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二次函数的对称轴
二次函数的图像是关于某条直线对称的抛物线，这条直线就叫做对称轴。我们用公式这样表示对称轴，直线x=-b/2a，有图像可知，当二次函数图像上两点的纵坐标相等时，那么这两点必然关于对称轴对称，且对称轴为这两点横坐标之和的一半。形如：点 A(x1，y1)、B(x2，y2)在二次函数的图像上，若y1=y2，那么图像的对称轴为
(x1+x2)/2。抛物线的顶点必然通过对称轴。所以可以根据顶点坐标直接求出对称轴。例如已知二次函数的顶点坐标为（x1，y1），那么二次函数的对称轴为直线x=x1。
在平面直角坐标坐标系中，已知两点坐标便可求其连线的中点坐标，例如：已知点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则两点连线的中点为
C((x1+x2)/2,(Y1+Y2)/2),一般情况，出题者会结合一次函数，中垂线，三角形，二次函数进行综合考查。
例题演练
1、已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）
A．只能是x=﹣1 B．可能是y轴
C．在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧
2、已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0）的图象过点A（0，1）、B（8，2），则h的值可以是（）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
3、如图，已知二次函数y1=﹣x2+x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2=kx+b．
（1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标；
（2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围；
（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．
二次函数的对称轴(学练结合)
二次函数的对称轴 二次函数的图像是关于某条直线对称的抛物线，这条直线就叫做对称轴。我们用公式这样表示对称轴，直线x=-b/2a，有图像可知，当二次函数图像上两点的纵坐标相等时，那么这两点必然关于对称轴对称，且对称轴为这两点横坐标之和的一半。形如：点 A(x1，y1)、B(x2，y2)在二次函数的图像上，若y1=y2，那么图像的对称轴为 (x1+x2)/2。抛物线的顶点必然通过对称轴。所以可以根据顶点坐标直接求出对称轴。例如已知二次函数的顶点坐标为（x1，y1），那么二次函数的对称轴为直线x=x1。 在平面直角坐标坐标系中，已知两点坐标便可求其连线的中点坐标，例如：已知点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则两点连线的中点为 C((x1+x2)/2,(Y1+Y2)/2),一般情况，出题者会结合一次函数，中垂线，三角形，二次函数进行综合考查。
例题演练 1、已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（） A．只能是x=﹣1 B．可能是y轴 C．在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧 2、已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0）的图象过点A（0，1）、B（8，2），则h的值可以是（） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 3、如图，已知二次函数y1=﹣x2+x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2=kx+b． （1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标； （2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围； （3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．
初中数学二次函数题型-对称轴、顶点、最值
1 二次函数题型-对称轴、顶点、最值测试 教学目标: 二次函数的对称轴、顶点、最值 二次函数的对称轴、顶点、最值 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2+k ，则最值为k ；如果解析式为一般式y=ax 2+bx+c 则最值为4ac-b 2 4a 1．抛物线y=2x 2+4x+m 2 －m 经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) A.13 B.10 C.15 D.14 5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴 6．已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14 的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ . 7．抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是 。 8．若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。 9．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n ＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 10．已知二次函数y=x 2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y 的最小值为0. 11．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ ______ 。 12．已知二次函数y=x 2－4x+m －3的最小值为3，则m ＝ 。
