七年级上册数学全册单元试卷培优测试卷
一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选(难)
1.
(1)问题发现:如图 1,已知点 F,G 分别在直线 AB,CD 上,且 AB∥CD,若∠BFE=40°,∠CGE=130°,则∠GEF 的度数为________;
(2)拓展探究:∠GEF,∠BFE,∠CGE 之间有怎样的数量关系?写出结论并给出证明;答:∠GEF=▲ .
证明:过点 E 作 EH∥AB,
∴∠FEH=∠BFE(▲),
∵AB∥CD,EH∥AB,(辅助线的作法)
∴EH∥CD(▲),
∴∠HEG=180°-∠CGE(▲),
∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=▲ .
(3)深入探究:如图 2,∠BFE 的平分线 FQ 所在直线与∠CGE 的平分线相交于点 P,试探究∠GPQ 与∠GEF 之间的数量关系,请直接写出你的结论.
【答案】(1)90°
(2)解:∠GEF=∠BFE+180°?∠CGE,
证明:过点 E 作 EH∥AB,
∴∠FEH=∠BFE(两直线平行,内错角相等),
∵AB∥CD,EH∥AB,(辅助线的作法)
∴EH∥CD(平行线的迁移性),
∴∠HEG=180°-∠CGE(两直线平行,同旁内角互补),
∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=∠BFE+180°?∠CGE ,
故答案为:∠BFE+180°?∠CGE;两直线平行,内错角相等;平行线的迁移性;两直线平
行,同旁内角互补;∠BFE+180°?∠CGE;
(3)解:∠GPQ+∠GEF=90°,
理由是:如图2,∵FQ平分∠BFE,GP平分∠CGE,
∴∠BFQ=∠BFE,∠CGP=∠CGE,
在△PMF中,∠GPQ=∠GMF?∠PFM=∠C GP?∠BFQ,
∴∠GPQ+∠GEF=∠CGE? ∠BFE+∠GEF= ×180°=90°.
即∠GPQ+∠GEF=90°.
【解析】【解答】(1)解:如图1,过E作EH∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥EH,
∴∠HEF=∠BFE=40°,∠HEG+∠CGE=180°,
∵∠CGE=130°,
∴∠HEG=50°,
∴∠GEF=∠HEF+∠HEG=40°+50°=90°;
故答案为:90°;
【分析】(1)如图1,过E作EH∥AB,根据平行线的性质可得∠HEF=∠BFE=40 ,∠HEG=50 ,相加可得结论;(2)由①知:∠HEF=∠BFE,∠HEG+∠CGE=180°,则∠HEG=180°?∠CGE,两式相加可得∠GEF=∠BFE+180°?∠CGE;(3)如图2,根据角平
分线的定义得:∠BFQ=∠BFE,∠CGP=∠CGE,由三角形的外角的性质得:∠GPQ=
∠GMF?∠PFM=∠CGP?∠BFQ,计算∠GPQ+∠GEF并结合②的结论可得结果.
2.点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠BOC=65°,将一直角三角板的直角顶点放在点O处.
(1)如图①,将三角板MON的一边ON与射线OB重合时,则∠MOC=________;(2)如图②,将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度,此时OC是∠MOB的角平分线,求旋转角∠BON和∠CON的度数;
(3)将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时,∠NOC=∠AOM,求∠NOB的度数.
【答案】(1)25°
(2)解:∠BOC=65°,OC平分∠MOB
∠MOB=2∠BOC=130°
∠BON=∠MOB-∠MON=130°-90°=40°
∠CON=∠COB-∠BON=65°-40°=25°
(3)解:∠NOC= ∠AOM ∠AOM=4∠NOC ∠BOC=65°
∠AOC=∠AOB-∠BOC=180°-65°=115°
∠MON=90°
∠AOM+∠NOC=∠AOC-∠MON=115°-90°=25°
4∠NOC+∠NOC=25°
∠NOC=5°
∠NOB=∠NOC+∠BOC=70°
【解析】【解答】解:(1)∠MON=90,∠BOC=65°
∠MOC=∠MON-∠BOC=90°-65°=25°
【分析】(1)根据∠MON和∠BOC的度数可以得到∠MON的度数;(2)根据角平分线的性质,由∠BOC=65°,可以求得∠BOM的度数,然后由∠NOM-90°,可得∠BON的度
数,从而得解;(3)由∠BOC=65°,∠NOM=90°,∠NOC= ∠AOM,从而可求得∠NOC的
度数,然后由∠BOC=65°,从而得解.
