动态规划法-回溯法-分支限界法求解TSP问题实验报告

TSP问题算法实验报告

目录

总述 (2)

动态规划法 (2)

算法问题分析 (2)

算法设计 (2)

实现代码 (2)

输入输出截图 (5)

OJ提交截图 (5)

算法优化分析 (5)

回溯法 (5)

算法问题分析 (5)

算法设计 (6)

实现代码 (6)

输入输出截图 (8)

OJ提交截图 (8)

算法优化分析 (9)

分支限界法 (9)

算法问题分析 (9)

算法设计 (9)

实现代码 (9)

输入输出截图 (14)

OJ提交截图 (14)

算法优化分析 (14)

总结 (15)

总述

TSP问题又称为旅行商问题，是指一个旅行商要历经所有城市一次最后又回到原来的城市，求最短路程或最小花费，解决TSP可以用好多算法，比如蛮力法，动态规划法…具体的时间复杂的也各有差异，本次实验报告包含动态规划法，回溯法以及分支限界法。

动态规划法

算法问题分析

假设n个顶点分别用0~n-1的数字编号，顶点之间的代价存放在数组mp[n][n]中，下面考虑从顶点0出发求解TSP问题的填表形式。首先，按个数为1、2、…、n-1的顺序生成1~n-1个元素的子集存放在数组x[2^n-1]中，例如当n=4时，x[1]={1},x[2]={2},x[3]={3},x[4]={1,2},x[5]={1,3},x[6]={2,3},x[7]={1,2,3}。设数组dp[n][2^n-1]存放迭代结果，其中dp[i][j]表示从顶点i经过子集x[j]中的顶点一次且一次，最后回到出发点0的最短路径长度，动态规划法求解TSP问题的算法如下。

算法设计

输入：图的代价矩阵mp[n][n]

输出：从顶点0出发经过所有顶点一次且仅一次再回到顶点0的最短路径长度

1.初始化第0列（动态规划的边界问题）

for(i=1;i

dp[i][0]=mp[i][0]

2.依次处理每个子集数组x[2^n-1]

for(i=1;i

if（子集x[j]中不包含i）

对x[j]中的每个元素k，计算d[i][j]=min{mp[i][k]+dp[k][j-1]};

3.输出最短路径长度。

实现代码

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#define debug "output for debug\n" #define pi (acos(-1.0))

#define eps (1e-8)

#define inf 0x3f3f3f3f

#define ll long long int

#define lson l , m , rt << 1

#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1 using namespace std;

const int mod = 1000000007; const int Max = 100005;

int n,mp[20][20],dp[20][40000];

int main()

{

while(~scanf("%d",&n))

{

int ans=inf;

memset(mp,0,sizeof mp);

for(int i=0; i

{

for(int j=0; j

{

if(i==j)

{

mp[i][j]=inf;

continue;

}

int tmp;

scanf("%d",&tmp);

mp[i][j]=tmp;

}

}

int mx=(1<<(n-1));

dp[0][0]=0;

for(int i=1; i

{

dp[i][0]=mp[i][0];

}

dp[0][mx-1]=inf;

for(int j=1; j<(mx-1); j++)

{

for(int i=1; i

{

if((j&(1<<(i-1)))==0)

{

int x,y=inf;

for(int k=1; k

{

if((j&(1<<(k-1)))>0){

x=dp[k][(j-(1<<(k-1)))]+mp[i][k];

y=min(y,x);

}

}

dp[i][j]=y;

}

}

}

dp[0][mx-1]=inf;

for(int i=1;i

dp[0][mx-1]=min(dp[0][mx-1],mp[0][i]+dp[i][(mx-1)-(1<<(i-1))]);

printf("%d\n",dp[0][mx-1]);

}

return 0;

}

输入输出截图

OJ提交截图

算法优化分析

该算法需要对顶点集合{1，2，…，n-1}的每一个子集进行操作，因此时间复杂度为O(2^n)。和蛮力法相比，动态规划法求解TSP问题，把原来的时间复杂度是O(n!)的排列问题，转化为组合问题，从而降低了算法的时间复杂度，但仍需要指数时间。

回溯法

算法问题分析

回溯法求解TSP问题，首先把所有的顶点的访问标志初始化为0，然后在解空间树中从根节点出发开始搜索，如果从根节点到当前结点对应一个部分解，即满足上述约束条件，则在当前结点处选择第一棵子树继续搜索，否则，对当前子树的兄弟结点进行搜索，如果当前结点的所有子树都已尝试过并且发生冲突，则回溯到当前结点的父节点。采用邻接矩阵mp[n][n]存储顶点之间边的情况，为避免在函数间传递参数，将数组mp设置为全局变量，

设数组x[n]表示哈密顿回路经过的顶点。

算法设计

输入:无向图G=(V,E)

输出：哈密顿回路

1、将顶点数组x[n]初始化为0，标志数组vis[n]初始化为0；

2、从顶点0出发构造哈密顿回路：vis[0]=1;x[0]=1;k=1;