二次函数的对称变换
二次函数的对称变换 学习目标：1.掌握二次函数关于x轴、y轴、原点对称的解析式的确定。 2.会研究二次函数关于某条直线，某个点的对称变换。 一、课前练习 1.点（1，-4）关于x轴对称点坐标，关于y轴对称点，关于原点对称。 2.点（x,y）关于x轴对称点坐标，关于y轴对称点，关于原点对称。 二、新课探究 类型一：二次函数关于x轴、y轴、原点的对称变换 问题一：画出y=x2-2x-3的草图方法： 问题二：画出y=x2-2x-3关于x轴对称的图像 方法： 问题三：请确定新抛物线的解析式 方法一：一般式 方法二：顶点式 问题四：观察两个解析式的区别与联系 角度一：一般式 角度二：顶点式
问题五：请用同样的方法研究二次函数y=x2-2x-3关于y轴和原点的对称变换 总结：一般式y=ax2+bx+c (a≠0)关于x轴对称的解析式为： 关于y轴对称的解析式为： 关于原点对称的解析式为： 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0) 关于x轴对称的解析式为： 关于y轴对称的解析式为： 关于原点对称的解析式为： 练习：1.y=2x2-3x关于y轴对称的解析式为, 2.y=-(x-3)2+3关于原点对称的解析式为, 3已知y=-2x2+x+1与y=ax2+bx+c关于x轴对称，则a= b= c= 类型二：二次函数关于某条直线或某个点的对称变换（给个开口向上的图像） 问题一：选取关于某条直线对称 问题二：选取关于某一点对称
总结：研究对称变换的方法 二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ， 对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
二次函数的对称性
(一)、教学内容 1.二次函数得解析式六种形式 ①一般式y＝ax2 +bx+c(a≠0) ②顶点式（a≠０已知顶点) ③交点式(a≠0已知二次函数与X轴得交点） ④y=ax２(ａ≠0）（顶点在原点） ⑤y=ax２＋c(a≠0) (顶点在y轴上) ⑥ｙ=ax2 +ｂx (a≠０) (图象过原点) 2.二次函数图像与性质 对称轴: 顶点坐标: 与y轴交点坐标(0,c) 增减性:当a＞0时，对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,ｙ随x增大而增大 ?当a<０时,对称轴左边，y随x增大而增大;对称轴右边，y随x增大而减小 ☆二次函数得对称性 二次函数就是轴对称图形,有这样一个结论:当横坐标为x1, x2 其对应得纵坐标相等那么对称轴: 与抛物线y=ax2 ＋ｂx+c(a≠0）关于y轴对称得函数解析式:y=ａx２-bｘ+c(a≠0) 与抛物线y=ax2 +ｂx+c(a≠0）关于x轴对称得函数解析式:y=-ax2–bx-c(a≠0） 当a>0时，离对称轴越近函数值越小,离对称轴越远函数值越大； 当a＜０时,离对称轴越远函数值越小,离对称轴越近函数值越大; 【典型例题】 题型 1 求二次函数得对称轴 1、二次函数y＝－ｍx+3得对称轴为直线x=３,则m=_＿_____＿。 2、二次函数得图像上有两点(３，-８)与(－5，-8）,则此拋物线得对称轴就是( ) (A) (Ｂ） (C) (D) 3、y=２ｘ－４得顶点坐标为___ ___＿_，对称轴为___＿__＿___。 4、如图就是二次函数y＝ａx２+bx＋c图象得一部分,图象过点Ａ(－3,0)，对称轴为x=-１.求 它与x轴得另一个交点得坐标( , ) 5、抛物线得部分图象如图所示,若,则x得取值范围就是( ) A、 B、 C、或 D、或 6、如图,抛物线得对称轴就是直线,且经过点(3,0),则得值为 ( ） A、0 B、－1 C、 1 D、２ 题型2 比较二次函数得函数值大小 1、、若二次函数,当x取，(≠)时，函数值相等,则当x取＋时,函数值为 ( ) (A)a＋c （B）a-c （C)-ｃ (D)ｃ 2、若二次函数得图像开口向上,与x轴得交点为(4,0),(-2,0）知,此抛物 线得对称轴为直线x=1,此时时,对应得y 1 与ｙ ２ 得大小关系就是( ) Ａ．y 1 <ｙ 2 Ｂ、 y １ =y ２ Ｃ、 y 1 ＞y ２ Ｄ、不确定 点拨:本题可用两种解法y x O –1 1 3 O –1 3 3 1
1、二次函数的顶点和对称轴
精锐教育学科教师辅导讲义
二、二次函数的对称轴 1、对称轴的意义： （1）对称轴即代表顶点的横坐标，通过对称轴可以知道顶点的横坐标 （2）通过对称轴可以知道a 和b 之间的关系，同（一）中顶点横坐标的作用 （3）对称轴是一条直线，函数图像与这条直线必有一个交点，交点就是顶点。 （4）函数图像关于对称轴对称，意味着在对称轴两侧对称位置上的函数图像上的点函数值相等，横坐标到对称轴的 距离相等。 2、对称轴公式：a b x 2-= 必须牢记，格式要写对 3、注意2 ax y =和c ax y +=2 的对称轴是Y 轴，也就是直线0=x 4、对称轴一般由公式法得到要方便，配方法得到稍微要麻烦些。 练习： 1、若二次函数，当x 取，（≠）时，函数值相等，则当x 取+ 时，函数值为（ ） （A ）a+c （B ）a-c （C ）-c （D ）c 2、抛物线2)1(2++=x a y 的一部分如图所示，该抛物线在y 轴右 侧部分与x 轴交点的坐标是 （A ）（2 1 ，0） （B ）（1，0） （C ）（2，0） （D ）（3，0） 3、已知抛物线2 (1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ，， ，两点，则线段AB 的长度为（ ） Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4 4、抛物线c bx x y ++-=2 的部分图象如图所示，若0>y ，则的取 值范围是（ ） A.14<<-x B. 13<<-x C. 4-