3.已知:线段AB=30cm.
(1)如图1,点P沿线段AB自A点向B点以2厘米/秒运动,同时点Q沿线段BA自B点向A点以4厘米/秒运动,经过几秒,点P、Q两点能相遇?
(2)如图1,点P沿线段AB自A点向B点以2厘米/秒运动,点P出发3秒后,点Q沿线段BA自B点向A点以4厘米/秒运动,问再经过几秒后点P、Q两点相距6cm?
(3)如图2,AO=4cm,PO=2cm,∠POB=60°,点P绕着点O以60度/秒的速度逆时针旋转一周停止,同时点Q沿直线BA自B点向A点运动,假若P、Q两点能相遇,直接写出点Q运动的速度.
【答案】(1)解:30÷(2+4)=5(秒),
答:经过5秒,点P、Q两点能相遇.
(2)解:设再经过x秒后点P、Q两点相距6cm.
当点P在点Q左边时,2(x+3)+4x+6=30
解得x=3;
当点P在点Q右边时,2(x+3)+4x-6=30
解得x=5,
所以再经过3或5秒后点P、Q两点相距6cm;
(3)解:设点Q运动的速度为每秒xcm.
当P、Q两点在点O左边相遇时,120÷60x=30-2,
解得x=14;
当P、Q两点在点O右边相遇时,240÷60x=30-6,
解得x=6,
所以若P、Q两点能相遇点Q运动的速度为每秒14cm或6cm.
【解析】【分析】(1)根据点P、Q运动路程和等于AB求解;(2)分点P在点Q左右两边两种可能来解答;(3)分情况讨论,P、Q在点O左右两边相遇来解答.
4.如图1,已知∠AOB=140°,∠AOC=30°,OE是∠AOB内部的一条射线,且OF平分∠AOE.
(1)若∠EOB=30°,则∠COF=________;
(2)若∠COF=20°,则∠EOB=________;
(3)若∠COF=n°,则∠EOB=________(用含n的式子表示).
(4)当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时,请把图补充完整;此时,∠COF与∠EOB有怎样的数量关系?请说明理由.
【答案】(1)20°
(2)40°
(3)80°-2n°
(4)如图所示:∠EOB=80°+2∠COF.
证明:设∠COF=n°,则∠AOF=∠AOC-∠COF=30°-n°,
又∵OF平分∠AOE,
∴∠AOE=2∠AOF=60°-2n°.
∴∠EOB=∠AOB-∠AOE=140°-(60°-2n°)=(80+2n)°
即∠EOB=80°+2∠COF.
【解析】【解答】(1)∵∠AOB=140°,∠EOB=30°,
∴∠AOE=∠AOB-∠EOB=140°-30°=110°,
∵OF平分∠AOE,
∴∠AOF= ∠AOE= ×110°=55°,
∴∠COF=∠AOF-∠AOC,
=55°-30°,
=25°;
故答案为:25°;
(2)∵∠AOC=30°,∠COF=20°,
∴∠AOF=∠AOC+∠COF=30°+20°=50°,
∵OF平分∠AOE,
∴∠AOE=2∠AOF=2×50°=100°,
∴∠EOB=∠AOB-∠AOE=140°-100°=40°;
故答案为:40°;
(3)∵∠AOC=30°,∠COF=n°,
∴∠AOF=∠AOC+∠COF=30°+n°,
∵OF平分∠AOE,
∴∠AOE=2∠AOF=2(30°+n°)=60°+2n°,
∴∠EOB=∠AOB-∠AOE=140°-(60°+2n°)=80°-2n°;
故答案为:80°-2n°;
【分析】(1)根据∠AOE=∠AOB-∠EOB先求出∠AOE,再根据角平分线的定义求出∠AOF,最后根据∠COF=∠AOF-∠AOC解答即可;
(2)根据∠AOF=∠AOC+∠COF先求出∠AOF,再根据角平分线的定义求出∠AOE,最后根据∠EOB=∠AOB-∠AOE解答即可;
(3)与(2)的思路相同求解即可;
(4)设∠COF=n°,先表示出∠AOF,再根据角平分线的定义求出∠AOE,最后根据∠EOB=∠AOB-∠AOE解答即可.
