冉绍尔效应
实验2.1 冉绍尔—汤森德效应
一、引言
1921年德国物理学家冉绍尔（C. Ramsaüer）在研究低能电子的平均自由程时发现：在惰性气体中，当电子能量降到几个电子伏时，气体原子核电子弹性碰撞的散射截面Q（它与平均自由程λ成反比）迅速减小；当电子能量约为1电子伏时，Q出现极小值，而且接近零。如果继续减小电子能量，则Q迅速增大，这说明弹性散射截面与电子能量密切相关。
1922年英国物理学家汤森德（J.S. Townsend）把电子能量进一步降低，用另外的方法研究λ随电子速度变化的情况，亦发现类似的现象。随后，冉绍尔用实验证实了汤森德的结果。后来，把气体原子的弹性散射截面在低能区与碰撞电子能量密切相关的现象称为冉绍尔—汤森德效应。
冉绍尔—汤森德效应在当时无法解释，因为经典的气体分子运动把电子看作质点，把气体原子看作刚性小球，它们之间碰撞的散射截面仅决定于
原子的尺寸，而与电子的运动速度无关。只有德布罗意波
粒二象性假设和量子力学建立后，这种效应才得到圆满的
理论解释。因此，冉绍尔—汤森德效应称为量子力学理论
极好的实验佐证。
图1是Xe，Kr，Ar三种惰性气体的冉绍尔曲线。因
为电子速度与加速电压V的平方根成正比，故横坐标用
V表示，纵坐标为散射截面Q，采用原子单位。由此可
图1 惰性气体的冉绍尔曲线见，结构相近的物质，其冉绍尔曲线的形状相似。
二、实验目的
1. 通过测量氙原子与低能电子的弹性散射几率，考察弹性散射截面与电子能量的关系，了解有关原子势场的信息。
2. 学习研究低能电子与气体弹性散射所采用的实验方法。
三、实验原理
1. 冉绍尔—汤森德效应的理论描述
在量子力学中，碰撞现象也称为散射现象。离子的碰撞过程有弹性碰撞和非弹性碰撞两大类。
在弹性碰撞过程中，粒子A 以波矢k （η
mE 2=k ）沿Z 方向入射到靶粒子B （即散射中心）上，受B 粒子作用偏离原方向而散射，散射程度可用总散射截面Q 表示。
讨论粒子受中心力场弹性散射的情况。取散射中心为坐标原点；设入射粒子与散射中心之间的相互作用势能为U (r )。当r →∞时，U (r )趋于零。则远离散射中心处的波函数Ψ由入射粒子的平面波Ψ1和散射粒子的球面散射波Ψ2组成
()r e f e ΨΨΨikr
ikz
r θ+=+??→?∞→21 这里考虑的是弹性散射，所以散射波的能量没有改变，即其波矢k 的数值不变。θ称为散射角，即粒子被散射后的运动方向与入射方向之间的夹角；f (θ)称为散射振幅。
总散射截面
()?Ω=d 2
θf Q 利用分波法求解满足前式边界条件的薛定谔方程
()ΨE Ψr U m =???
? ??+?-22
2η 可求得散射振幅为
()()()l e i l l e P l k f δθθδsin cos 1210
∑∞
=+= 从而得到总散射截面
()∑∑∞=∞=+==020sin 124l l l l l k Q Q δπ
中心力场中，波函数可表示成不同角动量l 的入射波与出射波的相干叠加，l ＝0，1，2…的分波，分别称为s ，q ，d …分波。势场U (r )的作用仅使入射粒子散射后的每一个分波各自产生相移δl 。δl 可通过解径向方程
()()()()012d d d d 122222=??
????+--+??????r R r l l r U m k r R t r r r l l η 求得，要求满足
()??
? ??+-??→?∞→l kr l l kr kr r R δπ2sin 1 这样，计算散射截面Q 的问题就归结为计算各分波的相移δl 。前式中的
()l l l k
Q δπsin 1242+=
为第l 个分波的散射截面。 在冉绍尔—汤森德效应实验里，U (r )为电子与原子之间的相互用势，可以把惰性气体的势场近似地看成一个三维方势阱
???>≤-=a r a r U r U ,
0,)(0
U 0代表势阱深度，a 表征势阱宽度。对于低能散射，ka <<1， δl 随l 增大而迅速减少，
仅需考虑s 波的贡献， 0220sin 4δπk Q Q =
≈
其分波相移 ka a k k k -???