二次函数对称轴经典问题
高中数学二次函数对称轴典型问题练习题 二次函数在闭区间上一定存在最大值和最小值，此类问题与区间和对称轴有关，一般分为三类： ①定区间，定轴； ②定区间，动轴， ③动区间，动轴．要认真分析对称轴与区间的关系，合理地进行分类讨论，特别要注意二次项系数是否为0. 第一类问题 二次函数中的动轴定区间 例一已知函数2 142+-+-=a ax x y 在区间[0，1]上的最大值是2，求实数a 的值。 〖解答〗.3 106,310,2)1(,]1,0[,2,12/;,20,32,2)2 (,20,120;6,2)0(,]1,0[,0,02 ,2,42)2(max max max 22或综上上单调递增函数在即时当故舍去矛盾与或得有即时当得有上单调递减函数在即时当对称轴为-==∴==∴>>≤≤-===≤≤≤≤-===<<=+-+--=a a f y a a a a a f y a a a f y a a a x a a a x y 第二类问题 二次函数中的定轴动区间 例二 函数f (x )＝142-+-x x 在区间[t ，t ＋1](t ∈R)上的最大值记为g (t )． (1)求g (t )的解析式；(2)求g (t )的最大值 (1)对区间[t ，t ＋1](t ∈R)与对称轴x ＝2的位置关系进行讨论： ①当t ＋1<2，即t <1时，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上递增，
此时g (t )＝f (t ＋1)＝－t 2＋2t ＋2； ②当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上先增后减， 此时g (t )＝f (2)＝3； 例三 已知f (x )＝)(2)34(2R a a x x a ∈+--a ∈R)，求f (x )在[0,1]上的最大 值 ()()()()()()2222[1]4122(1)3(12)241(2) 3. t f x t t g t f t t t t t t g t t t t t g t >?-++? ③当时，函数在区间，＋上递减，此时＝＝－＋－，综上，＝利用图象解得的最大值是()()()[]()()()()[]()()max max 4430342.30,140.34430341()43003430,10.12a a f x x f x f x f a a a a x a f x f x f a ????≠≠ <><-????若－＝，则＝，所以＝－＋由于在上是减函数，所以＝＝若－，即，分两种情况讨论：ⅰ若－，即，因为对称轴＝，所以在上是减函数，所以＝【】＝解析()()()()()[]max max 41()4300343112043231221124<<<0.243330,12a a x a a a f x f a a f x f a a f x ><>-<≤≤-????????-?ⅱ若－，即，因为对称轴＝ ，故又分两种情况讨论： ①当，即时，＝＝－；②当，即时，＝＝综上所述，在上的最大值是关
广东省广州市 人教版 九年级上 数学 二次函数一般式化顶点式题目方法及练习题-精选学习文档
二次函数一般式2y ax bx c =++化成()2y a x h k =-+的形式 一．基础知识： 1.（1）完全平方公式：22 2a ab b ±+=()2a ±—— （2）()2 26_____x x x ++=+ （3）()223______x x x -+=- （4）()222____x x x ++=+ （5）()2 24____x x x -+=- 二、基础知识练习 1.类型一：1,a b ==偶数 例1.用配方法将抛物线261y x x =-+-化成顶点式，并写出开口方向、顶点坐标、对称轴。 举一反三：用配方法将抛物线281y x x =-+化成()2 y a x h k =-+的形式，并写出开口方向、顶点坐标、对称轴。 类型二：1,a b ==奇数 例2.求抛物线21y x x =++的顶点坐标。 举一反三：求抛物线232y x x =-+的顶点坐标。 类型三：1a ≠ 例3.求二次函数221210y x x =-+-的最大值 举一反三：求二次函数23123y x x =--的最小值。 例4.求抛物线21232 y x x =- -+的顶点坐标。 举一反三：求抛物线23+12y x x =-+的顶点坐标。 三、过关练习： 1.求抛物线2 43y x x =--的顶点坐标 2.将抛物线22y x x =-化成()2y a x h k =-+的形式为（ ） A.()211y x =-+ B. ()211y x =-- C. ()214y x =++ D.()2 14y x =-- 3.已知抛物线228y x x =+。 （1）化成顶点式为_________ (2)顶点坐标为_________
二次函数顶点对称轴,解析式