3、While(k>=1)

3.1、x[k]=x[k]+1，搜索下一个顶点。

3.2、若n个顶点没有被穷举完，则执行下列操作

3.2.1、若顶点x[k]不在湖密顿回路上并且(x[k-1],x[k])∈E，转步骤3.3；

3.2.2、否则，x[k]=x[k]+1,搜索下一个顶点。

3.3、若数组x[n]已经形成哈密顿路径，则输出数组x[n]，算法结束；

3.4、若数组x[n]构成哈密顿路径的部分解，则k=k+1，转步骤3；

3.5、否则，取消顶点x[k]的访问标志，重置x[k],k=k-1，转步骤3。

实现代码

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#define debug "output for debug\n"

#define pi (acos(-1.0))

#define eps (1e-8)

#define inf 0x3f3f3f3f

#define ll long long int

#define lson l , m , rt << 1

#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

using namespace std;

int mp[20][20];

int x[30],vis[30];

int n,k,cur,ans;

void init()

{

for(int i=0;i

for(int j=0;j

mp[i][j]=-1;

ans=-1;cur=0;

for(int i=1;i<=n;i++)x[i]=i;

}

void dfs(int t)

{

if(t==n)

{

if(mp[x[n-1]][x[n]]!=-1&&(mp[x[n]][1]!=-1)&&(cur+mp[x[n-1]][x[n]]+mp[x[n]][1]

for(int i=1;i<=n;i++)

vis[i]=x[i];

ans=cur+mp[x[n-1]][x[n]]+mp[x[n]][1];

}

}

else

{

for(int i=t;i<=n;i++)

{

if(mp[x[t-1]][x[i]]!=-1&&(cur+mp[x[t-1]][x[i]]

{

swap(x[t],x[i]);

cur+=mp[x[t-1]][x[t]];

dfs(t+1);

cur-=mp[x[t-1]][x[t]];

swap(x[t],x[i]);

}

}

}

}

int main()

{

while(~scanf("%d",&n))

{

init();

for(int i=1; i<=n; i++)

{

for(int j=1; j<=n; j++)

{

if(i==j)

continue;

scanf("%d",&mp[i][j]);

}

}

///puts("YES");

dfs(2);

cout<

}

return 0;

}

输入输出截图

OJ提交截图

算法优化分析

在哈密顿回路的可能解中，考虑到约束条件xi!=xj(1<=I,j<=n,i!=j),则可能解应该是（1,2,…,n）的一个排列，对应的解空间树种至少有n!个叶子结点，每个叶子结点代表一种可能解。当找到可行的最优解时，算法停止。

分支限界法

算法问题分析

分支限界法解决TSP问题首先确定目标函数的界[down,up]，可以采用贪心法确定TSP 问题的一个上界。如何求得TSP问题的一个合理的下界呢？对于无向图的代价矩阵，吧矩阵中每一行最小的元素想家，可以得到一个简单的下界，但是还有一个信息量更大的下界：考虑一个TSP问题的完整解，在每条路径上，每个城市都有两条邻接边，一条是进入这个城市的，另一条是离开这个城市的，那么，如果把矩阵中每一行最小的两个元素相加在除以2，假设图中所有的代价都是整数，再对这个结果向上取整，就得到一个合理的下界。需要强调的是，这个解可能不是一个可行解（可能没有构成哈密顿回路），但给出了一个参考下界。一般情况下，假设当前已确定的路径为U=(r1,r2,…,rk),即路径上已确定了k个顶点，此时，该部分解的目标函数值的计算方法（限界函数）如下：

Lb=（2∑c[ri][r(i+1)]+∑ri行不在路径上的最小元素+∑ri行最小的两个元素）/2

算法设计

输入：图G=(V,E)

输出：最短哈密顿回路

1、根据限界函数计算目标函数的下界down；采用贪心法得到上界up；

2、计算根节点的目标函数值并加入待处理结点表PT；

3、循环知道某个叶子结点的目标函数值在表PT中取得极小值

3.1、i=表PT中具有最小值的结点；

3.2、对结点i的每个孩子几点x执行下列操作：

3.2.1估算结点x的目标函数值lb；

3.2.2若（lb<=up），则将结点x加入表PT中；否则丢弃该结点；

4、将叶子结点对应的最优解输出，回溯求得最优解的各个分量。

实现代码

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#define debug "output for debug\n"

#define pi (acos(-1.0))

#define eps (1e-8)

#define inf 0x3f3f3f3f

#define ll long long int

#define lson l , m , rt << 1

#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

using namespace std;

const int mod = 1000000007;

const int Max = 100005;

/***

***/

vectorMp[20];

vector::iterator it;

int mp[20][20];

int vis[20];

int up,low,n,ans;

struct node

{

int x[20],st,ed,dis,val,num;

bool operator<(const node &p)const

{

return val

}

};

priority_queueq;

int getup(int u,int v,int w)

