4.14七年级数学下册_第九章从面积到乘法公式复习教案_苏科版 2

第九章从面积到乘法公式单元总结提升

班级____________姓名____________学号___________

备课时间: 主备人:

单元总结归纳

一、本章的知识框图

二、重点、难点突破

重点：

(一)单项式乘以单项式

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

（二）单项式乘以多项式

1.单项式与多项式的相乘，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即

a（b＋c＋d）= ab＋ac＋ad.

2.其几何意义为：

3.单项式与多项式相乘的步骤：

（1）按乘法分配律把乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式；

（2）进行单项式的乘法运算.

（三）多项式乘以多项式

1.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

2.其几何意义为：

3.多项式与多项式相乘的步骤：

（1）用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项；

（2）把所得的积相加.

（四）乘法公式

1. 完全平方式公式：（a±b）2= a2±2ab+b

2.

（1）特征：完全平方公式的左边是一个二项式的完全平方，右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍.可概括为“首平方，尾平方，乘积2倍放中央，中央符号回头望”.

（2）语言叙述：

两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们的积的2倍的和；

两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们的积的2倍的差

（3）几何意义：（a+b）2= a2+2ab+b2、（a-b）2=a2-2ab+b2

2.平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.

（1）特征：公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差，而公式的右边恰好是这两个数的平方差.

（2）语言叙述：两个数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差.

（3）几何意义：

5.因式分解

（1）因式分解与整式乘法的区别与联系：

把一个多项式写成几个整式积的形式叫做多项式的因式分解. 它与整式乘法是两种互逆的恒等变形.

（2）提公式法分解因式：

提公因式的依据是乘法分配律，其实质是分配律的“逆用”；

提公因式分解因式的步骤是：a.找出多项式各项的公因式；b.提出多项式的公因式；

提公因式分解因式的关键是正确找出各项的公因式，当一个多项式的公因式正确找出后，需要提取公因式，此时可以直接观察出提出公因式后剩下的另一个公因式；也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后，剩下的另一个因式.

（3）公式法分解因式：

平方差公式分解因式：a2－b2=(a+b)(a－b)，两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.

完全平方公式分解因式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2，两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.

难点：

1. 单项式与单项式相乘，应注意：

（1）先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，即进行有理数的乘法运算，先确定积的符号，再计算绝对值；

（2）相同字母相乘时，利用同底数幂的乘法法则“底数不变，指数相加”；

（3）对于只在一个单项式中出现的字母，应连同它的指数一起写在积里，注意不能漏掉这部分因式；

（4）单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行；

（5）单项式与单项式相乘的积仍是单项式，对于字母因式的幂的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算；

（6）对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍适用.

2. 单项式与多项式相乘应注意：

（1）单项式与多项式相乘，结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同；

（2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，为了避免发生符号上的错误，计算时可以分为两步：先把“-”号放在括号外，把单项式与多项式相乘，然后去括号；

（3）在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要进行合并.

3. 多项式乘以多项式应注意：

（1）运算时要按一定的顺序进行，防止漏项，积的项数在没有合并同类项之前，应是

两个多项式项数的积；

（2）多项式是几个单项式的和，每项都包括前面的符号，在计算时要正确确定积中各项的符号；

（3）运算结果有同类项的要合并同类项，并按某个字母的升幂或降幂排列.

4.乘法公式

（1）运用完全平方公式时应注意：明确使用和的完全平方公式还是差的完全平方公式；分清公式中的a、b分别代表什么；结果是三项式，首尾两项分别是左边二项式的每一项的平方，中间项是左边两项的积的二倍，尤其是中间项的二倍不能忘记.

（2）运用平方差公式时应注意：首先明确能否利用平方差公式计算（能利用平方差的标准是一个二项式是两数的和，另一个二项式是这两数的差，我们把符号相同的数看作是a，把符号相反的项看作是b）；结果是平方差，且两个数(项)的位置不能弄错；必须注意系数、指数的变化

（3）灵活应用乘法公式首先必须做到心中牢记公式的“模样”，在此前提下再认真地对题目进行细致观察，想法设法通过调整项的位置和添括号等变形技巧，把式子凑成公式的“模样”，然后就可以应用公式进行计算了，这里关键是要善“变”.

5.因式分解

（1）对因式分解结果的约定：

a.与原多项式相等；

b.为积的形式，即从整体上看，最后结果应是一些因式的乘积；

c.每个因式都是整式；

d.在指定数集里，每个多项式不能再分解.

e.形式最简.

（2）用提公因式法分解因式应注意：

a.公因式要提尽；

b.小心漏项，提公因法分解因式后，括号里多项式的项数与原多项式的项数应该相同；

c.提取公因式后的多项式首项一般取正号；

d.分解因式与整式的乘法是互逆的过程，所以可以用整式的乘法来验证因式分解的正确性；

e.把含有相同字母的式子作为公因式提出来时，要特别注意统一式子中字母的顺序；

f.提公因式要干净彻底，也就是说当把多项式提出公因式后，剩下的另一个因式中应该再不能提出公因式了.

(3)使用公式法分解因式：

如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式；如果多项式是三项，其中两项同号，且能写成两数的平方和的形式，另一项是这两数乘积的2倍，可以运用完全平方公式分解.有时多项式不能直接使用公式时，还可以适当将它们变形.

(4)综合运用提公因式法和运用公式法分解因式时要注意: 1.如果多项式各项有公因式，应先提公因式，再进一步分解; 2.分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止; 3.因式分解的结果必须是几个整式的积的形式.

即：“一提”、“二套”、“三查”.特别强调“三查”，检查多项式的每一个因式是否还能继续分解因式，还可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确.

整合拓展创新

类型之一、基本概念型

例1 下列变形中哪些变形是因式分解，哪些是整式乘法？ (1)8a 2b 3c=2a 2b ·2b 3·2c (2)3a 2+6a=3a(a+2)

(3)x 2

－

2

1y

=(x+

y

1)(x －

y

1)

(4)x 2－4+3x=(x+2)(x －2)+3x (5)ma+mb+na+nb=m(a+b)+n(a+b) (6)(2a+5b)(2a －5b)=4a 2－25b 2

【思路分析】因式分解必须是左边是多项式，右边整体是积，且每个因式都是整式，它与整式乘法是互逆的恒等变形.

变式题 下列变形中，因式分解对不对？为什么？ (1)x 2y －xy 2=xy(x －y)

(2)a 3

－2ab+ab 2

=a(a －b)2

=a(a 2

－2ab+b 2

) (3)62ab －4ab 2+2ab=2ab(3a －2b) (4)4a 2－100=(2a+10)(2a －10) (5)a 2－b 2=(a －b)2

提示： 第（2）题提取公因式a 后，括号里是a2-2b+b2，不是完全平方式；第（3）

出现了漏项；第（4）题没有分解彻底，应先提取公因式4，再用平方差公式；第（5）题混淆了两个乘法公式.

解：只有（1）是正确的.

类型之二、基本运算型 1.整式乘法的运算

例2 先规定一种运算：a ＊b=ab+a-b ，其中a 、b 为有理数，则a ＊b+（b-a ）＊b 等于（ ）

A.a 2-b ；

B.b 2-b ；

C.b 2；

D.b 2-a. 【点评】解决这类问题，理清题目意思是解题关键. 变式题 已知：A=2x 2+3xy-y 2，B=-

2

1xy ，C=

8

1x 3y 3-

4

1x 2y 4.求：2AB 2-C.

提示：直接代入计算，在复杂的式子计算中，先算乘方，再算多项式乘法，最后合并同类项

例3 计算：

（1）3（m+1）2-5（m+1）（m-1）+2（m-1）2

（2）[（4x n+1

-

2

1y ）2+4y （x n

-

16

y ）]÷8x 2

.

变式题 计算：

（1）（a+b+c-d ）（a-b+c+d ）； （2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）.

解：（1）观察运算符号，两多项式中a 、c 符号相同，b 、d 符号相反，因此可以把a 、c 结合在一起，看成一项，把b 、d 结合在一起，看成另一项，应用平方差公式计算.

（2）经过观察1+4=2+3，因此将（x+1）（x+4）和（x+2）（x+3）先分别相乘，出现相同部分x 2

+5x ，再视其为整体进行运算.

