投资组合的选择.
五、投資組合的選擇
本章前言
針對理性的投資人而言，若要投資人承擔較高的投資風險，相對地，也必須該投資標的可以提供足夠的風險溢價，才有吸引投資人的誘因，本章以這個觀念為出發點，並導入效率前緣、資本市場以及個人效用無異曲線的觀念來更進一步說明該如何進行投資組合的選擇。
學習路徑
(一). 效率前緣與投資組合的選擇：介紹效率前緣與投資組合的關係並導入個人
效用的概念。
(二). 資本市場、無風險資產與投資組合的選擇：介紹引入資本市場(Capital
Market)--資金的借貸市場，與無風險資產(Risk-free Asset)下，投資組合的選擇原理將有哪些不同之處。
(一)、效率前緣與投資組合的選擇
假設投資人只能使用自有資金投資(即無法進行資金借貸的情形)，投資人在特定資金水準之下，「所有」可供投資人選擇的投資組合共有A、B、C…J等十種(稱為「可行投資集合」(Feasible Set))，十個投資組合各有不同的預期報酬率與風險值。此時，以投資組合的總風險和預期報酬率所構成的平面來表示此一可行投資集合，如圖5-1。
在圖5-1裡呈現了可供投資人選擇的投資組合群，然而哪一種才是最佳(Optimal)的投資組合呢？在理性的要求下，投資人應該選擇一個「總風險相同時，相對上可獲得最高的預期報酬率」或「預期報酬一致時，相對上總風險最低」的投資組合。所謂相對，乃是因投資人的投資標的選擇範圍受限於各自的可行投資集合，因此就單一投資人而言，在其集合內最佳的投資對象是「相對於此集合內其他組合」為優者，對其他投資人而言，則未必是最好的。如在總風險為10%時，某甲在其可行集合內可以選擇預期報酬達12%的投資組合，但某乙則能選擇達14%的組合。
若再仔細觀察圖5-1，將發現「尋找最佳投資組合」的道理是很容易理解的。首先是A、G、C、J四個預期報酬率相同的投資組合，從效率(Efficient)的角度來說，為了使投入的資金得到最有利的使用，投資人應理性地選擇風險最小的A 組合。同理，若就B、D、C三個總風險相同的投資組合而言，投資人是不是應選擇其中可獲得最大預期報酬的B組合呢？答案是肯定的，因為投資人也必理性地在風險相同的前提下，選擇預期報酬最高的B組合進行投資。此時可以稱A 與B為效率投資組合(Efficient Portfolio)。
圖5- 1所有可供選擇的投資組合群與效率前緣
資料來源：謝劍平，「財務管理新觀念與本土化(再版)」
當然，在一組可行投資集合中，具有投資效率的投資組合可能不只一個，因為不同的預期報酬率，都會有其風險最低的投資組合，而不同的風險值，也會有其對應、最大預期報酬的投資組合，如前述的A與B即是。這些在不同報酬或風險水準下具有效率的投資組合，由於不是報酬最大就是風險最小，因此如圖5-1所示，將會位於「風險—報酬」平面的左上方，而如AIBF的連線，則稱此為可行投資集合的效率前緣(Efficient Frontier)。另外要注意的是，效率前緣除了指出哪些投資組合是具有效率的，同時也暗示位於效率前緣「右下方」的投資組合都是不值得投資的，我們可稱其為無效率的投資組合(Inefficient Portfolio)。
但效率前緣上的投資組合中哪一個才是效率最好的？原則上，投資人會依自己的「風險偏好」來選擇其投資的對象。換句話說，理性的投資人除了重視風險與報酬間的合理性(即風險較大的投資組合必須提供好的報酬)，也會重視自己承擔風險意願的高低來選擇投資組合。例如較有能力且願意承擔較高風險的投資人，可能會以搭配不同貨幣、投資報酬大的外匯期貨(Foreign Currency Futures)；而情況相反的投資人，或許會選擇一般的公債或國庫券來投資，因為這些投資工具雖然沒有期貨的平均報酬來得高，但其風險卻小得太多了。
事實上投資組合的選擇，與經濟學中關於「消費者選擇」的原理是十分類似的。若以經濟學中的效用無異曲線(Utility Indifference Curve)來表示投資人的偏好(Preference)，則一個理性(迴避風險)投資人的偏好有如圖5-2中「效用無異曲線
群」所示。
圖5- 2具迴避風險偏好之投資人的無異曲線群
資料來源：謝劍平，「財務管理新觀念與本土化(再版)」
效用曲線的課題屬於經濟學的範疇，在此不多作說明，但要加以強調的是「效用」在此的意義。投資人既然具有迴避風險的傾向，因此在相同的報酬水準下，當風險愈大時，理應提供較低水準的效用，即U3的效用水準是較低的。同理可知，U1的效用也必大於U2，所以對一個「理性」的投資人來說，愈往「左上方」的風險報酬無異曲線代表較高的效用水準。
因此，為在投資組合的選擇上獲致最大的效用，一個理性的投資人應選擇圖5-1中的哪一個投資組合呢？將圖5-1與5-2結合起來，則可發現圖5-3中的「投資組合I」，將能滿足投資人效用又符合投資效率的要求的。
圖5- 3選擇投資組合I可以滿足投資效率與效用極大的條件
資料來源：謝劍平，「財務管理新觀念與本土化(再版)」
在圖5-3中，效用無異曲線U1、U2及U3各與效率前緣AIBF有一個交點，然而U2與U3未使得投資人的效用達到最大，因為再繼續提高效用的條件是可能的。投資人可在U1的效用水準下，選擇組合I作投資，這將是在可行投集合中
U則是投資人所無法達到最佳的投資決策。而在左上方以虛線表示的無異曲線'1
U的水準下，並沒有可供投資人選擇的投資機會。
的，因為在'1
由於不同偏好的效用無異曲線群，在形狀與相對位置上也不同(即一組無異曲線表示一種偏好的不同效用水準)，因此不同的投資人若都是「理性」的，效用無異曲線群也不一定會相同，因風險迴避的偏好程度可能不同，如圖5-4所示。
圖5- 4不同風險迴避程度的投資人，會選擇不同的投資組合