{

if(v==n) return w+mp[u][1];

int sum=inf,p;

for(int i=1; i<=n; i++)

{

if(!vis[i]&&sum>mp[u][i])

{

sum=mp[u][i];

p=i;

}

}

vis[p]=1;

return getup(p,v+1,w+sum);

}

int getlow()

{

int sum=0;

for(int i=1; i<=n; i++)

{

it=Mp[i].begin();

sum+=*it;

it++;

sum+=*it;

}

return sum/2;

}

int gao(node s)

{

int res=s.dis*2;

int t1=inf,t2=inf;

for(int i=1; i<=n; i++)

{

if(!s.x[i])

{

t1=min(t1,mp[i][s.st]);

t2=min(t2,mp[s.ed][i]);

}

}

res+=t1;

res+=t2;

int tmp;

for(int i=1; i<=n; i++)

{

tmp=inf;

if(!s.x[i])

{

it=Mp[i].begin();

res+=*it;

for(int j=1; j<=n; j++)

tmp=min(tmp,mp[j][i]);

res+=tmp;

}

}

return !(res%2) ? (res/2):(res/2+1);

}

void bfs(node s)

{

q.push(s);

while(!q.empty())

{

node head=q.top();

q.pop();

if(head.num==n-1)

{

int p;

for(int i=1; i<=n; i++)

{

if(!head.x[i])

{

p=i;

break;

}

}

int cnt=head.dis+mp[p][head.st]+mp[head.ed][p];

node tmp=q.top();

if(cnt<=tmp.val)

{

ans=min(ans,cnt);

return;

}

else

{

up=min(up,cnt);

ans=min(ans,cnt);

continue;

}

}

node tmp;

for(int i=1; i<=n; i++)

{

if(!head.x[i])

{

tmp.st=head.st;

tmp.dis=head.dis+mp[head.ed][i];

tmp.ed=i;

tmp.num=head.num+1;

for(int j=1; j<=n; j++) tmp.x[j]=head.x[j];

tmp.x[i]=1;

tmp.val=gao(tmp);

if(tmp.val<=up)

q.push(tmp);

}

}

}

}

int main()

{

while(~scanf("%d",&n))

{

for(int i=0; i<=n; i++)

Mp[i].clear();

for(int i=1; i<=n; i++)

{

for(int j=1; j<=n; j++)

{

if(i!=j)

{

scanf("%d",&mp[i][j]);

Mp[i].push_back(mp[i][j]);

}

else

mp[i][j]=inf;

}

sort(Mp[i].begin(),Mp[i].end());

}

memset(vis,0,sizeof vis);

vis[1]=1;

up=0;

up+=getup(1,1,up);

low=getlow();

node fir;

fir.st=1;

fir.ed=1;

fir.num=1;

for(int i=1; i<=n; i++) fir.x[i]=0;

fir.x[1]=1;

fir.dis=0;

fir.val=low;

ans=inf;

bfs(fir);

printf("%d\n",ans);

}

return 0;

}

输入输出截图

OJ提交截图

算法优化分析

分支限界法的复杂度是根据数据的不同而不同，搜索的节点越少，复杂度越低，跟目标

函数的选择有很大关系。目标函数值的计算也会需要一定时间，比如此文章中的目标函数值求解的复杂度是O(n^2 )。当然此算法仍然有可以优化的地方，比如在记录该路径每个叶子结点的孩子结点时可以采用二进制的思想，从而使算法的时间复杂度在下降到当前T/n的数量级，解决COJ1814问题应该不成问题。

总结

TSP问题在很多地方都可以运用到，并且好多问题都是由TSP问题延伸和发展的，也可以称之为TSP问题，不过其思路大致相似，于是我们可以运用已学过的算法对其进行解决。我在学习算法课以前的TSP问题大都用动态规划以及回溯法，究其时间复杂度以及代码的复杂度比较低，思路比较清晰，在解决此类延伸问题时容易调试和修改。学完算法后最有感触的一点就是，算法的精髓并不在于其方式方法，而在于其思想思路。有了算法的思想，那么潜移默化中问题就可以得到解决。

(完整版)分支限界算法作业分配问题

分支限界法的研究与应用 摘要： 分支限界法与回溯法的不同:首先,回溯法的求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解,而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解,或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。其次，回溯法以深度优先的方式搜索解空间树，而分支限界法则一般以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。再者，回溯法空间效率高；分支限界法往往更“快”。 分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。 常见的分支限界法有：队列式分支限界法，按照队列先进先出原则选取下一个结点为扩展结点。栈式分支限界法，按照栈后进先出原则选取下一个结点为扩展结点。优先队列式分支限界法，按照规定的结点费用最小原则选取下一个结点为扩展结点（最采用优先队列实现）。 分支搜索法是一种在问题解空间上进行搜索尝试的算法。所谓分支是采用广度优先的策略国,依次搜索E-结点的所有分支,也就是所有的相邻结点。和回溯法一样,在生成的结点中,抛弃那些不满足约束条件的结点,其余结点加入活结点表。然后从表中选择一个结点作为下一个E-结点,断续搜索。 关键词： 分支限界法回溯法广度优先分支搜索法