2.因式分解

例4 （1）分解因式:2x 2-18= ; (2) 分解因式:a 3-2a 2b+ab 2= ; (3) 分解因式:x 2-y 2+ax+ay= .

【思路分析】(1)、(2)先提公因式，再用公式法；（3）要利用分组分解法.

【点评】中考对因式分解的要求不太高，都以基本题为主.但有不少学生在解答第（1）、（2）题时常常在提公因式后就结束答题，从而失分.因此，在做因式分解时，最后一定要检验，使每个因式不能再分解才能结束.

变式题 先阅读，再分解因式：

x 4+4=（x 4+4x 2+4）-4x 2=（x 2+2）2-（2x ）2=（x 2+2x+2）（x 2-2x-2）. 仿照这种方法把多项式644

＋x 分解因式.

提示 仿照例题，运用添项、减项（配方），使其可以用平方差公式分解. 解：644

＋x =（x 4+16x 2+64）-16x 2=（x 2+8）2-（4x ）2=（x 2+4x+8）（x 2-4x+8） 类型之三、基本应用型

例5 若x 2－4x ＋y 2－10y ＋29=0，求x 2y 2＋2x 3y 2＋x 4y 2的值.

【思路分析】一个方程求两个未知数显然不容易，考虑已知等式的特点，将其整理为两个完全平方式的和，利用其非负性求出x 、y ，再化简所求代数式后代入求值.

解：因为x 2

－4x ＋y 2

－10y ＋29=0，

所以（x 2－4x+4）＋（y 2－10y ＋25）=0， （x-2）2+（y-5）2=0，

所以x=2，y=5.

x2y2＋2x3y2＋x4y2= x2y2（1+2x+x2）= （xy）2（1+x）2=（2×5）2×（1+2）2=900.

【点评】利用因式分解，根据完全平方式的非负性是由一个方程解两个未知数的常用方法之一.

变式题矩形的周长是28cm，两边长为x，y，若x3＋x2y－xy2－y3＝0，求矩形的面积．提示把已知等式分解因式，利用矩形边长的非负性寻求解题途径.

解：因为x3＋x2y－xy2－y3＝0，

所以（x3＋x2y）－（xy2+y3）＝0，

x2（x+y）－y2（x+y）=0，

（x2－y2）（x+y）=0，

（x+y）（x-y）（x+y）=0，

（x+y）2（x-y）=0，

又因为矩形的边长总是非负数，即（x+y）2＞0，所以有x-y=0，即x=y.

而由矩形的周长是28cm得到x+y=14，所以x=y=7.

矩形的面积为49C㎡.

答：矩形的面积为49C㎡.

例6 若x2+7xy+my2-5x+43y-24可以分解成x,y的两个一次因式的积，试确定m的值.

【思路分析】令x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+a y+b)(x+cy+d),再对比系数求得m.

解:设x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+a y+b)(x+cy+d)=x2+(a+c)xy+a cy2+(b+d)x+(a d+bc)y+bd.

对比多项式的系数得

由③，⑤两式可得b=-8，d=3，或b=3，d=-8.

(1)当b=-8，d=3时，得a=9，c=-2，⑥

(2)当b=3，d=-8时，得a=-2，c=9.⑦

∴m=-18.

【点评】本题实质考查了学生对待定系数法的理解与运用能力. 变式题 已知多项式2x 3-x 2+m 有一个因式(2x+1),求m 的值.

解答： 由已知条件可以设2x 3-x 2+m=(2x+1)(x 2+a x+b),则2x 3-x 2+m=2x 3+(2a +1)x 2+ (a +2b)x+b.

对比多项式系数可得

类型之四、思想方法型 1.整体转化思想

例7 a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，e 的绝对值是2，并且x=ｅ

＋３b

a 3+2cd+２

１e 2

，

求9x 2+[x （4x-3）-2x （x-3）]的值.

【思路分析】整体确定a+b 、cd 的值，进而得到x 的值，将求值式化简后再代入. 解：根据题意，a+b=0，cd=1，|e|=2，

所以x=

ｅ

＋b a 33+2cd+２

１e 2=ｅ）＋b a (3+2cd+２１e 2=e 03×+2×1+2

1×22=2+2=4.

原式=9x 2+（4x 2-3x-2x 2+6x ）=11x 2+3x=11×42+4×3=6+12=188.

【点评】本题综合性强，涉及到以前学过的互为相反数的和为0，互为倒数的积为1，绝对值的意义，题目较复杂，但还是应依据先化简，再求值的原则.

变式题 （1）已知（a+b ）2=144 ， (a-b)2=36, 求ab 与a 2 + b 2 的值. （2）设m 2+m-1=0，求m 3+2m 2+2004的值. 提示：本题在解题时要运用整体思想. 解：（1）已知（a+b ）2=144， (a-b)2=36,

a2 +2ab+ b2=144，a2 -2ab+ b2=36，

把ab 与a2 + b2分别看作是整体，两式相加得到2（a2 + b2）=180，即a2 + b2=90，

两式相减，得到4ab=108，即ab=27.

答：ab=27，a2 + b2=90.

（2）∵m2+m-1=0，∴m2+m=1.

∴m3+2m2+2004=m(m2+m)+m2+2004=m·1+m2+2004=m2+m+2004=1+2004=2005.

答：m3+2m2+2004=2005.

2.数形结合思想

例8 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图1），把余

下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）

A.（a+b）（a-b）=a2-b2；

B.（a+b）2=a2+2ab+b2；

C.（a-b）2=a2-2ab+b2；

D.（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2.

a

图2

图1

【思路分析】先写出图中面积的不同表达形式，再比较作出判断.

解：原阴影部分的面积为a2-b2，移动后阴影部分的面积为（a+b）（a-b），因此有（a+b）

（a-b）=（a-b）2，选A.

【点评】从面积到乘法公式，从乘法公式到面积表达式，充分展示了数学里的“数”

与“形”的和谐美.由“数”到“形”，有“形”到“数”，这样反复观察思考、操作运算，

对提高我们对数学的认识，锻炼我们的数学思维是大有益处的.

变式题（苏科版课课练P63 6）如图，利用图形因式分解：a2+7ab+12b2. Array提示：结合图形寻求答案.

解：a2+7ab+12b2=（a+3b）

（a+4b）.

五、实践型

1.思维实践型

例9 多项式9x 2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方式，那么加上的单项式可以是 .（填上一个你认为正确的即可）

【思路分析】许多学生在解答此题时，由于受思维定势的影响，习惯于依据课本上的完全平方公式得9x 2

+1+6x=（3x+1）2

，或9x 2

+1-6x=（3x-1）2

，只要再动动脑筋，还可以得出：9x 2+1+

4

81x 4=（

2

9x 2+1）2，9x 2+1-1=（3x ）2，9x 2+1-9x 2=12.

解：所加的单项式可以是±6x 或4

81x 4或-1或-9x 2.

【点评】这是一个适度的开放题，对思维要求能力比较高.

变式题 观察一组式子：32+42=52，52+122=132，72+242=252，92+402=412，… 猜想一下，第n 个式子是 .

提示： 通过观察几个具体的等式，而抽象出一般规律，本题可以通过变形产生平方差，再反复用平方差公式得解.

解：观察已知式子，可知每个等式左边第二项的底数与右边的结果的底数为相邻的两个连续整数，变形可得52-42=32，132-122=52，252-242=72，412-402=92，…且有关系5=2×1×（1+1）+1，13=2×2×（2+1）+1，25=2×3×（3+1）+1，41=2×4×（4+1）+1，…从而第n 个式子中右边的底数为2n （n+1）+1，因此有：

[2n ·（n+1）+1]2

-[2n （n+1）]2

={[2n ·（n+1）+1]+[2n （n+1）]}{[2n （n+1）+1]-[2n （n+1）]}=4n 2+4n+1=（2n+1）2.

故第n 个式子为（2n+1）2+（2n 2+2n ）2=（2n 2+2n+1）2. 2.动手实践型

例10 现有足够的2×2，3 ×3的正方形和2×3的矩形图片A 、B 、C （如图），先从中各选取若干个图片拼成不同的图形，请你在下面给出的方格纸（每个小正方形的边长均为1）中，按下列要求画出一种拼法的示意图（要求每两个图片之间既无缝隙，也不重叠，画图时必须保留作图痕迹）.