資料來源：謝劍平，「財務管理新觀念與本土化(再版)」
在圖5-4中，U甲與U乙分表甲乙兩個投資人在其無異曲線群中，效用最大的無異曲線。在甲乙兩人面對的效率前緣相同的情形下，對於甲投資人來說，「I」或許是最好的組合，然而對於風險迴避偏好較低的乙投資人來說，或許「B」才是最好的投資組合。
至此，我們歸納上的結論可知：
在資金無法借貸的前提下，不同投資人必須依個別的可行投資集合，結合自己的風險偏好，來選擇最適投資組合。
不同的投資人由於風險迴避在程度上的差異，即使面對相同的效率前緣，也不一定會有相同的最佳投資組合。
(二)、 資本市場、無風險資產與投資組合的選擇
效率前緣與效用無異曲線的結合，說明投資組合的選擇原理，然而此是指在投資人「無法進行資金借貸」的情況下所推導出的結論。不過，在本節中讀者將看到在引入資本市場(Capital Market)--資金的借貸市場，與無風險資產(Risk-free Asset)下，投資組合的選擇原理將有哪些不同之處。
資本市場的存在與否，與投資人對投資組合的選擇有密切的關係。基本上每個投資人所擁有的資金數量都不同，對風險的偏好與資金的需求數量也不盡相同，因此在受制於資本數量的情形下，只能達成「有條件」的最佳選擇(如圖5-4中的I 與B 點)；然而若能透過資本市場的運作，將閒置資金以一定的價格(即利率)貸放給資金需求者，而能提高借貸雙方在投資上所獲致的效用。
即將資金的貸放(Lending)想成一種「可供作投資的金融資產」，同時投資這種金融資產可以是無風險的(Risk-free)，有如將多餘的閒錢存入信用基礎堅強的金融機構，並由其輾轉貸放給資金需求者的過程一樣，存款者領取利息，而借款者支付較高的利息。但在本節裡基於說明理論的需要，則須假設資本市場是一個「能以無風險利率(Risk-free Rate of Interest)借貸」的場所。
所謂「無風險利率」，可以想成投資是沒有任何風險(即所獲報酬確定不變)而可獲得之報酬率。若上述的假設成立，則意味著「無風險資產」的存在，此時投資人可透過發行無風險資產或證券來募集所需資金，資金來源不再受限；且多餘的資金也可透過無風險資產的投資得到去處，即風險迴避程度較高的投資人可將部分資金投資於無風險資產，來降低其投資組合的風險。在無風險資產存在時，投資組合的風險將如下式：
投資組合 = X W F W ?+?21
投資組合的預期報酬率 = X f R W R W ?+?21
)
,(2)()()(212221X f x f R R Cov W W R Var W R Var W P Var ???+?+?=
在上式，F 表無風險資產，X 表風險性資產(Risky Asset)，其中X 可為原先在「風險—報酬」平面上任何風險不為零的一個投資組合，而f R 與X R 則分表預期報酬率。1W 與2W 分別為該投資組合中投資在F 與X 的權數。而Var(P)則表示此包含
無風險資產投資組合的風險值。
但若無風險資產F 加入之後，投資組合P 的風險將有何變化？由於F 的風險值為零，且依數學原理「任何變數與常數的共變數為零」(即F 與風險性資產X 的報酬是沒有相關的)，可得：
X p X
X W p Var W W W W W P Var σσσσ?==?=???+?+?=22222122221)( 0
20)( (5-1)
換句話說，此時投資組合的風險大小，將依投資組合中風險性資產的持有比例來決定，因此在資本市場與無風險資產存在時，風險迴避程度較高的投資人可透過在風險資產上的減碼，降低其投資組合的風險。相對地，風險迴避程度較低的投資人，亦可透過資金的借入(Borrowing)來提高其對風險性資產的投資額度，此時風險性資產的權數2W 可能大於1，即持有超過自有資金所能負荷額度的風險性資產，而1W 則會小於0，因為投資人為無風險資產的發行者(為融資者)，必須支付利率為f R 的利息給貸放者。此時的投資組合如圖5-5。
將上述的結論以圖5-5作進一步的說明，至少隱含了三個重要的訊息：
圖5- 5資本市場與無風險資產存在時的投資組合選擇
資料來源：謝劍平，「財務管理新觀念與本土化(再版)」
1. 風險—報酬的線性關係
由於投資組合在數學上是一種線性分配的關係，由f R 與其他投資組合的連線，恰可表示加入無風險資產後可供投資人選擇的新投資組合群。舉實例來說明。設由兩類資產(或投資組合)所組成的投資組合I ，其一為風險性資產X ，預期報酬率為10%，風險值10%；其二為無風險資產F ，報酬率為6%，風險值為0。若X 與F 占有的權重各半，則投資組合的預期報酬率為0.5．10% + 0.5．6% = 8%，而風險值將依風險性資產的權重計算為0.5．10% = 5%。如此的結論若以平面來表示則如圖5-6所示。
圖5-6顯示了「風險—報酬」的線性關係。由於預期報酬率與風險值在此時都是「加權平均」的結果(即使權數改變也是如此)，因而由此兩種資產所組成的投資組合皆會位於X 與F 的連線上。另一方面，更可試著計算出此風險與報酬間的線性函數(Linear Function)：i i S R E 4.0%6)(+=。
上式中的0.4為該線性函數圖形的斜率，由預期報酬率相對於單位風險值的變化率而得。經由這個線性函數，則可以推算出在特定風險水準S 下的投資組合I 之預期報酬率)(i R E 。但除了數學上的解釋，重要的是高風險高報酬之關係的體
現—風險的提高，合理的預期報酬率也跟著增加。另外，這樣的線性函數尚可以將之「一般化」(Generalization)還原成可適用於其他狀況的式子：
i X f X f i R R R R E σσ?-+
=)( (5-2)