目录 第1章绪论 (3) 1.1 分支限界法的背景知识 (3) 1.2 分支限界法的前景意义 (3) 第2章分支限界法的理论知识.................. 错误!未定义书签。 2.1 问题的解空间树 ............................................... 错误!未定义书签。 2.2 分支限界法的一般性描述 (6) 第3章作业分配问题 (7) 3.1 问题描述 (7) 3.2 问题分析 (7) 3.3 算法设计 (8) 3.4 算法实现 (10) 3.5 测试结果与分析 (12) 第4章结论 (13) 参考文献 (14)

回溯法实验(0-1背包问题)

算法分析与设计实验报告第五次附加实验

附录： 完整代码（回溯法） //0-1背包问题回溯法求解 #include using namespace std; template class Knap //Knap类记录解空间树的结点信息 { template friend Typep Knapsack(Typep [],Typew [],Typew,int); private: Typep Bound(int i); //计算上界的函数 void Backtrack(int i); //回溯求最优解函数

Typew c; //背包容量 int n; //物品数 Typew *w; //物品重量数组| Typep *p; //物品价值数组 Typew cw; //当前重量 Typep cp; //当前价值 Typep bestp; //当前最后价值 }; template Typep Knapsack(Typep p[],Typew w[],Typew c,int n); //声明背包问题求解函数template inline void Swap(Type &a,Type &b); //声明交换函数 template void BubbleSort(Type a[],int n); //声明冒泡排序函数 int main() { int n ;//物品数 int c ;//背包容量 cout<<"物品个数为："; cin>>n; cout<<"背包容量为："; cin>>c; int *p = new int[n];//物品价值下标从1开始 int *w = new int[n];//物品重量下标从1开始 cout<<"物品重量分别为："<>w[i]; } cout<<"物品价值分别为："<>p[i]; } cout<<"物品重量和价值分别为："<

回溯法与分支限界法的分析与比较

回溯法与分支限界法的分析与比较 摘要：通过对回溯法与分支限界法的简要介绍，进一步分析和比较这两种算法在求解问题时的差异，并通过具体的应用来说明两种算法的应用场景及侧重点。 关键词：回溯法分支限界法n后问题布线问题 1、引言 1.1回溯法 回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。这种以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为回溯法。 1.2分支限界法 分支限界法是以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树，在每一个活结点处，计算一个函数值，并根据函数值，从当前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点，使搜索朝着解空间上有最优解的分支推进，以便尽快地找出一个最优解，这种方法称为分支限界法。 2、回溯法的基本思想 用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。问题的解空间至少应包含问题的一个解。之后还应将解空间很好的组织起来，使得能用回溯法方便的搜索整个解空间。在组织解空间时常用到两种典型的解空间树，即子集树和排列树。确定了解空间的组织结构后，回溯法从开始结点出发，以深度优先方式搜索整个解空间。这个开始结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法以这种工作方式递归的在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已无活结点时为止。 3、分支限界法的基本思想 用分支限界法解问题时，同样也应明确定义问题的解空间。之后还应将解空间很好的组织起来。分支限界法也有两种组织解空间的方法，即队列式分支限界法和优先队列式分支限界法。两者的区别在于：队列式分支限界法按照队列先进先出的原则选取下一个节点为扩展节点，而优先队列式分支限界法按照优先队列

回溯法实验(最大团问题)

算法分析与设计实验报告第七次附加实验

} } 测试结果 当输入图如下时： 当输入图如下时： 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

当输入图如下时： 1 2 3 4 5

附录： 完整代码（回溯法） //最大团问题回溯法求解 #include using namespace std; class Clique { friend void MaxClique(int **,int *,int ); private: void Backtrack(int i); int **a; //图的邻接矩阵 int n; //图的顶点数 int *x; //当前解 int *bestx; //当前最优解 int cn; //当前顶点数 int bestn; //当前最大顶点数 }; void Clique::Backtrack(int i) { //计算最大团 if(i>n) //到达叶子节点 { for(int j=1;j<=n;j++) bestx[j]=x[j]; bestn=cn;

cout<<"最大团：（"; for(int i=1;i=bestn) { //修改一下上界函数的条件，可以得到 x[i]=0; //相同点数时的解 Backtrack(i+1); } } void MaxClique(int **a,int *v,int n) { //初始化Y Clique Y; Y.x=new int[n+1]; Y.a=a; Y.n=n; https://www.docsj.com/doc/d010037056.html,=0; Y.bestn=0; Y.bestx=v; Y.Backtrack(1); delete [] Y.x; cout<<"最大团的顶点数："<

