北师大版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何双曲线教学案理
一、知识梳理
１．双曲线的定义
平面内与两个定点F１，F２的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F１F２|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF１|—|MF２||＝２a}，|F１F２|＝２c，其中a，c为常数且a>0，c>0．
（１）当２a<|F１F２|时，P点的轨迹是双曲线．
（２）当２a＝|F１F２|时，P点的轨迹是两条射线．
（３）当２a>|F１F２|时，P点不存在．
２．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程错误!—错误!＝１（a＞0，b
＞0）
错误!—错误!＝１（a＞0，b
＞0）
图形
性质
范围x≥a或x≤—a，y∈R y≤—a或y≥a，x∈R
对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点A１（—a，0），A２（a，0）A１（0，—a），A２（0，a）渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x
离心率e＝错误!，e∈（１，＋∞）
实虚轴
线段A１A２叫做双曲线的实轴，它的长|A１A２|＝２a；线段B
１B２叫做双曲线的虚轴，它的长|B１B２|＝２b；a叫做双曲线
的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的
关系
c２＝a２＋b２（c＞a＞0，c＞b＞0）
３．等轴双曲线及性质
（１）等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x２—y２＝λ（λ≠0）．
（２）等轴双曲线?离心率e＝错误!?两条渐近线y＝±x互相垂直．
常用结论
１．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
２．若P是双曲线右支上一点，F１，F２分别为双曲线的左、右焦点，则|PF１|min＝a＋c，|PF２|min＝c—a.
３．同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于长轴的弦），其长为错误!，异支的弦中最短的为实轴，其长为２a.
４．设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为错误!.
５．P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F１，F２分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF１F２＝b２·错误!，其中θ为∠F１PF２.
二、教材衍化
１．若双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．
解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为错误!±错误!＝0，即bx±ay＝0，
所以２a＝错误!＝b.
又a２＋b２＝c２，所以５a２＝c２.
所以e２＝错误!＝５，所以e＝错误!.
答案：错误!
２．经过点A（３，—１），且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
解析：设双曲线的方程为错误!—错误!＝±１（a＞0），
把点A（３，—１）代入，得a２＝8（舍负），
故所求方程为错误!—错误!＝１．
答案：错误!—错误!＝１
３．以椭圆错误!＋错误!＝１的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．
解析：设要求的双曲线方程为错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0），由椭圆错误!＋错误!＝１，得焦点为（±１，0），顶点为（±２，0）．所以双曲线的顶点为（±１，0），焦点为（±２，0）．所以a＝１，c ＝２，所以b２＝c２—a２＝３，所以双曲线标准方程为x２—错误!＝１．
答案：x２—错误!＝１
一、思考辨析
判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（１）平面内到点F１（0，４），F２（0，—４）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．（）（２）椭圆的离心率e∈（0，１），双曲线的离心率e∈（１，＋∞）．（）
（３）方程错误!—错误!＝１（mn>0）表示焦点在x轴上的双曲线．（）
（４）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于错误!.（）
答案：（１）×（２）√（３）×（４）√
二、易错纠偏
错误!错误!（１）忽视双曲线的定义；
（２）忽视双曲线焦点的位置；
（３）忽视双曲线的渐近线与离心率的关系．
１．平面内到点F１（0，４），F２（0，—４）的距离之差等于6的点的轨迹是________．
解析：由|PF１|—|PF２|＝6＜|F１F２|＝8，得a＝３，又c＝４，则b２＝c２—a２＝7，所以所求点的轨迹是双曲线错误!—错误!＝１的下支．
答案：双曲线错误!—错误!＝１的下支
２．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为错误!，则双曲线的
离心率为________．
解析：若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为错误!—错误!＝１，则渐近线的方程为y＝±错误! x，由题意可得错误!＝tan 错误!＝错误!，b＝错误!a，可得c＝２a，则e＝错误!＝２；若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为错误!—错误!＝１，则渐近线的方程为y＝±错误!x，由题意可得错误!＝tan 错误!＝错误!，a＝错误!b，可得c＝错误!a，则e＝错误!.综上可得e＝２或e＝错误!.
答案：２或错误!
３．若双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（３，—４），则此双曲线的离心率为________．
解析：由条件知y＝—错误!x过点（３，—４），所以错误!＝４，即３b＝４a，所以9b２＝１6a２，所以9c２—9a２＝１6a２，所以２５a２＝9c２，所以e＝错误!.
答案：错误!
双曲线的定义（多维探究）
角度一利用定义求轨迹方程
已知圆C１：（x＋３）２＋y２＝１和圆C２：（x—３）２＋y２＝9，动圆M同时与圆C１及圆C
相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________．
２
【解析】如图所示，设动圆M与圆C１及圆C２分别外切于点A和点B.根据两圆外切的条件，得|MC１|—|AC１|＝|MA|，
|MC２|—|BC２|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，所以
|MC１|—|AC１|＝|MC２|—|BC２|，
即|MC２|—|MC１|＝|BC２|—|AC１|＝２，所以点M到两定点C１、C２的距离的差是常数且小于|C１C
|＝6．
２
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支（点M与C２的距离大，与C１的距离小），其中a＝１，c＝３，则b２＝8．
故点M的轨迹方程为x２—错误!＝１（x≤—１）．
【答案】x２—错误!＝１（x≤—１）
角度二利用定义解决“焦点三角形”问题
已知F１，F２为双曲线C：x２—y２＝２的左，右焦点，点P在C上，|PF１|＝２|PF２|，则cos ∠F１PF２＝________．
【解析】由双曲线的定义有
|PF１|—|PF２|＝|PF２|＝２a＝２错误!，
所以|PF１|＝２|PF２|＝４错误!，
则cos∠F１PF２＝错误!