圖5- 6加入無風險資產後呈現的「風險—報酬」線性關係
資料來源：謝劍平，「財務管理新觀念與本土化(再版)」
上式中，X R 代表與無風險資產結合的風險性資產X 所提供的預期報酬率，X σ則為其風險值。「X f X R R σ/)(-」表示預期報酬率相對於單位風險值的變化率(即上例斜率0.4的求算方式)，即多承擔一單位的風險所能獲得的預期報酬率，可稱「為單位風險溢酬」；而i σ則為欲求算之投資組合的總風險值。因此投資人若知道自己風險偏好的程度大小，即可利用此式對合理的報酬水準)(i R E 做個估計，以決定投資組合中資產配置的權數。
2. 效率前緣的改善
由以上的推導可知，在無風險資產加入後，投資人可用原效率前緣上的任一個投資組合和無風險資產結合以降低風險，並以線性函數來描繪。然而在「效率」的前提下投資人應會選擇「連線後」與原效率前緣「相切」的M 組合來搭配無風
險資產。由於相較於f R 與N1、N2的結合(與原效率前緣「相交」的兩條虛線)，f R 與M 的結合都提供了較為優越的投資效率。由此可知，原先的效率前緣在無風險資產加入後，將由效率上較優越的「f R - M – B2 →」連線，又稱資本市場線(Capital Market Line ，簡稱CML)所取代。要注意的是，其中「M – B2」的部分，表示投資人將以融資(Financing)方式來進行投資，即對風險性資產的投資比例大於1的情形。
再以前面的實例說明其中的原因，由於資本市場存在，若投資人以融資方式將總投資額度提高到原先的1.5倍(其中50%來自貸款)，並全部投資於風險性資產，則依前面的討論，此時的投資組合應為：
投資組合→1.5X – 0.5F
預期報酬率應為1.5．10% - 0.5．6% = 12%，風險值也提高為：1.5．10% = 15%，並代入前面所求得的線性函數是相符的，表示以融資提高額度後的投資組合，仍可以線性關係式來函蓋。同理，在圖5-5中的「M – B2」連線也會是可供選擇的投資組合群，並且能提供較B1或N2更好的投資效率(固定風險來看)。因此可知，效率前緣在無風險資產存在時，將由原先的弧線「N1 – M –N2」變成效率上更佳的直線「f R - M – B2 →」，投資人可就其風險偏好程度在新的效率前緣上，選擇更好的投資組合。
3. 投資效用的提高
在原先的效率前緣下，投資人A 與B 無法進行借貸（資本市場不存在），因此在各自的風險偏好水準下，只能分別選擇A1與B1，此時的兩人得到的效用水準是較低的，此結論有如圖5-4所示。然而在資本市場與無風險資產存在時，投資人A 由於風險迴避程度較高，在將部分資金分散到無風險資產後，則最終選擇為A2，稱為貸出投資組合(Lending Portfolio)；而投資人B 也可透過融資來加碼，提高投資額度，其最終選擇為B2，稱為借入投資組合(Borrowing Portfolio)。如此一來，結果是兩人透過投資活動所獲得的效用都提高了。
由以上的分析可知，資本市場與無風險資產的存在，不但為投資人提供了更充裕、更有效率的籌碼，同時也提高投資組合選擇上所獲致的滿足程度，這對於整體投資環境的健全與改善是十分有益的。由此結論，在目前國內一片金融自由化
與建設亞太金融中心的各種呼聲高漲之際，似乎唯有從「根」思考國內資本市場的現況與發展是否足以適應金融變革的要求，才是正確的方向。
關鍵字
◆效率投資組合(Efficient Portfolio)
◆效率前緣(Efficient Frontier)
◆效用無異曲線(Utility Indifference Curve)
◆無風險利率(Risk-free Rate of Interest)
◆資本市場線(Capital Market Line，簡稱CML)
◆貸出投資組合(Lending Portfolio)
◆借入投資組合(Borrowing Portfolio)
問題與討論
1、試問效率前緣是如何找出來的，所依尋的基本原理是什麼？
2、試問為何要組成一個效率投資組合，它能帶給投資人什麼樣的保障？
3、何謂市場資本線，它和效率前緣的差別在那裡？
4、假設今天有一個投資組合落在資本市場線上，那它是否為一個有效率的投資
組合？
5、試問「只要是在資本市場線上的投資組合都是效率投資組合」這句話，成立
嗎？
6、如果投資人可以找到效率前緣，是否表示投資一定可以找到最理想的投資組
合？
投资组合资产选择策略
Lecture Note 15 投资组合资产选择策略 －修炼型股票选择策略 根据资本市场有效性理论，如果资本市场达到有效，则整个技术分析和基本分析无效，此时宜采用保守的资产选择策略；如果资本市场无效，则应采取积极的资产选择策略，先采用一定的投资分析方法选择成长型资产，再采用组合策略进行组合管理与控制。 问题是：绝大多数资本市场是无效的，或者没有达到弱式有效，或者没有达到半强式有效，因此采用积极的组合管理策略是十分必要的，以获得更高的投资收益率。 在介绍完投资组合理论和资产定价理论后，现在我们来讨论投资组合管理策略。 一、 引言 本章主要是基于无效市场而言的，即在无效市场条件下股票的选择、资产的配置和市场时机的选择以及组合资产的动态管理策略。本节首先讨论积极的和消极的投资策略，其次讨论修炼型股票选择策略（disiplined stock selection strategy ），分析修炼型股票选择策略确立投资目标的方法，最后讨论投资过程设计和战略实施的方式。 二、 积极的和消极的投资策略 1． 积极战略与消极战略的思路差别 收益率导向 风险导向 积极战略－ return oriented 消极战略-risk-oriented