回溯法和分支限界法解决背包题

0-1背包问题 计科1班朱润华 32 方法1：回溯法 一、回溯法描述： 用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。该解空间包含对变量的所有0-1赋值。例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大 形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。 二、回溯法步骤思想描述： 0-1背包问题是子集选取问题。0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。否则，将右子树剪去。设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至

装不下时，再装入物品一部分而装满背包。 例如：对于0-1背包问题的一个实例， n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。以物品单位重量价值的递减序装入物品。先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装的物品2。由此得一个解为[1,,1,1]，其相应价值为22。尽管这不是一个可行解，但可以证明其价值是最优值的上界。因此，对于这个实例，最优值不超过22。 在实现时，由Bound计算当前节点处的上界。类Knap的数据成员记录解空间树中的节点信息，以减少参数传递调用所需要的栈空间。在解空间树的当前扩展节点处，仅要进入右子树时才计算上界Bound,以判断是否可将右子树剪去。进入左子树时不需要计算上界，因为上界预期父节点的上界相同。 三、回溯法实现代码： #include "" #include using namespace std; template class Knap { template friend Typep Knapsack(Typep [],Typew [],Typew,int);

回溯法实验报告

实验04 回溯法 班级：0920561 姓名：宋建俭学号：20 一、实验目的 1.掌握回溯法的基本思想。 2.掌握回溯法中问题的解空间、解向量、显式约束条件、隐式约束条件以及子 集树与排列树的递归算法结构等内容。 3.掌握回溯法求解具体问题的方法。 二、实验要求 1.认真阅读算法设计教材,了解回溯法思想及方法; 2.设计用回溯算法求解装载问题、n后问题、图的m着色问题的java程序 三、实验内容 1.有一批共n个集装箱要装上2艘载重量分别为C1和C2的轮船，其中集装箱 i的重量为wi，且∑wi≤C1+C2。装载问题要求确定是否有一个合理的装载方案可将这个集装箱装上这2艘轮船。如果有，找出一种装载方案。 2.在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则， 皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。n后问题等价于在n×n格的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。 3.给定无向连通图G和m种不同的颜色。用这些颜色为图G的各顶点着色，每 个顶点着一种颜色。是否有一种着色法使G中每条边的2个顶点着不同颜色。 这个问题是图的m可着色判定问题。 四、算法原理 1、装载问题 用回溯法解装载问题时，用子集树表示其解空间是最合适的。可行性约束可剪去不满足约束条件(w1x1+w2x2+…+wnxn)<=c1的子树。在子集树的第j+1层结点Z处，用cw记当前的装载重量，即cw=(w1x1+w2x2+…+wjxj)，当cw>c1时，以结点Z为根的子树中所有结点都不满足约束条件，因而该子树中的解均为不可行解，故可将该子树剪去。 解装载问题的回溯法中，方法maxLoading返回不超过c的最大子集和，但未给出达到这个最大子集和的相应子集。 算法maxLoading调用递归方法backtrack(1)实现回溯搜索。Backtrack(i)搜索

回溯法和分支限界法解决0-1背包题

0-1背包问题 计科1班朱润华2012040732 方法1:回溯法 一、回溯法描述： 用回溯法解问题时， 应明确定义问题的解空间。 问题的解空间至少包含问题的一个 (最 优)解。对于0-1背包问题，解空间由长度为 n 的0-1向量组成。该解空间包含对变量的所 有 0-1 赋值。例如 n=3 时，解空间为： {(0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) , (1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1 , 1, 1) 然后可将解空间组织成树或图的形式， 0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定 n 种物品和一背包。物品i 的重量是wi ,其价 值为vi ,背包的容量为 C 。问：应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值 最大？ 形式化描述：给定 c >0, wi >0, vi >0 , 1 w i < n.要求找一 n 元向量(x1,x2,…,xn,), xi € {0,1}, ? 刀wi xi w c,且刀vi xi 达最大.即一个特殊的整数规划问题。 二、回溯法步骤思想描述： 0-1背包问题是子集选取问题。0-1背包问题的解空间可以用子集树表示。在搜索解空 间树时，只要其 左儿子节点是一个可行节点， 搜索就进入左子树。当右子树中有可能含有最 优解时，才进入右子树搜索。否则，将右子树剪去。设 r 是当前剩余物品价值总和， cp 是 当前价值；bestp 是当前最优价值。当 cp+r<=bestp 时，可剪去右子树。计算右子树上界的 更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序， 然后依次装入物品， 直至装不下时，再装 入物品一部分而装满背包。 例如：对于 0-1 背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1] 品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。以物品单位重量价值的递减序装入物品。 品4,然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1,只能装 由此得一个解为[1,0.2,1,1]，其相应价值为22。尽管这不是一个可行解，但可以证明其价 值是最优值的上界。因此，对于这个实例，最优值不超过 在实现时，由 Bound 计算当前节点处的上界。类 Knap 的数据成员记录解空间树中的节 点信息，以减少参数传递调用所需要的栈空间。 在解空间树的当前扩展节点处， 仅要进入右 子树时才计算上界 Bound,以判断是否可将右子树剪去。进入左子树时不需要计算上界，因 为上界预期父节点的上界相同。 三、回溯法实现代码： #i nclude "stdafx.h" #in clude using n ames pace std; temp late class Knap { temp latevciass Typ ew,class Typep> friend Typep Knap sack(T ypep [],T ypew [],T yp ew,i nt); private: Typep Boun d(i nt i); 。这4个物 先装入物 0.2的物品2。 22。

