第四章 随机变量的数字特征试题答案
一、 选择(每小题2分)
1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则下列结论中正确的是(D ) A. E (X )=0.5,D (X )=0.5? B. E (X )=0.5,D (X )=0.25 C. E (X )=2,D (X )=4? D. E (X )=2,D (X )=2
2、设随机变量X 与Y 相互独立,且X~N (1,4),Y~N (0,1),令Y X Z -=,则D (Z )=? (??C?)
A. 1 ?
B. 3
C. 5?
D. 6? 3、已知D (X )=4,D (Y )=25,cov (X ,Y )=4,则XY ρ =(C ) A. 0.004? B. 0.04? C. 0.4? D. 4
4、设X ,Y 是任意随机变量,C 为常数,则下列各式中正确的是(?D ) A . D (X+Y )=D (X )+D (Y ) ?B . D (X+C )=D (X )+C C . D (X-Y )=D (X )-D (Y ) ?D . D (X-C )=D (X )
5、设随机变量X 的分布函数为????
???≥<≤-<=4,
14
2,12
2,
0)(x x x x x F ,则E(X)=(D )
A . 31 ?
B . 21
C .2
3
?D . 3
6、设随机变量X 与Y 相互独立,且)61,36(~B X ,)3
1
,12(~B Y ,则)1(+-Y X D =(C )
A . 34 ?
B . 37
C . 323 ?
D . 3
26
7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布,)3
1
,8(~B Y ,
X 与Y 相互独立,则)43(--Y X D =(C )
A . -13 ?
B . 15
C . 19 ?
D . 23 8、已知1)(=X D ,25)(=Y D ,XY ρ=0.4,则)(Y X D -=(B ) A . 6 ?B . 22 C . 30 ?D . 46
9、设)3
1
,10(~B X ,则)(X E =(C )
A . 31 ?
B . 1
C . 310
?D . 10
10、设)3,1(~2N X ,则下列选项中,不成立的是(B )
A. E (X )=1?
B. D (X )=3?
C. P (X=1)=0?
D. P (X<1)=0.5 11、设)(X E ,)(Y E ,)(X D ,)(Y D 及),cov(Y X 均存在,则)(Y X D -=(C )
A . )(X D +)(Y D ?
B . )(X D -)(Y D
C .)(X
D +)(Y D -2),cov(Y X ?D .)(X D +)(Y D +2),cov(Y X
12、设随机变量)2
1
,10(~B X ,)10,2(~N Y ,又14)(=XY E ,则X 与Y 的相关系数XY ρ=(D )
A . -0.8 ?
B . -0.16
C . 0.16 ?
D . 0.8
13、已知随机变量X 的分布律为
25
.025.012p P x
X i
-,且E (X )=1?,则常数x =( B)
A . 2 ?
B . 4
C . 6 ?
D . 8
14、设随机变量X 服从参数为2的指数分布,则随机变量X 的数学期望是(C ) A. -0.5 B. 0 C. 0.5 D. 2
15、已知随机变量X 的分布函数为F(x)=??
?>--other
x e x
12,则X 的均值和方差分别为(?D ) A .4)(,2)(==X D X E ?B . 2)(,4)(==X D X E
C .2
1
)(,41)(==
X D X E ?D .4
1
)(,21)(==X D X E 16
则)(XY E =(B )
A . 91- ?
B . 0
C . 91 ?
D . 3
1
17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则随机变量X 的方差为(D ) A . 2- ?B . 0 C .0.5 ?D 2 18、设随机变量X 与Y 相互独立,X 服从参数为2的指数分布,Y ~B(6,0.5),则E(X-Y)=( A) A . 5.2- ?B . 0.5 C . 2 ?D . 5
19、设二维随机变量(X ,Y)的协方差cov(X ,Y)=6
1
,且D(X)=4,D(Y)=9,则X 与Y 的相
关系数XY ρ为(?B )
A .
2161 ?B . 361 C . 6
1
?D . 1 20、设随机变量X 与Y 相互独立,且X ~N?(0,9),Y ~N?(0,1),令Z=X-2Y , 则D?(Z)=(D ) A . 5 ?B . 7 C . 11 ?D 13 21、设(X ,Y)为二维随机变量,且D?(X)>0,D?(Y)>0,则下列等式成立的是(B )
A . )()()(Y E X E XY E = ?
B . )()(),cov(Y D X D Y X XY ?=ρ
C . )()()(Y
D X D Y X D +=+ ?D . ),cov(2)2,2cov(Y X Y X =
22、设n X X X ,,,21Λ是来自总体),(2σμN 的样本,对任意的ε>0,样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为(B ) A . {}
2
2
εσεμn n X P ≥
<- ?B . {}
22
1εσεμn X P -≥<-
C . {}
2
2
1ε
σεμn X P -
≤≥- ?D .{}
2
2
ε
σεμn n X P ≤
≥-
23、设随机变量X 的μ=)(X E ,2)(σ=X D ,用切比雪夫不等式估计{}≥<-σ3)(X E X P (C )
A . 91 ?
B . 31
C . 9
8
?D . 1
24、设随机变量 X 服从参数为0.5的指数分布,用切比雪夫不等式估计{}≤≥-32X P (C )
A . 91 ?
B . 31
C . 94 ?