积极战略措施：当预测市场上升时，将现金转化为股票，或提高投资组合的beta系数；当预测市场下降时，将股票转化为现金，或降低投资组合的beta系数，或者两种技术结合。2．消极战略措施：当无法对市场趋势进行预测时，可以考虑采用消极策略。所谓消极策略，即构建或选择这样一个投资组合，这个投资组合相当分散，每一项资产在组合中所占比重与市场指数中所占比重相同。或购买市场指数或买卖指数基金。从而取得与市场相一致的收益率和风险。 3．积极战略措施：当认为市场存在趋势并且可预测时，可以采用某种方法首先预测市场，然后积极地选择股票，以期得到比市场收益率高的收益率。采用这一战略时，首先，根据对类别资产或行业资产发展前景乐观或悲观的估计，使投资组合中某类别或某行业资产的比重高于（买多）或低于（卖空）其在市场指数中的权重。其次，投资者在单支股票的选择上，仍可采用广泛的积极策略。被认为看涨的股票，其权重要大于其在市场指数中所占的权重；被认为看跌的股票，其权重要小于其在市场指数中的比重。当然作为一个无法预测市场的消极的策略，就是实行充分分散化的投资策略，也就是买卖指数基金。 三、股票选择策略 以上介绍了积极和消极的资产选择的两大战略，有时这两个战略是可以转换的，不过不能混淆，也不能同时实施两个战略。因为每种战略的假定前提是不同的。在每种战略下，还可以采用不同的具体策略。这里我们介绍三个具体的策略。 （1）对股票、类别和市场这三个部分的收益率都完全保持被动，即完全的消极策略；（2）对市场和类别成份保持被动，对股票选择保持主动；即部分积极的策略。 （3）对所有三个成份都采用主动策略。 注意下图中的水平线是整个市场收益率，它是一个业绩基准，在市场收益率直线之上的任何部分都是高于平均收益率的，在市场收益率水平线之下的任何部分均低于平均收益率。方框中的横线表明各战略投资组合的预期收益率。长方形的高表示各战略的预期收益率范围或风险水平。 率（正a 预期市场 收益率 率（负a 完全积极型选择策略
证券投资组合优化组合习题解答
第二章 1、 假设你正考虑从以下四种资产中进行选择： 资产1 市场条件 收益% 概率 好 16 1/4 一般 12 1/2 差 8 1/4 资产2 市场条件 收益 概率 好 4 1/4 一般 6 1/2 差 8 1/4 资产3 市场条件 收益 概率 好 20 1/4 一般 14 1/2 差 8 1/4 资产4 市场条件 收益 概率 好 16 1/3 一般 12 1/3 差 8 1/3 求每种资产的期望收益率和标准差。 解答： 1111 16%*12%*8%*12%424 E =++= 10.028σ= 同理 26%E = 20.014σ= 314%E = 30.042σ= 412%E = 40.033 σ= 2、 下表是3个公司7个月的实际股价和股价数据，单位为元。 证券A 证券B 证券C 时间 价格 股利 价格 股利 价格 股利
1 578 333 1068 2 7598 368 21088 3 3598 0.725 43688 1.35 124 0.40 4 4558 23828 21228 5 2568 386 41358 6 59 0.725 63978 1.35 61418 0.42 7 2608 392 61658 A. 计算每个公司每月的收益率。 B. 计算每个公司的平均收益率。 C. 计算每个公司收益率的标准差。 D. 计算所有可能的两两证券之间的相关系数。 E. 计算下列组合的平均收益率和标准差： 1/2A+1/2B 1/2A+1/2C 1/2B+1/2C 1/3A+1/3B+1/3C B 、 1.2% 2.94%7.93% A B C R R R === C 、 4.295%4.176%7.446% A B C σσσ=== D 、
投资组合管理第二次作业计算有效边界及
第二次作业 龚晓飞目录： 一、数据说明 二、计算有效边界 三、计算最小方差点 四、计算市场组合 五、计算资本市场线 六、计算结果 一、数据说明 这里选取了中国股票市场的四支股票，计算出了其从2004-2012年的年平均收益率及协方差矩阵。结果如下： 编号协方差矩阵预期收益1 2 3 4 假定无风险利率是。 二、计算有效边界 假定为资产组合的权重向量，为协方差矩阵，是股票预期收益向量（历史数据的平均值），为资产组合的收益，为资产组合的标准差，为各个分量都为1且与 维数相同的列向量，为无风险利率。 对于无卖空限制的市场： 对于有卖空限制的市场：
对于第一个优化问题，可以使用Lagrange乘子法直接算出解的显式表达，有效前沿的表达式为： 利用上面的表达式可以直接用matlab或excel画出有效前沿。 另外对第一个优化问题，可以用更加简单的方法来画有效前沿。可以证明，给定后，可以得到与之对应的最小方差，只要赋给两个不同的值，同时得到两个相应的最小方差组合，这两个资产组合的凸组合可以形成整个有效前沿。也就是说，假定及是两个不同的前沿组合，那么，任何其它的前沿组合都可以用来表达。 对于第二个优化问题，无法直接求得显式解，只能使用matlab或excel的二次规划函数（quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)）来求解出不同的所对应的最小方差，然后用这两组数据来画出有效前沿。 三、计算最小方差点 以下所用记号的含义与前面相同，计算最小方差点仍然要分下面两种情况。 对于无卖空限制的市场： 对于有卖空限制的市场： 对于第一个优化问题，与前面一样可以使用Lagrange乘子法直接算出解的显式表达，最小方差点的收益与标准差的表达式为： 上面结果也可以直接从下面表达式得到：
最优投资组合的计算