回溯法实验报告

数学与计算机学院实验报告 一、实验项目信息 项目名称：回溯法 实验时间： 2016/06/08 实验学时： 03 学时 实验地点：工科楼503 二、实验目的及要求 理解回溯法的深度优先搜索策略、 掌握用回溯法解题的算法框架、 掌握回溯法的设计策略 三、实验环境 计算机Ubuntu Kylin14.04 CodeBlock软件四、实验内容及实验步骤 排兵布阵问题 某游戏中，不同的兵种处在不同的地形上其攻击能力不一样，现有n个不同兵种的角色{1,2,...,n}，需安排在某战区n个点上，角色i在j点上的攻击力为A ij。试设计一个布阵方案，使总的攻击力最大。 数据： 防卫点 角 色 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 回溯法： 程序： #include int position[10]; int a[10][10]; int check(int k){//每个节点检查的函数 int i; for(i=0;i=0) { sum=0; position[k]=position[k]+1; while(position[k]<=n)

if(check(k))break; else position[k]=position[k]+1; if(position[k]<=n && k==n-1) { for(i=0;i

实验五、优先队列式分支限界法解装载问题

实验五优先队列式分支限界法解装载问题 09电信实验班I09660118 徐振飞 一、实验题目 实现书本P201所描述的优先队列式分支限界法解装载问题 二、实验目的 （1）掌握并运用分支限界法基本思想 （2）运用优先队列式分支限界法实现装载问题 （3）比较队列式分支限界法和优先队列式分支限界法的优缺点三、实验内容和原理 （1）实验内容 有一批共n个集装箱要装上2艘载重量分别为c1和c2的轮船， 其中集装箱i的重量为Wi，且∑ = + ≤ n i i c c w 1 2 1 ，要求确定是否有一个合 理的装载方案可将这n个集装箱装上这2艘轮船。如果有，请给出方案。 （2）实验原理 解装载问题的优先队列式分支限界法用最大优先队列存储活结点表。活结点x在优先队列中的优先级定义为从根结点到结点x的路径所相应的载重量再加上剩余集装箱的重量之和。优先队列中优先级最大的活结点成为下一个扩展结点。优先队列中活结点x的优先级为x.uweight。以结点x为根的子树中所有结点相应的路径的载重量不超过x.uweight。子集树中叶结点所相应的载重量与其优先级相同。因此在优先队列式分支限界法中，一旦有一个叶结点成为当前扩展结

点，则可以断言该叶结点所相应的解即为最优解，此时终止算法。 上述策略可以用两种不同方式来实现。第一种方式在结点优先队列的每一个活结点中保存从解空间树的根结点到该活结点的路径，在算法确定了达到最优值的叶结点时，就在该叶结点处同时得到相应的最优解。第二种方式在算法的搜索进程中保存当前已构造出的部分解空间树，在算法确定了达到最优值的叶结点时，就可以在解空间树中从该叶结点开始向根结点回溯，构造出相应的最优解。在下面的算法中，采用第二种方式。 四、源程序 import https://www.docsj.com/doc/d010037056.html,parator; import java.util.Iterator; import java.util.PriorityQueue; import java.util.Scanner; public class test5 { public void addLiveNode(PriorityQueue H,bbnode E,int wt,boolean ch,int lev){ bbnode b = new bbnode(E,ch); HeapNode N = new HeapNode(b, wt, lev); H.add(N); } public int maxLoading(int w[],int c,int n,boolean bestx[]){ PriorityQueue H = new PriorityQueue(1000,new comp()); /*生成最大堆*/ int[] r = new int[n+1]; r[n] = 0; for(int j=n-1;j>0;j--){ r[j] = r[j+1] + w[j+1]; } int i = 1; bbnode E = new bbnode(null,false); int Ew = 0; while(i!=n+1){ if(Ew+w[i]<=c){ addLiveNode(H, E, Ew+w[i]+r[i], true, i+1);