D 2
1
25、已知随机变量X ~N(0,1),则随机变量Y=2X-1的方差为(D ) A . 1 ?B . 2 C . 3 ?D 4 二、填空(每小题2分)
1、设X~)2
1
,4(B ,则)(2X E =5
2、设E (X )=2,E (Y )=3,E (XY )=7,则cov (X ,Y )=1
3、已知随机变量X 满足1)(-=X E ,2)(2=X E ,则)(X D =1
4、设随机变量X ,Y 的分布列分别为 且X ,Y 相互独立,则E (XY )= 24
13
-
5、随机变量X 的所有可能取值为0和x ,且3.0}0{==X P ,1)(=X E ,则x =
7
10 6、设随机变量X 的分布律为
4
.03
.02.01.02101i
P X -,则)(X D =1
7、设随机变量X 服从参数为3的指数分布,则)12(+X D =
9
4 8、设二维随机变量);,;,(~),(2
2
2121ρσσμμN Y X ,且X 与Y 相互独立,则ρ=0 9、设随机变量序列ΛΛ,,,,21n X X X 独立同分布,且μ=)(i X E ,0)(2>=σi X D ,
Λ,2,1=i ,
则对任意实数x ,???
?
???
???????>-∑=∞
→x n n X P n i i n σμ1lim =)(1x Φ-
10、设随机变量X 具有分布5
1
}{=
=k X P ,5,4,3,2,1=k ,则)(X E =3 11、设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X-2, 则E?(?Y?)=-0.5
12、已知随机变量X 的分布律为
2
.03.05.05
01i
P X -,则)}({X E X P <=0.8
13、已知E (X )= -1?,D (X )=3,则)23(2-X E =10
14、设1X ,2X ,Y 均为随机变量,
已知1),cov(1-=Y X ,3),cov(2=Y X ,则),2cov(21Y X X +=5 15、设)1,0(~N X ,)2
1
,16(~B Y ,且X ,Y 相互独立,则)2(Y X D +=8
16、将一枚均匀硬币连掷100次,则利用中心极限定理可知,正面出现的次数大于60的概率近似为0.0228 (附:Φ(2)=0.9772) 17、设随机变量X?~?B (100,0.2),应用中心极限定理计算P{16?X ?24}=0.6826 附:Φ(1)=0.8413 18、设随机变量X ,Y 的期望和方差分别为E(X)=0.5,E(Y)=-0.5,D(X)=D(Y)=0.75,E(XY)=0,则X ,Y 的相关系数XY ρ=3
1
19、设随机变量X 的期望E?(X?)=2,方差D?(X?)=4,随机变量Y 的期望E?(Y)=4, D?(Y?)=9,
又E?(XY?)=10,则X ,Y 的相关系数XY ρ=3
1
20、设随机变量X 服从二项分布)31,3(B ,则)(2X E =3
5
三、计算:每小题5分
1、某柜台做顾客调查,设每小时到达柜台的顾客数X 服从泊松分布,则)(~λP X ,若已知}2{}1{===X P X P ,且该柜台销售情况Y (千元),满足22
12
+=X Y 。 试求:(1)参数λ的值。
(2)一小时内至少有一个顾客光临的概率 (3)该柜台每小时的平均销售情况E (Y ) 解:(1)因为 X 服从泊松分布,则 !
}{k e k X P k λ
λ-==,0;,2,1,0>=λΛk ,
又因为 }2{}1{===X P X P
所以
!
2!
121λ
λ
λλ--=
e e ,2=λ
所以 !2}{2
k e k X P k -==,0;,2,1,0>=λΛk
(2)22
01!
021}0{1}1{---=-==-=≥e e X P X P 所以 一小时内至少有一个顾客光临的概率为21--e 。 (3)因为 X 服从泊松分布,则2)(==λX E ,2)(==λX D , 所以 622)]([)()(222=+=+=X E X D X E
2)(21)221()(22+=+=X E X E Y E =5262
1
=+?
所以该柜台每小时的平均销售情况E (Y )=5
2、设),(Y X 的密度函数为
求:)(X E ,)(Y E ,)(X D ,)(Y D ,),cov(Y X ,),(Y X ρ
解:)(X E =??=
--101
0125)2(dy y x x dx , )(Y E =??=--1010125
)2(dy y x y dx
)(XY E =??=--101061)2(dy y x xy dx , )(2
X E =??=--10102123)2(dy y x x dx
)(2Y E =??=--1010212
3
)2(dy y x y dx ,
)(X D =14411
)125(123))(()(222=-=-X E X E
)(Y D =144
11
)125(123))(()(222=-=-Y E Y E
),cov(Y X =144
1
12512561)()()(-=?-=-Y E X E XY E
),(Y X ρ=)()(),cov(Y D X D Y X =111144
11
14411441
-=-
随机变量的数字特征试题 答案 It was last revised on January 2, 2021
第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、 选择(每小题2分) 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则下列结论中正确的是(D ) A. E (X )=,D (X )= B. E (X )=,D (X )= C. E (X )=2,D (X )=4 D. E (X )=2,D (X )=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立,且X~N (1,4),Y~N (0,1),令Y X Z -=,则D (Z )= (C ) A. 1 B. 3 C. 5 D. 6? 3、已知D (X )=4,D (Y )=25,cov (X ,Y )=4,则XY ρ =(C ) A. 0.004 B. C. D. 4 4、设X ,Y 是任意随机变量,C 为常数,则下列各式中正确的是(D ) A . D (X+Y )=D (X )+D (Y ) B . D (X+C )=D (X )+C C . D (X -Y )=D (X )-D (Y ) D . D (X -C )=D (X ) 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ,则E(X)=(D ) A . 31 B . 21 C .2 3 D . 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立,且)61,36(~B X ,)3 1 ,12(~B Y ,则)1(+-Y X D = (C ) A . 34 B . 37 C . 323 D . 3 26