＝错误!＝错误!.
【答案】错误!
【迁移探究１】（变条件）将本例中的条件“|PF１|＝２|PF２|”改为“∠F１PF２＝60°”，求△F１PF２的面积是多少？
解：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF１|—|PF２|＝２a＝２错误!，在△F１PF２中，由余弦定理，得
cos∠F１PF２＝错误!＝错误!，
所以|PF１|·|PF２|＝8，
＝错误!|PF１|·|PF２|sin 60°＝２错误!.
所以S△F
１PF２
【迁移探究２】（变条件）将本例中的条件“|PF１|＝２|PF２|”改为“错误!·错误!＝0”，求△F１PF２的面积是多少？
解：不妨设点P在双曲线的右支上，则
|PF１|—|PF２|＝２a＝２错误!，由于错误!·错误!＝0，
所以错误!⊥错误!，所以在△F１PF２中，有
|PF１|２＋|PF２|２＝|F１F２|２，
即|PF１|２＋|PF２|２＝１6，所以|PF１|·|PF２|＝４，
＝错误!|PF１|·|PF２|＝２．
所以S△F
１PF２
角度三利用定义求解最值问题
若双曲线错误!—错误!＝１的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A（１，４），则|PF|＋|PA|的最小值是（）
Ａ．8 Ｂ．9
Ｃ．１0 Ｄ．１２
【解析】由题意知，双曲线错误!—错误!＝１的左焦点F的坐标为（—４，0），设双曲线的右焦点为B，则B（４，0），由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝４＋|PB|＋|PA|≥４＋|AB|＝４＋错误!＝４＋５＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．
所以|PF|＋|PA|的最小值为9．
【答案】B
错误!
双曲线定义的应用
（１）判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
（２）在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF１|—|PF２||＝２a，运用平方的方法，建立|PF１|与|PF２|的关系．
[提醒] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
１．（２0２0·河南非凡联盟４月联考）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0）的左、右焦点分别为F１，F２，一条渐近线与直线４x＋３y＝0垂直，点M在C上，且|MF２|＝6，则|MF１|＝（）A．２或１４Ｂ．２
Ｃ．１４Ｄ．２或１0
解析：选Ｃ．由题意知错误!＝错误!，故a＝４，则c＝５．由|MF２|＝6＜a＋c＝9，知点M在C的右支上，由双曲线的定义知|MF１|—|MF２|＝２a＝8，所以|MF１|＝１４．
２．（２0２0·河北廊坊省级示范学校联考）设F１，F２分别为双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F１的直线交双曲线C的左支于A，B两点，且|AF２|＝３，|BF２|＝５，|AB|＝４，则△BF１F２的面积为________．
解析：因为|AF２|＝３，|BF２|＝５，
|AF２|—|AF１|＝２a，|BF２|—|BF１|＝２a，
所以|AF２|＋|BF２|—|AB|＝４a＝３＋５—４＝４，
所以a＝１，所以|BF１|＝３，又|AF２|２＋|AB|２＝|BF２|２，
所以∠F２AB＝90°，所以sin B＝错误!，
所以S△BF
＝错误!×５×３×sin B＝错误!×５×３×错误!＝错误!.
１F２
答案：错误!
双曲线的标准方程（师生共研）
（１）（一题多解）与椭圆错误!＋y２＝１共焦点且过点P（２，１）的双曲线方程是（）Ａ．错误!—y２＝１Ｂ．错误!—y２＝１
Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．x２—错误!＝１
（２）（一题多解）若双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，且经过点（４，错误!），则双曲线的方程为________．
【解析】（１）法一：椭圆错误!＋y２＝１的焦点坐标是（±错误!，0）．设双曲线方程为错误!—错误!＝１（a>0，b>0），所以错误!—错误!＝１，a２＋b２＝３，解得a２＝２，b２＝１，所以所求双曲线方程是错误!—y２＝１．
法二：设所求双曲线方程为错误!＋错误!＝１（１<λ<４），将点P（２，１）的坐标代入可得错误!＋错误!＝１，解得λ＝２（λ＝—２舍去），所以所求双曲线方程为错误!—y２＝１．（２）法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，
所以可设双曲线的方程为x２—４y２＝λ（λ≠0）．
因为双曲线过点（４，错误!），所以λ＝１6—４×（错误!）２＝４，
所以双曲线的标准方程为错误!—y２＝１．
法二：因为渐近线y＝错误!x过点（４，２），而错误!<２，
所以点（４，错误!）在渐近线y＝错误!x的下方，在y＝—错误!x的上方（如图）．
所以双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为错误!—错误!＝１（a>0，b>0）．
由已知条件可得错误!解得错误!
所以双曲线的标准方程为错误!—y２＝１．
【答案】（１）B （２）错误!—y２＝１
错误!
（１）求双曲线标准方程的答题模板
（２）利用待定系数法求双曲线方程的常用方法
１与双曲线错误!—错误!＝１共渐近线的方程可设为错误!—错误!＝λ（λ≠0）；
２若双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，则双曲线的方程可设为错误!—错误!＝λ（λ≠0）；
３若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为错误!＋错误!＝１（mn<0）或mx２＋ny２＝１（mn<0）．
１．（２0２0·安阳模拟）过双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）作其渐近线y＝错误!x的垂线，垂足为M，若S△OMF＝４错误!（O为坐标原点），则双曲线的标准方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１
Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１
解析：选Ｃ．由题意易得错误!解得错误!
