第3章工业机器人静力计算及动力学分析
第 3 章工业机器人静力计算及动力学分析
章节题目：第 3 章工业机器人静力计算及动力学分析
[教学内容 ]
3.1工业机器人速度雅可比与速度分析
3.2工业机器人力雅可比与静力计算
3.3工业机器人动力学分析
[教学安排 ]
第 3 章安排 6 学时，其中介绍工业机器人速度雅可比45 分钟，工业机器人速度分析45分钟，操作臂中的静力30 分钟，机器人力雅可比30 分钟，机器人静力计算的两类问题10分钟，拉格朗日方程20 分钟，二自由度平面关节机器人动力学方程60 分钟，关节空间和操作空间动力学30 分钟。
通过多媒体课件结合板书的方式，采用课堂讲授和课堂讨论相结合的方法，首先讨论与机器人速度和静力有关的雅可比矩阵，然后介绍工业机器人的静力学问题和动力学问题。
[知识点及其基本要求]
1、工业机器人速度雅可比（掌握）
2、速度分析（掌握）
3、操作臂中的静力（掌握）
4、机器人力雅可比（掌握）
5、机器人静力计算的两类问题（了解）
6、拉格朗日方程（熟悉）
7、二自由度平面关节机器人动力学方程（理解）
8、关节空间和操作空间动力学（了解）
[重点和难点 ]
重点： 1、速度雅可比及速度分析
2、力雅可比
3、拉格朗日方程
4、二自由度平面关节机器人动力学方程
难点： 1、关节空间和操作空间动力学
[教学法设计 ]
引入新课：
至今我们对工业机器人运动学方程还只局限于静态位置问题的讨论，还没有涉及力、速度、加速度等。机器人是一个多刚体系统，像刚体静力学平衡一样，整个机器人系统在外载
荷和关节驱动力矩（驱动力）作用下将取得静力平衡；也像刚体在外力作用下发生运动变化
一样，整个机器人系统在关节驱动力矩（驱动力）作用下将发生运动变化。
新课讲解：
第一次课
第三章工业机器人静力计算及动力学分析
3-1 工业机器人速度雅可比与速度分析
一、工业机器人速度雅可比
y1 f 1 (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 )
假设有六个函数，每个函数有六个变量，即：y
2f2 ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 )，可写成 Y=F(X) ，
y6f6 (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 )
dy 1
f 1
dx 1
f 1
dx 2
f 1
dx 6
x 1
x 2
x 6
将其微分，得： dy 2
f 2
dx 1
f 2
dx 2
f 2 dx 6 ，也可简写成 dY F
dx 。该式中（ 6
x 1
x 2
x 6 X
dy 6
f 6
dx 1
f 6
dx 2
f 6 dx 6
x 1
x 2
x 6
×6）矩阵
F
叫做雅可比矩阵。
X
在工业机器人速度分析和以后的静力分析中都将遇到类似的矩阵，
称之为机器人雅可比
矩阵，或简称雅可比矩阵。
二自由度平面关节机器人，端点位置
x ， y 与关节 θ 1、 θ2 的关系为：
x l 1 cos 1 l 2 cos( 1
2 )
y l 1 sin 1 l 2 sin(
1
2
)
x
x
即：
x
x( 1 , 2 ) ，将其微分，得： dx
1 d 1
2
d
2
，将其写成矩阵形式为：
y
y( 1 , 2 )
dy
y
d 1
y d
2
1
2
x
x
dx 1
2
d 1 dy
y
y
d
2
1
2
x x
d X
J d
令
1
2 ，则上式可简写为 。式中：
d X
dx ； d
1 。
J
dy
y
y
2
1
2
将 J 称为该二自由度平面关节机器人的速度雅可比，
它反映了关节空间微小运动
d θ 与
手部作业空间微小位移
d X 的关系。
若对 J 进行运算，，则 2R 机器人的雅可比写为：
l 1 sin
1
l 2 sin(
1
2 )
l 2 sin(
1
2 )
J
l 2 cos( 1
2 )
l 2 cos( 1
2 )
l 1 cos
1
从 J 中元素的组成课件， J 阵的值是 θ 1 及 θ 2 的函数。
对于 n 自由度机器人的情况， 关节变量可用广义关节变量
q 表示， q =[q 1 q 2, q n ] T
，当关 节为转动关节时， q i i ，当关节为移动关节时， q i =d i ，d q =[dq 1 dq 2, dq n ] T 反映了关节空间
=θ
的微小运动；机器人末端在操作空间的位置和方位可用末端手爪的位姿
X 表示，它是关节 变量的函数， X =X (q )，并且是一个 6 维列矢量， d X =[dx dy dz δ φx δ φ y z T 反映了
δ φ ]
操作空间的微小运动， 它由机器人末端微小线位移和微小角位移组成，
因此有： d X =J (q )d q ， 式中， J (q )是 6× n 的偏导数矩阵，称为 n 自由度机器人速度雅可比矩阵。它的第
i 行第 j 列
元素为： J ij (q ) x i (q )
q j ， I=1 ， 2， , ， 6；j=1 ， 2， , ， n 。
二、工业机器人速度分析
对 d X=J(q)d q左右两边各除以dt，得：d X
J(q)
d q
，或 V J(q)q 。式中，V表示机dt dt
器人末端在操作空间中的广义速度，V X ， q 表示机器人关节空间中的关节速度，J(q)表示确定关节空间速度q 与操作空间速度V 之间关系的雅可比矩阵。