7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布,)31 ,8(~B Y ,X 与Y 相互独立,则 )43(--Y X D =(C ) A . -13 B . 15 C . 19 D . 23 8、已知1)(=X D ,25)(=Y D ,XY ρ=,则)(Y X D -=(B ) A . 6 B . 22 C . 30 D . 46 9、设)3 1 ,10(~B X ,则)(X E =(C ) A . 31 B . 1 C . 3 10 D . 10 10、设)3,1(~2N X ,则下列选项中,不成立的是(B ) A. E (X )=1? B. D (X )=3? C. P (X=1)=0 D. P (X<1)= 11、设)(X E ,)(Y E ,)(X D ,)(Y D 及),cov(Y X 均存在,则)(Y X D -=(C ) A . )(X D +)(Y D B . )(X D -)(Y D C .)(X D +)(Y D -2),cov(Y X D .)(X D +)(Y D +2),cov(Y X 12、设随机变量)2 1 ,10(~B X ,)10,2(~N Y ,又14)(=XY E ,则X 与Y 的相关系数 XY ρ=(D ) A . B . -0.16 C . D . 13、已知随机变量X 的分布律为 25 .025.012p P x X i -,且E (X )=1?,则常数x =( B) A . 2 B . 4 C . 6 D . 8 14、设随机变量X 服从参数为2的指数分布,则随机变量X 的数学期望是(C ) A. B. 0 C. D. 2 15、已知随机变量X 的分布函数为F(x)=?? ?>--other x e x 00 12,则X 的均值和方差分别为(D )
概率论与数理统计练习题 、选择题: 二、填空题: 1 4.设随机变量 X 的密度函数为f(x) e |x| ( x ),则E(X) 0 三、计算题: 1.袋中有5个乒乓球,编号为1 , 2, 3, 4, 5,从中任取3个,以X 表示取出的3个球中最大编 号,求E(X) 解:X 的可能取值为3, 4, 5 E(X) 3 丄 4 色 5 3 4.5 10 10 5 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 系 _____ 第四章 专业 ______ 班 _________ 随机变量的数字特征(一) 学号 1 ?设随机变量 X 的可能取值为0, 1, 相应的概率分布为 0.6,0.3 , .01,则 E(X) 0.5 2 .设X 为正态分布的随机变量,概率密度为 f(x) 2?2 e (x 1)2 2 8 ,贝U E(2X 1) ,则 E(X 3X 2) 116/15 1 ?设随机变量X ,且 E(X)存在,则 E(X)是 (A )X 的函数 (B )确定常数 随机变量 (D )x 的函数 2 .设X 的概率密度为 f(x) 1 x e 9 9 0 ,则 E( 9X) 3 ?设 x x e 9 dx 1 (B) 9 x x e 9dx (C ) (D ) 1 是随机变量, E( )存在,若 ¥,则 E() E() (B)罟 (C ) E() P(X 3) 1 10 , P(X 4) C 5 3 10 P(X 5) § 10
2 ?设随机变量X 的密度函数为f(X ) 2 (1 %)0甘它1,求E(X) 0 其它 2 3?设随机变量X~N(,),求E(|X I) (1) Y 1 e 2X ( 2)Y 2 max{ X, 2} 解:(1) E(Y) 2x x 1 e e dx 0 3 (2) EM) 2 x 2e dx xe 0 2 x dx 2 2e 2 3e 2 2 2 e (3) E(Y 3) 2 e x dx 2e x 0 2 dx 1 c 2 c 2 」 2 3e 2e 1 e 概率论与数理统计练习题 ________ 系 _______ 专业 ______ 班 ___________________学号 _________ 第四章 随机变量的数字特征(二) 、选择题: 解:E(X) X 2(1 x)dx 解: |x (x )2 1 — dx 令y 2 y I y |e 2dy 4 .设随机变量 X 的密度函数为f (x) x 0 ,试求下列随机变量的数学期望。 x 0 (3) Y min{ X,2} 2 2~ 2 o ye dy
第四章 随机变量的数字特征 一、填空题 1. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望____________)(2=+-X e X E 。 2. 若随机变量X 服从均值为2,方差为2 σ的正态分布,且3.0)42(=<
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 学号 第四章 随机变量的数字特征(一) 一、选择题: 1.设随机变量X ,且()E X 存在,则()E X 是 [ B ] (A )X 的函数 (B )确定常数 (C )随机变量 (D )x 的函数 2.设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=?? ,则1 ()9 E X - = [ C ] (A )919x x e dx +∞-∞?? (B )91 9x x e dx +∞-∞ -?? (C )1- (D )1 3.设ξ是随机变量,()E ξ存在,若2 3 ξη-=,则()E η= [ D ] (A )()E ξ (B )()3E ξ (C )()2E ξ- (D )()2 33 E ξ- 二、填空题: 1.设随机变量X 的可能取值为0,1,2,相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01,则()E X = 0.5 2.设X 为正态分布的随机变量,概率密度为2 (1) 8()x f x +-=,则2(21)E X -= 9 3.设随机变量X 的概率分布 ,则2(3)E X X += 116/15 4.设随机变量X 的密度函数为|| 1()()2 x f x e x -= -∞<<+∞,则()E X = 0 三、计算题: 1.袋中有5个乒乓球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个,以X 表示取出的3个球中最大编号,求()E X 解:X 的可能取值为3,4,5 3511(3)10P X C ===, 23353(4)10C P X C === 2 4356 (5)10 C P X C === 133 ()345 4.510105 E X =? +?+?=