5.如图1,平面内一定点A在直线MN的上方,点O为直线MN上一动点,作射线OA、OP、OA′,当点O在直线MN上运动时,始终保持∠MOP=90°、∠AOP=∠A′OP,将射线OA 绕点O顺时针旋转60°得到射线OB
(1)如图1,当点O运动到使点A在射线OP的左侧,若OB平分∠A′OP,求∠AOP的度数.
(2)当点O运动到使点A在射线OP的左侧,∠AOM=3∠A′OB时,求的值.
(3)当点O运动到某一时刻时,∠A′OB=150°,直接写出∠BOP=________度.
【答案】(1)解:由题意可得:∠AOB=60°,∠AOP=∠A′OP,
∵OB平分∠A′OP,
∴∠A′OP=2∠POB,
∴∠AOP=∠A′OP=2∠POB,
∴∠AOB=∠AOP+∠POB=3∠POB=60°,
∴∠POB=20°,
∴∠AOP=2∠POB=40°
(2)解:①当点O运动到使点A在射线OP的左侧,且射线OB在在∠A′OP的内部时,如图1,
设∠A′OB=x,则∠AOM=3∠A′OB=3x,∠AOA′= ,
∵OP⊥MN,
∴∠AON=180°-3,∠AOP=90°-3x,
∴,
∵∠AOP=∠A′OP,
∴∠AOP=∠A′OP=
∴,解得:,
∴;
②当点O运动到使A在射线OP的左侧,但是射线OB在∠A′ON内部时,如图2,
设∠A′OB=x,则∠AOM=3x,∠AON= ,∠AOA′= ,
∵∠AOP=∠A′OP,
∴∠AOP=∠A′OP= ,
∵OP⊥MN,
∴∠AOP=90-∠AOM=90-3x,
∴,解得:,
∴;
(3)解:①如图3,当∠A′OB=150°时,由图可得:∠A′OA=∠A′OB-∠AOB=150°-60°=90°,又∵∠AOP=∠A′OP,∴∠AOP=45°,
∴∠BOP=60°+45°=105°;②如图4,当∠A′OB=150°时,由图可得∠A′OA=360°-150°-60°=150°,又∵∠AOP=∠A′OP,∴∠AOP=75°,∴∠BOP=60°+75°=135°;综上所述:∠BOP的度数为105°或135°.
【解析】【分析】(1)由角平分线的性质和∠ AOP=∠A′OP可得∠POB= ∠AOB,∠AOP=
∠AOB,则∠POA的度数可求解;
(2)由题意可分两种情况:
①
当点O运动到使点A在射线OP的左侧,且射线OB在在∠A′OP的内部时,由角的构成易得∠AOP= -∠AOM= -3∠A′OB,∠AOA′=+∠A′OB,由角平分线的性质可得
∠AOP=∠A′OP,于是可得关于∠A′OB的方程,解方程可求得∠A′OB的度数,则
可求解;
②
当点O运动到使A在射线OP的左侧,但是射线OB在∠A′ON内部时,同理可求解;(3)由题意可分两种情况讨论求解:①当∠A′OB沿顺时针成
150°时,结合已知条件易求解;
②
当∠A′OB沿时针方向成 150°时,结合题意易求解。
6.如图
如图1,点C在线段AB上,图中共有3条线段:AB、AC和BC,若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍,则称点C是线段AB的一个“二倍点”.
(1)一条线段的中点________这条线段的“二倍点”;(填“是”或“不是”)
(2)如图2,若线段AB=20cm,点M从点B的位置开始,以每秒2cm的速度向点A运动,当点M到达点A时停止运动,运动的时间为t秒.