对于 2R 机器人来说，J(q)是 2× 2 矩阵。若令J1、J2分别为雅可比的第一列矢量和第二列矢量，则有：V J1 1J 2 2，式中右边第一项表示仅由第一个关节运动引起的端点速度；右边第二项表示仅由第二个关节运动引起的端点速度；总的端点速度为这两个速度矢量的合成。因此，机器人速度雅可比的每一列表示其它关节不动而某一关节运动产生的端点速度。
前面提到的二自由度机器人的手部速度为：
V v x l 1 sin1l2 sin( 1 2 )l2 sin( 1 2 )1[l1 sin 1l 2 sin( 1 2 )] 1l 2 sin( 1 2 )2 v y
l cos
1
l cos(
12
)l cos(
12
)2[l1 cos 1l2 cos( 1 2 )] 1l 2 cos( 1 2 )2 122
假如已知关节上 1
及
2 是时间的函数，1f1 (t), 2f2 ( t) ，则可求出该机器人手部
在某一时刻的速度V =f(t)，即手部瞬时速度。
反之，假如给定机器人手部速度，可解出相应的关节速度：q J 1 V ，式中，J1称为机器人逆速度雅可比。
通常可以看到机器人逆速度雅可比J 1出现奇异解的两种情况：
（1）工作域边界上奇异。当机器人臂全部伸展开或全部折回而使手部处于机器人工作域的边界上或边界附近时，出现逆雅可比奇异，这时机器人相应的形位叫做奇异形位。
（2）工作域内部奇异。奇异并不一定发生在工作域边界上，也可以是由两个或更多个关节轴线重合所引起的。
当机器人处在奇异形位时，就会产生退化现象，丧失一个或更多的自由度。这意味着在空间某个方向（或子域）上，不管机器人关节速度怎样选择，手部也不可能实现移动。
对于在三维空间中作业的一般六自由度工业机器人的情况，机器人速度雅可比J 是一个6× 6 矩阵，q和V分别是 6× 1 列阵，即V( 6 1)J(q)(6 6 ) q( 6 1)。手部速度矢量V 是由3×1 线速度矢量和3× 1 角速度矢量组合而成的 6 维列矢量。关节速度矢量q 是由6个关节
速度组合而成的 6 维列矢量。雅可比矩阵J 的前三行代表手部线速度与关节速度的传递比；
后三行代表手部角速度与关节速度的传递比。而雅可比矩阵J 的每一列则代表相应关节速度
q i对手部线速度和角速度的传递比。
第二次课
3-2 工业机器人力雅可比与静力计算
一、操作臂中的静力
以操作臂中单个杆件为例分析受力，杆件 I 通过关节 i 和 i+1 分别于杆件 i-1 和 i+1 相连接。令 f i-1，i及 n i-1，i表示i-1杆通过关节i作用在 i 杆上的力和力矩；f i，i+1及 n i，i+1表示 i 杆通过关节 i+1 作用在 i+1 杆上的力和力矩；-f i，i+1及 -n i，i+1表示 i+1 杆通过关节 i+1作用在 i
杆上的反作用力和反作用力矩； f n，n+1及 n n，n+1表示机器人最末杆对外界环境的作用力和力矩； -f n，n+1及 -n n，n+1表示外界环境对机器人最末杆的作用力和力矩； f 0，1及 n0，1表示机器人底座对杆 1 的作用力和力矩；m i g表示连杆 i 的重量，作用在质心c i上。
连杆 i 的静力平衡条件为其上所受的合力和合力矩为零，因此力和力矩平衡方程式为：
f i-1,i+(- f i,i+1)+m i g=0
n i-1,i+(-n i,i+1)+( r i-1,i+r iCi)× f i-1,i+(r iCi)×(-f i,i+1)=0
式中， r i-1,i表示坐标系{i}的原点相对于坐标系{i-1}的位置矢量； r iCi表示质心相对于坐标系 {i} 的位置矢量。
假如已知外界环境对机器人最末杆的作用力和力矩，那么可以由最后一个连杆相零连杆（机座）依次递推，从而计算出每个连杆上的受力情况。
为了便于表示机器人手部端点的力和力矩，可将 f n，n+1和 n n，n+1合并写成一个6维矢量：
F f n,n 1
n n ,n 1
1
各关节驱动器的驱动力或力矩可写成一个n 维矢量的形式，即：2，式中， n 表
n
示关节的个数，τ表示关节力矩（或关节力）矢量，简称广义关节力矩，对转动关节，τ i 表示关节驱动力矩；对移动关节，τ i 表示关节驱动力。二、机器人力雅可比假定关节无摩擦，并忽略各杆件的重力，则广义关节力矩τ与机器人手部端点力 F 的T T
理证明。
该式表示在静力平衡状态下，手部端点力 F 向广义关节力矩τ映射的线性关系。式中T
力雅可比J T正好是机器人速度雅可比J 的转置。
三、机器人静力计算的两类问题
T
从操作臂手部端点力 F 与广义关节力矩τ之间的关系式τ=J F 可知，操作臂静力计算可分为两类问题：
（1）已知外界环境对机器人手部作用力F’（即手部端点力 F =-F’）,求相应的满足静力平衡条件的关节驱动力矩τ。
（2）已知关节驱动力矩τ，确定机器人手部对外界环境的作用力 F 或符合的质量。
T -1
这类问题是第一类问题的逆解。这时 F =(J )τ，但是，由于机器人的自由度可能不是
6，力雅可比矩阵就有可能不是一个方阵，则J T就没有逆解。所以，对这类问题的求解就困
难得多，在一般情况下不一定能得到唯一的解。如果 F 得维数比τ的维数低，且J 是满秩的话，则可利用最小二乘法求得 F 的估值。
3-3工业机器人动力学分析
动力学研究物体的运动和作用力之间的关系。机器人动力学问题有两类：
（1）给出已知的轨迹点上的、、，即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩向量τ。这对实现机器人动态控制是相当有用的。
（2）已知关节驱动力矩，求机器人系统相应的各瞬时的运动。也就是说，给出关节力矩向量τ，求机器人所产生的运动、、。这对模拟机器人的运动是非常有用的。