特征函数 (概率论) 维基百科,自由的百科全书 跳转到:导航, 搜索 在概率论中,任何随机变量的特征函数完全定义了它的概率分布。在实直线上,它由以下公式给出,其中X是任何具有该分布的随机变量: , 其中t是一个实数,i是虚数单位,E表示期望值。 用矩母函数M X(t)来表示(如果它存在),特征函数就是iX的矩母函数,或X 在虚数轴上求得的矩母函数。 与矩母函数不同,特征函数总是存在。 如果F X是累积分布函数,那么特征函数由黎曼-斯蒂尔切斯积分给出: 。 在概率密度函数f X存在的情况下,该公式就变为: 。 如果X是一个向量值随机变量,我们便取自变量t为向量,tX为数量积。 R或R n上的每一个概率分布都有特征函数,因为我们是在有限测度的空间上对一个有界函数进行积分,且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布。 一个对称概率密度函数的特征函数(也就是满足f X(x) = f X(-x))是实数,因为从x>0所获得的虚数部分与从x<0所获得的相互抵消。
目录 [隐藏] ? 1 性质 ? 2 连续性 o 2.1 反演定理 o 2.2 博赫纳-辛钦定理/公理化定义 o 2.3 计算性质 ? 3 特征函数的应用 o 3.1 矩 o 3.2 一个例子 ? 4 多元特征函数 o 4.1 例子 ? 5 矩阵值随机变量 ? 6 相关概念 ?7 参考文献 [编辑]性质 [编辑]连续性 主条目:勒维连续定理 勒维连续定理说明,假设为一个随机变量序列,其中每一个都有特征函数,那么它依分布收敛于某个随机变量: 当 如果 当 且在处连续,是的特征函数。 勒维连续定理可以用来证明弱大数定律。
第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、选择(每小题2分) 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则下列结论中正确的是(D ) A. E (X )=,D (X )=? B. E (X )=,D (X )= C. E (X )=2,D (X )=4? D. E (X )=2,D (X )=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立,且X~N (1,4),Y~N (0,1),令Y X Z -=,则D (Z )=? (??C?) A. 1 ? B. 3 C. 5? D. 6? 3、已知D (X )=4,D (Y )=25,cov (X ,Y )=4,则XY ρ =(C ) A. 0.004? B. ? C. ? D. 4 4、设X ,Y 是任意随机变量,C 为常数,则下列各式中正确的是(?D ) A . D (X+Y )=D (X )+D (Y ) ?B . D (X+C )=D (X )+C C . D (X-Y )=D (X )-D (Y ) ?D . D (X-C )=D (X ) 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ,则E(X)=(D ) A . 31 ?B . 21 C .2 3 ?D . 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立,且)61,36(~B X ,)3 1 ,12(~B Y ,则)1(+-Y X D =(C ) A . 34 ? B . 37 C . 323 ? D . 3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布,)3 1 ,8(~B Y , X 与Y 相互独立,则)43(--Y X D =(C ) A . -13 ? B . 15 C . 19 ? D . 23 8、已知1)(=X D ,25)(=Y D ,XY ρ=,则)(Y X D -=(B ) A . 6 ?B . 22 C . 30 ?D . 46 9、设)3 1,10(~B X ,则)(X E =(C ) A . 31 ?B . 1 C . 3 10 ?D . 10 10、设)3,1(~2 N X ,则下列选项中,不成立的是(B ) A. E (X )=1? B. D (X )=3? C. P (X=1)=0? D. P (X<1)= 11、设)(X E ,)(Y E ,)(X D ,)(Y D 及),cov(Y X 均存在,则)(Y X D -=(C ) A . )(X D +)(Y D ?B . )(X D -)(Y D
第四章随机变量的数字特征试题答案 一、 选择(每小题2分) 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则下列结论中正确的是(D ) A.E (X )=0.5,D (X )=0.5?B.E (X )=0.5,D (X )=0.25 C.E (X )=2,D (X )=4?D.E (X )=2,D (X )=2 2 Y X -=,则34) A C 5A 6、)1= (C ) A .3 4?B .3 7C . 323?D .3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布,)3 1 ,8(~B Y ,X 与Y 相互独立,则 )43(--Y X D =(C ) A .-13? B .15 C .19? D .23 8、已知1)(=X D ,25)(=Y D ,XY ρ=0.4,则)(Y X D -=(B )
A .6? B .22 C .30? D .46 9、设)3 1 ,10(~B X ,则)(X E =(C ) A .31? B .1 C .3 10?D .10 10、设)3,1(~2N X ,则下列选项中,不成立的是(B ) A.E (X )=1? B.D (X )=3? C.P (X=1)=0? D.P (X<1)=0.5 11 A .C .12、XY ρ= (D 13x =(B) A . 14、(C ) A.-15、为(A .C .21)(,41)(== X D X E ?D .4 1 )(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量(X ,Y )的分布律为
则)(XY E =(B ) A .9 1-?B .0 C .9 1?D .3 1 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则随机变量X 的方差为(D ) A 18,0.5),则A 19,则X A 20, 则21(B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本,对任意的ε>0,样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为(B ) A .{}2 2 εσεμn n X P ≥ <-?B .{} 22 1ε σεμn X P -≥<- C .{}2 2 1ε σεμn X P - ≤≥-?D .{}2 2 εσεμn n X P ≤ ≥-