《二次函数的图象》教案 一、教学目标 (一)知识目标 1．使学生会用描点法画出二次函数的图象； 2．使学生会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴(对于不升学的学生，只要求会用公式确定抛物线的顶点和对称轴)； 3．使学生进一步理解二次函数与抛物线的有关概念； 4．使学生会用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式． (二)能力目标 1．培养学生分析问题、解决问题的能力； 2．向学生进行配方法和待定系数法的渗透，使学生能初步掌握； (三)情感目标 1．向学生进行事物间是互相联系及互相转化的辩证唯物主义观点教育．2．通过二次函数的进一步研究，让学生认识到二次函数的对称轴、顶点坐标与二次项系数、一次项系数及常数项之间的内在联系的数学美及和谐的数学美． 二、教学方法 教师采用比较法、观察法、归纳总结法 本节重点是求二次函数解析式及将二次函数的解析式配方，确定抛物线的顶点、对称轴等特征，进而画出这条抛物线，在学习中，学生不要死记硬背，要运用数形结合思想，熟练画出抛物线草图，结合图像研究函数的性质以及不同图像之间的相互关系． 三、重点·难点·疑点及解决办法 1．教学重点：用配方法确定抛物线的顶点坐标求对称轴及用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式．因为它们是画出二次函数的图像的基础． 2．教学难点：配方法的推导过程，因为虽然这种方法在前面学习一元二次方程时介绍过，但是在配方的过程中需要考虑加、减的数，对学生有一定的难度． 3．教学疑点：顶点式与一般式如何转化 四、教学媒体 三角板小黑板 五、教学设计思路 1．出示一组练习，导入新课． 2．“如何画的图像?”教师提问，让学生去讨论、发现：要写成的形式，找出对称轴，引入由一般式化成顶点式，推导出顶点坐标公式． 3．学生练习，为了强化巩固． 六、教学步骤 提问：说出下列抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标： (1) (2) (3) (4) (5)(出示幻灯) 通过这些练习题，使学生对以前的知识加以复习巩固，以便这节课的应用．这几个问题可找层次较低的学生回答，由其他同学给予评价． 我们已画过二次函数的图像，画它的图象的第一步是干什么?(列表)列表时我们是怎样取值的呢?(先确定中心值)若我们要画二次函数的图象应怎么办呢? 学生讨论得到：把二次函数转化成的形式再加以研究． 提问：怎样能把二次函数转化成的形式呢?我们先来看几个练习题：(出示幻灯)
配方法求二次函数的对称轴和顶点坐标
配方法求二次函数的对称轴和顶点坐标 提取二次项系数 加上再减去一次项系数一半的平方 例1、试用配方法把二次函数①y =－2x 2+4x －4 ②5632+-=x x y 化为k h x a y +-=2)(的形式并完成下表： 练习；一、填空题： 1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) c bx ax y ++=2??? ? ?++=a c x a b x a 2??? ? ??+??? ??-??? ??++=a c a b a b x a b x a 22222????????-+??? ??+=222442a b ac a b x a .44222a b ac a b x a -+??? ??+=.2:a b x -=它的对称轴是直线.44,22???? ? ?--a b ac a b 它的顶点是
5．已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14 的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ . 6．抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是 。 7．若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。 8．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n ＋(m －n)x 的图象是抛物线， 且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 9．已知二次函数y=x 2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y 的最小值为0. 10．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ ______ 。 11．已知二次函数y=x 2－4x+m －3的最小值为3，则m ＝ 。 二、用配方法求二次函数的对称轴和顶点坐标 1、y=x 2-x-2 2、y=12 1212++-x 3、y=12 1212+--x x 4、y=22++-x x
(完整版)二次函数对称性
（一）、教学内容 1. 二次函数的解析式六种形式 ① 一般式 y=ax 2 +bx+c(a ≠0) ② 顶点式 2 ()y a x h k =-+（a ≠0已知顶点） ③ 交点式 12()()y a x x x x =--（a ≠0已知二次函数与X 轴的交点） ④ y=ax 2 (a ≠0) (顶点在原点) ⑤ y=ax 2+c (a ≠0) (顶点在y 轴上) ⑥ y= ax 2 +bx (a ≠0) (图象过原点) 2. 二次函数图像与性质 对称轴：2b x a =- 顶点坐标：2 4(,)24b ac b a a -- 与y 轴交点坐标（0，c ） 增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大 当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小 ☆ 二次函数的对称性 二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴:12 2 x x x += 与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 y 轴对称的函数解析式：y=ax 2 -bx+c(a ≠0) 与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 x 轴对称的函数解析式：y=-ax 2 –bx-c(a ≠0) 当a>0时，离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大； 当a<0时，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近函数值越大； 【典型例题】 题型 1 求二次函数的对称轴 1、 二次函数y=2x -mx+3的对称轴为直线x=3，则m=________。 2、 二次函数c bx x y ++=2的图像上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ） （A ）1x =- （B ）1x = （C ）2x = （D ）3x = 3、 y=2x 2-4的顶点坐标为___ _____，对称轴为__________。 4、 如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0）， 对称轴为x ＝－1．求它与x 轴的另一个交点的坐标（ ， ） y x O