所以双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１，故选Ｃ．
２．过双曲线C：错误!—错误!＝１的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C 的右焦点F为圆心、半径为４的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１
Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１
解析：选Ａ．因为渐近线y＝错误!x与直线x＝a交于点A（a，b），c＝４且错误!＝４，解得a２＝４，b２＝１２，因此双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．
３．经过点P（３，２错误!），Q（—6错误!，7）的双曲线的标准方程为________．
解析：设双曲线的方程为mx２＋ny２＝１（mn<0），因为所求双曲线经过点P（３，２错误!），Q（—6错误!，7），所以错误!解得错误!故所求双曲线方程为错误!—错误!＝１．
答案：错误!—错误!＝１
双曲线的几何性质（多维探究）
角度一求双曲线的焦点（距）、实、虚轴长
已知离心率为错误!的双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F１，F２，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF２，O为坐标原点，若S△OMF２＝１6，则双曲线的实轴长是（）
Ａ．３２Ｂ．１6
Ｃ．8４Ｄ．４
【解析】由题意知F２（c，0），不妨令点M在渐近线y＝错误!x上，由题意可知|F２M|＝错误!＝b，所以|OM|＝错误!＝a.由S△OMF
＝１6，可得错误!ab＝１6，即ab＝３２，又a２＋b２＝c２，错误!＝
２
错误!，所以a＝8，b＝４，c＝４错误!，所以双曲线C的实轴长为１6．故选Ｂ．
【答案】B
角度二求双曲线的渐近线方程
（１）（２0２0·福建厦门一模）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，
N两点，若|MN|＝２，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为（）
Ａ．y＝±错误!xＢ．y＝±错误!x
Ｃ．y＝±２xＤ．y＝±错误!x
（２）过双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左焦点F作圆O：x２＋y２＝a２的两条切线，切点为A，B，双曲线的左顶点为C，若∠ACB＝１２0°，则双曲线的渐近线方程为（）Ａ．y＝±错误!xＢ．y＝±错误!x
Ｃ．y＝±错误!xＤ．y＝±错误!x
【解析】（１）设双曲线的另一个焦点为F′，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF′是矩形，所以S△ABF＝S△ABF′，
即bc＝8，
由错误!可得y＝±错误!，
则|MN|＝错误!＝２，即b２＝c，
所以b＝２，c＝４，
所以a＝错误!＝２错误!，
所以C的渐近线方程为y＝±错误!x，
故选Ｂ．
（２）如图所示，连接OA，OB，
设双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的焦距为２c（c>0），则C（—a，0），F（—c，0）．由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，则∠ACO＝∠BCO＝错误!∠ACB＝错误!×１２0°＝60°.
因为|OA|＝|OC|＝a，所以△ACO为等边三角形，所以∠AOC＝60°.
因为FA与圆O相切于点A，所以OA⊥FA，
在Rt△AOF中，∠AFO＝90°—∠AOF＝90°—60°＝３0°，所以|OF|＝２|OA|，即c＝２a，
所以b＝错误!＝错误!＝错误!a，
故双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的渐近线方程为
y＝±错误!x，即y＝±错误!x.
【答案】（１）B （２）A
角度三求双曲线的离心率（或范围）
（２0１9·高考全国卷Ⅱ）设F为双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x２＋y２＝a２交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!
Ｃ．２Ｄ．错误!
【解析】如图，由题意，知以OF为直径的圆的方程为错误!错误!＋y２＝错误!１，将x２＋y２＝a ２记为２式，１—２得x＝错误!，则以OF为直径的圆与圆x２＋y２＝a２的相交弦所在直线的方程为x＝错误!，所以|PQ|＝２错误!.由|PQ|＝|OF|，得２错误!＝c，整理得c４—４a２c２＋４a４＝0，即e４—４e ２＋４＝0，解得e＝错误!，故选Ａ．
【答案】A
错误!
与双曲线几何性质有关问题的解题策略
（１）求双曲线的离心率（或范围）：依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式（或不等式），解方程（或不等式）即可求得．
（２）求双曲线的渐近线方程：依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．
（３）求双曲线方程：依据题设条件，求出a，b的值或依据双曲线的定义，即可求双曲线的方程．（４）求双曲线焦点（焦距）、实虚轴的长：依题设条件及a，b，c之间的关系求解．
１．（２0１9·高考全国卷Ⅲ）双曲线C：错误!—错误!＝１的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（）
Ａ．错误!Ｂ．错误!
Ｃ．２错误!Ｄ．３错误!
解析：选Ａ．不妨设点P在第一象限，根据题意可知c２＝6，所以|OF|＝错误!.
又tan∠POF＝错误!＝错误!，所以等腰三角形POF的高h＝错误!×错误!＝错误!，所以S△PFO＝错误!×错误!×错误!＝错误!.
２．（２0２0·广东汕尾一模）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0），F是双曲线C的右焦点，A是双曲线C的右顶点，过F作x轴的垂线，交双曲线于M，N两点．若tan∠MAN＝—错误!，则双曲线C的离心率为（）
Ａ．３Ｂ．２
Ｃ．错误!Ｄ．错误!