第三章 随机变量的数字特征答案 一、1、35;2、 6175;;259,59,259, 563、σ σμ1 , =±=b a ; 4、()(),2 1212 1211 )(2 2 2 212111 2??? ? ??-- ---+-? = ? = = x x x x e e e x πππ ? ),(~所以2 1 1N ξ ,2 1 ,12 = ===σ ξμξD E 5、2 1-;6.a=2,b=0,或a=-2,b=2;32)(=ξE 或31 ; 7、()()125,01022===+=+=+=+a D a b a D b a b aE b a E ξξξξ 所以2,5 1 2,51=-=-== b a b a 或 8、()()6.2022,2=++=++=+ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D ()()4.232,2=-+=-+=-ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D 9、148,57; 10、()()()()n D a E D a E i i 2 2 ,,,σξ ξσξξ= ===所以 二、1、C 2、B 3、C 4、B 5、C 三、1、,2.03.023.004.02-=?+?+?-=ξE ()8.23.023.004.02222 2=?+?+?-=ξE ()() ()() ( )04.114,412,4.1353532 222=-==-=+=+ξξξξξξE E D D E E 2、ξ~[]10,0U ,()32512010,5210 02 =-==+=ξξD E , 3 35=ξD 3、4)(,1)2 (==ξξ D D ,则 1)(,4)1(==-ξξ E D 所以0)1(=-ξE 所以 ()()()() 2 2 2111404E D E ξξξ-=-+-=+= 4、()()()()()()32323223,2D D D D Cov ξηξηξηξη-=+-=+-+- ()( )941225.6D D ξηρ=+-=
随机变量的数字特征 讨论随机变量数字特征的原因 (1) 在实际问题中,有的随机变量的概率分布 难确定,有的不可能知道,而它的一些数字特征较易确定。 (2)实际应用中,人们更关心概率分布的数字特征。 (3)一些常用的重要分布,如二项分布、泊松 分布、指数分布、正态分布等,只要知道了它们的某些数字特征,就能完全确定其具体的分布。 §4.1 数学期望 一、数学期望的概念 1.离散性随机变量的数学期望 例4.1:大学一年级某班有32名同学,年龄情况如下: 解: 平均年龄=1 4810721 224218201019718217+++++?+?+?+?+?+? 25.19= 把上式改写为: 32 12232421328203210193271832217?+?+?+?+?+?
设X 为从该班任选一名同学的年龄,其概率分布为 定义4.1:设离散型随机变量X 的分布列为: 若 ∑k k k p x 绝对收敛(即 +∞ <=∑∑k k k k k k p x p x ),则称它为X 的 数学期望或均值(此时,也称X 的数学期望存在),记为E(X),即 若 ∑k k k p x 发散,则称X 的数学期望不存在。 说明: (1)随机变量的数学期望是一个实数,它体现了随机变量取值的平均; (2) 要注意数学期望存在的条件: ∑k k k p x 绝对 收敛; (3) 当X 服从某一分布时,也称某分布的数学 期望为EX 。 ∑=k k k p x EX
例4.2:设X服从参数为p的两点分布,求EX EX=p 例4.3:设X~B(n,p),求EX EX=np 例4.4:设X服从参数为λ的泊松分布,求EX EX=λ 2.连续型随机变量的数学期望 定义4.2: 设连续型随机变量X 的概率密度为f(x).若积分 ?+∞∞-dx x xf) ( 绝对收敛,(即?∞∞ - +∞ < dx x f x) ( ),则称它 为X的数学期望或均值(此时,也称X的数学期望存在),记为E(X),即 ) ( ) (?∞∞- =dx x xf X E 若?∞∞ - +∞ = dx x f x) ( , 则称X的数学期望不存在。 例4.5:设X服从U[a,b],求E(X)。 EX= 2b a+ 例4.6:设X服从参数为λ的指数分布,求EX EX=λ 例4.7: ) , ( ~2σ μ N X,求EX
第四章随机变量的数字特征 【基本要求】理解随机变量的数学期望与方差的概念,掌握它们的性质与计算方法;掌握计算随机变量函数的数学期望方法;掌握二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差;了解协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法。 【本章重点】数学期望与方差的概念、性质与计算方法;求随机变量函数的数学期望的方法;二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差。 【本章难点】数学期望与方差的概念计算方法;随机变量函数的数学期望的计算方法;协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法 【学时分配】7-9学时 分布函数:) x F≤ =——全面描述随机变量X取值的统计规律。但是,在实际问题中 P X ) ( (x 分布函数的确定并不是一件容易的事,而且有时我们也不需要知道分布函数,只需知道随机变量的某些数字特征就够了。例如: 评价粮食产量,只关注平均产量; 研究水稻品种优劣,只关注每株平均粒数; 评价某班成绩,只关注平均分数、偏离程度; 评价射击水平,只关注平均命中环数、偏离程度。 描述变量的平均值的量——数学期望, 描述变量的离散程度的量——方差。 §4.1 数学期望 教学目的:使学生理解掌握随机变量的数学期望的实际意义及概念,会计算具体分布的数学期望; 使学生理解掌握随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。 教学重点、难点:数学期望的概念及其计算;随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。