问t为何值时,点M是线段AB的“二倍点”.
(3)同时点N从点A的位置开始,以每秒1cm的速度向点B运动,并与点M同时停止.请直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值.
【答案】(1)是
(2)解:当AM=2BM时,20﹣2t=2×2t,解得:t= ;
当AB=2AM时,20=2×(20﹣2t),解得:t=5;
当BM=2AM时,2t=2×(20﹣2t),解得:t= ;
答:t为或5或时,点M是线段AB的“二倍点”
(3)解:当AN=2MN时,t=2[t﹣(20﹣2t)],解得:t=8;
当AM=2NM时,20﹣2t=2[t﹣(20﹣2t)],解得:t=7.5;
当MN=2AM时,t﹣(20﹣2t)=2(20﹣2t),解得:t= ;
答:t为7.5或8或时,点M是线段AN的“二倍点”.
【解析】【解答】解:(1)因为线段的中点把该线段分成相等的两部分,
该线段等于2倍的中点一侧的线段长.
所以一条线段的中点是这条线段的“二倍点”
故答案为:是
【分析】(1)由中点可知,这条线段等于中点分出的线段的2倍,进而得出结论;(2)分三种情况:当AM=2BM时,当AB=2AM时,当BM=2AM时,分别列出方程解答即可;
(3)分三种情况:当AN=2MN时,当AM=2NM时,当MN=2AM时,分别列出方程解
7.如图,直线AB、CD相交于点O,已知,OE把分成两个角,且::3
(1)求的度数;
(2)过点O作射线,求的度数.
【答案】(1)解:,
,
::3,
;
(2)解:,
,
,
OF在的内部时,
,
,
,
OF在的内部时,
,
,
综上所述或
【解析】【分析】(1)根据对顶角相等得出,然后根据::3 即可算出∠BOE的度数;
(2)根据角的和差,由算出∠DOE的度数,根据垂直的定义得出∠EOF=90°;当OF在的内部时,根据,算出答案;OF在的内部时,根据,算出但,综上所述即可得出答案。
8.定义:从一个角的顶点出发,把这个角分成1:2的两个角的射线,叫做这个角的三分线,显然,一个角的三分线有两条.例如:如图1所示,若∠BOC=2∠AOC,则OC是∠AOB的一条三分线.
(1)如图1所示,OC是∠AOB的一条三分线,且∠BOC>∠AOC,若∠AOB=60°,求∠AOC 的度数:
(2)已知∠AOB=90°,如图2所示,若OC,OD是∠AOB的两条三分线.
①求∠COD的度数;
②现以点O为中心,将∠COD顺时针旋转n度得到∠C’DD’,当OA恰好是∠C’OD’的三分线时,求n的值.
【答案】(1)解:如图1,
∵ OC是∠AOB的一条三分线,且∠BOC>∠AOC,
∴∠AOC= ∠AOB,
又∵∠AOB=60°,
∴∠AOC=20°
(2)解:① 如图2,
∵∠AOB=90°,OC,OD是∠AOB的两条三分线,
∴∠COD = ∠AOB =30°;
② 分两种情况:
当OA是∠C′OD'的三分线,且∠AOD'>∠AOC'时,∠AOC'=10°,
∴∠DOC'=30°-10°=20°,
∴∠DOD'=20°+30°=50°;
当OA是∠C'OD'的三分线,且∠AOD'<∠AOC'时,
∠AOC'=20°,
∴∠DOC'=30°-20°=10°,
∴∠DOD'=10°+30°=40°;
综上所述,n=40°或50°
【解析】【分析】(1)根据题中给出的角的三分线的定义结合已知条件可得∠AOC=∠AOB ,计算即可得出答案.
(2)①根据题中给出的角的三分线的定义结合已知条件∠COD =∠AOB,计算即可得出答案;
②根据题意分情况讨论:当OA是∠C′OD'的三分线,且∠AOD'>∠AOC'时;当OA 是∠C'OD'的三分线,且∠AOD'<∠AOC'时;分别结合角的三分线的定义计算即可得出答案.