最优投资组合的计算 案例：设风险证券A 和B 分别有期望收益率%201=- r ，%302=- r ，标准差分别为 %301=σ，%402=σ，它们之间的协方差%612=σ，又设无风险证券的收益率f r =6%， 求切点处风险证券A 、B 的投资比例及最优风险资产投资组合的期望收益率和标准差；再求效用函数为()2005.0σA r E U -=，A=4时，计算包含无风险资产的三种资产最优组合的结构。 求解： 第一步，求风险资产的最优组合及该组合的收益率与标准差。 随意指定一个期望收益率%14=- P r ，考虑达到- P r 的最小方差的投资比例（因为无风险证券的方差以及与其他风险证券的协方差也都等于零，所以包括无风险证券在内的投资组合的方差实际上就等于风险证券组合的方差）： min(12212 22 22 12 12σσσx x x x ++), S.T.- - - =--++P f r r x x r x r x )1(212211. 令L=(12212 22221212σσσx x x x ++)+λ- - P r ])1(212211f r x x r x r x ----- -， 由一阶条件： = ??λL - - P r 0)1(212211=----- -f r x x r x r x 0)(2211222 111 =--+=??- f r r x x x L λσσ 0)(22212122 22 =--+=??- f r r x x x L λσσ 代入上述数字解得268 25.8,268 521= = x x 。风险证券A 、B 的组合结构为 62.0, 38.02 122 11=+=+x x x x x x ，这就是风险证券内部的组合结构和比例。 如果投资者比较保守，不追求那么高的收益率，比如选择%8=- P r ，则解得风险证券内部的组合结构和比例，仍然不变（忽略计算）。说明投资者的风险偏好无论怎样，只是改变资金在无风险证券和风险证券之间的分配比例，风险资产投资的内部结构不会改变。 风险资产最优组合的收益率和标准差为：
运用Excel Solver构建最优投资组合(王世臻)
运用Excel Solver构建最优投资组合 王世臻（20121563）黄燕宁（20121941）王爽（20125204）汪雅娴（20121336）杨瑞(20121799)潘晓玉（20123384）本文运用马科维茨投资组合优化程序来说明股票市场的分散化投资，借助Excel Solver构建最优投资组合。我们从Resset金融研究数据库中从电子信息行业选取启明星辰等40只股票2010年至2013年的月收益率以及对应的无风险收益率等数据。 来源于Resset金融研究数据库
二、模型设定 我们可以设第i 只股票的期望风险溢价为i (r )E ，第i 只股票的权重为i w ，整体的期望风险溢价为p (r )E ，标准差为p σ，夏普比率为p S ，因此我们可以得到组合的期望风险溢价为： 11224040()()()()()p i i E r w E r w E r w E r w E r =+++++L L (1) 整体的标准差为： 1 4040[(,)]11 i j i j p w w Cov r r i j σ=∑∑== (2) 夏普比率为： p (r ) p p E S σ= (3) 三、构建组合 我们分卖空和未卖空两种情况分别进行讨论： （一）允许进行卖空 在这种情况下，为了找出最小的方差组合，我们以(2)式为目标函数，以40 11i i w ==∑为 约束条件运用Excel solver 求解可以得到最小的标准差为0.04127，此时的风险溢价为0.03901 ，夏普比率为0.94525，同时可以得到此时的风险组合如表。 为了画出风险组合的有效边界，我们以(2)式为目标函数，通过改变(1)式的值利用Excel solver 画出下图1： 图1 有效边界与资本配置线图 选取边界上夏普比率最高的组合，即有效边界上的最优的风险组合。我们 标准差 风险溢价
实验五：运用Excel规划求解进行最优投资组合地求解
实验报告 证券投资 学院名称 专业班级 提交日期 评阅人____________ 评阅分数____________
实验五：运用Excel规划求解进行最优投资组合的求解 【实验目的】 1、理解资产组合收益率和风险的计算方法，熟练掌握收益率与风险的计算程序； 2、进一步理解最优投资组合模型，并据此构建多项资产的最优投资组合； 【实验条件】 1、个人计算机一台，预装Windows操作系统和浏览器； 2、计算机通过局域网形式接入互联网； 3、matlab或者Excel软件。 【知识准备】 理论知识：课本第三章收益与风险，第四章投资组合模型，第五章CAPM 实验参考资料：《金融建模—使用EXCEL和VBA》电子书第三章，第四章，第五章 【实验项目容】 请打开参考《金融建模—使用EXCEL和VBA》电子书第四章相关章节（4.3）完成以下实验 A．打开“实验五组合优化.xls”，翻到“用规划求解计算最优组合”子数据表； B．调用规划求解功能进行求解。 点击“工具”在下拉菜单点击“规划求解”，如没有此选项说明需要加载规划求解后才能使用，如何加载见实验补充文档“EXCEL规划求解功能的安装”。 C．
D．在规划求解选项卡里面选择“选项”，再选择“非负”再运行一次，比较两次返回的投资比例值的正负。在实验报告中记录两次得到的最优投资组合，并说明投资比例是负值说明什么？ E．（选做）借助连续调用规划求解的VBA过程生成有效组合以及资本市场线。 参考实验参考电子书《金融建模—使用EXCEL和VBA》电子书第四章P83 F．对比可卖空和不可卖空的有效前沿图试对比说明其不同？ 【实验项目步骤与结果】 A.