一、拉格朗日方程
1、拉格朗日函数
拉格朗日函数 L 的定义是一个机械系统的动能E k和势能 E p之差，即 L =E k-E p。
令 q i（ i=1 ，2，, ， n）是使系统具有完全确定位置的广义关节变量，q 是相应的广义
i
关节速度。由于系统动能E k是q i和q i的函数，因此拉格朗日函数也是q i和q i的函数。
2、拉格朗日方程
d L L
， i=1 ， 2，, n，式中，F i称为广义关节驱系统的拉格朗日方程为：F i
q i q i
dt
动力。如果是移动关节，则F i为驱动力；如果是转动关节，则 F i为驱动力矩。
3、用拉格朗日法建立机器人动力学方程的步骤
（1）选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量q i， i=1 ，2，, ， n。
（2）选定相应的关节上的广义力 F i：当q i是位移变量时，则 F i为力；当q i是角度变量时，则F i为力矩。
（3）求出机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。
（4）代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。
第三次课
二、二自由度平面关节机器人动力学方程
1、广义关节变量及广义力的选定
选取笛卡尔坐标系。连杆 1 和连杆 2 的关节变量分别为转角θ1和θ2，相应的关节 1 和关节 2 的力矩是τ1和τ2。连杆 1 和连杆 2 的质量分别是m1和 m2，杆长分别为 l 1和 l2，质心分别在 k1和 k2处，离关节中心的距离分别为p1和 p2。因此杆 1 质心 k1的位置坐标为：x1=p 1sinθ1， y1 =-p1cosθ1，杆 1 质心 k1的速度平方为：x12y12( p1 1 )2。杆2质心k2的位置坐标为： x2=l 1sinθ1+p2sin( θ1+θ2)，y1=-l 1cosθ1-p2cos(θ1+θ2)，杆 2 质心 k2的速度平方
x2l1 cos11p2cos( 12 )(1 2 )
为：
y2l
1 sin11p
2 sin(12 )(1 2 )。
22
l 222
( 1 2
)2
2l1p2 (
2
1 2
) cos 2
x2y211p21 2、系统动能
E k E ki i
，1 2
E k 1122 m1 p11 2
E
k 212212
( 1 2
)
2
m2l1
p
2
(
2
2
) cos 2 m2 l11
2
m2 p 211
2
3、系统势能
E p E pi i1,2
E p1m1 gp1 (1cos 1 )
E p 2m2 gl1 (1cos 1 )m2 gp2 [1cos( 12 )]
4、拉格朗日函数
L E k E p 1
( m1 p12m
2
l12 ) 12m2 l1 p2 ( 1212 ) cos 2 2
1
m2 p22 ( 12 )2(m1 p1m2 l1 ) g(1cos 1 )m2 gp2 [1 cos( 1 2 )] 2
5、系统动力学方程
d L L 根据拉格朗日方程
F i
q i
，i=1 ，2，, n ，可计算各关节上的力矩，得到系
dt
q i
统动力学方程。
关节 1 上的力矩 τ 1：
L
( m 1 p 12 m 2 l 12
)
1
m 2 l 1 p 2 (2 1
2 ) cos 2
m 2 p 22
(
1
2 )
1
L
(m 1 p 1 m 2l 1 ) g sin 1 m 2 gp 2 sin(
1
2 )
1
所以： 1
d L L (m 1 p 12
m 2 p 22
m 2 l 12
2m 2l 1 p 2 cos 2 ) 1 (m 2 p 22
m 2l 1 p 2 cos 2 ) 2 dt 1 1 2
( 2m l 1 p sin 2 ) 1 2 ( m l p sin 2 ) (m p 1 m l )g sin 1 m p g sin( 1 2)
2 2
2 1
2
2
1 2 1 2 2
上式可简写为：
D 11
D 12 2
D 112
D 122
2
D 1 。
1
1
1
2
2
D 11 m 1 p 12
m 2 p 22
m 2l 12
2m 2 l 1 p 2 cos 2
D 12 m 2 p 22
m 2l 1 p 2 cos 2 由此可得：
D 112
2m 2l 1 p 2 sin
2
D
122
m 2l 1 p 2 sin 2
D 1
(m 1 p 1 m 2l 1) g sin 1 m 2 p 2g sin( 1
2 )
关节 2 上的力矩 τ 2：
L
m 2 p 22
( 1
2 )
m 2 l 1 p 2 1 cos
2
2
L
m 2 l 1 p 2 (
12
1 2
) sin
2
m 2 gp 2 sin(
1
2 )
2
所以：
2
d L L ( m 2 p 2
2
m 2 l 1 p 2 cos 2 ) 1 m 2 p 2
2
2
dt 2 2
2 ) 1
2
( m 2l 1 p 2 sin
2
m 2l 1 p 2 sin
2 )
1
2
(m 2 l 1 p 2 sin m 2 gp 2 sin( 1
2 )
上式可简写为：
D 21 D
D 212 1
D
2 D 2
2
1
22
2
2
211
1
D 21
m 2 p 2
2
m 2 l 1 p 2 cos
2
D 22
m 2 p 22
由此可得： D 212 m 2 l 1 p 2 sin