（1）选取A 型、B 型两种图片各1块，C 型图片2块，拼成一个正方形；

（2）选取A型图片4块、B型图片1块，C型图片4块，拼成一个正方形；

（3）选取A型图片3块、B型图片1块，再选取若干块C型图片，拼成一个矩形.

【思路分析】按常规思路是用画图（或实物图片）尝试去拼接，这样费时费力，效率低.

若设A形纸片的边长是a，B型纸片的边长为b（b＞a），则C型纸片的长为b、宽为a，抓住“拼接前后面积不变”这一条件，运用因式分解，可使解题目标的实施更明确，过程更简明.

如（1）因拼接前后的总面积不变是a2+b2+2ab，分解因式得（a+b）2，则所拼接正方形边长为a+b.可拼接如图1所示的草图（注：没在提供的方格图中画）.

（2）由拼接前后的面积是4a2+b2+4ab，分解因式得（2a+b）2，则所拼接正方形边长为2a+b.可拼接如图2所示的草图.

（3）拼接图形面积为3a2+b2+（）ab，（）为整数，能够拼接为某一图，则其必能分解，结合因式分解，知b2+4ab+3a2=（b+a）（b+3a），即选4张C型纸片即可拼接成一矩形，由分解因式的特点，可拼出如图3的草图.

变式题（苏科版课课练P63 6）已知3种形状的长方形和正方形纸片（如图1）：用它们拼成一个长为（3a+2b）、宽为（a+b）的长方形，各需多少块？并画出图形.

提示：根据拼接前后面积不变知道长方形的面积为（3a+2b ）（a+b ）=3a 2+5ab+2b 2，显然需要A 正方形纸片3张、B 正方形纸片2张、C 长方形纸片5张，共10张纸片.

解：需要A 正方形纸片3张、B 正方形纸片2张、C 长方形纸片5张，共10张纸片. 画图如图2所示. 中考名题欣赏

1.计算：（-1-2a ）（2a-1）= ； 化简：（

2

1m+n ）（m-2n ）= .

解：（1）方法1：（-1-2a ）（2a-1）=-2a+1-4a 2+2a=1-4a 2；

方法2：（-1-2a ）（2a-1）=-（2a+1）（2a-1）=-（4a 2-1）=1-4a 2； 方法3：（-1-2a ）（2a-1）=（-1-2a ）（-1+2a ）=（-1）2-（2a ）2=1-4a 2. （2）方法1：原式=

2

1m 2-mn+mn-2n 2

=

2

1m 2-2n 2

；

方法2：原式=2

1（m+2n ）（m-2n ）=2

1（m 2-4n 2）=2

1m 2-2n 2； 方法3：原式=2（2

1m+n ）（2

1m-n ）=2（4

1m 2-n 2）=2

1m 2-2n 2.

【点评】该题考查乘法的基本运算和灵活运用乘法公式的能力，可以按多项式乘多项式的法则进行，也可以通过适当变形巧用乘法公式来简化计算.

【方法技巧】对多项式进行适当变形，可达到运用乘法公式来简捷解题的目的.中考中对整式乘法知识的考查难度不大，但很灵活，在解题时我们一定要透过现象看本质，抓住特点，创造性地解题.

2.（1）把代数式xy 2

-9x 分解因式，结果正确的是（ ） A.x （y 2-9） B.x （y+3）2 C.x （y+3）（y-3） D.x （y+9）（y-9）

（2）把代数式a 3+ab 2-2a 2b 分解因式的结果是 . 解：（1）xy 2

-9x=x （y 2

-9）= x （y+3）（y-3），故选C ； （2）原式=a （a 2+b 2-2ab ）=a （a 2-2ab+b 2）=a （a-b ）2.

【点评】该题既考查因式分解的概念，又考查因式分解的方法，先提公因式，再根据项数确定应用什么公式.

在中考中，对因式分解的考查一般以填空题、选择题的形式出现，比较容易，但失分率却比较高，主要是对因式分解的概念模糊，分解不彻底所致.如第（1）题，不少考生可能选A ，第（2）题误填a （a 2

+b 2

-2ab ）.

3. （1）如图1是一个正方形与一个直角三角形所组成的图形，则该图形的面积为 （ ）

A.m 2

+

2

1mn B.

２

－ｍ２

mn c.

２

＋ｍ２

mn D.

２

＋ｎｍ２

２

（2）三种不同类型的矩形地砖长宽如图2所示若先有A 类4块，B 类4块，C 类2块，要拼成一个正方形，则应多余出一块 型

地砖；这样的地砖拼法表示了一个两数和的平方的几何意义，这个两数和的平方是 .

解：（1）S=m 2

+

2

1·m ·（n-m ）=m 2

+

2

1mn-

2

1m 2

=

２

＋ｍ２

mn ，选C ；

（2）通过动手操作可得如图3（答案不唯一），易知多了一块C 型地砖，其面积为（2m+n ）

2

或4m 2+4mn+n 2.

因此，依次填入C ，（2m+n ）2= 4m 2+4mn+n 2.

【点评】第（1）题可分别求出正方形和直角三角形的面积，再求和；第（2）题可通

过动手操作，摆出图形来寻求答案. 该题考查学生数形结合的能力以及对单项式乘以多项式和乘法公式——完全平方公式的理解和掌握.利用几何的面积法与代数的计算法相结合，考查了学生的数形结合的能力，提升了难度，更体现了新课标的基本理念.

4.老师在黑板上写出三个算式：52

-32

=8×2，92

-72

=8×4，152

-32

=8×27，王华又接着写出了两个具有同样规律的算式：112

-52

=8×12，152

-72

=8×22，……

（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式； （2）用文字写出反映上述算式的规律； （3）证明这个规律的正确性.

解：（1）写出两个正确的算式，如：32-12=8×1，72-32=8×5等等； （2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数；

（3）证明：设m 、n 为两个整数，两个奇数可表示为2m+1和2n+1， 则（2m+1）2-（2n+1）2=4（m-n ）（m+n+1）.

当m 、n 同是奇数或偶数时，m-n 一定为偶数，所以4（m-n ）一定是8的倍数；

当m 、n 一奇一偶时，则m+n+1一定是偶数，所以4（m+n-1）一定是8的倍数.

所以，任意两奇数的平方差是8的倍数.

（说明：规律说成是：“两奇数的平方差是4的倍数”且证明正确也可得满分，如果证明中加设m ＞n 的条件，不扣分）.

【点评】这是一则探索规律题，等式左边是两个奇数的平方差，（大数减小数），右边

是8的倍数.

【方法技巧】解决探索规律题，要认真观察已给的等式和自己写出的等式，充分联想已有的知识，大胆猜想相应的结论，再进行严密推理说明，即认真观察，广泛联想，大胆猜测，小心论证.

5.化简：（2x-1）2

-（3x-1）（3x-1）+5x （x-1），再选一个你喜欢的数代替x 求值. 解：分别用完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式的法则进行计算，再去括号，合并同类项.

原式=4x 2-4x+1-（9x 2-1）+5x 2-5x=4x 2-4x+1-9x 2+1+5x 2-5x=-9x+2. 取一个x 值，代入求值即可.取x=0，则原式=2.

【点评】这是一道自编自解题，先化简，后取一个x 值代入求值，但取x 值既要使原代数式有意义，又要使计算简捷方便.

6.物资调运是国民经济的重要问题，安排得当可以为国家节省大量资金和物力，下面是一个车床调运的实例.北京与上海分别制造同种型号的车床10台和6台，这些车床计划分配到武汉和西安两地，运送一台车床的费用（单位：元）如下图1所示，如果北京发往武汉x 台，上海发往西安y 台，求总运费.

图1

解：作出如图2的网络图，并标上相关的数据，由图易知总运费W=500x+400（10-x ）

+950y+700（6-y）=100x+250y+8200（元）（答略）.

【点评】这是一道实际应用题，先从题目中（特别是表格中）提取相关信息，借助于整式运算的知识来解答.

这里运用“词、数、图、式”一体化的解题思路，架起“示意图”这座桥梁，达到解决数学问题的目的.这种方法将数化形，其优越性在于直观、形象，是将具体问题抽象为数学模型的一种普遍使用的方法.