教学过程: (一) 数学期望的概念 先看一个例子:一射手进行打靶练习,规定射入 区域2e 得2分, 射入区域1e 得1分,脱靶即射入 区域0e 得0分.设射手一次射击的得分数X 是一个 e 0 随机变量,而且X 的分布律为P{X=k}=k p ,k=0,1,2 现射击N 次,其中得0分0a 次,得1分1a 次,得2分2a 次,0a +1a +2a =N.则他射击N 次得分的总和为0a 0+ 1a 1+ 2a 2,他平均一次射击的得分数为 ∑==?+?+?2 210210k k N a k N a a a ,因为当N 充分大时, 频率k p 概率稳定值 ??→?N a k 。 所以当N 充分大时, 平均数∑=??→?2 k k k p x x 稳定值 。 显然,数值∑=2 k k k p x 完全由随机变量X 的概率分布确定,而与试验无关,它反映了平均数的大小。 定义: 1.离散型随机变量的数学期望:设离散型随机变量X 的分布律为{}k k P X x p ==,1,2,3k =…若级数1 k k k x p ∞ =∑绝对收敛,则称级数1 k k k x p ∞ =∑为随机变量X 的数学期望,记为()E X ,即()E X =1 k k k x p ∞ =∑。 2.连续型随机变量的数学期望:设连续型随机变量X 的密度函数为()f x ,若积分()xf x dx ∞ -∞ ?绝对 收敛,则称积分()xf x dx ∞-∞ ?的值为随机变量X 的数学期望,记为()E X 。即()E X =()xf x dx ∞ -∞ ?。 数学期望简称期望,又称为均值。 (二) 数学期望的计算 关键是:求出随机变量的分布律或者密度函数。 1、离散型——若 则()E X =1k k k x p ∞ =∑ (绝对收敛)
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征(一) 一、选择题: 1.设随机变量X ,且()E X 存在,则()E X 是 [ B ] (A )X 的函数 (B )确定常数 (C )随机变量 (D )x 的函数 2.设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=?? ,则1 ()9 E X - = [ C ] (A )919x x e dx +∞-∞?? (B )91 9x x e dx +∞-∞ -?? (C )1- (D )1 3.设ξ是随机变量,()E ξ存在,若2 3 ξη-=,则()E η= [ D ] (A )()E ξ (B )()3E ξ (C )()2E ξ- (D )()2 33 E ξ- 二、填空题: 1.设随机变量X 的可能取值为0,1,2,相应的概率分布为 , , .01,则()E X = 2.设X 为正态分布的随机变量,概率密度为2 (1) 8()x f x +-=,则2(21)E X -= 9 3.设随机变量X 的概率分布 ,则2(3)E X X += 116/15 4.设随机变量X 的密度函数为|| 1()()2 x f x e x -= -∞<<+∞,则()E X = 0 三、计算题: 1.袋中有5个乒乓球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个,以X 表示取出的3个球中最大编号,求()E X 解:X 的可能取值为3,4,5 3511(3)10P X C ===, 23353(4)10C P X C === 2 4356 (5)10 C P X C === 133 ()345 4.510105 E X =? +?+?=
第四章 随机变量的数字特征 ㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置. 1、数学期望的定义 (1) 定义 离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为 {}?????==?∑∞ ∞ - d )( )()( , , 连续型离散型x x xf x X x X k k k P E 其中Σ表示对X 的一切可能值求和.对于离散型变量,若可能值个数无限,则要求级数绝对收敛;对于连续型变量,要求定义中的积分绝对收敛;否则认为数学期望不存在. ①常见的离散型随机变量的数学期望 1、离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量的概率分布为 ,若,则称级数为随 机变量 的数学期望(或称为均值),记为 , 即 2、两点分布的数学期望 设 服从0—1分布,则有 ,根据定义, 的数学期望为 . 3、二项分布的数学期望 设 服从以 为参数的二项分布, ,则 。 4、泊松分布的数学期望 设随机变量 服从参数为的泊松分布,即,从而有 。 ①常见的连续型随机变量的数学期望 1)均匀分布
设随机变量ξ服从均匀分布,ξ~U [a,b] (a0,- <μ<+ ) 则令得 ∴ E(ξ)=μ . 3)指数分布 设随机变量服从参数为的指数分布,的密度函数为 ,则. (2) 随机变量的函数的数学期望设)(x g y=为连续函数或分段连续函数,而X是任一随机变量,则随机变量) (X g Y=的数学期望可以通过随机变量X的概率分布直接来求,而不必先求出Y的概率分布再求其数学期望;对于二元函数) , (Y X g Z=,有类似的公式: (){} ? ? ? ? ?= = = ? ∑ ∞ ∞ . ; (连续型) 离散型 - d) ( ) ( ) ( ) ( x x f x g x X x g X g Y k k k P E E
第十章 随机变量分布及数字特征 10.1 随机变量 10.2 离散型随机变量分布 1、学时:2学时 2、过程与方法: 结合实例介绍随机变量概念,离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质. 3、教学要求: (1)掌握随机变量及离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 (2)几种常见概率分布 教学重点:离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 教学难点:离散型随机变量的分布函数 教学形式:多媒体讲授 教学过程: 一、新课教学内容 10.1 随机变量 概率论与数理统计是从数量上来研究随机现象的统计规律,因此我们必须把随机事件数量化. 在随机试验中,结果有多种可能性,试验结果样本点很多可以与数值直接发生关系,如产品检验,我们关心的是抽样中出现的废品件数.商店销售我们重视每天销售额,利润值.在投骰子中是每次出现的点数等. 但是也有不少试验结果初看与数字无直接关系,但我们可通过如下示性函数使之数值化,比如,产品合格与不合格令???=01ξ 不合格 合格 事件10A A X ?=??发生与否用 不发生发生 这些事件数值化后,数量是会