解析：选Ｂ．由题意可知
tan∠MAN＝—错误!＝错误!，
解得tan∠MAF＝３，
可得错误!＝３，可得c２＋２a２—３ac＝0，e２＋２—３e＝0，
因为e＞１，所以解得e＝２．
故选Ｂ．
[基础题
组练]
１．“k<9”是“方程错误!＋错误!＝１表示双曲线”的（）
Ａ．充分不必要条件
Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充要条件
Ｄ．既不充分也不必要条件
解析：选Ａ．因为方程错误!＋错误!＝１表示双曲线，所以（２５—k）（k—9）<0，所以k<9或k>２５，
所以“k<9”是“方程错误!＋错误!＝１表示双曲线”的充分不必要条件，故选Ａ．
２．双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的离心率为错误!，则其渐近线方程为（）
Ａ．y＝±错误!xＢ．y＝±错误!x
Ｃ．y＝±错误!xＤ．y＝±错误!x
解析：选Ａ．法一：由题意知，e＝错误!＝错误!，所以c＝错误!a，所以b＝错误!＝错误!a，所以错误!＝错误!，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x＝±错误!x，故选Ａ．
法二：由e＝错误!＝错误!＝错误!，得错误!＝错误!，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x＝±错误!x，故选Ａ．
３．（２0２0·广东揭阳一模）过双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为（）
Ａ．错误!—１Ｂ．错误!
Ｃ．错误!Ｄ．２
解析：选Ｂ．将x＝±c代入双曲线的方程得y２＝错误!?y＝±错误!，则２c＝错误!，即有ac＝b２＝c２—a２，由e＝错误!，可得e２—e—１＝0，解得e＝错误!（舍负）．故选Ｂ．４．设双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A１，A２，过F作A１A２的垂线与双曲线交于B，C两点．若A１B⊥A２C，则该双曲线的渐近线方程为（）Ａ．y＝±错误!xＢ．y＝±错误!x
Ｃ．y＝±xＤ．y＝±错误!x
解析：选Ｃ．
如图，不妨令B在x轴上方，因为BC过右焦点F（c，0），且垂直于x轴，所以可求得B，C两点的坐标分别为错误!，错误!.又A１，A２的坐标分别为（—a，0），（a，0）．
所以错误!＝错误!，错误!＝错误!.
因为A１B⊥A２C，所以错误!·错误!＝0，
即（c＋a）（c—a）—错误!·错误!＝0，
即c２—a２—错误!＝0，
所以b２—错误!＝0，故错误!＝１，即错误!＝１．
又双曲线的渐近线的斜率为±错误!，
故该双曲线的渐近线的方程为y＝±x.
５．（２0２0·河北衡水三模）过双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的右焦点F（错误!，0）作斜率为k（k＜—１）的直线与双曲线过第一象限的渐近线垂直，且垂足为A，交另一条渐近线于点B，若S△BOF＝错误!（O为坐标原点），则k的值为（）
Ａ．—错误!Ｂ．—２
Ｃ．—错误!Ｄ．—错误!
解析：选Ｂ．由题意得双曲线过第一象限的渐近线方程为y＝—错误!x，过第二象限的渐近线的方程为y＝错误!x，直线FB的方程为y＝k（x—错误!），联立方程得错误!?x＝错误!，所以y＝错误!，所以S△BOF＝错误!|OF|×|y B|＝错误!×错误!×错误!＝错误!错误!.
令错误!错误!＝错误!，得k＝—２或k＝错误!（舍）．故选Ｂ．
6．（２0２0·黄山模拟）过双曲线E：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左焦点（—错误!，0），作圆（x—错误!）２＋y２＝４的切线，切点在双曲线E上，则E的离心率等于（）Ａ．２错误!Ｂ．错误!
Ｃ．错误!Ｄ．错误!
解析：选Ｂ．设圆的圆心为G，双曲线的左焦点为F.由圆的方程（x—错误!）２＋y２＝４，知圆心坐标为G（错误!，0），半径R＝２，则FG＝２错误!.
设切点为P，
则GP⊥FP，PG＝２，PF＝２＋２a，
由|PF|２＋|PG|２＝|FG|２，
即（２＋２a）２＋４＝２0，
即（２＋２a）２＝１6，得２＋２a＝４，a＝１，又c＝错误!，
所以双曲线的离心率e＝错误!＝错误!，故选Ｂ．
7．设F为双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的右焦点，若线段OF的垂直平分线与双曲线的渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为错误!|OF|，则双曲线的离心率为（）Ａ．２错误!Ｂ．错误!
Ｃ．２错误!Ｄ．３
解析：选Ｂ．双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±错误!x，线段OF的垂直平分线为直线x＝错误!，将x＝错误!代入y＝错误!x，则y＝错误!，则交点坐标为错误!，点错误!到直线y＝—错误!x，即bx＋ay＝0的距离d＝错误!＝错误!|OF|＝错误!，得c＝２b＝２错误!，即４a２＝３c２，
所以双曲线的离心率e＝错误!＝错误!，故选Ｂ．
8．已知双曲线C：错误!—y２＝１，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（）
Ａ．错误!Ｂ．３
Ｃ．２错误!Ｄ．４
解析：选Ｂ．因为双曲线错误!—y２＝１的渐近线方程为y＝±错误!x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝错误!x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F（２，0），所以直线MN的方程为y＝—错误!（x—２），
由错误!得错误!所以M错误!，所以|OM|＝错误!＝错误!，所以|MN|＝错误!|OM|＝３，故选Ｂ．9．（２0２0·湛江模拟）设F为双曲线E：错误!—错误!＝１（a，b＞0）的右焦点，过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A，B两点，O为坐标原点，四边形OAFB为菱形，圆x２＋y２＝c２（c２＝a２＋b２）与E在第一象限的交点是P，且|PF|＝错误!—１，则双曲线E的方程是（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１
Ｃ．错误!—y２＝１Ｄ．x２—错误!＝１
解析：选Ｄ．双曲线E：错误!—错误!＝１的渐近线方程为y＝±错误!x，
因为四边形OAFB为菱形，
所以对角线互相垂直平分，所以c＝２a，∠AOF＝60°，
所以错误!＝错误!.