二次函数顶点坐标公式
函数在数学中占有很大的比例，但是函数的学习却很复杂。其考察的内容有很多方面，开口方向、对称轴及坐标公式都是考察的重点。下面为大家整理了二次函数顶点坐标的相关公式，希望能帮到大家。 一、基本简介 一般地，我们把形如y=ax²+bx+c(其中a，b，c是常数，a0)的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。 主要特点 变量不同于未知数，不能说二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。未知数只是一个数(具体值未知，但是只取一个值)，变量可在一定范围内任意取值。在方程中适用未知数的概念(函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数也会遇到特殊情况)，但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数关系。 二次函数图像与X轴交点的情况 当△=b²-4ac;0时，函数图像与x轴有两个交点。 当△=b²-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。 当△=b²-4ac0时，函数图像与x轴没有交点。 二、二次函数图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。 轴对称 二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。 特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)。 a,b同号，对称轴在y轴左侧. a,b异号，对称轴在y轴右侧. 顶点 二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )即(-b/2a, (4ac-b²/4a).当 h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x- h)²+k。 h=-b/2a，k=(4ac-b²)/4a。 开口方向和大小 二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。 当a;0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则二次函数图像的开口越小。 决定对称轴位置的因素折叠 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a;0,与b同号时(即ab;0)，对称轴在y轴左;因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号 当a;0,与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a;0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号 可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab;0)，对称轴在y轴左;当a 与b异号时(即ab0 )，对称轴在y轴右。 事实上，b有其自身的几何意义：
二次函数顶点对称轴,解析式
《二次函数的图象》教案一、教学目标 ( 一) 知识目标 1 ．使学生会用描点法画出二次函数 y ax2bx c 的图象； 2 ．使学生会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴( 对于不升学的学生，只要求会用公 式确定抛物线的顶点和对称轴) ； 3．使学生进一步理解二次函数与抛物线的有关概念； 4．使学生会用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式． ( 二 ) 能力目标 1．培养学生分析问题、解决问题的能力； 2．向学生进行配方法和待定系数法的渗透，使学生能初步掌握； ( 三 ) 情感目标 1．向学生进行事物间是互相联系及互相转化的辩证唯物主义观点教育． 2．通过二次函数的进一步研究，让学生认识到二次函数的对称轴、顶点坐标与二次 项系数、一次项系数及常数项之间的内在联系的数学美及和谐的数学美． 二、教学方法 教师采用比较法、观察法、归纳总结法 本节重点是求二次函数解析式及将二次函数的解析式配方，确定抛物线的顶点、对称轴等特征，进而画出这条抛物线，在学习中，学生不要死记硬背，要运用数形结合思想，熟练画出抛物线草图，结合图像研究函数的性质以及不同图像之间的相互关系． 三、重点·难点·疑点及解决办法 1．教学重点：用配方法确定抛物线的顶点坐标求对称轴及用待定系数法由已知图像上 三点的坐标求二次函数的解析式．因为它们是画出二次函数y ax 2 bx c 的图像的基础． 2．教学难点：配方法的推导过程，因为虽然这种方法在前面学习一元二次方程时介绍过，但是在配方的过程中需要考虑加、减的数，对学生有一定的难度． 3．教学疑点：顶点式与一般式如何转化 四、教学媒体 三角板小黑板 五、教学设计思路 1．出示一组练习，导入新课． y 1 x26x 21 2 ．“如何画2的图像 ? ”教师提问，让学生去讨论、发现：要写成 y a( x h) 2k 的形式，找出对称轴，引入由一般式化成顶点式，推导出顶点坐标公式． 3．学生练习，为了强化巩 固．六、教学步骤 提问：说出下列抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标： (1)y 1 ( x5)2 2 ; (2)y0.7( x 1.2) 2 2.1; 333 y15(x10) 2 20; y 1 (x 1 )2 3 ; (3)(4)424 (5)y a( x h) 2k. ( 出示幻灯 )