变化的称为变量.变量取值机会有大有小所以叫随机变量 . 定义1:在某一随机试验中,对于试验的每一个样本点ω都唯一对应一个数,这样依不同样本点ω而取不同值的点叫随机变量.通常用希腊字母或大写英文字母X 、Y 、Z 等表示.用小写英文字母i i y x 、表示随机变量相应于某个试验结果所取的值. 举例: 1°投骰子出现的点数用随机变量X 表示,X 可取值为{ },,,,,,654321 2°电信局话务台每小时收到呼叫次数用Y 表示,Y 可取值为{}Λ210,, 3°总站每五分钟发某一路车,乘客在车站候车时间{} 50≤≤=t t ξ 4°某一电子零件的寿命用{} 30000≤≤=t t T 按其取值情况可以把随机变量分成两类: (1)离散型随机变量:取有限个或无限可列个值.如例1°、2°. (2)非离散型随机变量:可在整个数轴上取值或取实数某部分区间的全部值.非离散型随机变量范围较广,本书只研究其中常遇见的一种称为连续型随机变量如例3°、4°. 例1 设有2个一级品,3个二级品的产品,从中随机取出3个产品,如果用X 表示取出产品中一级品的个数,求X 取不同值时相应概率. 解 X 可取值为{}210,, 101)0(3533===C C X P 53)1(352312===C C C X P 103 )2(35 1 322==C C C X P 例2 抛一枚匀称的硬币,引进一变量Y 令???=0 1Y 出现反面 出现正面求出现正面与反面概率: 解 21)0(= =Y P 2 1)1(==Y P 10.2 离散型随机变量分布 10.2.1 离散型随机变量的概率分布 例1 某汽车公司销售汽车数据表示在过去100天营业时间是有24天每天销售汽车是为0辆,38天
第四章 大数定律与中心极限定理 4.1特征函数 内容提要 1. 特征函数的定义 设X 是一个随机变量,称)()(itX e E t =?为X 的特征函数,其表达式如下 (),()().(), 在离散场合, 在连续场合,itx i i itX itx x e P X x t E e t e p x dx ?+∞-∞ ?=?==-∞<<+∞???∑? 由于1sin cos 22=+=tx tx e itx ,所以随机变量X 的特征函数)(t ?总是存在的. 2. 特征函数的性质 (1) 1)0()(=≤??t ; (2) ),()(t t ??=-其中)(t ?表示)(t ?的共 轭; (3) 若Y =aX +b ,其中a ,b 是常数.则);()(at e t X ibt Y ??= (4) 若X 与Y 是相互独立的随机变量,则);()()(t t t Y X Y X ????=+ (5) 若()l E X 存在,则)(t X ?可l 次求导,且对l k ≤≤1,有);()0()(k k k X E i =? (6) 一致连续性 特征函数)(t ?在),(+∞-∞上一致连续 (7) 非负定性 特征函数)(t ?是非负定的,即对任意正整数n ,及n 个实数 n t t t ,,,21 和n 个复数n z z z ,,21,有 ;0)(11≥-∑∑==j k j n k n j k z z t t ? (8) 逆转公式 设F (x )和)(t ?分别为X 的分布函数和特征函数,则对F (x )的任意两个点21x x <,有 =-+--+2 )0()(2)0()(1122x F x F x F x F ;)(21 lim 2 1dt t it e e T T itx itx T ?π?-+∞→- 特别对F (x )的任意两个连续点21x x <,有 ;)(21 lim )()(2 112dt t it e e x F x F T T itx itx T ?π ?-+∞→-=- (9) 唯一性定理 随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定;
第四章 大数定律与中心极限定理 4.1特征函数 内容提要 1. 特征函数的定义 设X 是一个随机变量,称)()(itX e E t =?为X 的特征函数,其表达式如下 (),()().(), 在离散场合, 在连续场合,itx i i itX itx x e P X x t E e t e p x dx ?+∞-∞ ?=?==-∞<<+∞???∑? 由于1sin cos 22=+=tx tx e itx ,所以随机变量X 的特征函数)(t ?总是存在的. 2. 特征函数的性质 (1) 1)0()(=≤??t ; (2) ),()(t t ??=-其中)(t ?表示)(t ?的共 轭; (3) 若Y =aX +b ,其中a ,b 是常数.则);()(at e t X ibt Y ??= (4) 若X 与Y 是相互独立的随机变量,则);()()(t t t Y X Y X ????=+ (5) 若()l E X 存在,则)(t X ?可l 次求导,且对l k ≤≤1,有);()0()(k k k X E i =? (6) 一致连续性 特征函数)(t ?在),(+∞-∞上一致连续 (7) 非负定性 特征函数)(t ?是非负定的,即对任意正整数n ,及n 个实数 n t t t ,,,21 和n 个复数n z z z ,,21,有 ;0)(11≥-∑∑==j k j n k n j k z z t t ? (8) 逆转公式 设F (x )和)(t ?分别为X 的分布函数和特征函数,则对F (x )的任意两个点21x x <,有 =-+--+2 )0()(2)0()(1122x F x F x F x F ;)(21 lim 2 1dt t it e e T T itx itx T ?π?-+∞→- 特别对F (x )的任意两个连续点21x x <,有 ;)(21 lim )()(2 112dt t it e e x F x F T T itx itx T ?π ?-+∞→-=- (9) 唯一性定理 随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定;
第四章 随机变量的数字特征 1. 解:令A 表示一次检验就去调整设备的事件,设其概率为p ,T 表示每次检验发现的次品个数,易知(10,0.1)T B ~,且(4,)X B p ~。 得, 0010119 1010(){1}1{1}1(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.2639p P A P T P T C C ==>=-≤=--=。 因为(4,)X B p ~,得()4 1.0556E X p =?=。 2. 解:1500 3000 2220 1500 ()()(3000)5001000150015001500x x E X xf x dx dx x dx +∞ -∞ -= =+-=+=?? ?。 3. 解:1 ()(2)0.400.320.30.2k k i E X x p ∞ == =-?+?+?=-∑; 2 21 (35)(35)170.450.3170.313.4k k i E X x p ∞ =+=+=?+?+?=∑ 22(35)3()513.4E X E X +=+=。 4.解:(1)0 ()(2)2()2 ()22(| )2x x x E Y E X E X xf x dx x e dx xe e dx +∞ +∞ +∞ --+∞ --∞ ==== =-+=???. (2)223300 1 1 33 ()()()|X x x x E Y E e e f x dx e dx e +∞ +∞ ----+∞ -∞ == = =-=??. 5.解:(1)3 33 1 1 1 ()10.420.230.42i i i ij i i j E X x p x p ? ==== ==?+?+?=∑∑∑. 3 3 3 1 1 1 ()10.300.410.30j j j ij j j i E Y y p y p ?======-?+?+?=∑∑∑. (2) 7 1 11 ()10.2(0.50.1)...0.50.10.1315i i i E Z z p ===-?+-?++?+?=-∑。 2 2 1 ()40.400.340.3 2.8 k k i E X x p ∞ ===?+?+?=∑