用回溯法和队列式分支限界算法求解0-1背包问题

华北水利水电学院数据结构与算法分析实验报告2009 ～2010 学年第 1 学期2009 级计算机专业 班级：200915326 学号：200915326 姓名：郜莉洁 一、实验题目： 分别用回溯法和分支限界法求解0-1背包问题 二、实验内容： 0-1背包问题：给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量为C。应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有2种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。 三、程序源代码： A:回溯法： // bag1.cpp : Defines the entry point for the console application. // #include "stdafx.h" #include #define MaxSize 100 //最多物品数 int limitw; //限制的总重量 int maxwv=0; //存放最优解的总价值 int maxw; int n; //实际物品数 int option[MaxSize]; // 存放最终解 int op[MaxSize]; //存放临时解 struct { int weight; int value; }a[MaxSize]; //存放物品数组 void Knap( int i, int tw, int tv) //考虑第i个物品 { int j; if(i>=n) //找到一个叶子结点 { if (tw<=limitw && tv>maxwv) //找到一个满足条件地更优解，保存它 { maxwv=tv; maxw=tw; for(j=0;j

第一章回溯法(习题二

1.5 走迷宫(maze.pas)* 【问题描述】 有一个m * n格的迷宫（表示有m行、n列），其中有可走的也有不可走的，如果用1表示可以走，0表示不可以走，文件读入这m * n个数据和起始点、结束点（起始点和结束点都是用两个数据来描述的，分别表示这个点的行号和列号）。现在要你编程找出所有可行的道路，要求所走的路中没有重复的点，走时只能是上下左右四个方向（搜索顺寻：左上右下）。如果一条路都不可行，则输出相应信息（用-1表示无路）。 【输入】 第一行是两个数据m，n（1”表示方向。 如果没有一条可行的路则输出-1。 【样例】 maze,in 5 6 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 5 6 Maze.out (1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(2,4)->(2,5)->(3,5)->(3,4)->(3,3)->(4,3)->(4,4)->(4,5)->(5,5 )->(5,6) (1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(2,4)->(2,5)->(3,5)->(3,4)->(4,4)->(4,5)->(5,5)->(5,6) (1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(2,4)->(2,5)->(3,5)->(4,5)->(5,5)->(5,6) (1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(2,4)->(3,4)->(3,3)->(4,3)->(4,4)->(4,5)->(5,5)->(5,6) (1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(2,4)->(3,4)->(3,5)->(4,5)->(5,5)->(5,6) (1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(2,4)->(3,4)->(4,4)->(4,5)->(5,5)->(5,6) (1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(3,3)->(3,4)->(2,4)->(2,5)->(3,5)->(4,5)->(5,5)->(5,6) (1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(3,3)->(3,4)->(3,5)->(4,5)->(5,5)->(5,6) (1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(3,3)->(3,4)->(4,4)->(4,5)->(5,5)->(5,6) (1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(3,3)->(4,3)->(4,4)->(3,4)->(2,4)->(2,5)->(3,5)->(4,5)->(5,5 )->(5,6) (1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(3,3)->(4,3)->(4,4)->(3,4)->(3,5)->(4,5)->(5,5)->(5,6) (1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(3,3)->(4,3)->(4,4)->(4,5)->(5,5)->(5,6) 1.6 单向双轨道(track.pas)***

算法设计与分析：回溯法-实验报告

应用数学学院信息安全专业班学号姓名 实验题目回溯算法 实验评分表

实验报告 一、实验目的与要求 1、理解回溯算法的基本思想； 2、掌握回溯算法求解问题的基本步骤； 3、了解回溯算法效率的分析方法。 二、实验内容 【实验内容】 最小重量机器设计问题：设某一个机器有n个部件组成，每个部件都可以m个不同供应商处购买，假设已知表示从j个供应商购买第i个部件的重量，表示从j个供应商购买第i个部件的价格，试用回溯法求出一个或多个总价格不超过c且重量最小的机器部件购买方案。 【回溯法解题步骤】 1、确定该问题的解向量及解空间树； 2、对解空间树进行深度优先搜索； 3、再根据约束条件（总价格不能超过c）和目标函数（机器重量最小）在搜索过程中剪去多余的分支。 4、达到叶结点时记录下当前最优解。 5、实验数据n,m, ] ][ [j i w,] ][ [j i c的值由自己假设。 三、算法思想和实现【实现代码】

【实验数据】 假设机器有3个部件，每个部件可由3个供应商提供（n=3，m=3）。总价不超过7（c<=7）。 部件重量表： 部件价格表： 【运行结果】

实验结果：选择供应商1的部件1、供应商1的部件2、供应商3的部件3，有最小重量机器的重量为4，总价钱为6。 四、问题与讨论 影响回溯法效率的因素有哪些？ 答：影响回溯法效率的因素主要有以下这五点： 1、产生x[k]的时间； 2、满足显约束得x[k]值的个数； 3、计算约束函数constraint的时间； 4、计算上界函数bound的时间； 5、满足约束函数和上界函数约束的所有x[k]的个数。 五、总结 这次实验的内容都很有代表性，通过上机操作实践与对问题的思考，让我更深层地领悟到了回溯算法的思想。 回溯算法的基本思路并不难理解，简单来说就是：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。回溯法的基本做法是深度优先搜索，是一种组织得井井