高中数学二次函数对称轴问题
二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[]-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[]-?b a m n 2，时 若-二次函数的顶点式
二次函数的顶点式 一、教学目标： 1、经历把二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c通过配方化成顶点式y＝a(x－h)2＋k的过程，推导出顶点坐标公式，并求其开口方向、对称轴、顶点坐标与最值。 2、在探索过程中，学生经历了知识的产生过程，从而培养勇于探究、积极进取的精神。 二、重难点： 重点：将二次函数一般式通过配方化成顶点式，并求其有关性质。 难点：运用配方法把二次函数一般式化成顶点式。 三、教学过程： （一）承上启下，自然导入 通过提问的方式进行复习，讲完第3、4题后，引导学生回忆二次函数y＝a(x －h)2＋k的性质，再出示： （二）提出问题，启发思考 师：下面，我们思考一个问题：如何把二次函数y＝x2－4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式？ 生：两边加上一次项系数一半的平方。 生：不对，这里只有一边。 生：加上并减去就可以了。 出示： 师：看看，解答过程正确吗？
学生很快发现了：应该是y=(x-2)2+1，这里是完全平方差公式。 师：我们总结一下：二次项系数是1的二次函数应该如何配方？ 生：加上并减去一次项系数一半的平方。 （三）探索——我行 师：如果二次项系数不是1呢？ 出示课件： 学生进入了思考、讨论的状态…… 待学生完成后，出示： 师：我们把它这个结果化简一下，看能否得到y＝3x2－6x＋5？ 学生马上运算，不一会儿就纷纷表示：不能。 师：错在哪里？ 生：没有把二次项系数提取出来，配方时二次项系数要先化为1。 师：对！二次项系数要先化为1，这是用配方法的前提条件。做错的同学请重新做一遍。接着出示： 师：这个解答过程正确吗？我们把结果化简一下，看能否得到y＝3x2－6x＋5？ 学生马上运算，不一会儿就纷纷表示：不能。 师：错在哪里？ 生：运用乘法分配率时，3没有乖以－12。 出示：
最新中考数学试题按知识点分类汇编二次函数和抛物线概念、描点法画二次函数图象、顶点和对称轴优秀名师资料
2008年中考数学试题按知识点分类汇编(二次函数和抛物线概念、描点法画二次函数图象、顶点和对称轴) 知识点:二次函数和抛物线有关概念，描点法画出二次函数的图象，抛物线顶点和对称轴 一、选择题 1.(2008年浙江省衢州市)把抛物线向右平移2个单位得到的抛物线是( ) A、 B、 C、 D、答案:D 2((08浙江温州)抛物线的对称轴是( ) A(直线 B(直线 C(直线 D(直线 答案:A 3.(2008年沈阳市)二次函数的图象的顶点坐标是( ) A( B( C( D( 答案:A 4.(2008年陕西省)已知二次函数(其中)，关于这个二次函数的图象有如下说法:?图象的开口一定向上;?图象的顶点一定在第四象限;?图象与轴的交点至少有一个在轴的右侧(以上说法正确的个数为( ) A(0 B(1 C(2 D(3 答案:C
5.(2008年吉林省长春市)抛物线的顶点坐标是【】 A.(,2，3) B.(2，3) C.(,2，,3) D.(2，,3) 答案:A 6.(2008 湖北荆门)把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平 移2个单位，所得图象的解析式为y=x,3x，5，则 ( ) (A) b=3,c=7( (B) b=6,c=3( (C) b=,9,c=,5( (D) b=,9,c=21( 答案:A 7.(2008 河北)如图，正方形的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分 别在正方形的顶点上，且它们的各边与正方形各边平行或垂直(若小正方形的边长为，且，阴影部分的面积为，则能反映与之间函数关系的大致图象是( ) standards and specifications, serial number a 1 GB3323-2005 steel fusion welded butt joints, welding engineering-Ray lighting and quality rating of 2 GB11345-89 steel welds manual methods of ultrasonic inspection and testing results for grade 3 GB50236-2002 industrial pipe welding engineering code for construction and acceptance of field equipment 4 HGJ222-92 technical specification for welding of aluminium and its alloys 5 low temperature steel welding procedure 6 SH3525-2004 petrochemical JB/ T4708-2000 