章内专题阅读

如何用乘法公式？

乘法公式是初一代数的重要内容，对今后学习数学影响很大.也是中考考查的重要知识点.本文介绍如何使用乘法公式.

1.直接用

例1 计算（3x2+y）（3x2-y）

分析本题符合平方差公式的结构特征，其中3x2相当于公式中的a、y相当于公式中的b，故可直接使用平方差公式.

解原式=（3x2）2-y2=9x4-y2.

2.连续用

例2计算（x+1）（x2+1）（x4+1）（x8+1）（x-1）.

分析按顺序直接计算量很大，把最后一个因式放到前面，则可连续使用平方差公式.

解原式=（x-1）（x+1）（x2+1）（x4+1）（x8+1）=（x2-1）（x2+1）（x4+1）（x8+1）

=（x4-1）（x4+1）（x8+1）=（x8-1）（x8+1）= x16-1.

3.整体用

例3计算2)

y

-（新教案9.4（3）例4变式题）

x-

(z

3

2

分析将x-3y看成一个整体，原式可用完全平方公式计算.

解原式=[（x-3y）-2z]2=（x-3y）2-4（3x-y）z+4z2=x2-6xy+9y2-12x+4y+4z2.

4.逆向用

例4 求证：无论x为何值，代数式4x2-12x+2都不小于-7.

分析乘法公式是恒等式，必要时可逆向使用.本题配方后用完全平方式的非负性判

断原式的取值范围.

解 原式=（4x 2-12x+9）-7=（2x-3）2-7， 因为（2x-3）2≥0，

所以 原式=（2x-3）2

-7≥-7. 5.变序用

例5 计算22)32()32(-+x x

分析 先用积的乘方化为[（2x+3）（2x-3）]2，对用平方差公式，再用平方公式计算，改变运算顺序，要比先用完全平方公式将（2x+3）2

、（2x-3）2

展开后再计算要简便得多.

解 原式=[（2x+3）（2x-3）]2=（4x 2-9）2=16x 4-72x 2+81.

6.凑项用

例6 计算（5+4）（52

+42

）（54

+44

）（58

+48

）…（5256

+4256

）

分析 直接计算显然太麻烦.注意到从第二个因式开始每个因式的前项（或后项）都是前一个因式的前项（或后项）的平方，如果式子的开头能使用平方差公式，则后面就能反复循环使用.而式子的开头没有（5-4）这一因式，因此必然要拼凑因式（5-4）.

7.裂项用

例7已知a 2-2a+b 2+4b+5=0，求(a+b)2005的值. （新教案9.6（2）例3）

分析 一个方程两个未知数一般是不能确定其解的.但本题中的条件可通过裂项、分组、配方后求出a 、b 的值.

8.搭配用

例8 求证（x-1）（x-3）（x-5）（x-7）+16是完全平方式.

分析 考察四个因式有序变化的结构特征，可让它们“均衡”搭配.即一、四两个因

式与二、三两个因式分别搭配运算后，把得到的其中某一个因式看成一个整体再作恒等变形.

9.消元用

例9 已知实数x、y、Z满足z2=xy+y-9，x+y=5，求（x+z）-y.

分析条件z2=xy+y-9是三个未知量的复杂关系，可通过x+y=5消元，化为二个未知量的关系，实现“减肥瘦身”.

解 x=5-y，

所以z2=（5-y）y+y-9，

所以（y2-6y+9）+z2=0，

所以（y-3）2+z2=0，

解得y=3，z=0，

所以x=2，

故.（x+z）-y=（2+0）-3= 1

8

.

八年级数学乘法公式练习题

07～08 上学年 八年级数学同步调查测试三 整式的乘除（13.3乘法公式） 一、 选择(3分×8=24分) 1、下列各式中，运算结果为2236y x -的是 （ ） A 、()()x y x y --+-66 B 、()()x y y -+-616 C 、()()x y x y +-+94 D 、()()x y x y ---66 2、若M x y y x ()3942-=-2，那么代数式M 应是 （ ） A 、-+()32x y B 、 -+y x 23 C 、 32x y + D 、 32x y - 3、乘积等于22b a -的式子为 （ ） A 、()()b a b a -- B 、()()b a b a --- C 、()()a b b a --- D 、()()b a b a +-+ 4、下列各式是完全平方式的是 （ ） A 、x xy y 2224++ B 、 251022m mn n ++ C 、 a ab b 22++ D 、 x xy y 22214 -+ 5、下列等式中正确的为 （ ） A 、()2222b ab a b a +--=+- B 、()222 242b ab a b a +-=- C 、222 24121n mn m n m +-=?? ? ??- D 、()()22b a c c b a --=-+ 6、若()2221243by xy x y ax +-=+，则b a ,的值分别为 （ ） A 、2， 9 B 、2， －9 C 、－2 ，9 D 、－4， 9 7、要使等式()()2 2b a M b a +=+-成立，则M 是 （ ） A 、ab 2 B 、ab 4 C 、－ab 4 D 、－ab 2 8、两个个连续奇数的平方差一定是 （ ）A 、 3的倍数 B 、5的倍数 C 、8的倍数 D 、16的倍数

典中点整式的乘除与因式分解专训3 活用乘法公式进行计算的六种技巧

典中点整式的乘除与因式分解专训3 活用乘法公式进行计算的六种技巧 ?名师点金? 乘法公式是指平方差公式和完全平方公式,公式可以正用,也可以逆用.在使用公式时,要注意以下几点：(1)公式中的字母a,b 可以是任意一个式子;(2)公式可以连续使用;(3)要掌握好公式中各项的关系及整个公式的结构特点;(4)在运用公式时要学会运用一些变形技巧。 技巧1：巧用乘法公式求式子的值 1.已知(a+b)2=7,(a-b)2=4.求a 2+b 2和ab 的值 2.已知x x 1+ ,求441x x +的值 技巧2：巧用乘法公式进行简便运算 3.计算 (1)1982 (2)20172-2016×2018; (3)1002-992+982-972+…+42-32+22-1

技巧3：巧用乘法公式解决整除问题 4.对任意正整数n,整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)是不是10的倍数?为什么? 技巧4：应用乘法公式巧定个位数字 5.试求(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1的个位数字。 技巧5：巧用乘法公式解决复杂问题(换元法) 6.计算2 201820182018201620182017222 -+的值。 技巧6：巧用乘法公式解决实际问题(分类讨论思想） 7.王老师在一次团体操队列队形设计中,先让全体队员排成一方阵(行与列的人数一样多的队形,且总人数 不少于25人),人数正好够用,然后再进行各种队形变化，其中有一个队形需分为5人一组,手执彩带进行队形变换,在讨论分组方案时,有人说现在的队员人数按5人一组分将多出3人,你说这可能吗?

第九章从面积到乘法公式(12课时)

课题：§9.1单项式乘以单项式 学习目标： 1.知道乘法交换律、乘法结合律、同底数幂的运算性质是进行单项式乘法的依据； 2.能熟练进行单项式乘单项式计算. 重点、难点：运用法则进行计算. 学习过程 一.【预学提纲】初步感知、激发兴趣 （1）右边的图案是怎样平移而成的？ （2）你是如何计算它的面积的？ 发现等式：ab b a 933=? （3）b a 33?为什么可以写成()()b a ??33？ （4）如何计算b b 542 ?？请你说出每一步的计算依据. （5）单项式乘单项式法则是 二.【预学练习】初步运用、生成问题 请你试着计算： （1）2 a 2 b · 3ab 2 (2) 4ab 2· 5b (3)6x 3· (－2x 2y ) (4) (2xy 2)· (xy ); (5) (－2 a 2 b 3)· (3a ); (6) (4×105)·(5×104) 三.【新知探究】师生互动、揭示通法 问题1. 计算： （1）1 3 a 2·（6ab ）； （2）(2x )3·（－3xy 2） （3）[(－a 3b 3)3]3·(－a b 2)2 （4） (－2 a 2b ) · (－a 2) · 1 4 bc