2 m 2 l 1 p 2 sin 2
D
211
m 2 l 1 p 2 sin
2
D 2 m 2 gp 2 sin( 1
2 )
以上表达式分别表示了关节驱动力矩与关节位移、 速度、加速度之间的关系， 即力和运动之间的关系，称为图 3-6 所示二自由度机器人的动力学方程。对其进行分析可知：
（1）含有
1 或
2 的项表示由于加速度引起的关节力矩项，其中：
含有 D 11和 D 22的项分别表示由于关节 1 加速度和关节 2 加速度引起的惯性力矩项；含有 D 12的项表示关节 2 的加速度对关节 1 的耦合惯性力矩项；
含有 D 21的项表示关节 1 的加速度对关节 2 的耦合惯性力矩项。
（2）含有12和22的项表示由于向心力引起的关节力矩项，其中：
含有含有D 122的项表示关节
D 211的项表示关节
2 速度引起的向心力对关节
1 速度引起的向心力对关节
1 的耦合力矩项；
2 的耦合力矩项。
（3）含有1 2 的项表示由于哥氏力引起的关节力矩项，其中：
含有含有D 112的项表示哥氏力对关节
D 212的项表示哥氏力对关节
1 的耦合力矩项；
2 的耦合力矩项。
（4）只含关节变量
1、 2 的项表示重力引起的关节力矩项，其中：
含有 D 1的项表示连杆 1、连杆 2 的质量对关节 1 引起的重力矩项；含
有 D 2的项表示连杆 2 的质量对关节 2 引起的重力矩项。
从上面的推导可看出，很简单那的二自由度平面关节机器人动力学方程已经很复杂了，包
含很多因素，这些因素都在影响机器人的动力学特性。对于复杂一些的多自由度机器人，
动力学方程更庞杂，推导过程也更复杂。不仅如此，对机器人实时控制也带来了不小的麻烦。
通常，有一些简化问题的方法：
（1）当杆件质量不很大，重量很轻时，动力学方程中的重力矩项可以省略；
（2）当关节速度不很大，机器人不是高速机器人时，含有12 、22 、 1 2 等项可以省略；（3）当关节加速度不很大，也就是关节电机的升降速不是很突然时，那么含有 1 、 2 的项
有可能给予省略。当然关节加速度的减少，会引起速度升降的时间增加，延长了机器
人作业循环的时间。
三、关节空间和操作空间动力学
1、关节空间和操作空间
n 个自由度操作臂的末端位姿X 由n个关节变量所决定，这n个关节变量也叫做n 维关节矢量 q，所有关节矢量q 构成了关节空间。而末端操作器的作业是在直角坐标空间中进行
的，即操作臂末端位姿X 是在直角空间中描述的，因此把这个空间叫做操作空间。运动学
方程 X =X (q)就是关节空间向操作空间的映射；而运动学逆解则是由映射求其在关节空间中
的原像。在关节空间和操作空间中操作臂动力学方程有不同的表示形式，并且两者之间存在
着一定的对应关系。
2、关节空间动力学方程
将前面二自由度平面关节机器人动力学方程写成矩阵形式，则τ D(q)q H (q,q)G(q)，式中：τ1 , q1,q1,q1。所以：
2222
m p2m(l2p22l
1p cos
2
)m( p2l p cos
2
)
D (q)1121222212
m2 ( p22l 1 p2 cos 2 )m2 p22
H (q,q)m2l1 p2 sin22m2l 1 p 2 sin 2,( )(m1 p1m2 l1) g sin1 m2 p2 g sin( 1 2 )
22 1 2
m2l1 p2 sin
2
G q
m2 gp2 sin( 1 2
) 2 1
该矩阵方程就是操作臂在关节空间中的动力学方程的一般结构形式，
反映了关节力矩与 关节变量、速度、角速度之间的函数关系。对于 n 个关节的操作臂，
D (q )是 n × n 的正定对
称矩阵， 是 q 的函数， 称为操作臂的惯性矩阵； H (q , q ) 是 n × 1 的离心力和哥氏力矢量； G ( q )
是 n × 1 的重力矢量，与操作臂的形位 q 有关。
3、操作空间动力学方程
与关节空间动力学方程相对应，
在笛卡尔操作空间中， 可以用直角坐标变量即末端操作 器位姿的矢量 X 来表示机器人动力学方程。因此，操作力 F 与末端加速度 X 之间的关系可
表示为： F
M x (q ) X U x (q ,q )
G x (q ) ，式中， M x (q )、U x (q )和 G x (q )分别为操作空间
中的惯性矩阵、离心力和哥氏力矢量、重力矢量，它们都是在操作空间中表示的； F 是广义
操作力矢量。
关节空间动力学方程和操作空间动力学方程之间的对应关系可以通过广义操作力
F 与
广义关节力 τ 之间的关系 τ =J T
（ q ） F 和操作空间与关节空间之间的速度、加速度的关系
X J (q )q
求出。
X J (q )q J (q )q
[应用 ] 第一次课
1、图 3-7 所示二自由度机械手，杆长为 l 1 =l 2=0.5m ，试求下面三种情况时的关节瞬时速度 1 和 。
2
V x /m/s -1.0 0 1.0 V y /m/s 0 1.0 1.0 θ 1 30°
30°
30° θ 2
-60° 120°
-30°
6、图 3-9 所示三自由度平面关节机械手，手部握有焊接工具。已知
θ1=30°， 1 =0.04rad/s ； θ 2=45°， 2 =0； θ 3=15°， 3 =0.1rad/s ；，求焊接工具末端 A 点的线速度 v x 及 v y 。
第二次课
2、已知二自由度机械手的雅可比矩阵为
J
l 1 sin
1
l 2 sin( 1
2
)
l 2 sin( 1 2 )
。若忽
l 1 cos 1 l 2 cos( 1
2
)
l 2 cos( 1