9.问题情境:如图1,AB∥CD,∠A=30°,∠C=40°,求∠AEC的度数.
小明的思路是:
(1)初步尝试:按小明的思路,求得∠AEC的度数;
(2)问题迁移:如图2,AB∥CD,点E、F为AB、CD内部两点,问∠A、∠E、∠F和∠D 之间有何数量关系?请说明理由;
(3)应用拓展:如图3,AB∥CD,点E、F为AB、CD内部两点,如果∠E+∠EFG=160°,请直接写出∠B与∠D之问的数量关系.
【答案】(1)解:如图,过E作EM∥AB,
∵AB∥CD,∴AB∥ME∥CD,
∴∠A =∠AEM,∠C=∠CEM,
∴∠AEC=∠A+∠C=70°;
(2)解:∠A+∠EFD =∠AEF+∠D
理由如下:过点E作EM∥AB, 过点F作FN∥AB
∵AB∥CD,∴AB∥ME∥FN∥CD,
∴∠A =∠AEM,∠MEF=∠EFN,∠D=∠DFN,
∴∠A+∠EFD =∠AEF+∠D;
(3)∠B+∠D=160°
【解析】【解答】解:(3)过点E作EH∥AB,过点F作FM∥AB ,
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥FM∥EH,
∴∠B=∠BEH,∠EFM=∠HEF,∠MFD+∠D=180°,
∴∠B+∠EFM+∠MFD+∠D=180°+∠BEH+∠HEF,
∴∠B+∠D+∠EFD=180°+∠BEF,
∴∠B+∠D=180°+∠BEF-∠EFD。
∵∠BEF+∠EFG=160°,
∴∠BEF+180°-∠EFD=160°,
∴∠BEF-∠EFD=-20°,
∴∠B+∠D=180°-20°=160°。
【分析】(1)添加辅助线,转化基本图形。过E作EM∥AB,利用平行线的性质可证得∠A =∠AEM,∠C=∠CEM,再证明∠AEC=∠A+∠C,继而可解答问题。
(2)添加辅助线,转化两直线平行的基本图形。过点E作EM∥AB, 过点F作FN∥AB ,利用平行线的性质可证AB∥ME∥FN∥CD,再根据两直线平行,内错角相等,可证得∠A =∠AEM,∠MEF=∠EFN,∠D=∠DFN,然后将三式相加,可证得结论。
(3)过点E作EH∥AB,过点F作FM∥AB ,结合已知可证得AB∥CD∥FM∥EH,利用两直线平行,同位角相等,同旁内角互补,可证∠B=∠BEH,∠EFM=∠HEF,∠MFD+∠D=180°,再将三个等式相加,整理可得到∠B+∠D=180°+∠BEF-∠EFD,然后由∠BEF+∠EFG=160°,可推出∠BEF-∠EFD=-20°,整体代入求出∠B+∠D的值。
10.平行线问题的探索
(1)问题一:
已知:如图,AB∥CD,EF⊥AB于点O,FG交CD于点P,当∠1=30°时,求∠EFG的度数。
甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题,如图1:
甲同学辅助线的做法和分析思路如下
辅助线:()
分析思路
①欲求∠EFG的度数,由图可知只需转化为求∠2和∠3的度数;
②由MN∥CD可知,∠2=∠1,又由已知∠1的度数可得∠2的度数;
③由AB∥CD,MN〃CD推出AB∥MN,由此可推出∠3=∠4;
④由已知EF⊥AB,可得∠4=90°,所以可得∠3的度数;
⑤从而可求∠EFG的度数
Ⅰ.请你根据乙同学所画的图形,描述乙同学辅助线的做法
辅助线: ________ ;
Ⅱ.请你根据丙同学所画的图形,且不再添加其他辅助线,求∠EFG的度数________
(2)问题二
如图2,在平面直角坐标系中,点A为x轴负半轴上一点,点B为x轴正半轴上一点,C(0,a),D(b,a),其中a,b满足关系式:|a+3|+(b-a+1)2=0.