则有错误!
解得P错误!.
因为|PF|＝错误!—１，
所以错误!错误!＋错误!错误!＝（错误!—１）２，解得a＝１，
则b＝错误!，
故双曲线E的方程为x２—错误!＝１．
故选Ｄ．
１0．已知双曲线错误!—错误!＝１（b＞0）的左顶点为A，虚轴长为8，右焦点为F，且⊙F与双曲线的渐近线相切，若过点A作⊙F的两条切线，切点分别为M，N，则|MN|＝（）Ａ．8 Ｂ．４错误!
Ｃ．２错误!Ｄ．４错误!
解析：选D.因为双曲线错误!—错误!＝１（b＞0）的虚轴长为8，
所以２b＝8，解得b＝４，
因为a＝３，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，c２＝a２＋b２＝２５，A（—３，0），所以c＝５，所以F
（５，0），
因为⊙F与双曲线的渐近线相切，
所以⊙F的半径为错误!＝４，
所以|MF|＝４，
因为|AF|＝a＋c＝３＋５＝8，
所以|AM|＝错误!＝４错误!，
因为S四边形AMFN＝２×错误!|AM|·|MF|＝错误!|AF|·|MN|，
所以２×错误!×４错误!×４＝错误!×8|MN|，
解得|MN|＝４错误!，故选Ｄ．
１１．（２0２0·开封模拟）过双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x２＋y２＝a２的切线FM（切点为M），交y轴于点P，若错误!＝２错误!，则双曲线的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!
Ｃ．错误!Ｄ．２
解析：选Ｂ．设P（0，３m），由错误!＝２错误!，可得点M的坐标为错误!，因为OM⊥PF，所以错误!·错误!＝—１，所以m２＝错误!c２，所以M错误!，由|OM|２＋|MF|２＝|OF|２，|OM|＝a，|OF|＝c 得，a２＋错误!错误!＋错误!＝c２，a２＝错误!c２，所以e＝错误!＝错误!，故选Ｂ．１２．过双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B 两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（）Ａ．（１，错误!）
Ｂ．（错误!，错误!）
Ｃ．（错误!，２）
Ｄ．（１，错误!）∪（错误!，＋∞）
解析：选Ｄ．设双曲线：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左焦点为F１（—c，0），
令x＝—c，可得y＝±错误!，可设A错误!，B错误!.
又设D（0，b），可得错误!＝错误!，错误!＝错误!，
错误!＝错误!，错误!＝错误!.
由△ABD为钝角三角形，可得∠DAB为钝角或∠ADB为钝角．
当∠DAB为钝角时，可得错误!·错误!<0，即为0—错误!·错误!<0，化为a>b，即有a２>b２＝c２—a ２.可得c２<２a２，即e＝错误!<错误!.又e>１，可得１ 当∠ADB为钝角时，可得错误!·错误!<0， 即为c２—错误!错误!<0，化为c４—４a２c２＋２a４>0，由e＝错误!， 可得e４—４e２＋２>0．又e>１，可得e>错误!. 综上可得，e的范围为（１，错误!）∪（错误!，＋∞）．故选Ｄ． １３．焦点在x轴上，焦距为１0，且与双曲线错误!—x２＝１有相同渐近线的双曲线的标准方程是________． 解析：设所求双曲线的标准方程为错误!—x２＝—λ（λ>0），即错误!—错误!＝１，则有４λ＋λ＝２５，解得λ＝５，所以所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１． 答案：错误!—错误!＝１ １４．过双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左焦点F１作圆x２＋y２＝a２的切线交双曲线的右支于点P，且切点为T，已知O为坐标原点，M为线段PF１的中点（点M在切点T的右侧），若△OTM 的周长为４a，则双曲线的渐近线方程为________． 解析：连接OT，则OT⊥F１T， 在直角三角形OTF１中，|F１T|＝错误!＝错误!＝b. 设双曲线的右焦点为F２，连接PF２，M为线段F１P的中点，O为坐标原点， 所以OM＝错误!PF２， 所以|MO|—|MT|＝错误!|PF２|—错误! ＝错误!（|PF２|—|PF１|）＋b＝错误!×（—２a）＋b＝b—a. 又|MO|＋|MT|＋|TO|＝４a，即|MO|＋|MT|＝３a， 故|MO|＝错误!，|MT|＝错误!， 由勾股定理可得a２＋错误!错误!＝错误!错误!，即错误!＝错误!， 所以渐近线方程为y＝±错误!x. 答案：y＝±错误!x １５．已知M（x0，y0）是双曲线C：错误!—y２＝１上的一点，F１，F２是双曲线C的两个焦点．若错误!·错误!<0，则y0的取值范围是________． 解析：由题意知a＝错误!，b＝１，c＝错误!， 设F１（—错误!，0），F２（错误!，0）， 则错误!＝（—错误!—x0，—y0），错误!＝（错误!—x0，—y0）． 因为错误!·错误!<0， 所以（—错误!—x0）（错误!—x0）＋y错误!<0， 即x错误!—３＋y错误!<0． 因为点M（x0，y0）在双曲线C上， 所以错误!—y错误!＝１，即x错误!＝２＋２y错误!， 所以２＋２y错误!—３＋y错误!<0，所以—错误! 答案：错误! １6．如图，F１，F２是双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左、右两个焦点，若直线y＝x 与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF１QF２为矩形，则双曲线的离心率为________． 解析：由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y＝x代入双曲线C方程，可得x＝±错误!，所以错误!·错误!＝c，所以２a２b２＝c２（b２—a２），即２（e２—１）＝e４—２e２，所以e４—４e２＋２＝0．因为e>１，所以e２＝２＋错误!，所以e＝错误!. 答案：错误! [综合题组练] １．过双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左焦点F（—c，0）作圆O：x２＋y２＝a２的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误! Ｃ．错误!＋１Ｄ．错误! 解析：选Ａ． 法一：如图所示，不妨设E在x轴上方，F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′， 因为PF是圆O的切线，所以OE⊥PE，又E，O分别为PF，FF′的中点，所以|OE|＝错误!|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝２a，根据双曲线的性质，|PF|—|PF′|＝２a，所以|PF|＝４a，所以|EF|＝２a，在Rt △OEF中，|OE|２＋|EF|２＝|OF|２，即a２＋４a２＝c２，所以e＝错误!，故选Ａ． 法二：连接OE，因为|OF|＝c，|OE|＝a，OE⊥EF，所以|EF|＝b，设F′为双曲线的右焦点，连接PF′，因为O，E分别为线段FF′，FP的中点，所以|PF|＝２b，|PF′|＝２a，所以|PF|—|PF′|＝２a，所以b＝２a，所以e＝错误!＝错误!. ２．（２0２0·汉中模拟）设F１（—c，0），F２（c，0）是双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左，右焦点，点P是C右支上异于顶点的任意一点，PQ是∠F１PF２的平分线，过点F１作PQ的垂线，垂足为Q，O为坐标原点，则|OQ|（） Ａ．为定值a Ｂ．为定值b Ｃ．为定值c Ｄ．不确定，随P点位置变化而变化 解析：选Ａ．延长F１Q，PF２交于点M，则三角形PF１M为等腰三角形，可得Q为F１M的中点，由双曲线的定义可得|PF１|—|PF２|＝|F２M|＝２a，由三角形中位线定理可得|OQ|＝错误!|F２M|＝a，故选Ａ． ３．以椭圆错误!＋错误!＝１的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F１，F２. 高考数学理试题分类汇编----立体几何 一、已给三视图求立体图形的体积/表面积 1、（2016年北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2、（2016年山东高考）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三 视图如右图所示，则该几何体的体积为 （A ）π3 2+31 （B ）π32+ 31 （C ）π62+31 （D ）π62 +1 【答案】C 3、（2016年全国I 高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径. 若 16131 2 1 该几何体的体积是28π 3 ，则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 【答案】A 4、（2016年全国II 高考）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C 5、（2016年全国III 高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该 多面体的表面积为 （A ） （B ） （C ） 90 （ D ）81 【答案】B 6、（2016年四川高考）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是__________． 7、（2016年天津高考）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则 该四棱锥的体积为_______m 3 . 【答案】2 二．求值 8、（2016年浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2 ，体积是 cm 3. 