2 )
略重力，当手部端点力
F =[1 0] T
时，求于此力相应的关节力矩。
3、图 3-7 所示二自由度机械手， 杆长 l 1=l 2=0.5m ，手部中心受到外界环境的作用力
F x ’及 F y ’，
试求在下面三种情况下，机械手取得静力平衡时的关节力矩
τ 1 和τ 2。
F x ’/N -10.0 0 10.0
y ’/N
-10.0
10.0
F
θ 1 30° 30° 30°
θ 2
-60° 120°
-30°
4、如图 3-8 所示，一个三自由度机械手，其末端夹持一质量
m=10kg 的重物， l 1=l 2=0.8m ，
l 3 =0.4m ， θ 1=60 °， θ 2=-60 °， θ 3=-90 °。若不计机械手的重量，求机械手处于平衡 状态时各关节力矩。 5、图 2-29 所示的二自由度机械手，关节 1 为转动关节 θ 1；关节 2 为移动关节 d 2。 （ 1）按下表参数计算手部中心的线速度V x 及 V y 。表中 1 和 v 2 分别为关节 1 的角速度和关
节 2 的线速度。
θ10° 30° 60° 90°
d2/m0.500.80 1.000.70
1
/rad/s1 1.5 1.51
v2/m/s1 1.5 1.51
（2）按下表参数计算机械手静力平衡时关节1 的力矩τ1和关节 2 的驱动力 P2。表中 F x’、F y’分别为手部中心受到外界环境的作用力。
θ10° 30° 60° 90°
d2/m0.500.80 1.000.70
F x’/rad/s-40-40-4040
F y’/m/s025400
7、机器人力雅可比矩阵和速度雅可比矩阵有何关系？
8、什么是拉格朗日函数和拉格朗日方程?
第三次课
9、简述二自由度平面关节机械手动力学方程主要包含哪些项？有何物理意义？
10、什么叫机械臂连杆之间的耦合作用？
11、在什么情况下可以简化动力学方程计算？
[板书设计 ]
第一次课
第三章工业机器人静力计算及动力学分析
3-1工业机器人速度雅可比与速度分析一、工业机器人速度雅可比
第二次课
3-2工业机器人力雅可比与静力计算
一、操作臂中的静力
二、机器人力雅可比
三、机器人静力计算的两类问题
3-3工业机器人动力学分析
第三次课
二、二自由度平面关节机器人动力学方程
1、广义关节变量及广义力的选定
2、系统动能
3、系统势能
4、拉格朗日函数
[小结 ]二、工业机器人速度分析
（1）工作域边界上奇异
（2）工作域内部奇异
一、拉格朗日方程
1、拉格朗日函数
2、拉格朗日方程
3、用拉格朗日法建立动力学方程的步骤
5、系统动力学方程
三、关节空间和操作空间动力学
1、关节空间和操作空间
2、关节空间动力学方程
3、操作空间动力学方程
在本章中，我们不涉及较深的理论，将通过深入浅出的介绍使学生对工业机器人在实际作业中遇到的静力学问题和动力学问题有一个最基本的了解，也为以后“工业机器人控制”等章节的学习打下一个基础。
[教学后记 ]
[教学资料补充]
工业机器人静力及动力学分析
注：1）2008年春季讲课用；2）带下划线的黑体字为板书内容；3）公式及带波浪线的部分为必讲内容第3章工业机器人静力学及动力学分析 3.1 引言 在第2章中，我们只讨论了工业机器人的位移关系，还未涉及到力、速度、加速度。由理论力学的知识我们知道，动力学研究的是物体的运动和受力之间的关系。要对工业机器人进行合理的设计与性能分析，在使用中实现动态性能良好的实时控制，就需要对工业机器人的动力学进行分析。在本章中，我们将介绍工业机器人在实际作业中遇到的静力学和动力学问题，为以后“工业机器人控制”等章的学习打下一个基础。 在后面的叙述中，我们所说的力或力矩都是“广义的”，包括力和力矩。 工业机器人作业时，在工业机器人与环境之间存在着相互作用力。外界对手部（或末端操作器）的作用力将导致各关节产生相应的作用力。假定工业机器人各关节“锁住”，关节的“锁定用”力与外界环境施加给手部的作用力取得静力学平衡。工业机器人静力学就是分析手部上的作用力与各关节“锁定用”力之间的平衡关系，从而根据外界环境在手部上的作用力求出各关节的“锁定用”力，或者根据已知的关节驱动力求解出手部的输出力。 关节的驱动力与手部施加的力之间的关系是工业机器人操作臂力控制的基础，也是利用达朗贝尔原理解决工业机器人动力学问题的基础。 工业机器人动力学问题有两类：(1)动力学正问题——已知关节的驱动力，求工业机器人系统相应的运动参数，包括关节位移、速度和加速度。(2)动力学逆问题——已知运动轨迹点上的关节位移、速度和加速度，求出相应的关节力矩。 研究工业机器人动力学的目的是多方面的。动力学正问题对工业机器人运动仿真是非常有用的。动力学逆问题对实现工业机器人实时控制是相当有用的。利用动力学模型，实现最优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标。 工业机器人动力学模型主要用于工业机器人的设计和离线编程。在设计中需根据连杆质量、运动学和动力学参数，传动机构特征和负载大小进行动态仿真，对其性能进行分析，从而决定工业机器人的结构参数和传动方案，验算设计方案的合理性和可行性。在离线编程时，为了估计工业机器人高速运动引起的动载荷和路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型的仿真。这些都必须以工业机器人动力学模型为基础。 工业机器人是一个非线性的复杂的动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间。因此，简化求解过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线计算的时间是一个受到关注的研究课题。 在这一章里，我们将首先讨论与工业机器人速度和静力学有关的雅可比矩阵，然后介绍工业机器人的静力学问题和动力学问题。