①a=________,b=________ ;
②根据已知点的坐标判断AB与CD的位置关系是 ________ 。
【答案】(1)过点F作MN∥CD;如图,过O作OD∥FG,交CD于N
∴∠ONP=∠1=30°
∵AB∥CD,
∴∠BON=∠ONP=30°
∵EF⊥AB,
∴∠EOB=90°
∴∠EON=∠EOB+∠BON=90°+30°=120°
∵OD∥FG
∴∠EFG=∠EON=120°
(2)-3;-4;AB∥CD
【解析】【解答】解:(1)Ⅰ.如图2,过P作PN∥EF,交AB于N,
故答案为:过点F作MN∥CD,①过P作PN∥EF,交AB于N
( 2 )①∵|a+3|+(b-a+1)2=0,
∴a+3=0,b-a+1=0,
解得:a=-3,b=-4,
故答案为:-3,-4
②AB∥CD,理由是
∵C(0,a),D(b,a),
∴CD∥x轴,
∵点A为x轴负半轴上一点,点B为x轴正半轴上,
∴AB∥CD,
故答案为:AB∥CD
【分析】(1)Ⅰ.由图示可知辅助线的作法;
Ⅱ. 过O作OD∥FG,交CD于N,则两直线平行,内错角相等得∠ONP=∠1,AB∥CD,又由两直线平行内错角相等得∠BON=∠ONP,等量代换从而求得∠BON得度数,结合∠EOB=90°,∠EON=∠EOB与∠BON之和,求得∠EON,再由OD∥FG,根据两直线平行同位角相等求得∠EFG;
(2)根据两个非负数之和等于0,则此两个两个非负数分别等于0列式,解出a、b的值;
C点和D点的横坐标不同,纵坐标相同,则CD∥x轴,又因为点A为x轴负半轴上一点,点B为x轴正半轴上一点,则AB在x轴上,因此得出AB平行CD。
11.在△ABC中,∠A=60°,BD,CE是△ABC的两条角平分线,且BD,CE交于点F,如图所示,用等式表示BE,BC,CD这三条线段之间的数量关系,并证明你的结论;
晓东通过观察,实验,提出猜想:BE+CD=BC,他发现先在BC上截取BM,使BM=BE,连接FM,再利用三角形全等的判定和性质证明CM=CD即可.
(1)下面是小东证明该猜想的部分思路,请补充完整;
①在BC上截取BM,使BM=BE,连接FM,则可以证明△BEF与________全等,判定它们全等的依据是________;
②由∠A=60°,BD,CE是△ABC的两条角平分线,可以得出∠EFB=________°;
(2)请直接利用①,②已得到的结论,完成证明猜想BE+CD=BC的过程.
【答案】(1)△BMF;SAS;60
(2)证明:由①知,∠BFE=60°,
∴∠CFD=∠BFE=60°
∵△BEF≌△BMF,
∴∠BFE=∠BFM=60°,
∴∠CFM=∠BFC-∠BFM=120°-60°=60°,
∴∠CFM=∠CFD=60°,
∵CE是∠ACB的平分线,
∴∠FCM=∠FCD,
在△FCM和△FCD中,,
∴△FCM≌△FCD(ASA),
∴CM=CD,
∴BC=CM+BM=CD+BE,
∴BE+CD=BC.
【解析】【解答】解:(1)解:①在BC上取一点M,使BM=BE,连接FM,如图所示:
∵BD、CE是△ABC的两条角平分线,
∴∠FBE=∠FBM= ∠ABC,
在△BEF和△BMF中,,
∴△BEF≌△BMF(SAS),
故答案为:△BMF,SAS;
②∵BD、CE是△ABC的两条角平分线,
∴∠FBC+FCB= (∠ABC+∠ACB),
在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∵∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°,
∴∠BFC=180°-(∠FBC+∠FCB)=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°- ×120°=120°,
∴∠EFB=60°,
故答案为:60;
【分析】(1)①由BD,CE是△ABC的两条角平分线知∠FBE=∠FBC= ∠ABC,结合BE=BM,BF=BF,依据“SAS”即可证得△BEF≌△BMF;②利用三角形内角和求出∠ABC+∠ACB=120°,进而得出∠FBC+∠FCB=60°,得出∠BFC=120°,即可得出结论;(2)利用角平分线得出∠EBF=∠MBF,进而得出△BEF≌△BMF,求出∠BFM,即可判断出∠CFM=∠CFD,即可判断出△FCM≌△FCD,即可得出结论.