??''=tan arctan 0δ 其中 η
)(20U E m k +='。可见在原子势特性(U 0
,a )确定的情况下，低能弹性散射截面的大小将随入射电子波波矢，即入射电子能量E 的变化而变化。
当入射电子能量（E ≠0），原子势特性满足
k
ka k a k tan tan ='' 时，δ0=π，Q 0=0；而高l 分波的贡献又非常小，因此散射截面呈现极小值。对图1的几种惰性气体来说，适当选择势阱参数，可使入射电子能量为1eV 左右时，其总散射截面Q 为极小。
随着能量的逐渐增大，高l 分波的贡献不能忽略，各l 分波相移的总和使总散射截面不再出现极小值。
上述三维方势阱模型还是相当粗糙的，只能定性地用来解释冉绍尔曲线。散射截面的更确切的计算要采用Hartree-Fock 自洽场方法。但从以上分析我们可以看到，实验测定散射截面与入射电子能量的关系，可以提供有关原子势场的信息，这是研究基本粒子间相互作用所常用的方法。研究极低能量电子与原子、分子或离子的碰撞过程和反应截面，至今在等离子
体物理、大功率气体激光器等领域仍是十分重要的课题。
2. 散射几率、散射截面和平均自由程之间的关系
当入射粒子A 穿过由B 粒子组成的厚度为d z 的靶时，若其平均自由程为 λ，则其散射几率为
λz
P s d =
另一方面，若靶粒子的体密度为n ，单个靶粒子的散射截面为Q ，入射粒子穿过该靶时的散射几率又可表示为
z nQ P s d =
显然有
nQ 1
=λ （4-11）
即入射粒子的平均自由程 λ与单位体积内靶粒子的总散射截面nQ 互为倒数关系。在几种惰性气体（Ar ，Kr ，Xe ）的冉绍尔—汤森德效应实验中，当电子能量约为1eV 时，散射截面出现极小值，e λ为极大值，入射电子径直透过势肼，犹如不存在原子一样，电子对
原子像是“透明”的，这种现象称为共振贯穿或共振透射。
密度为N (z )的入射粒子，经由B 粒子组成的厚度为d z 的靶散射后，出射粒子密度的减小量为
()()()()z z nQN z N z z N P z N s d d d ==
=-λ
取不定积分，得 λ/)(z nQz ce ce z N --==
设z =0处的入射粒子密度为N 0，则
λ/00)(z nQz e N e N z N --==
于是求得密度N 0的入射粒子穿过厚度为z 的靶时，散射几率为
λ
/0011)(z nQz s e e N z N N P ---=-=-=
n 代表了单位体积内所有靶粒子对于碰撞的总贡献。当靶粒子密度n 一定时，散射截面Q 决定散射几率P s 的因子。实验测得P s 后可得
)1ln(1s P z nQ --=
和
)1ln(s P z
--=λ
那么对于给定温度T 和压强p 的气体，其总散射截面
)1ln(s P
pz kT Q ---
=
其中k 为玻尔兹曼常数。
四、实验仪器
实验仪器由充气闸流管、R T 实验仪器（包括电
源组和微电流计及交流测量两部分）、示波器、液氮保
温瓶等组成。 用ZQI 0.1/1.3型充氙闸流管作为碰撞管，进行低能电子和气体原子弹性碰撞散射截面的测量。图2是充氙闸流管结构示意图，K 为旁热式氧化物阴极，内有灯丝，F ，M 为调制极，调制极与极板P 之间有一块中央开矩形孔的隔板，它与周围的屏蔽金属套相连，称为栅极或屏蔽级S ，调制极与屏蔽极连在一起作加速极用。隔板右面区域是等电势区，通过隔板小孔的电子与氙原子在这一区域进行弹性碰撞，该区内的板极内则收集未被散射的电子。
现将R T 实验仪的电源组作简要说明：
图3 电源组面板示意图 图4 微电流计面板示意图
图2 闸流管结构示意图
（1）电源开关；（2）灯丝电压调节电位器；（3）灯
丝电压输出；（4）加速电压调节电位器；（5）加速电压输出；（6）补偿电压输出；（7）补偿电压输出；（8）灯丝电压的数显表；（9）加速电压的数显表；（10）补偿电压的数显表。
（1）电源开关；（2）I A 测量输入端子；（3）I A 量程选择；（4）数显表，显示I A ；（5）I C 测量输入端子；（6）
I C 量程选择；（7）数显表，显示I C ；（8）K ，S ，P 端
子；（9）Y 1，Y 2，BNC 插座；（10）X ，BNC 插座；（11）
E C 端子；（12）W 1电位器；（13）W 2电位器。
1.灯丝电源E F，提供1.2~5V交流电，连续可调。
2.加速极电源E A有交流、直流两种。示波器观察时用交流，直流测量时用直流。交流和直流电压用同一个电位器调节。
3.直流补偿E C，0~5.0V，连续可调。由于屏蔽极与板极材料表面状况不同，存在电势差，调节E C进行补偿，可使板极区域空间等电势，不致影响散射几率的测量。
电源组面板示意图如图3所示。
微电流计及交流测量部分中，微电流计有2只数显表，用来测量收集极上的电流I A，交流测量用于在示波器上观察I A V A和I C V A曲线。
微电流计及交流测量仪器面板示意图如图4所示。
五、测量原理
测量原理如图5所示。