（5）[3(x －y )2] · [－2(x －y )3] · [4 5 (x －y )] 问题2. 已知3 x n -3 y 5-n 与-8 x 3m y 2n 的积 是2 x 4 y 9的同类项,求m 、n 的值. 四.【解疑助学】生生互动、突出重点 1. 判断正误，如果错误请写出正确答案 ⑴ ( )5 2 3 523x x x =-? ⑵ 2221243a a a =? ⑶ 9 332483b b b =? ⑷ y x xy x 2 623=?- (5) 2 2933b a ab ab =+ 2. 计算： (1) (a 2c )2.6ab (c 2)3 (2) 2 x n -1 y n -2·(－x y 2) 五.【变式拓展】能力提升、突破难点 问题3.（1）若(2a n b ·ab m )3=8a 9b 15，求m+n 的值； （2）若52=n x ，求()()n n n x x x 63 3222+?的值. 六.【回扣目标】学有所成、悟出方法 1. 单项式乘单项式的运算，依据乘法的 、 及同底数幂的运算性质. 2. 单项式相乘，把 、 分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

人教版八年级数学上册乘法公式

初中数学试卷 灿若寒星整理制作 乘法公式 典题探究 例1. 运用平方差公式计算： （1）()()22-+y y （2）()()2323-+x x ； （3）()()2332-+a a （4）()()m m +-+22 例2. 用完全平方公式计算： （1）()2 2+x ；（2）()2 45y x -；（3）2 199（用简便运算） 例3. 运用乘法公式计算： ()()3232+--+y x y x ； 例4. 运用乘法公式计算： ()2c b a ++ 演练方阵 A 档（巩固专练） 一、填空题 1．直接写出结果： (1)(x ＋2)(x －2)＝_______； (2)(2x ＋5y)(2x －5y)＝______； (3)(x －ab)(x ＋ab)＝_______； (4)(12＋b 2)(b 2 －12)＝______． 2．直接写出结果： (1)(x ＋5)2＝_______；(2)(3m ＋2n)2 ＝_______； (3)(x －3y)2 ＝_______；(4)2 )3 2(b a -＝_______； (5)(－x ＋y)2＝______；(6)(－x －y)2 ＝______． 3．先观察、再计算： (1)(x ＋y)(x －y)＝______； (2)(y ＋x)(x －y)＝______； (3)(y －x)(y ＋x)＝______； (4)(x ＋y)(－y ＋x)＝______； (5)(x －y)(－x －y)＝______； (6)(－x －y)(－x ＋y)＝______． 4．若9x 2＋4y 2＝(3x ＋2y)2 ＋M ，则M ＝______． 二、选择题 1．下列各多项式相乘，可以用平方差公式的有( )．

(完整版)[初一数学]乘法公式

乘法公式 一、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2 要注意等式的特点： （1）等式的左边是两个二项式的乘积，且这两个二项式中，有一项相同，另一项互为相反数； （2）等式的右边是一个二项式，且为两个因式中相同项的平方减去互为相反数的项的平方． 值得注意的是，这个公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式．平方差公式可以作为多项式乘以多项式的简便公式，也可以逆用做为快速计算的工具． 例１下列各式中不能用平方差公式计算的是（）． A．（a－b）（－a－b）B．（a2－b2）（a2＋b2） C．（a＋b）（－a－b）D．（b2－a2）（－a2－b2） 解：Ｃ．根据上面平方差公式的结构特点，Ａ中，－b是相同的项，a与－a 是性质符号相反的项，故可使用；Ｂ中a2是相同项，－b2与b2是互为相反数符合公式特点；同样Ｄ也符合．而Ｃ中的两个二项式互为相反数，不符合上述的等式的特征，因此不可使用平方差公式计算． 例２运用平方差公式计算： （１）（x2－y）（－y－x2）； （２）（a－3）（a2＋9）（a＋3）． 解：（１）（x2－y）（－y－x2）

＝（－y ＋x2）（－y－x2） ＝(－y)2－（x2）2 ＝y2－x4； （２）（a－3）（a2＋9）（a＋3） ＝（a－3）（a＋3）（a2＋9） ＝（a2－32）（a 2＋9） ＝（a2－9）（a2＋9） ＝a4－81 ． 例３计算： （１）54.52－45.52； （２）(2x2+3x+1)(2x2-3x+1)． 分析：（１）中的式子具有平方差公式的右边的形式，可以逆用平方差公式；（２）虽然没有明显的符合平方差公式的特点，值得注意的是，平方差公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式，我们可以把2x2+1看做公式中字母a，以便能够利用公式．正如前文所述，利用平方差可以简化整式的计算． 解：（１）54.52－45.52 ＝（54.5＋45.5）(54.5－45.5)

乘法公式和因式分解练习题(汇编)

乘法公式和因式分解练习题 一、选择题 1.已知2264b Nab a +-是一个完全平方式，则N 等于 ( ) A 、8 B 、±8 C 、±16 D 、±32 2.如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ( ) A 、 2xy B 、－2xy C 、4xy D 、－4xy 3.下列可以用平方差公式计算的是( ) A 、(x －y) (x + y) B 、(x －y) (y －x) C 、(x －y)(－y + x) D 、(x －y)(－x + y) 4.下列各式中，运算结果是22169b a -的是( ) A 、)43)(43(b a b a --+- B 、)34)(34(a b a b --+- C 、)34)(34(a b a b -+ D 、)83)(23(b a b a -+ 5、下列各式中,能运用平方差分式分解因式的是（ ） A 、21x +- B 、22y x + C 、42--x D 、()22b a --- 6、若m x x +-82是完全平方式, 则m 的值为（ ） A 、4 B 、8 C 、16 D 、32 7.计算（x +2）2的结果为x 2+□x +4,则“□”中的数为（ ） A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．4 8、把多项式1222+--y x xy 分解因式的结果是（ ） A ．)1)(1(+-+-x y y x B.)1)(1(---+x y y x C.)1)(1+--+y x y x D..)1)(1(--+-y x y x 8.已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于（ ） A ．64 B ．48 C ．32 D ．16 9.若949)7(22+-=-bx x a x ，则b a +之值为何？ A ．18 B ．24 C ．39 D ． 45 10.已知8)(2=-n m ，2)(2=+n m ，则=+22n m （ ）

(完整word版)初中数学乘法公式

第 1 页 共 16 页 乘法公式 概念总汇 1、平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即 （a +b ）（a -b ）=a 2 -b 2 说明： （1）几何解释平方差公式 如右图所示：边长a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形。 第一种：用正方形的面积公式计算：a 2－b 2； 第二种：将阴影部分拼成一个长方形，这个长方形长为（a ＋b ），宽为（a －b ）， 它的面积是：（a ＋b ）（a －b ） 结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一块阴影部分的面积。 所以：a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）。 （2）在进行运算时，关键是要观察所给多项式的特点，是否符合平方差公式的形式，即只有当这两个多项式它们的一部分完全相同，而另一部分只有符合不同，才能够运用平方差公式。平方差公式的a 和b ，可以表示单项式，也可以表示多项式，还可以表示数。应用平方差公式可以进行简便的多项式乘法运算，同时也可以简化一些数字乘法的运算 2、完全平方公式 完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍，即 （a +b ）2 =a 2 +2ab +b 2 ，（a -b ）2 =a 2 -2ab +b 2 这两个公式叫做完全平方公式。平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式 说明： （1）几何解释完全平方（和）公式 如图用多种形式计算右图的面积 第一种：把图形当做一个正方形来看，所以 它的面积就是：（a ＋b ）2 第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的

第 2 页 共 16 页 长方形来看，其中大正方形的的边长是a ，小正方形 的边长是b ，长方形的长是a ，宽是b ，所以 它的面积就是：a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2 结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积 所以：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2 （2）几何解释完全平方（差）公式 如图用多种形式计算阴影部分的面积 第一种：把阴影部分当做一个正方形来看，所以 它的面积就是：（a -b ）2 第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的 长方形来看，长方形小正方形大正方形阴影S S S S ?=2-- 其中大正方形的的边长是a ，小正方形的边长是b ，长方形的长是（a -b ），宽是b ，所以 它的面积就是：()2 2 2 2 22b ab a b b a b a +-=?-?-- 结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积 所以：()222 2b ab a b a +-=- （3）在进行运算时，防止出现以下错误：（a +b ）2=a 2+b 2，（a -b ）2=a 2-b 2 。要注意符号的处理，不同的处理方法就有不同的解法，注意完全平方公式的变形的运用。完全平方公式的a 和b ，可以表示任意的数或代数式，因此公式的使用就不必限于两个二项式相乘，而可以扩大到两个多项式相乘，但要注意在表示成完全平方公式的形式才能运用公式，完全平方公式有着广泛的应用，尤其要注意完全平方公式和平方差公式的综合应用 方法引导 1、乘法公式的基本计算 例1 利用平方差公式计算： （1）（3x ＋5y ）（3x －5y ）； （2）（0.5b ＋a ）（-0.5b ＋a ） （3）（-m ＋n ）（-m －n ） 难度等级：A