最优投资组合模型剖析
最优投资组合模型 陈家跃1 肖习雨2 杨珊珊3 1．韶关学院2004级数学与应用数学广东韶关 512005 2．韶关学院2003级信息技术(1)班广东韶关 512005 3．韶关学院2004级信息技术班广东韶关 512005 摘要 本文通过各种投资回报数据,对各种投资方案的回报效益进行分析,以平均回报期望为回报率,用回报方差来衡量风险,建立了在VaR(风险价值)约束下的经典马柯维茨(Markowitz)均值-方差模型，并从几何角度具体地阐述了此模型的算法,最后根据此算法和借助数学软件LINGO、MATLAB计算出在VaR=1%,…,10%下的最优投资组合为方案一投资1421万美元,方案二投资2819.5万美元,方案三投资759.5万美元,得到的最大净收益为500.00万美元,结果令人满意. 关键词:马柯维茨均值-方差模型;VaR约束;置信水平
1问题的提出 某基金会有科学基金5000万美元，现有三种不同的投资方式，分别为政府债券、石化产业股票、信息产业股票，为了保证其基金安全增殖，设计收益最大且安全的投资方案，要求(1)获得最大的投资回报期望(2)投资的风险限制在一定的范围。保证该投资方案资金保值概率不低于95%。（假设石化产业的投资回报率变化与信息产业的投资回报率变化彼此独立） 三种投资方式分别为： 投资方式一： 购买政府债券，收益为5.6％/年； 投资方式二： 投资石化产业股票 根据有关的随机抽样调查，得到四十宗投资石化产业股票的案例记录(如附录图表一)； 投资方式三： 投资信息产业股票 根据有关的随机抽样调查，得到四十宗投资信息产业股票的案例记录(如附录图表二)。 2 模型的假设 2．1 该基金投资持有期为一年； 2．2 投资政府债券的风险为零； 2．3 方案二和方案三中选取的八十只股票具有代表性，能反映总体股市情况； 2．4 不考虑交易过程中的手续费，即手续费为零； 2．5 总体投资金额设为单位1. 3 符号的约定 ?：表示证券组合在持有期t?内的损失； P X：表示第i种方案的投资权重（投资比例）； i c：表示置信水平，反映了投资主体对风险的厌恶程度； 2 σ：表示第i种方案的投资回报方差； i
投资学6投资组合有效边界计算
6最优投资组合选择 最优投资组合选择的过程就是投资者将财富分配到不同资产从而使自己的效用达到最大的过程。然而，在进行这一决策之前，投资者首先必须弄清楚的是市场中有哪些资产组合可供选择以及这些资产组合的风险-收益特征是什么。虽然市场中金融资产的种类千差万别，但从风险-收益的角度看，我们可以将这些资产分为两类：无风险资产和风险资产。这样一来，市场中可能的资产组合就有如下几种：一个无风险资产和一个风险资产的组合；两个风险资产的组合；一个无风险资产和两个风险资产的组合。下面分别讨论。 一、一个无风险资产和一个风险资产的组合 当市场中只有一个无风险资产和一个风险资产的时候，我们可以假定投资者投资到风险资产上的财富比例为w ，投资到无风险资产上的财富比例为1-w ，这样一来，投资组合的收益就可以写为： 其中，r 为风险资产收益，这是一个随机变量；f r 为无风险资产的收益，这是一个常数。 这样，资产组合的期望收益和标准差就可以写出下述形式： (因为122 222122)1(2)1(σσσσw w w w P -+-+=,2112122,0σσρσσ===0) 其中σ为风险资产的标准差。 根据上两式，我们可以消掉投资权重，并得到投资组合期望收益与标准差之间的关系： P f f P r r E r r E σσ -+ =)()( 3-1 当市场只有一个无风险资产和一个风险资产时，上式就是资产组合所以可能的风险-收益集合，又称为投资组合的可行集合。在期望收益-标准差平面上，3-1是一条直线，我们称这条直线为资本配置线。 随着投资者改变风险资产的投资权重w ，资产组合就落在资本配置线上的不同位置。具体来说，如果投资者将全部财富都投资到风险资产上1>w ，资产组合的期望收益和方差就是风险资产的期望收益和方差，资产组合与风险资产重合。如果投资者将全部财富都投资在无风险资产上0>w ，资产组合的期望收益和方差就是无风险资产的期望收益和方差，资产组合与无风险资产重合。风险资产r 与无风险资产f r 将配置线分为三段，其中，无风险资产和风险资产之间的部分意味着投资者投资在风险资产和无风险资产上的财富都是正值；此时10< 投资组合资产选择策略 Lecture Note 15 投资组合资产选择策略 －修炼型股票选择策略 根据资本市场有效性理论，如果资本市场达到有效，则整个技术分析和基本分析无效，此时宜采用保守的资产选择策略；如果资本市场无效，则应采取积极的资产选择策略，先采用一定的投资分析方法选择成长型资产，再采用组合策略进行组合管理与控制。 问题是：绝大多数资本市场是无效的，或者没有达到弱式有效，或者没有达到半强式有效，因此采用积极的组合管理策略是十分必要的，以获得更高的投资收益率。 在介绍完投资组合理论和资产定价理论后，现在我们来讨论投资组合管理策略。 一、引言 本章主要是基于无效市场而言的，即在无效市场条件下股票的选择、资产的配置和市场时机的选择以及组合资产的动态管理策略。本节首先讨论积极的和消极的投资策略，其次讨论修炼型 股票选择策略（disiplined stock selection strategy），分析修炼型股票选择策略确立投资目标的方法，最后讨论投资过程设计和战略实施的方式。 二、积极的和消极的投资策略 1．积极战略与消极战略的思路差别 收益率导向风险导向 整体市场类别行业 成长类股票 Beta或市类别风险或不同类别股 单支个别残差或 积极战略－return oriented 消极战略-risk-oriented 积极战略措施：当预测市场上升时，将现金转化为股票，或提高投资组合的beta系数；当预测市场下降时，将股票转化为现金，或降低投资组合的beta系数，或者两种技术结合。2．消极战略措施：当无法对市场趋势进行预测时，可以考虑采用消极策略。所谓消极策略，即构建或选择这样一个投资组合，这个投资组合相当分散，每一项资产在组合中所占比重与市场指数中所占比重相同。或购买市场指数或买卖指数基金。从而取得与市场相一致的收益率和风险。 3．积极战略措施：当认为市场存在趋势并且可 作业二:购买十只股票得最优投资组合 1、理论基础 马科维茨讨论了投资者将一笔资金在给定得持有期进行投资得问题,也就就 是选择一个最优得证券组合。