第三章、随机变量的数字特征 一、选择题: 1.设随机变量X 的分布函数为40,1(),011,1x F x x x x ?=≤≤??>? ,则EX= ( C ) A . 140x dx ? B .15014x dx ? C .1404x dx ? D .1401x dx xdx +∞ +?? 2.设X 是随机变量,0x 是任意实数,EX 是X 的数学期望,则 ( B ) A .220()()E X x E X EX -=- B .220()()E X x E X EX -≥- C .220()()E X x E X EX -<- D .20()0 E X x -= 3.已知~(,)X B n p ,且EX=2.4,EX=1.44,则参数,n p 的值为 ( B ) A .n = 4,p = 0.6 B .n = 6,p = 0.4 C .n = 8,p = 0.3 D .n = 24,p = 0.1 4.设X 是随机变量,且EX a =,2EX b =,c 为常数,则D (CX )=( C ) A .2()c a b - B .2()c b a - C .22()c a b - D .22()c b a - 5.设随机变量X 在[a ,b ]上服从均匀分布,且EX=3,DX=4/3,则参数a ,b 的值为 ( B ) A .a = 0,b = 6 B .a = 1,b = 5 C .a = 2,b = 4 D .a = -3,b = 3 6.设ξ服从指数分布()e λ,且D ξ=0.25,则λ的值为 ( A ) A .2 B .1/2 C .4 D .1/4 7.设随机变量ξ~N (0,1),η=2ξ+1 ,则 η~ ( A ) A .N (1,4) B .N (0,1) C .N (1,1) D .N (1,2) 8.设随机变量X 的方 差DX =2σ,则()D aX b += ( D ) A .2a b σ+ B .22 a b σ+
随机变量的数字特征章节测试题 一、选择题(本大题共15个小题,每小题2分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知随机变量X 满足D (X )=2,则D (3X +2)=( ) A .2 B .8 C .18 D .20 2.设服从二项分布X ~B (n ,p )的随机变量X 的均值与方差分别是15和45 4,则n 、p 的 值分别是( ) A .50,1 4 B .60,14 C .50,3 4 D .60,3 4 . 3.某次语文考试中考生的分数X ~N (90,100),则分数在70~110分的考生占总考生数的百分比是( ) A .68.26% B .95.44% C .99.74% D .31.74% 4.某市期末教学质量检测,甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布,则由如图曲线可得下列说法中正确的是( ) A.甲学科总体的方差最小 B.丙学科总体的均值最小 C.乙学科总体的方差及均值都居中 D.甲、乙、丙的总体的均值不相同 5.设随机变量X 和Y 独立同分布,若记随机变量,=-=+U X Y V X Y ,则随机变量U 与V 必然( ) A.不独立 B.独立 C.相关系数不为零 D.相关系数为零 6.若X 是离散型随机变量,P (X =x 1)=23,P (X =x 2)=13,且x 1<x 2.又已知E (X )=4 3,D (X ) =2 9 ,则x 1+x 2的值为( ) A.53 B.73 C.11 3 D .3 7.已知X 为随机变量,且E (X ), D (X )均存在,则下列式子不成立的是( ) .[()]() .[()]2() .[()]0.[()]() =+=-==A E E X E X B E X E X E X C E X E X D D E X E X 8.设随机变量X 服从[,]a b 上的均匀分布,若1 ()2,()3==E X D X ,则均匀分布中的常 数,a b 的值分别为( ) .1,3.1,2.2,3.2,2========A a b B a b C a b D a b
第三章、随机变量的数字特征 一、选择题: 1.设随机变量X 的分布函数为4 0,1(),011,1x F x x x x ?=≤≤??>? ,则EX= ( C ) A .140x dx ? B .15 14 x dx ? C .1 4 4x d x ? D .1 40 1 x dx xdx +∞ + ?? 2.设X 是随机变量,0x 是任意实数,EX 是X 的数学期望,则 ( B ) A .220()()E X x E X EX -=- B .22 0()()E X x E X EX -≥- C .220()()E X x E X EX -<- D .2 0()0E X x -= 3.已知~(,)X B n p ,且EX=2.4,EX=1.44,则参数,n p 的值为 (B ) A .n = 4,p = 0.6 B .n = 6,p = 0.4 C .n = 8,p = 0.3 D .n = 24,p = 0.1 4.设X 是随机变量,且EX a =,2 EX b =, c 为常数,则D (CX )=( D ) A .2 ()c a b - B .2 ()c b a - C .22()c a b - D .22 ()c b a - 5.设随机变量X 在[a ,b ]上服从均匀分布,且EX=3,DX=4/3,则参数a ,b 的值为 (B ) A .a = 0,b = 6 B .a = 1,b = 5 C .a = 2,b = 4 D .a = -3,b = 3 6.设ξ服从指数分布()e λ,且D ξ=0.25,则λ的值为 ( A ) A .2 B .1/2 C .4 D .1/4 7.设随机变量ξ~N (0,1),η=2ξ+1 ,则 η~ ( A ) A .N (1,4) B .N (0,1) C .N (1,1) D .N (1,2) 8.设随机变量X 的方 差DX =2 σ,则()D aX b += ( D )