12.已知BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,且∠BED =∠ABE +∠EDC.
(1)如图1,求证:AB//CD;
(2)如图2,若∠ABE=3∠ABF,且∠BFD=30°时,试求的值;
(3)如图3,若H是直线CD上一动点(不与D重合),BI平分∠HBD,画出图形,并探究出∠EBI与∠BHD的数量关系.
【答案】(1)证明:∵∠BED =∠ABE +∠EDC,∠EBD+∠BED+∠BDE=180°,∴∠ABD+∠BDC=180°,∴AB∥CD
(2)解:∵BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,∴∠ABE=∠EBD,∠EDC=∠EDB.
∵∠ABD+∠BDC=180°,∴∠BED=∠ABE+∠EDC=90°.
设∠ABF=α,则∠ABE=3α.
如图,
过F作FG∥AB,则有:∠ABF+∠CDF=∠BFD,∴∠CDF=30°-α.
过E作EH∥AB,则有:∠ABE+∠CDE=∠BED,∴∠CDE=90°-3α,∴∠FDE=60°-2α,∴
.
(3)解:分两种情况讨论:
①当H在点D的左边时,如图3.
设∠HBI=∠DBI=x,∠EBH=y,则∠EBD=2x+y,∴∠ABE=∠EBD=2x+y.
∵AB∥CD,∴∠BHD=∠ABH=2x+y+y=2(x+y)=2∠EBI;
②当H在点D右边时,如图4.
设∠HBI=∠DBI=x,∠EBD=y,则∠EBI=x+y,∴∠ABH=2x+2y.
∵AB∥CD,∴∠ABH+∠BHD=180°,∴2x+2y+∠BHD=180°,∴∠BHD+2∠EBI=180°.
综上所述:∠BHD=2∠EBI或∠BHD+2∠EBI=180°
【解析】【分析】(1)由∠BED =∠ABE +∠EDC和三角形内角和定理即可得到∠ABD+∠BDC=180°,再由同旁内角互补,两直线平行即可得到结论;(2)由角平分线定义和∠ABD+∠BDC=180°,得到∠BED=∠ABE+∠EDC=90°.
设∠ABF=α,则∠ABE=3α,过F作FG∥AB,则有∠ABF+∠CDF=∠BFD,得到∠CDF=30°-α.过E作EH∥AB,同理可得:∠CDE=90°-3α,根据角的和差得到∠FDE=60°-2α,即可得到结论;(3)分两种情况讨论:①当H在点D的左边时,②当H在点D右边时.
13.如图1,CE平分∠ACD,AE平分∠BAC,∠EAC+∠ACE=90°.
(1)请判断AB与CD的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,在(1)的结论下,当∠E=90°保持不变,移动直角顶点E,使∠MCE=∠ECD.当直角顶点E点移动时,问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?并说明理由;(3)如图3,在(1)的结论下,P为线段AC上一定点,点Q为直线CD上一动点,当点Q在射线CD上运动时(点C除外),∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系?直接写出结论,其数量关系为________.
【答案】(1)解:AB∥CD;理由如下:
∵CE平分∠ACD,AE平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠EAC,∠ACD=2∠ACE,
∵∠EAC+∠ACE=90°,
∴∠BAC+∠ACD=180°,
∴AB∥CD
(2)解:∠BAE+∠MCD=90°;理由如下:
过E作EF∥AB,如图2所示:
∵AB∥CD,
∴EF∥AB∥CD,
∴∠BAE=∠AEF,∠FEC=∠DCE,
∵∠AEC=90°,
∴∠BAE+∠ECD=90°,
∵∠MCE=∠ECD
∴∠ECD=∠MCD
∴∠BAE+∠MCD=90°