由于每种证券(从而证券组合)未来得收益率就是未知得,因此,不可能做出一个保证获得最高收益得决策。尽管可以估计每种证券未来得收益率(期望收益率),仍然不能满足上面得要求,这就是因为,基于期望收益率得决策最多只能获得最高平均收益率(组合得期望收益率)。 正就是因为对收益率得不确定性(风险)在决策中得关注,马柯维茨指出,任何一位投资者在追求“高收益”得同时,还希望“收益尽可能就是确定得”。决策目标应该有两个:第一,“尽可能高得收益率”;第二,“尽可能低得不确定性(风险)”。 1、1 收益与风险得度量 有关风险与收益得度量,本文用期望度量收益,用方差(或标准差)度量风险。具体得用历史数据估计期望收益率与方差——样本均值与样本方差。 假设收益率得概率分布就是恒定得,那么,实际收益率就就是来自同一概率分布得抽样样本。因而,可以用样本均值与样本方差对期望收益率与方差进行估计。 假设从时刻到得实际收益率就是,这就就是由收益率得时间序列所构成得样本,则样本均值与样本方差为: ∑=--=n i i r r n 1 22 )(11σ 1、2 证券之间得关联性协方差与相关系数 用分别表示证券A 与证券B 得收益率,则其联合分布通常表示为: 证券A 与证券B 得协方差由下式计算: 协方差反映两种证券协同变化得数量,数值大小依赖于证券收益率与自身期望收益率得偏离程度。然而,协方差得数值大小并不能完全反映证券间得关联关系。 为了对相关程度做出衡量,应将上面得偏离程度进行标准化,标准化后得协方差就就是相关系数。数学公式如下: , 作业二：购买十只股票的最优投资组合 1、理论基础 马科维茨讨论了投资者将一笔资金在给定的持有期进行投资的问题，也就是 选择一个最优的证券组合。由于每种证券（从而证券组合）未来的收益率是未知的，因此，不可能做出一个保证获得最高收益的决策。尽管可以估计每种证券未来的收益率（期望收益率），仍然不能满足上面的要求，这是因为，基于期望收益率的决策最多只能获得最高平均收益率（组合的期望收益率）。 正是因为对收益率的不确定性（风险）在决策中的关注，马柯维茨指出，任何一位投资者在追求“高收益”的同时，还希望“收益尽可能是确定的”。决策目标应该有两个：第一，“尽可能高的收益率”；第二，“尽可能低的不确定性（风险）”。 1.1 收益与风险的度量 有关风险和收益的度量，本文用期望度量收益，用方差(或标准差)度量风险。具体的用历史数据估计期望收益率和方差——样本均值和样本方差。 假设收益率的概率分布是恒定的，那么，实际收益率就是来自同一概率分布的抽样样本。因而，可以用样本均值和样本方差对期望收益率和方差进行估计。 假设从时刻1=t 到n t =的实际收益率是),...,2,1(n i r i =，这就是由收益率的时间序列所构成的样本，则样本均值和样本方差为： ∑==n i i r n r 1 1 ∑=--=n i i r r n 1 22 )(11σ 1.2 证券之间的关联性--协方差与相关系数 用B A r r ,分别表示证券A 和证券B 的收益率，则其联合分布通常表示为： ij Bj B Ai A P r r r r P ===),( 证券A 和证券B 的协方差由下式计算： ∑∑==--=m i n j ij B Bj A Ai B A p Er r Er r r r 11))((),cov( 协方差反映两种证券协同变化的数量，数值大小依赖于证券收益率与自身期望收益率的偏离程度。然而，协方差的数值大小并不能完全反映证券间的关联关 6最优投资组合选择 最优投资组合选择的过程就是投资者将财富分配到不同资产从而使自己的效用达到最大的过程。然而，在进行这一决策之前，投资者首先必须弄清楚的是市场中有哪些资产组合可供选择以及这些资产组合的风险-收益特征是什么。虽然市场中金融资产的种类千差万别，但从风险-收益的角度看，我们可以将这些资产分为两类：无风险资产和风险资产。这样一来，市场中可能的资产组合就有如下几种：一个无风险资产和一个风险资产的组合；两个风险资产的组合；一个无风险资产和两个风险资产的组合。下面分别讨论。 一、一个无风险资产和一个风险资产的组合 当市场中只有一个无风险资产和一个风险资产的时候，我们可以假定投资者投资到风险资产上的财富比例为w ，投资到无风险资产上的财富比例为1-w ，这样一来，投资组合的收益就可以写为： f P r w r w r )1(-+= 其中，r 为风险资产收益，这是一个随机变量；f r 为无风险资产的收益，这是一个常数。 这样，资产组合的期望收益和标准差就可以写出下述形式： f P r w r wE r E )1()()(-+= σσw P = (因为122 22212 2 )1(2)1(σσσσw w w w P -+-+=,2112122,0σσρσσ===0) 其中σ为风险资产的标准差。 根据上两式，我们可以消掉投资权重，并得到投资组合期望收益与标准差之间的关系： P f f P r r E r r E σσ -+ =)()( 3-1 当市场只有一个无风险资产和一个风险资产时，上式就是资产组合所以可能的风险-收益集合，又称为投资组合的可行集合。在期望收益-标准差平面上，3-1是一条直线，我们称这条直线为资本配置线。 投资组合的选择（M） 投资组合选择问题所涉及的情况是财务经理从多种投资选择中选择具体的一些投资，如股票和债券、共有基金、信用合作社、保险公司等等，银行经理们经常会遇到这样的麻烦。投资组合选择问题的目标函数通常是使预期收益最大化或使风险最小化。约束条件通常表现为对准许的投资类型，国家法律，公司政策，最大准许风险等方面的限制。对于此类问题，我们可以通过使用各种数学规划方法建立模型进而求解。此节中，我们将把投资组合选择问题作为线性规划问题来求解。 假设现在有一家坐落于纽约的威尔特（Welte）共有基金公司。公司刚刚完成了工业债券的变现进而获得了100,000美元的现金，并正在为这笔资金寻找其他的投资机会。根据威尔特目前的投资情况，公司的上层财务分析专家建议新的投资全部投在石油、钢铁行业或政府债券上。分析专家已经确定了5个投资机会，并预计了它们的年收益率。表4-3是各种投资及它们的收益率。 投资预期收益率（%） 大西洋石油7.3 太平洋石油10.3 中西部钢铁 6.4 Huber钢铁7.5 政府债券 4.5 威尔特的管理层已经设置了以下的投资方针： 1.在任何行业（石油或钢铁）的投资不得多于50000美元。 2.对政府债券的投资至少相当于对钢铁行业投资的25%。 3.