第3章 工业机器人静力计算及动力学分析
第3章 工业机器人静力计算及动力学分析 章节题目：第3章 工业机器人静力计算及动力学分析 [教学内容] 3.1 工业机器人速度雅可比与速度分析 3.2 工业机器人力雅可比与静力计算 3.3 工业机器人动力学分析 [教学安排] 第3章安排6学时，其中介绍工业机器人速度雅可比45分钟，工业机器人速度分析45分钟，操作臂中的静力30分钟，机器人力雅可比30分钟，机器人静力计算的两类问题10分钟，拉格朗日方程20分钟，二自由度平面关节机器人动力学方程60分钟，关节空间和操作空间动力学30分钟。 通过多媒体课件结合板书的方式，采用课堂讲授和课堂讨论相结合的方法，首先讨论与机器人速度和静力有关的雅可比矩阵，然后介绍工业机器人的静力学问题和动力学问题。 [知识点及其基本要求] 1、工业机器人速度雅可比（掌握） 2、速度分析（掌握） 3、操作臂中的静力（掌握） 4、机器人力雅可比（掌握） 5、机器人静力计算的两类问题（了解） 6、拉格朗日方程（熟悉） 7、二自由度平面关节机器人动力学方程（理解） 8、关节空间和操作空间动力学（了解） [重点和难点] 重点：1、速度雅可比及速度分析 2、力雅可比 3、拉格朗日方程 4、二自由度平面关节机器人动力学方程 难点：1、关节空间和操作空间动力学 [教学法设计] 引入新课： 至今我们对工业机器人运动学方程还只局限于静态位置问题的讨论，还没有涉及力、速度、加速度等。机器人是一个多刚体系统，像刚体静力学平衡一样，整个机器人系统在外载荷和关节驱动力矩（驱动力）作用下将取得静力平衡；也像刚体在外力作用下发生运动变化一样，整个机器人系统在关节驱动力矩（驱动力）作用下将发生运动变化。 新课讲解： 第一次课 第三章 工业机器人静力计算及动力学分析 3-1 工业机器人速度雅可比与速度分析 一、工业机器人速度雅可比 假设有六个函数，每个函数有六个变量，即： ??? ???? ===),,,,,(),,,,,(),,,,,(654321666543212265432111x x x x x x f y x x x x x x f y x x x x x x f y ，可写成Y=F(X)，
二自由度机械臂动力学分析培训资料
二自由度机械臂动力 学分析
平面二自由度机械臂动力学分析 姓名：黄辉龙 专业年级：13级机电 单位：汕头大学 摘要：机器臂是一个非线性的复杂动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，这里主要对平面二自由度机械臂进行动力学研究。拉格朗日方程在多刚体系统动力学的应用方法分析平面二自由度机械臂的正向动力学。经过分析，得出平面二自由度机械臂的动力学方程，为后续更深入研究做铺垫。 关键字：平面二自由度 动力学方程 拉格朗日方程 相关介绍 机器人动力学的研究有牛顿-欧拉（Newton-Euler ）法、拉格朗日 (Langrange)法、高斯（Gauss ）法等，但一般在构建机器人动力学方程中，多采用牛顿-欧拉法及拉格朗日法。 欧拉方程又称牛顿-欧拉方程，应用欧拉方程建立机器人机构的动力学方程是指研究构件质心的运动使用牛顿方程，研究相对于构件质心的转动使用欧拉方程，欧拉方程表征了力、力矩、惯性张量和加速度之间的关系。 在机器人的动力学研究中，主要应用拉格朗日方程建立机器人的动力学方程，这类方程可直接表示为系统控制输入的函数，若采用齐次坐标，递推的拉格朗日方程也可以建立比较方便且有效的动力学方程。 在求解机器人动力学方程过程中，其问题有两类： 1)给出已知轨迹点上? ??θθθ、及、 ，即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩矢量τ。这对实现机器人动态控制是相当有用的。 2)已知关节驱动力矩，求机器人系统相应各瞬时的运动。也就是说，给出关节力矩矢量τ，求机器人所产生的运动? ??θθθ、及、 。这对模拟机器人的运动是非常有用的。 平面二自由度机械臂动力学方程分析及推导过程 1、机器人是结构复杂的连杆系统，一般采用齐次变换的方法，用拉格朗日方程建立其系统动力学方程，对其位姿和运动状态进行描述。机器人动力学方程的具体推导过程如下： 1) 选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量n r ,,2,1,r ???=θ。 2) 选定相应关节上的广义力r F ：当r θ是位移变量时，r F 为力；当r θ是角度变量时，r F 为力矩。 3)求出机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。 4) 代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。 2、下面以图1所示说明机器人二自由度机械臂动力学方程的推导过程。
机器人动力学汇总