因式分解 乘法公式

乘法公式—因式分解(二) 【基础演练】 一、填空题 1. 因式分解：2 44x x ++= ． 2. 利用因式分解计算： 2 2248 25210000 -＝ . 3. 分解因式：33 416m n mn -= _______________________． 4. 一个长方形的面积是（x 2－9）平方米，其长为（x ＋3）米，用含有x 的整式表示它的宽为__________米． 5. 若442-+x x 的值为0，则51232 -+x x 的值是___ _____. 6. 如果x ＋y ＝－4，x －y ＝8，那么代数式x 2－y 2的值是________． 二、选择题 7. 下列分解因式正确的是（ ） A ．)1(222 --=--y x x x xy x B.)32(322 ---=-+-x xy y y xy xy C ．2 )()()(y x y x y y x x -=--- D.3)1(32 --=--x x x x 8. 下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ） A ．x 2－xy B ．x 2＋xy C ．x 2－y 2 D ．x 2＋y 2 9. 下列各式是完全平方式的是（ ） A.4 12 + -x x B.21x + C.1++xy x D.122 -+x x 10. 多项式x 2＋y 2、－x 2＋y 2、－x 2－y 2、x 2＋（－y 2）、8x 2－y 2、（y －x ）3＋（x －y ）、2x 2－1 2 y 2 中，能在有理数范围内用平方差公式分解的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 11. 若(2x)n －81＝(4x 2＋9)(2x ＋3)(2x －3)，则n 的值是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 12.把2 16a +-分解因式，结果是（ ） A ．)8)(8(+-a a B.)4)(4(-+a a C.)2)(2(+-a a D.2 )4.(-a

从面积到乘法公式测试

第九章 从面积到乘法公式 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分.在每小题列出的四个选项中只有一项是符合题意的）. 1.计算232(3)x x ?-的结果是（ ） A.56x - B.56x C.62x - D.6 2x 【解读】根据单项式乘以单项式的法则计算. 解：2x 2 ·（-3x 3 ）=[2×（-3）] ·（x 2 ·x 3 ）=-6x 5 .选A. 【点评】该题考察学生对单项式乘法法则的掌握程度. 2.已知多项式x 2 ＋ax ＋b 与x 2 －2x －3的乘积中不含x 3 与x 2 项，则a ，b 的值为（） A.a ＝2，b ＝7 B.a ＝－2，b ＝－3 C.a ＝3，b ＝7 D.a ＝3，b ＝4 【解读】已知其展开式中不含x n 项，可先用多项式乘法法则将其展开，再令含x n 项的系数为0，即可求出待定系数的值. 解：多项式x 2 ＋ax ＋b 与x 2 －2x －3的乘积中含x 3 项的有：-2 x 3 、a x 3 ，所以x 3 的系数为-2+a=0，a=2；含x 2 的项有：-3 x 2 、-2a x 2 、b x 2 ，所以x 2 的系数为-3-2a+b=0，得到b=7.选A. 【点评】该题考察学生对多项式乘法法则的掌握情况以及待定系数法的运用情况. 3．（自编题）若1=x 时，代数式13 ++bx ax 的值为5，则1-=x 时，代数式 13++bx ax 的值等于（） A . 0 B.－3 C .－4 D.－5 【解读】由已知条件知a+b+1=5，即a+b=4，当1-=x 时，代数式13 ++bx ax =-a-b+1=- （a+b ）+1=-4+1=-3.选B. 【点评】该题渗透了整体思想. 4.下列各式计算正确的式子有 （ ） ①（２ｘ－６ｙ）２ ＝４x ２ －１２ｘy ＋３６ｙ２ ②（2x ＋６）（x －６）２ ＝2x 2 －3６ ③（－ｘ－２ｙ）２ ＝x ２ －４ｘy ＋４ｙ ２

七年级图形面积验证乘法公式(优选.)

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改 七年级第一学期期中练习之图形面积 用图形面积验证乘法公式（恒等式） （一）用图形面积的两种表示验证公式 1、利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是____________ 分析：由图乙可知，大正方形的面积为2a，左上角正方形的面积为2 -，则其面 a b () 积还可表示为大正方形的面积减去两个长方形的面积再加上一个小正方形的面积（右下角），即22 -+. a a b b 2 解：222 -=-+. ()2 a b a ab b 2、在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正 方形(a＞b),再沿虚线剪开,如图(1),然后拼成一个梯形, 如图(2),根据这两个图形的面积关系,表明下列式子成 立的是(A)

a a b b 图a 图b (A)a 2-b 2=(a+b)(a-b). (B)(a+b)2=a 2+2ab+b 2. (C)(a-b)2=a 2-2ab+b 2. (D)a 2-b 2=(a-b)2. 3、如下图a ，边长为a 的大正方形中一个边长为b 的 小正方形，小明将图a 的阴影部分拼成了一个矩形， 如图b 。这一过程可以验证（D ） A 、a 2+b 2-2ab=(a-b)2; B 、a 2+b 2+2ab=(a+b)2; C 、2a 2-3ab+b 2=(2a-b)(a-b); D 、a 2-b 2=(a+b) (a-b) 4、如图,边长为a,b(a>b)的大小两个正方形的中心重合, 边保持平行.如果从正方形中剪去小正方形,那么剩下的 图形可分割成四个形状大小相同的梯形,计算剩下的图 形面积,验证了公式____________________ 答案：))((2 2 b a b a b a -+=- 5、如图，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形， 通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了 一个等式，则这个等式是（A ） b a

人教版 八年级数学讲义 乘法公式 (含解析)

第7讲乘法公式 知识定位 讲解用时：5分钟 A、适用范围：人教版初二，基础较好； B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习乘法公式。乘法公式是很好的解题工具，初中阶段我们学习平方差公式、完全平方公式，灵活运用乘法公式能解答许多问题，乘法公式同时也是中考考查的重点，对今后数学的影响也很大，因此本节课要好好学习并掌握。 知识梳理 讲解用时：20分钟 整式的乘法 一、单项式乘单项式： 单项式乘单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 例如：3a·4b=12ab 二、单项式乘多项式： 单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多 项式的每一项，再把所得的积相加. 例如：m（a+b+c）=ma+mb+mc 三、多项式乘多项式： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 例如：（a+b）·（c+d）=ac+bc+ad+bd

1、同底数幂的乘法：底数不变，指数相加 (m,n 都是整数) 2、幂的乘方：底数不变，指数相乘 (m,n 都是整数 ) 3、积的乘方：积中每个因式分别乘方 ()n n n ab a b =?(n 是整数) 4、同底数幂的除法：底数不变，指数相减 m n m n a a a -÷=（m 、n 都是整数且a≠0） 引申：01a = 1n n a a -=(n 是正整数) 一个数的负指数幂等于正指数幂的倒数. n m n m a a a +=?mn n m a a =)(