灯丝电源为E F，调制极M与屏蔽极S连在一起作加速极用，它与阴极之间接有加速电源E A，可以改变和控制到达屏蔽极隔离板孔处电子运动的速度；电源E C用来补偿板极与屏蔽极之间的接触电势差，保证屏蔽极隔离板至板极的空间为等势空间；R A和R C为取样电阻，作测量加速极电流和收集极电流之用。加速电源E A上还有一组交流可调电压输出，供双踪示波器动态观察I A V A和I C V A曲线。
图5 测量原理线路图
从阴极发出的电流I k，一部分达到加速极（
I ），另一部分通过屏蔽极隔离板孔（I O），
A
在等势空间与氙原子进碰撞，其散射部分（I S）到达调制级和屏蔽极，即为加速极所接收，
I S 对应于前式中散射波()r
e f ikr
θ的强度；未被散射的部分，则被板极收集（I C ），I C 对应于前式中散射波e ikz 的强度。各电流间有如下关系：
?????+'=+=+'=S A A
C S O O A k I I I I I I I I I
其中加速极电流由A I '和散射电流I S 两部分组成。
收集极电流I C 的大小与散射几率O
S S I I P =有关， ()(
)S A S O C P I f P I I -'=-=11 式中几何因子
S
A C S A O I I I I I I f -+='= 主要决定于收集极和加速极对阴极的张角之比，亦与阴极附近的空间电荷有关。 将闸流管玻壳浸入液氮内，使氮气液化（液化温度165K ），此时气压约0.1Pa ，I S =0，于是
()代表液氮温度下测量值***A
C I I f = 因而得到
****C
A A C C A S I I I I I I I +-= ()()S C
A C A C C P I I I I I I -++=1*** 整理后得
()
()C A C C A C S I I I I I I P ++-=***1 只要测出对应于某一加速电压V A 下的两组
电流值I A *，I C *和I A ，I C 就得到了对应于该电子能
量的散射几率。
六、实验内容
1. 交流定性观察
（1）按图6连接线路。
图6 交流观察接线图示波器X轴扫描由加速电源的交流输出电压提供，闸流管处于室温。调节E F为某一值，
电位器W1用来调节交变电压V A的幅度，W2用来调节X轴的扫描幅度，示波器上会出现图
7（a）所示图形。其中Ⅰ为I A V A曲线，Ⅱ为I C V A曲线。曲线Ⅱ中凹陷是由散射几率的
变化引起的。
（2）一只手扶住闸流管管座，另一只手旋松支架上的固定螺丝，小心地将闸流管玻壳缓慢
移入装有液氮的保温瓶内，让管顶浸入液氮，切不可使金属管座接触液氮，否则会炸裂。
观察I C V A曲线的变化, 其凹陷消失。
（3）接触电势差的补偿：由于屏蔽极和板极间接触电势差的存在，碰撞空间不是等势空间。
V A很小时，I A和I C不同时出现。（必要时将X轴扫描扩展10倍，）仔细调节示波器Y1和
Y2的放大倍数以及补偿电压E C的值，使曲线Ⅰ和Ⅱ基本上全部重合，如图7（b）所示，此
时可认为接触电势差得到补偿。以后操作保持E C不变。
图7 交流定性观察
2.直流测量
（1）按图8连接线路。并关掉示波器。闸流管仍置于液氮中。选择好灯丝电压，将V A调至
较大负电压，使闸流管完全截止。两微电流计置于最小量程。
（2）测量液氮温度下一组V A，I A*，I C*值，由于实验曲线以V
为横坐标，所以起始时V A的间隔应取得小些。
（3）将闸流管从液氮中取出，待温度平衡后，将V A置1.00V
左右，由于室温下氙原子的导热使阴极温度稍微下降，故应
适当增加灯丝电压V F ，使室温下的I A +I C 等于低温下的I A *+I C *，即保持阴极温度不变。然后取与低温下相同的V A 值，测量一组I A ，I C 值，根据测得的数据，计算可得散射几率P S 和散射截面Q 。
（4）选取三种不同的灯丝电压，分别测量V P S -曲线（选做）。
八、注意事项
1. 处理液氮时要小心。不要装得太满；闸流管只要浸没一部分，不可使金属管座接触液氮，否则，管子容易炸裂。当用液氮进行测量时，先要关掉灯丝电源，直到把管子顶端浸入液氮后，再接通灯丝电源，这样做，管子破裂的机会就少。
2. V A 幅度增大到一定值，电流会出现急剧增加, 这时需注意减少V A ，以防碰撞管电离。 九、数据记录与处理
1. 计算P S （或Q ）的值，将数据列表，作V P S -曲线（或V Q -曲线）；求出散射几率为极小值（或散射截面Q 为极小值）时的入射电子能量值。已知ZQI 0.1/1.3型充氙闸流管屏蔽隔离板孔到板极距离为3.5mm ，20℃时管内氙气压为16Pa 。
2. （选做）作出三种不同灯丝电压下的V P S -曲线，讨论接触电势差、热效应（电子平均初始动能）和空间电荷等因素对测量结果的影响。
十、思考题
1. 已知标准状态下氙原子的有效半径为2×1010m ，按经典气体分子运动论计算其散射截面及电子平均自由程，再将试验所得P s 最小值和最大值对应的散射截面求出来，与经典结果作比较，并讨论之。
答：
2. 对示波器上显示的I A V A 与I C V A 曲线作出定性解释。
答：
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