机器人动力学研究的典型方法和应用 （燕山大学 机械工程学院） 摘 要：本文介绍了动力学分析的基础知识，总结了机器人动力学分析过程中比较常用的动力学分析的方法：牛顿—欧拉法、拉格朗日法、凯恩法、虚功原理法、微分几何原理法、旋量对偶数法、高斯方法等，并且介绍了各个方法的特点。并通过对PTl300型码垛机器人弹簧平衡机构动力学方法研究，详细分析了各个研究方法的优越性和方法的选择。 前 言：机器人动力学的目的是多方面的。机器人动力学主要是研究机器人机构的动力学。机器人机构包括机械结构和驱动装置，它是机器人的本体，也是机器人实现各种功能运动和操作任务的执行机构，同时也是机器人系统中被控制的对象。目前用计算机辅助方法建立和求解机器人机构的动力学模型是研究机器人动力学的主要方法。动力学研究的主要途径是建立和求解机器人的动力学模型。所谓动力学模指的是一组动力学方程（运动微分方程），把这样的模型作为研究力学和模拟运动的有效工具。 报告正文： （1）机器人动力学研究的方法 1）牛顿—欧拉法 应用牛顿—欧拉法来建立机器人机构的动力学方程，是指对质心的运动和转动分别用牛顿方程和欧拉方程。把机器人每个连杆（或称构件）看做一个刚体。如果已知连杆的表征质量分布和质心位置的惯量张量，那么，为了使连杆运动，必须使其加速或减速，这时所需的力和力矩是期望加速度和连杆质量及其分布的函数。牛顿—欧拉方程就表明力、力矩、惯性和加速度之间的相互关系。 若刚体的质量为m ，为使质心得到加速度a 所必须的作用在质心的力为F ，则按牛顿方程有：ma F = 为使刚体得到角速度ω、角加速度εω= 的转动，必须在刚体上作用一力矩M ， 则按欧拉方程有：εωI I M += 式中，F 、a 、M 、ω、ε都是三维矢量；I 为刚体相对于原点通过质心并与刚
工业机器人剖析
总评成绩：《机器人应用技术》实验报告 专业：机电一体化 班级：机电141班 学号：140212107 姓名：刘宗成 河南工学院 机电工程系
实验一工业机器人机械结构 实验目的：1、认识机器人的基本结构和组成 2、熟悉工业机器人基本工作原理 3、了解工业机器人技术参数 实验原理： 六自由度机械手本体结构图 实验器材：1、FANUC M-6i六自由度机械手二台 2、FANUC M-6iB六自由度机械手一台 3、ABB IRB-2400六自由度机械手一台 4、实验设备使用说明书各一本 实验步骤：1、学习ABB和FANUC六自由度机械手基本构成控制柜与机械本体 2、学习六自由度机械手本体各关节的作用 3、学习六自由度机械手本体中定位关节与姿态关节 4、学习六自由度机械手本体各关节驱动机构与传动机构 5、学习典型工业机器人机械本体质量分布，以及各关节中质量平衡和力矩平衡 6、学习六自由度机械手各关节运动范围及运动速度控制 7、学习工业机器人重复定位精度的定义，并且了解相应机器人的重复定位精度 8、学习工业机器人最大负载 9、学习工业机器人最大运动范围 实验报告：课后每位同学按照要求完成实验报告。 思考题：1、画出六自由度机械手的结构简图 2、分析各关节机械手臂的运动范围 注意事项：1、实验开始之前认真学习工业机器人机械本体结构。 2、实验过程认真阅读实验设备说明书。
实验报告
实验二 机器人运动学实验 实验目的：1、了解四自由机械臂的开链结构 2、掌握机械臂运动关节之间的坐标变换原理 3、学会机器人运动方程的正反解方法 实验原理： 机器人运动学只涉及到物体的运动规律，不考虑产生运动的力和力矩。机器人正运动学所研究的内容是：给定机器人各关节的角度或位移，求解计算机器人末端执行器相对于参考坐标系的位置和姿态问题。 各连杆变换矩阵相乘，可得到机器人末端执行器的位姿方程（正运动学方程）为 ： 432140 A A A A T ==????? ???????10 00 z z z z y y y y x x x x p a o n p a o n p a o n 其中：z 向矢量处于手爪入物体的方向上，称之为接近矢量a ，y 向矢量的方向从一个 指尖指向另一个指尖，处于规定手爪方向上，称为方向矢量o ；最后一个矢量叫法线矢量n ， 它与矢量o 和矢量a 一起构成一个右手矢量集合，并由矢量的叉乘所规定：a o n ?=。 上式表示了机器人变换矩阵40T ，它描述了末端连杆坐标系{4}相对基坐标系{0}的位姿，是机械手运动分析和综合的基础。 实验器材： 1、RBT-4T03S 机器人一台； 2、RBT-4T03S 机器人控制柜一台； 3、装有运动控制卡和控制软件的计算机一台。 实验步骤： 1、 根据机器人坐标系的建立中得出的A 矩阵，相乘后得到T 矩阵，根据一一对应的关系，写出机器人正解的运算公式，并填入表6-1中； 表6-1机器人的正运动学的参数
机器人机械臂运动学分析(仅供借鉴)
平面二自由度机械臂动力学分析 [摘要] 机器臂是一个非线性的复杂动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，这里主要对平面二自由度机械臂进行动力学研究。本文采用拉格朗日方程在多刚体系统动力学的应用方法分析平面二自由度机械臂的正向动力学。经过研究得出平面二自由度机械臂的动力学方程，为后续更深入研究做铺垫。 [关键字] 平面二自由度 一、介绍 机器人是一个非线性的复杂动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，简化解的过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线计算的时间是一个受到关注的研究课题。 机器人动力学问题有两类： (1) 给出已知的轨迹点上的，即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩向量Q r。这对实现机器人动态控制是相当有用的。 (2) 已知关节驱动力矩，求机器人系统相应的各瞬时的运动。也就是说，给出关节力矩向量τ，求机器人所产生的运动。