对太平洋石油这样高收益但高风险的投资项目，投资额不得多于对整个石油行业投资的60%。 可使用的100,000美元应该以什么样的投资方案（投资项目及数 量）来投资呢？以预期收益最大化为目标，并遵循预算和管理层设置的约束条件，我们可以通过建立并解此问题的线性规划模型来回答它。解决方案将为威尔特共有基金公司的管理层提供建议。 投资组合选择问题所涉及的情况是财务经理从多种投资中选择一些具体的方案，如股票和债券。共同基金经理、信用合作社、保险公司以及银行经常遇到这样的问题。投资组合选择问题的目标函数通常是是预期收益最大化或风险最小化。约束条件通常表现为对允许的投资类型、国家法规律、公司政策、最大准许风险等方面的限制。我们可以通过使用各种数学规划方法建立模型进而求解。 这笔可使用的100000美元资金应以怎样的投资方案（投资项目及数量）来分配呢？以预期收益率最大化为目标，并根据预算和管理层的约束条件，我们可以通过建立此问题的线性规划模型来求解。求解的结果将为威尔特公司的管理层提供建议。 解：设决策变量为： 设A—投资于大西洋石油的资金数 P——投资于太平洋石油的资金数 M—投资于中西部钢铁的资金数 H—投资于Huber钢铁的资金数 G—投资于政府债券的资金数 利用表4-3提供的预期收益率，我们得出投资收益最大化的目标函数：设可用的100000美元资金的约束条件为： A+P+M+G=100000 最优投资组合选择——SAS实现 1、分享一些感觉 当初，在我翻看《金融计算与建模》这本书的时候，我也感觉：哇，会很难懂吧！yes，有这种感觉应该正常，因为书中的有些细节确实不是那么好理解，但这不影响我们有选择性地加以应用。整本书的大部内容都突出了“计算”二字——各种收益率计算、各种指数计算、各种风险价值（价格或指标）计算、VaR计算、利率计算等等。这些计算搞得我很“蒙蔽”，因为，当我在阅读程序语句时总是搞不明白，这些计算对应的是哪个数据集、哪个字段。 现在，用一种轻松的感觉挑选着翻看其中某些章节的内容，顿时发现“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”了，原来当初是“不识庐山真面目，只缘生在此山中”啊，好吧，接下来，我就股票/证券领域中的投资组合理论来介绍一下我是如何柳暗花明的。 参看书籍是朱世武的《金融计算与建模》，数据集来自锐思数据库。 2、一句话的阳光 在SAS中进行最优投资组合选择需要： 计算股票期望收益率——μ 计算风险度量指标——σ/β 优化求解组合权重——weight Yes，就是这三句话。前两句没什么好说的，第三句由于是规划问题，所以就要考虑到优化建模的一系列问题，比如，灵敏度分析、 整型规划、变量限制条件，等等。 投资组合就这些内容吧，分解一下就so easy吧。 3、各个击破 在对上述三个步骤进行各个击破前，让我们来熟悉一下，我们所要使用的数据集，以及数据集中的字段吧————这是一个十分十分重要的觉悟性认识！ 需要字段：8只股票包括代码名、1995-2005年A股市场月持有收益率、3只股票月持有收益率。由于这三个字段来自不同方的数据集，所以需要进行整合。为什么选择这8只股票？这就是我们最初选股的问题了，而不是投资组合问题。 数据说明：resdat是自建的存储在SAS系统逻辑库下的库名，类似Work。monret是个股月持有期收益率数据集；monretm是市场持有期收益率数据集。（这里，我门不关心这两个收益率是如何得来的） 数据准备阶段，程序见下： ⑴创建8只股票的代码收益率 data Stk8; input stkcd$6.; cards; 000002 000007 000011 000016 600601 600604 600651 600653 ;run; ⑵按8只股票名合并数据，回忆一下merge函数，学习samp变量作 投资学 计算题部分 CAPM模型 1、某股票的市场价格为50元，期望收益率为14%，无风险收益率为6%，市场风险溢价为8%。如果这个股票与市场组合的协方差加倍（其他变量保持不变），该股票的市场价格是多少？假定该股票预期会永远支付一固定红利。 现在的风险溢价=14%－6%＝8%；β＝1 新的β＝2，新的风险溢价＝8%×2＝16% 新的预期收益＝6%＋16%＝22% 根据零增长模型： 50＝7 V 2、假设无风险债券的收益率为5%，某贝塔值为1的资产组合的期望收益率是12%，根据CAPM模型： ①市场资产组合的预期收益率是多少？ ②贝塔值为零的股票的预期收益率是多少？ ③假定投资者正考虑买入一股股票，价格是40元。该股票预计来年派发红利3美元，投资者预期可以以41美元的价格卖出。若该股票的贝塔值是－0.5，投资者是否买入？ ①12%， ②5%， ③利用CAPM模型计算股票的预期收益： E(r)＝5%＋(－0.5) ×(12%－5%)＝1.5% 利用第二年的预期价格和红利计算： E(r)1＝10% 投资者的预期收益超过了理论收益，故可以买入。 3、已知：现行国库券的利率为5%，证券市场组合平均收益率为15%，市场上 A、B、C、D四种股票的β系数分别为0.91、1.17、1.8和0.52；B、C、D股票的必要收益率分别为16.7%、23%和10.2%。要求： ①采用资本资产定价模型计算A股票的必要收益率。 ②计算B股票价值，为拟投资该股票的投资者做出是否投资的决策，并说明理由。假定B股票当前每股市价为15元，最近一期发放的每股股利为2.2元，预计年股利增长率为4%。 ③计算A、B、C投资组合的β系数和必要收益率。假定投资者购买A、B、C三种股票的比例为1:3:6。 ④已知按3:5:2的比例购买A、B、D三种股票，所形成的A、B、D投资组合的β系数为0.96，该组合的必要收益率为14.6%；如果不考虑风险大小，请在A、 B、C和A、B、D两种投资组合中做出投资决策，并说明理由。 ①A股票必要收益率＝5%＋0.91×（15%－5%）＝14.1% ②B股票价值＝2.2×（1＋4%）/（16.7%－4%）＝18.02（元） 因为股票的价值18.02高于股票的市价15，所以可以投资B股票。 ③投资组合中A股票的投资比例＝1/（1＋3＋6）＝10% 投资组合中B股票的投资比例＝3/（1＋3＋6）＝30% 投资组合中C股票的投资比例＝6/（1＋3＋6）＝60%投资组合资产选择策略
购买十只股票的最优投资组合
购买十只股票的最优投资组合
6投资组合有效边界计算
投资组合的选择
最优投资组合选择SAS实现
投资学计算题精选