ? = - + + ? a y y i a a z a 2 16 2 2 4 | | 2 - ± - + = ? ≤ ? 变式训练3:若 (2) a i i b i -=+,其中i R b a, ,∈是虚数单位,则a+b= __________