18+54+ 椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2O M A B b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 2019年高考理科数学全国一卷 一、单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。 1．已知集合M={x |-4＜x ＜2}，N={x | -x -6＜0}，则M∩U = A{x |-4＜x ＜3} B{x |-4＜x ＜-2} C{x |-2＜x ＜2} D{x |2＜x ＜3} 2．设复数z 满足|z -i|=1，z 在复平面内对应的点为(x ，y)，则 A B C D 3．已知a =2.0log 2，b =2.02,c =3 .02 .0,则 A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.c ＜a ＜b D.b ＜c ＜a 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是 ??? ? ??≈称之为黄金分割.618.021 -521-5，著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 2 1 -5 。若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是 A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm 5．函数()][ππ，的-cos sin 2 x x x x x f ++= 图像大致为 A B C D 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的６个爻组成，爻分为阳爻“—”和阴爻“- -”，右图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有３个阳爻的概率是 A. 165 B.3211 C.3221 D.16 11 7．已知非零向量，满足 ，且 ，则与的夹角为 A. 6π B.3π C.32π D.6 5π 椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积 为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆 准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于 点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-，即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端 点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2 的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦 点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦 点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和 A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 2015高考数学专题复习：函数零点 函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图像与x 轴交点的横坐标． ()x g x f y -=)(的零点（个数）?函数()x g x f y -=)(的图像与x 轴的交点横坐标（个数） ?方程()()0=-x g x f 即()x g x f =)(的实数根（个数） ?函数)(x f y =与)(x g y =图像的交点横坐标（个数） 1.求下列函数的零点 1.232-+=x x y 2.x y 2log = 3.62 -+=x x y 4.1ln -=x y 5.2 1sin + =x y 2.函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为 3.函数()x f =???>-≤-+) 0(2ln ) 0(322x x x x x 的零点个数为 4.函数() () ???>+-≤-=13.41.44)(2x x x x x x f 的图像和函数()ln g x x =的图像的交点个数是 （ ） .A 1 .B 2 .C 3 .D 4 5.函数5 ()3f x x x =+-的零点所在区间为 ( ) A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[2,3] D ．[3,4] 6.函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为 （ ） A. (1,0)- B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 7.函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为 （ ） A. (2,3) B. (3,4) C. (4,5) D. (5,6) 8.方程2|2|lg x x -=的实数根的个数是 9.函数()lg ()72f x x g x x ==-与图像交点的横坐标所在区间是 （ ） A ．()21， B ．()32， C ．()43， D ．()54， 10.若函数2 ()4f x x x a =--的零点个数为3，则a =______ 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1．设1i 2i 1i z -= ++，则||z = A ．0 B ． 1 2 C ．1 D ．2 2．已知集合{} 2 20A x x x =-->，则A =R e A ．{} 12x x -<< B ．{} 12x x -≤≤ C ．}{}{ |1|2x x x x <->U D ．}{}{ |1|2x x x x ≤-≥U 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r A ．3144 AB AC - u u u r u u u r B ．1344 AB AC -u u u r u u u r C ．3144 AB AC +u u u r u u u r D ．1344 AB AC +u u u r u u u r 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．设抛物线C ：y 2 =4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 9．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ?≤=? >?，， ，， ()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞） 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径 分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则 椭圆与双曲线性质--（重要结论） 清华附中高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是 002 2 1x x y y a b + =. 6. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b + =外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程 是 002 2 1x x y y a b + =. 7. 椭圆 222 2 1x y a b + = (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点 角形的面积为1 2 2 tan 2 F P F S b γ ?=. 8. 椭圆 2 2 22 1x y a b + =（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||M F a ex =+,20||M F a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦 点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆 222 2 1x y a b + =的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22 O M AB b k k a ?=- ， 即0 2 02 y a x b K AB - =。 12. 若000(,)P x y 在椭圆222 2 1x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 13. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是 002 2 1x x y y a b - =. 6. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是002 2 1x x y y a b -=. 7. 双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=， 则双曲线的焦点角形的面积为1 2 2 t 2 F P F S b co γ ?=. 8. 