初一数学乘法公式、因式分解拓展题

初一数学乘法公式、因式分解拓展题1．已知（x﹣2015)2+（x﹣２0１7)2=３4,则(x﹣２01６)２的值是( ) A．4?B.8 C.１2?D.16 2.已知:a=2014x+２０15，ｂ=2０14x+201６，c＝2014x+2０1７,则ａ2+b2+c2﹣aｂ﹣ac﹣ｂc的值是（) Ａ．０?Ｂ.1?Ｃ．2?D．3 3.已知甲、乙、丙均为ｘ的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为ｘ2+15ｘ﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同?(） A.2x＋19?B．2x﹣19?C．2x+15?Ｄ．２ｘ﹣1５ ４.若x２+ｍx＋k是一个完全平方式，则k等于（） A.m2?Ｂ．m2 C.m2?D．m2 ５．ｎ是整数，式子[1﹣（﹣1）n］（n2﹣１）计算的结果（) Ａ．是0? B.总是奇数 C.总是偶数?D.可能是奇数也可能是偶数 6.已知ａ+b=３，ab=﹣2，则a2＋b2的值是． 7．分解因式:a3﹣4ａ2b+4ab2＝. ８.分解因式：x3﹣xy2＝. 9．如果(x2＋p)（x2+7)的展开式中不含有x2项,则p= . 10．已知a＋ｂ=８,a2b2=4，则﹣ab= ． 11.观察下列各式的规律: (ａ﹣ｂ）（ａ+b)＝a2﹣b２ （ａ﹣ｂ)（ａ2+aｂ+b2)=a3﹣b3 （a﹣b)（a3+a2ｂ＋ab2＋b3)＝ａ4﹣b４ …可得到(a﹣b)（ａ２016+a2０15ｂ＋…+aｂ2０１5+ｂ２016）=_____＿___＿＿____＿．１2．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”.这个三角形给出了（a+b）n(n＝1，2，3，4…)的展开式的系数规律(按ａ的次数由大到小的顺序)： 请依据上述规律，写出(x﹣)2016展开式中含x2014项的系数是________＿. 13．观察下列等式： 1+2+3+4+…+ｎ＝n(ｎ+1); 1+3+６+10＋…+n(ｎ+1)=n（ｎ＋１）(n+２);

从面积到乘法公式复习题

从面积到乘法公式复习题 班级 姓名 学号 一．选择题（每小题2分，共14分） 1．计算()()b a b a --+33等于： （ ） A ．2269b ab a -- B ．2296a ab b --— C ．229a b - D ．2 2 9b a - 2．下列各式中，是完全平方式的是 （ ） A ．m 2-mn+n 2 B ．x 2-2x-1 C ．x 2+2x+0．25 D ．0．25b 2-ab+a 2 3． 下列计算中①x (2x-x +1)=2x 2-x +1；②(a+b )2=a 2+b 2;③(x-4)2=x 2-4x+16; ④(5a -1)(-5a -1)=25a 2-1;⑤(-a-b )2=a 2+2ab+b 2,正确的个数有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4． 若m+m 1 =3,则m 2+2m 1的值是 （ ） A ．7 B ．11 C ．9 D ．1 5． () ()212-+-x mx x 的积中x 的二次项系数为零，则m 的值是： （ ） A ．1 B ．–1 C ．–2 D ．2 6． (x-3y )2=(x+3y)2+M,则M 等于 （ ） A ．6xy B ．-6xy C ．±12xy D ．-12xy 7．若一个长方形的长是宽的2倍，宽为 2．5×104cm ，那么这个长方形的面积是 （ ) A ．1．25×104cm 2 B ．1．25×106cm 2 C ．1．25×108cm 2 D ．1．25×109cm 2 二．填空题（每空2分，共32分） 8． 计算: (2x ＋5)(x －5) =___________；(3x －2)2=_______________； (—a +2b )(a +2b )= ______________；()()b a b b a a --+=_____________． 9． ·c b a c ab 532243—=； ()22——a b a = 22b ab + ()()=???2 4 103105________； （用科学记数法表示） 10．（1）若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m = ； （2）若(a +b )2=7，(a —b )2=3，则ab = ； 若a -b =13, a 2-b 2=39，则(a +b )2= ；

华东师大初中数学八年级上册乘法公式(基础)知识讲解[精选]

乘法公式（基础） 【学习目标】 1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算； 3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】 【高清课堂396590 乘法公式 知识要点】 要点一、平方差公式 平方差公式：22 ()()a b a b a b +-=- 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+ （6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=- 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ()2222a b a b ab +=+-()2 2a b ab =-+ ()()22 4a b a b ab +=-+

乘法公式与因式分解知识点经典题例

戴氏教育中高考学校教育中心 【教师寄语：请你相信，有志者事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚;苦心人天 不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！】 乘法公式与因式分解 考点一：完全平方公式 1．（2014?南充）下列运算正确的是（） A．a3?a2=a5B．（a2）3=a5C．a3+a3=a6D．（a+b）2=a2+b2 2．（2014?莆田）下列运算正确的是（） A．a3?a2=a6B．（2a）3=6a3C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．3a2﹣a2=2a2 3．（2014?贵港）下列运算正确的是（） A．2a﹣a=1 B．（a﹣1）2=a2﹣1 C．a?a2=a3D．（2a）2=2a2 考点二：平方差公式 4．（2014?句容市一模）下列运算正确的是（） A．3a+2a=a5B．a2?a3=a6C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．（a+b）2=a2+b2 5．（2014?锡山区一模）计算（x﹣2）（2+x）的结果是（） A．x2﹣4 B．4﹣x2C．x2+4x+4 D．x2﹣4x+4 6．（2013?益阳）下列运算正确的是（） A．2a3÷a=6 B．（ab2）2=ab4C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．（a+b）2=a2+b2 考点三：因式分解的意义 7．（2014?海南）下列式子从左到右变形是因式分解的是（） A．a2+4a﹣21=a（a+4）﹣21 B．a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7） C．（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21 D．a2+4a﹣21=（a+2）2﹣25 考点四：公因式 8．观察下列各式：①2a+b和a+b；②5m（a﹣b）和﹣a+b；③3（a+b）和﹣a﹣b；④x2﹣y2和x2+y2；其中 有公因式的是（） A．①②B．②③C．③④D．①④ 考点五：因式分解—提取公因式 9．（2014?威海）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（） A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x）C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1 10．（2013?槐荫区一模）把多项式mx2﹣2mx分解因式，结果正确的是（） A．m（x2﹣2x）B．m2（x﹣2）C．m x（x﹣2）D．m x（x+2） 考点六：因式分解—公式法 11．（2014?衡阳）下列因式分解中，正确的个数为（） ①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y） A．3个B．2个C．1个D．0个 12．（2014?常德）下面分解因式正确的是（） A．x2+2x+1=x（x+2）+1 B．（x2﹣4）x=x3﹣4x C．ax+bx=（a+b）x D．m2﹣2mn+n2=（m+n）2 考点七：因式分解—分组分解 13．（2010?自贡）把x2﹣y2﹣2y﹣1分解因式结果正确的是（）

苏教版从面积到乘法公式2 授课案

弘文教育个性化辅导授课案教师: 学生: 日期: 2012.8.3星期: 五时段: 10—12 课题从面积到乘法公式 2 学情分析该生基础相对薄弱，有较大上升空间。 教学目标考点分析1. 能说出完全平方公式及其结构特征； 2. 能说出平方差公式及其结构特征； 3. 能正确的运用乘法公式进行计算； 4. 正确熟练的运用乘法公式进行混合运算和简化的计算； 5. 在应用公式的过程中，提高变形应用公式的能力。 教学重点 难点1.能熟练运用完全平方公式和平方差公式； 2.能正确的运用乘法公式进行计算。 教学方法讲练结合 教学过程 【基础回顾】 一、完全平方公式 1、怎样计算右图的面积？它有哪些表示方法？ 如果把右图看成一个大正方形，它的面积为 如果把它看成2个相同的长方形与2个小正方形，它的面积为则易得1、怎样计算右图中阴影部分的面积？它有哪些表示方法？ 通过计算面积你能得到什么结论 2、上面得到的两个结论中的a、b取任意数，结论还成立吗？ 3、这两个公式：（a＋b）2=a2＋2ab+b2 （a - b）2=a2 - 2ab+b2 我们称为完全平方公式。 a a b b (a-b)b

例1：用乘法公式计算 ⑴ 2)35(p + ⑵ 2 )72(y x - ⑶ 2)52(--a 二、平方差公式 1、 怎样计算右图中阴影部分的面积？它有哪些表示方法？ 通过计算面积你能得到什么结论？ 2、上面得到的两个结论中的a 、b 取任意数，结论还成立吗？ 3、这个公式：（a ＋b ）(a －b)＝a 2 －b 2 称为 平方差公式。 例1 计算 （1）)2)(2(-+x x （2） (3m+2n)(3m-2n) 例2 计算 （1） (b+2a)(2a-b) (2) (－x ＋3y)(－x －3y) 三、乘法公式 ab ab b a a b a-b b b a-b a a