这对模拟机器人的运动是非常有用的。 二、二自由度机器臂动力学方程的推导过程 机器人是结构复杂的连杆系统，一般采用齐次变换的方法，用拉格朗日方程建立其系统动力学方程，对其位姿和运动状态进行描述。机器人动力学方程的具体推导过程如下： (1) 选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量θr ，r=1, 2,…, n。 (2) 选定相应关节上的广义力F r：当θr是位移变量时，F r为力；当θr是角度变量时， F r为力矩。 (3) 求出机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。 (4) 代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。 下面以图1所示说明机器人二自由度机械臂动力学方程的推导过程。
第3章 工业机器人静力计算及动力学分析
第3章工业机器人静力计算及动力学分析 章节题目：第3章工业机器人静力计算及动力学分析 [教学内容] 3.1 工业机器人速度雅可比与速度分析 3.2 工业机器人力雅可比与静力计算 3.3 工业机器人动力学分析 [教学安排] 第3章安排6学时，其中介绍工业机器人速度雅可比45分钟，工业机器人速度分析45分钟，操作臂中的静力30分钟，机器人力雅可比30分钟，机器人静力计算的两类问题10分钟，拉格朗日方程20分钟，二自由度平面关节机器人动力学方程60分钟，关节空间和操作空间动力学30分钟。 通过多媒体课件结合板书的方式，采用课堂讲授和课堂讨论相结合的方法，首先讨论与机器人速度和静力有关的雅可比矩阵，然后介绍工业机器人的静力学问题和动力学问题。 [知识点及其基本要求] 1、工业机器人速度雅可比（掌握） 2、速度分析（掌握） 3、操作臂中的静力（掌握） 4、机器人力雅可比（掌握） 5、机器人静力计算的两类问题（了解） 6、拉格朗日方程（熟悉） 7、二自由度平面关节机器人动力学方程（理解） 8、关节空间和操作空间动力学（了解） [重点和难点] 重点：1、速度雅可比及速度分析 2、力雅可比
3、拉格朗日方程 4、二自由度平面关节机器人动力学方程 难点：1、关节空间和操作空间动力学 [教学法设计] 引入新课： 至今我们对工业机器人运动学方程还只局限于静态位置问题的讨论，还没有涉及力、速度、加速度等。机器人是一个多刚体系统，像刚体静力学平衡一样，整个机器人系统在外载荷和关节驱动力矩（驱动力）作用下将取得静力平衡；也像刚体在外力作用下发生运动变化一样，整个机器人系统在关节驱动力矩（驱动力）作用下将发生运动变化。 新课讲解： 第一次课 第三章工业机器人静力计算及动力学分析 3-1 工业机器人速度雅可比与速度分析 一、工业机器人速度雅可比 假设有六个函数，每个函数有六个变量，即：，可写成 Y=F(X，将其微分，得：，也可简写成 。该式中（6×6）矩阵叫做雅可比矩阵。 在工业机器人速度分析和以后的静力分析中都将遇到类似的矩阵，称之为机器人雅可比矩阵，或简称雅可比矩阵。 二自由度平面关节机器人，端点位置x，y与关节θ1、θ2的关系为：
第3章工业机器人静力计算及动力学分析
第 3 章工业机器人静力计算及动力学分析 章节题目：第 3 章工业机器人静力计算及动力学分析 [教学内容 ] 3.1工业机器人速度雅可比与速度分析 3.2工业机器人力雅可比与静力计算 3.3工业机器人动力学分析 [教学安排 ] 第 3 章安排 6 学时，其中介绍工业机器人速度雅可比45 分钟，工业机器人速度分析45分钟，操作臂中的静力30 分钟，机器人力雅可比30 分钟，机器人静力计算的两类问题10分钟，拉格朗日方程20 分钟，二自由度平面关节机器人动力学方程60 分钟，关节空间和操作空间动力学30 分钟。 通过多媒体课件结合板书的方式，采用课堂讲授和课堂讨论相结合的方法，首先讨论与机器人速度和静力有关的雅可比矩阵，然后介绍工业机器人的静力学问题和动力学问题。 [知识点及其基本要求] 1、工业机器人速度雅可比（掌握） 2、速度分析（掌握） 3、操作臂中的静力（掌握） 4、机器人力雅可比（掌握） 5、机器人静力计算的两类问题（了解） 6、拉格朗日方程（熟悉） 7、二自由度平面关节机器人动力学方程（理解） 8、关节空间和操作空间动力学（了解） [重点和难点 ] 重点： 1、速度雅可比及速度分析 2、力雅可比 3、拉格朗日方程 4、二自由度平面关节机器人动力学方程 难点： 1、关节空间和操作空间动力学 [教学法设计 ] 引入新课： 至今我们对工业机器人运动学方程还只局限于静态位置问题的讨论，还没有涉及力、速度、加速度等。机器人是一个多刚体系统，像刚体静力学平衡一样，整个机器人系统在外载 荷和关节驱动力矩（驱动力）作用下将取得静力平衡；也像刚体在外力作用下发生运动变化 一样，整个机器人系统在关节驱动力矩（驱动力）作用下将发生运动变化。 新课讲解： 第一次课 第三章工业机器人静力计算及动力学分析 3-1 工业机器人速度雅可比与速度分析 一、工业机器人速度雅可比 y1 f 1 (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) 假设有六个函数，每个函数有六个变量，即：y 2f2 ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 )，可写成 Y=F(X) ， y6f6 (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 )