双曲线 2 2 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||M F ex a =+,20||M F ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||M F ex a =-+,20||M F ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别 交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于 点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 02y a x b K K AB OM = ?，即0 2 02 y a x b K AB = 。 12. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b - = - . 13. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002 2 2 2 x x y y x y a b a b - = - . 2019-2020学年度最新人教版高考数学总复习 (各种专题训练)Word版(附参考答案) 一．课标要求： 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。二．命题走向 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体 （对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排 列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 学案37 合情推理与演绎推理 导学目标： 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异． 自主梳理 自我检测 1．(2010·)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x) 等于( ) A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) 2．(2010·质检)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)： ①“若a，b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0?a＝b”； ②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i?a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2?a＝c，b＝d”； ③“若a，b∈R，则a－b>0?a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0?a>b”．其中类比结论正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 3．(2009·)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．4．(2010·)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________________________． 5．(2011·月考)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为___________________________________________． 探究点一归纳推理 椭圆的定义、性质及标准方程 高三数学备课组 刘岩老师 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数 )10(< 高考数学专题之排列组 合综合练习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 1．从中选个不同数字，从中选个不同数字排成一个五位数，则这些五位数中偶数的个数为（） A． B． C． D． 2．五个同学排成一排照相，其中甲、乙两人不排两端，则不同的排法种数为（）A．33 B．36 C．40 D．48 3．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（） A．900种 B．600种 C．300种 D．150种 4．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）. 5．有五名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能站在最左端，而乙必须站在丙的左侧（不一定相邻），则不同的站法种数为__________．(用数字作答） 6．有个座位连成一排，现有人就坐，则恰有个空位相邻的不同坐法是 __________． 7．现有个大人，个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人，则不同的合影方法有__________种．（用数字作答） 8．（2018年浙江卷）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 9．由0，1，2，3，4，5这6个数字共可以组成______.个没有重复数字的四位偶数． 10．将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中. (1)有多少种放法 A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2010·山东)函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )． 解析 在同一坐标系中作出y ＝2x 与y ＝x 2的图象可知，当x ∈(－∞，m )∪(2,4)，y <0，；当x ∈(m,2)∪(4，＋∞)时，y >0，(其中m <0)，故选A. 答案 A 2．(2012·合肥模拟)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于任意的x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 010)＋f (2 011)的值为( )． A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 解析 ∵f (x )是偶函数， ∴f (－2 010)＝f (2 010)． ∵当x ≥0时，f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是周期为2的周期函数， ∴f (－2 010)＋f (2 011)＝f (2 010)＋f (2 011) ＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 22＝0＋1＝1. 答案 C 3．(2012·人大附中月考) 设函数y ＝x 3与y ＝????12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )． A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 解析 (数形结合法)如图所示． 由1 4．(2011·四川)函数y ＝????12x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )． 解析 函数y ＝????12x ＋1的图象如图；作其关于直线y ＝x 的对称图象，可知选A. 答案 A 5．(2010·辽宁)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )． A.10 B ．10 C ．20 D ．100 解析 由已知条件a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，又1a ＋1 b ＝2，则log m 2＋log m 5＝2，即log m 10＝2， 解得m ＝10. 答案 A 二、填空题(每小题4分，共12分) 6．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________． 解析 (数形结合法) 由图象可知0＜2a ＜1，∴0＜a ＜1 2. 答案 ??? ?0，12 7．若3a ＝0.618，a ∈[k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 解析 ∵3－ 1＝13，30＝1，13＜0.618<1，∴k ＝－1. 答案 －1 8．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 2018年高考数学理科试卷（江苏卷） 数学Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．． ． 1．已知集合{}8,2,1,0=A ，{}8,6,1,1-=B ，那么=?B A ． 2．若复数z 满足i z i 21+=?，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ． 5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为 ． 6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ． 7．已知函数()??? ??<<-+=22 2sin ππ ?x x y 的图象关于直线3π=x 对称，则?的值 是 ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 的右焦点()0,c F 到一条 渐近线的距离为 c 2 3 ，则其离心率的值是 ． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4，且在区间]2,2(-上，()??? ? ???≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x x x f π， 则()()15f f 的值为 ． 