八年级上册数学乘法公式

整式的乘法 一、单项式乘以多项式 例1：（-2a2）·（3ab2-5ab3） 对应练习：1、计算 （1）2(a+b-c) （2）(-2a)(2a+1) (3) 2m(3m2n-8n)+2（mn+1) 2、要使（2x2+ax+1）（-3x2）展开式中不含x3项，求a的值是多少？ 3、化简求值：3xy(xy-xy2+x2y)- xy2(2x2-3xy+2x),其中x=2 , y=3. 4、达标检测 1、计算：(1)2xy(xy-x+y) (2) (-2a) (2a2b+3a2-b2) (3) 2、解方程：-2(1-2x)-10=1+10(-2x+5) 二、多项式与多项式相乘 1.例题：(3x－1)(4x＋5)＝__________．(－4x－y)(－5x＋2y)＝__________．对应练习 1.若(x＋a)(x＋b)＝x2－kx＋ab，则k的值为() A．a＋b B．－a－b C．a－b D．b－a 2.计算(2x－3y)(4x2＋6xy＋9y2)的正确结果是()

A．(2x－3y)2B．(2x＋3y)2C．8x3－27y3D．8x3＋27y3 3.(x2－px＋3)(x－q)的乘积中不含x2项，则() A．p＝q B．p＝±q C．p＝－q D．无法确定 4.若0＜x＜1，那么代数式(1－x)(2＋x)的值是() A．一定为正B．一定为负C．一定为非负数D．不能确定5.方程(x＋4)(x－5)＝x2－20的解是() A．x＝0 B．x＝－4 C．x＝5 D．x＝40 6.若2x2＋5x＋1＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c，那么a，b，c应为() A．a＝2，b＝－2，c＝－1 B．a＝2，b＝2，c＝－1 C．a＝2，b＝1，c＝－2 D．a＝2，b＝－1，c＝2 7.若6x2－19x＋15＝(ax＋b)(cx＋b)，则ac＋bd等于() A．36 B．15 C．19 D．21 8.(x＋1)(x－1)与(x4＋x2＋1)的积是() A．x6＋1 B．x6＋2x3＋1 C．x6－1 D．x6－2x3＋1 9.(x＋3)(x＋4)－(x－1)(x－2)＝__________． 10.(y－1)(y－2)(y－3)＝__________． 11.(x3＋3x2＋4x－1)(x2－2x＋3)的展开式中，x4的系数是__________． 12.若(x＋a)(x＋2)＝x2－5x＋b，则a＝__________，b＝__________． 13.若a2＋a＋1＝2，则(5－a)(6＋a)＝__________． 14.当k＝__________时，多项式x－1与2－kx的乘积不含一次项． 15.若(x2＋ax＋8)(x2－3x＋b)的乘积中不含x2和x3项，则a＝_______，b＝_______． 16.如果三角形的底边为(3a＋2b)，高为(9a2－6ab＋4b2)，则面积＝__________． 17、计算下列各式 (1)(2x＋3y)(3x－2y) (2)(x＋2)(x＋3)－(x＋6)(x－1) (3)(3x2＋2x＋1)(2x2＋3x－1) (4)(3x＋2y)(2x＋3y)－(x－3y)(3x＋4y)

初二数学 乘法公式

乘法公式 平方差公式 学习目标： 1．能说出平方差公式的特点，并会用式子表示. 2．能正确地利用平方差公式进行多项式的乘法运算. 3．通过平方差公式得出的过程，体会数形结合的思想. 学习重点：掌握两数和乘以它们的差的结构特征. 学习难点：正确理解两数和乘以它们的差的公式的意义. 学习过程： 一、联系生活,设境激趣 问题一：王林到小卖部去买饼干, 售货员告诉他: 共4.2千克，每千克3.8元.正当售货员还在用计算器计算时，王林马上说出了共15.96元，售货员很惊奇地问：“你怎么比计算器算的还快呢？”王林很得意的告诉她：这是一个秘密. 同学们,你能帮售货员揭开小林快速口算出4.2×3.8的秘密吗? 二.观察概括,探索验证 问题二：1．经过本节课的学习,我们就能揭开这一秘密了.请同学们计算下面三道题: (1)(x＋3)(x－3)；(2) (m＋5n)(m－5n)；(3) (4＋y)(4－y) . 2．请你观察思考:以上几个多项式与多项式相乘的式子有什么特点?积有什么特点?你能用字母表示吗？ 观察发现：两数和乘以这两数的等于这两数的 用一个数学等式表示为:（a＋b）（a－b）＝……平方差公式. 3.这个等式正确吗?你怎样验证其正确性呢? ⑴利用多项式乘以多项式计算: ⑵你能再用以下的图形验证平方差公式吗？试一试.

图13.3.1 先观察图13.3.1，再用等式表示下图中图形面积的运算： ＝ － ． 具有简洁美的乘法公式:（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2． 三、理解运用，巩固提高 问题三：1. 填一填:①2x+21）（2x-2 1）=（ ）2-（ ）2 = ②(3x+6y)(3x-6y)=( )2-（ ）2= ③(m 3+5)(m 3-5)=( )2-（ ）2= 2. 辨一辨: ① (2x ＋3)(2x －3) =2x 2－9 ②(x ＋y 2)(x －y 2) = x 2－y 2 ③(a ＋b)(a －2b) = a 2－b 2 3.说一说：下列各式都能用平方差公式计算吗? ①(2a －3b)(3b －2a) ②(－2a+3b) (2a+3b) ③(－2a －3b)(2a －3b) ④(2a －3b)(2a+3b) ⑤(2a+3b)(－2a －3b) ⑥(2a －3b)(－3b+2a) 4．做一做：（1）(a ＋3)( a －3) （2）(2a ＋3b)( 2a －3b) （3）(1＋2c)( 1－2c) （4）变式拓展:①（－2x －y ）（2x －y ） ②(-m+n)(-m-n) ③ (-2x-5y)(5y-2x)

乘法公式与因式分解

乘法公式、多項式與因式分解 主題一：乘法公式的判別與求值 1. 乘法公式 1.2222)(b ab a b a ++=+（和的平方） 2.2222)(b ab a b a +-=-（差的平方） 3.22))((b a b a b a -=-+ （平方差） 4.(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd （乘法分配律） 5. ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++（三項和的平方） 6.3223333)(b ab b a a b a +++=+（和的立方） 7.3223333)(b ab b a a b a -+-=-（差的立方） 8.3322))((b a b ab a b a +=+-+（立方和） 9.3322))((b a b ab a b a -=++-（立方差） 10.42242222))((b b a a b ab a b ab a ++=+-++ 2. 求值公式： （1） a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－2ab ＝（a －b ）2＋2ab 【若已知a ＋b 及ab ，欲求a －b 時，須先算出（a －b ）2，再用平方根來求】 （2） x 2＋x 21＝（x ＋x 1）2－2＝（x －x 1）2＋2 （3） a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝ 2 1〔（a ＋b ）2＋（b ＋c ）2＋（c ＋a ）2〕 （4） （a ＋b ）2＝（a －b ）2＋4ab （5） （a －b ）2＝（a ＋b ）2－4ab 3.乘法公式的應用與式子的展開： （1）（ax ＋b ）（cx ＋d ）＝acx 2＋＋ad x ＋bcx ＋bd （2）（ax ＋b ）2＝（ax ）2＋2×ax ×b ＋b 2＝a 2x 2＋2abx ＋b 2 （3）（ax －b ）2＝（ax ）2－2×ax ×b ＋b 2＝a 2x 2－2abx ＋b 2 （4）（ax ＋b ）（ax －b ）＝（ax ）2－b 2＝a 2x 2－b 2 （5）（-ax ＋b ）2＝（ax －b ）2；（-ax －b ）2＝（ax ＋b ）2 主題二：多項式 1. 多項式的定義：由數和文字符號x 進行加法和乘法運算所構成的式子。多項式的文字x 不可在分母、指數、根號內與絕對值內，且須為有限項。 例：231 +X ，22-X ，5-X ，.....12+++X X 不是X 的多項式。 2.多項式的次數： （1） 只含一個文字的多項式，以文字的最高次數為此多項式之次數。 （2） 含二個或二個以上文字的多項式，以各項中文字的次數總和的最高次數為此多項式之次數。 （3） 常數多項式，包含零次多項式（只有常數項，且不為0）及零多項式（就是0）。