of welding procedure qualification for steel pressure vessels 7 JB/4709-2000 8 JB4730-2005 pressure vessel welding procedures of steel pressure vessel NDT 9 JB/T4744-2000 steel pressure vessel products mechanical properties test of welded plate II, mechanical equipment installation engineering 1 GB150-98 2 GB50128-2005 vertical cylindrical steel pressure vessel steel welded tank code for construction and acceptance of 3 JB/ T4735-1997 steel welded atmospheric
顶点式法求二次函数解析式1
顶点式法求二次函数解析式1 ①二次函数y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0)用配方法可化成：y=a(x-h)2+k ，顶点是(h,k) 配方: y=ax 2+bx+c=____________=_______________=______________＝（x+a b 2）2 +a b a c 442-,对称轴是x=a b 2，顶点坐标是（a b 2-，a b ac 442-）, h=-a b 2，k=a b a c 442-, 所以，我们把y=a(x-h)2+k 叫做二次函数的顶点式 ②已知二次函数图象的顶点坐标（h ，k ）或者对称轴方程x=h 或者最大值k ，最小值k ，当然还要知道抛物线上 的一个一般点时，通常设函数解析式为y=a(x-h)2+k(a ≠0)，再将那个一般点的坐标带入，求出a 的值，最后写 出函数解析式再化成一般式就行了，有时可能需要两个一般点列方程组求出a 的值或h 或k 的值。 例：已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y 轴交点为（0，－5），求抛物线的解析式 解：设所求的二次函数为 y=a 〔x-（-1）〕2-3=a （x+1）2 -3，由条件得：点( 0,-5 )在抛物线上，a-3=-5, 得a=-2，故所求的抛物线解析式为 y=－2(x ＋1)2-3，即：y=－2x 2-4x －5 例：已知二次函数y=ax2+bx+c 的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6），求此二次函数的解析式 解：∵二次函数的最大值是2∴抛物线的顶点纵坐标为2又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上，∴当y=2时， x=1。 故顶点坐标为（ 1 ， 2），所以可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2，又∵图象经过点（3，-6），∴-6=a (3-1)2+2 ，得a=-2，故所求二次函数的解析式为：y=-2(x-1)2+2，即：y=-2x 2+4x 例：如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB?的宽为20m,如果水位上升3m 时,水面CD 的宽是10m.(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km 的速度开往乙地,当行驶1小时时,?忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m 的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD 处,当水位达到桥拱最高点O 时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,?要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米? 解：因为抛物线的顶点为（0,0），所以可设抛物线解析式为y=a （x-0）2+0，即y=ax 2，桥拱最高点O 到水面 CD 的距离为hm,则D(5,-h),B(10,-h-3). ∴25,100 3.a h a h =-??=--? 解得1,251.a h ?=-???=? 抛物线的解析式为y=-125x 2. (2)水位由CD 处涨到点O 的时间为:1÷0.25=4(小时). 货车按原来速度行驶的路程为:40×1+40×4=200<280, ∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥. 设货车速度提高到xkm/h.当4x+40×1=280时,x=60. ∴要使货车完全通过此桥,货车的速度应超过60km/h. 练一练： ①抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)，求这个二次函数的解析式
二次函数一般式用配方法化成顶点式教学案例