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ． 11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=122 3 在()+∞,0内有且只有一个零点，则()x f 在[]1,1-上 的最大值与最小值的和为 ． 第2讲椭圆、双曲线、抛物线 考情解读 1.以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大． 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0 热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 例1 若椭圆C ：x 29＋y 2 2＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 2|＝4则∠F 1PF 2等于( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° (2)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点与双曲线x 2－y 2＝－1 2的一个焦点重合，且在抛物线上有一 动点P 到x 轴的距离为m ，P 到直线l ：2x －y －4＝0的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________． 思维启迪 (1)△PF 1F 2中利用余弦定理求∠F 1PF 2；(2)根据抛物线定义得m ＝|PF |－1.再利用数形结合求最值． 答案 (1)C (2)5－1 解析 (1)由题意得a ＝3，c ＝7，所以|PF 1|＝2. 在△F 2PF 1中， 由余弦定理可得cos ∠F 2PF 1＝42＋22－(27)22×4×2＝－12. 又因为cos ∠F 2PF 1∈(0°，180°)，所以∠F 2PF 1＝120°. (2)易知x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0,1)，故p ＝2， 因此抛物线方程为x 2＝4y . 根据抛物线的定义可知m ＝|PF |－1， 设|PH |＝n (H 为点P 到直线l 所作垂线的垂足)， 因此m ＋n ＝|PF |－1＋|PH |. 易知当F ，P ，H 三点共线时m ＋n 最小， 因此其最小值为|FH |－1＝|－1－4| 5 －1＝5－1. 思维升华 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化． (2)注意数形结合，画出合理草图． (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3 2 .双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭 圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) A.x 28＋y 2 2＝1 B.x 212＋y 2 6＝1 C.x 216＋y 2 4 ＝1 D.x 220＋y 2 5 ＝1 2018年11月14日高中数学作业 温馨提示：（每题4分满分100分时间90分钟）姓名________________ 一、单选题 1．某种植基地将编号分别为1，2，3，4，5，6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的 A B C D E F 这六块实验田上进行对比试验，要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯，若种植时要求编号1，3，5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻，且2号品种的马铃薯不能种植在A、F这两块实验田上，则不同的种植方法有 ( ) A． 360种 B． 432种 C． 456种 D． 480种 2．甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆电动车只能载两人，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，则她们坐车不同的搭配方式有（） A．种 B．种 C．种 D．种 3．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（）种 A． 19 B． 26 C． 7 D． 124．有张卡片分别写有数字，从中任取张，可排出不同的四位数个数为（） A． B． C． D． 5．我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（） A． 300种 B． 150种 C． 120种 D． 90种 6．一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有( )种. A． 105 B． 95 C． 85 D． 75 7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（） A．种 B．种 C．种 D．种 8．郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（） A． 168种 B． 156种 C． 172种 D． 180种 9．用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（） A．14400 B．28800 C．38880 D．43200 10．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故 序号123456789101112选项 13141516171819202122232425 高考数学１７题(1)：解三角形 1.正弦定理：______________________ 2.余弦定理：______________________ ______________________ ______________________ 3.三角形面积公式： Ｓ＝____________________________ ４.三角形中基本关系：A+B+C=_____ sin(A+B)=___________ cos(A+B)=___________ tan(A+B)=___________ 注：基本不等式：若________，则______________ 重要不等式：若________，则______________ 高考数学１７题(2)：数列 1.知S n 求a n:( 这个关系式对任意数列均成立) a n= _________________ ２．等差数列的有关概念 (1)定义：___________(n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：_____________， (3)通项公式：a n＝_____________=______________ (4)前n项和公式：S n＝____________＝_______________ (5)等差数列性质:若_____________，则__________________３．等比数列的有关概念 (1)定义：___________(n∈N*，q为常数)． (2)等比中项：_____________， (3)通项公式：a n＝_____________=______________ (4)前n项和公式：S n＝____________＝_______________ (5)等比数列性质:若_____________，则__________________ 高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结 姓名： （一）椭圆 1.椭圆的定义 如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆 即|PF1|+|PF2|=2a 其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C 当a>c时表示 当a=c时表示 当a 标准方程 x,y的范围 顶点焦点对称轴对称中心 长半轴的长短半轴的长焦距 离心率e= 范围e越大椭圆越e越小椭圆越 准线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为椭圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点) 4.椭圆系 （1）共焦点的椭圆系方程为 22 2 1 x y k k c += - (其中k>c2,c为半焦距) （2 ）具有相同离心率的标准椭圆系的方程 22 22 (0) x y a b λλ +=> (二) 双曲线 1.双曲线的定义 如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线 若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支 F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a ①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 ②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 ③2a=0则动点P的轨迹是 (2) 若|P F1|-|PF2|=2a ①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 ②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 ③2a=0则动点P的轨迹是 2.双曲线的标准方程高考数学理试题分类汇编.doc
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