二次函数一般式用配方法化成顶点式教学案例 二次函数一般式用“配方法”化成顶点式教学案例二次函数的图象是研究二次函数的重要工具把握好二次函数图象的特点对称轴、开口方向、顶点坐标对研究二次函数的性质和解决实际问题帮助很大而对于一般式二次函数的图像与性质常利用配方法将函数关系式化为、为常数形式再进行研究。在教学过程中存在如下问题。一、设计方面学生拿到学案后做了复习引入第2题后就束手无策后面的题目不知用什么方法解决了后经老师提示对于一般式的二次函数要用配方法化成顶点式学生才有点头绪学案在复习引入部分可以加以提示讲评。二、典型错误复习引入3、二次函数的图像也是抛物线你能写出它的开口方向、对称轴及顶点坐标吗错解剖析学生把用配方法解一元二次方程和用配方法把二次函数配成顶点式混淆从错解中可知学生对配方法的思想还是很清楚的因此我利用他们对配方法的认识分别讲了下面两种方法供学生参考学生通过对比都能顺利的找到方法进行配方。三、反思过程、剖析教法、发展自己。经过反思我发现我犯了以下几个错误一、备课的时候我自以为按经验办事一定错不了但却没有意识到单纯靠经验即便是多年的教学经验也不能够准确地把握我所面临的教学现象首先学生本身已经发生了极大的变化无论是知识背景数学活动经验还是认知手段都与原来旧版教材时的学生有很大的不同现在的学生是在自主学习探究为主导的环境下成长起来的他们需要的不是简单的死记硬背而是建立在本身知识体系上的理解和掌握其次在新课标的环境下学习数学的意义也在发生变化学生不应该为了升学或考试而学习数学而教师也应该把数学当作是一种与生活息息相关的技能来进行教学尤其是一些重要的数学方法如配方法。若像我现在这样把一个重要的数学方法让学生死记硬背学生以后做配方法这种题目时可能得到满分。但若遇到这种题目的变式时他们将不能融会贯通永远不理解配方法的知识根源。二、在讲课的时候我自以为学生做的不错已经掌握但是却没有想到学生只是在机械的记忆没有在理解的层面上掌握新知识自己的讲解并没有很好的针对学生原有的知识水平。并没有从根本上解决学生存在的问题只是一味的想要他们按照某个固定的程序去解决问题。尽管学生当时作对了却并不真正的理解问题的本质性的东西如完全平方式的概念完全平方公式的构成恒等式的变形等等。由于我没有在学生原有的知识水平和经验的基础上帮助他们进行构建配方思想并引导学生注意新知识中的某些关键点因此使得学生的思维过程无法连续进行新知识的联系不牢固表面上看是掌握了配方其实他们还是没有真正理解配方的内容。反思整个教学环节这恐怕在平时教学中是一个经常出现的问题难怪学生总是觉得数学难学。三、培优扶困方面当学生问问题的时候我只是完成任务似的把他的问题解决并没有去了解他的问题出在哪里没有有针对性的解决学生的问题而且在讲解中我没有发挥他的主观能动性没有给足够的时间让学生进行思考无开展合作交流学习一切都自己包办。看上去好像题目解出来了实际上这是重复课堂上原本不恰当的讲解这不仅不能解决学生的根本问题时间久了还会造成他们对教师的依赖和对学数学的倦怠和反感。总之通过本次二次函数一般式用“配方法”化成顶点式教学反思在以后的教学中一定要分析学生的情况根据学生具体的知识背景结合新课标的目标认真备教法、备学生再发挥自己的人格魅力想方设法的做到使自己上的课学生爱听听得懂肯学喜欢学。那么我相信数学学习不会再成为学生的负担他们终将会在学习中享受在享受中学习.
二次函数顶点式练习题
图6（1） 图6（2） 1.两条抛物线2y x =与2 y x =-在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．开口方向相反 D ．都有最小值 2.在抛物线2 y x =-上，当y ＜0时，x 的取值范围应为（ ）A ．x ＞0 B ．x ＜0 C ．x ≠0 D ．x ≥0 3.二次函数y ＝x 2 的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ） A. y ＝x 2 +3 B. y ＝x 2 －3 C. y ＝（x+3）2 D. y ＝（x －3）2 4.二次函数y ＝－（x －1）2 +3图像的顶点坐标是（ ） A. （－1，3） B. （1，3） C. （－1，－3） D. （1，－3） 5.二次函数2 y ax =的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达式为（ ） A ．y=a 2(2)x -＋3 B ．y=a 2 (2)x -－3 C ．y=a 2(2)x +＋3 D ．y=a 2 (2)x +－3 6.对抛物线y=22(2)x -－3与y=－2 2(2)x -＋4的说法不正确的是（ ） A ．抛物线的形状相同 B ．抛物线的顶点相同 C ．抛物线对称轴相同 D ．抛物线的开口方向相反 7.函数y=a 2 x ＋c 与y=ax ＋c(a ≠0)在同一坐标系内的图像是图中的（ ） 8. 8.图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线 的关系式是（ ）A ．22y x =- B ．2 2y x = C ．212y x =- D ．2 12y x = 9. 若 () m m x m m y -+=22是二次函数， m=______。 10.二次函数y=2x 2 -4的顶点坐标为________，对称轴为__________。 11.将抛物线2)3(6 5 2+-= x y 向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是 . 12.二次函数1)3(22 -+-=x y 由1)1(22 +--=x y 向_____平移_______个单位，再向_____平移_______个单位得到。 13.抛物线21 (4)72 y x = +-的顶点坐标 是 ，对称轴是直线 ，它的开口向 ，在对称轴的左侧，即当x< 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即当x> 时，y 随x 的增大而 ；当x= 时，y 的值最 ，最 值是 。 14.若一抛物线形状与y ＝－5x2＋2相同，顶点坐标是(4，－2)，则其解析式是__________________. 15.抛物线21 (2)43 y x = ++关于x 轴对称的抛物线的解析式为_______ 16.如图所示,在同一坐标系中,作出①2 3x y =② 2 2 1x y = ③2x y =的图象,则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是_______(填序号) 17.若抛物线y ＝x 2 －bx ＋9的顶点在y 轴上， 则b 的值为______ 18.已知一个二次函数的图像过点（0，1），它的顶点 x y o