分支限界法实验(最优装载问题)

算法分析与设计实验报告第八次附加实验

for(int i=1;i

完整代码（分支限界法） //分支限界法求最优装载 #include #include #include #include using namespace std; class QNode { friend void Enqueue(queue&,int,int,int,int,QNode *,QNode *&,int *,bool); friend void Maxloading(int *,int,int,int *); private: QNode *parent; //指向父节点的指针 bool LChild; //左儿子标志，用来表明自己是否为父节点的左儿子 int weight; //节点所相应的载重量 }; void Enqueue(queue&Q,int wt,int i,int n,int bestw,QNode *E,QNode *&bestE,int bestx[],bool ch) { //将活节点加入到队列中 if(i==n) //到达叶子节点 { if(wt==bestw) //确保当前解为最优解 { bestE=E; bestx[n]=ch; } return; } //当不为叶子节点时，加入到队列中，并更新载重、父节点等信息 QNode *b; b=new QNode; b->weight=wt; b->parent=E; b->LChild=ch; Q.push(b); } void Maxloading(int w[],int c,int n,int bestx[]) //其中w[]为重量数组| { // c为船的总载重量,n为节点数 //初始化 queue Q; //活节点队列

算法设计与分析第6章回溯与分支限界

算法设计与分析

目录 算法设计与分析 (1) 第6章回溯与分支限界 (3) 6.1回溯法的设计技术 (3) 6.2用回溯法求解装载问题 (7) 6.3用回溯法求解n皇后问题 (9) 6.4用回溯法求解0-1背包问题 (11) 6.5用回溯法求解旅行商问题 (13) 6.6 分支限界法的设计技术 (15) 6.7 用分支限界法求问题的解 (15) 本章小结 (15) 参考文献 (16)

第6章回溯与分支限界 内容导读 回溯法(Back Tracking Algorithm)与分支限界法（Branch and Bound Algorithm）都是基本的算法设计策略，属于树的搜索技术的范畴。在使用这两种算法求解问题前，均需要把解空间规划成一棵解空间树，并且在求解过程中使用剪枝策略来提高搜索效率。 回溯法也称试探法，可以把它看成是一个在约束条件下对解空间树进行深度优先搜索的过程，并在搜索过程中剪去那些不满足条件的分支。当用回溯法搜索到解空间树的某个结点时，如果发现当前路径不满足约束条件或不是历史最优时，则放弃对该结点的子树的搜索，并逐层向其祖先结点返回。否则，进入该结点的子树，继续进行深度优先搜索。实质上，这是一个先根遍历解空间树的过程，只是这个棵树不是遍历前预先建立的，而是隐含在遍历过程当中的。 分支限界法则是以最小代价优先的方式在解空间树上进行搜索，它可以找出满足问题约束的一个可行解，或者是从满足约束条件的可行解中找出一个使得目标函数达到极值的最优解。这里的可行解在搜索树中表现为一条由根到叶子结点的路径，这条路径上权值的和为可行解的值。其中，最优解就是使可行解的值达到最优的那条路径。分支限界算法的核心思想就是增加更多的约束条件，剪掉更多的分支，当对当前的树结点进行扩展时，一次性产生其所有儿子结点，并抛弃那些不可能产生可行解或最优解的结点，即剪枝；对于留下的儿子结点，计算一个函数值（限界），然后选取一个最有利的结点继续进行扩展，使得搜索朝着最优解的分支推进。重复这个过程直到找到最优解或没有可扩展的结点。

回溯法和分支限界法解决0-1背包题

0-1背包问题 计科1班朱润华 2012040732 方法1：回溯法 一、回溯法描述： 用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。该解空间包含对变量的所有0-1赋值。例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ? ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。 二、回溯法步骤思想描述： 0-1背包问题是子集选取问题。0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。否则，将右子树剪去。设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。 例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。以物品单位重量价值的递减序装入物品。先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装0.2的物品2。由此得一个解为[1,0.2,1,1]，其相应价值为22。尽管这不是一个可行解，但可以证明其价值是最优值的上界。因此，对于这个实例，最优值不超过22。 在实现时，由Bound计算当前节点处的上界。类Knap的数据成员记录解空间树中的节点信息，以减少参数传递调用所需要的栈空间。在解空间树的当前扩展节点处，仅要进入右子树时才计算上界Bound,以判断是否可将右子树剪去。进入左子树时不需要计算上界，因为上界预期父节点的上界相同。 三、回溯法实现代码： #include "stdafx.h" #include using namespace std; template class Knap { template friend Typep Knapsack(Typep [],Typew [],Typew,int); private: Typep Bound(int i);

回溯法实验(n皇后问题)(迭代法)

算法分析与设计实验报告第三次附加实验

附录： 完整代码（回溯法） //回溯算法递归回溯n皇后问题#include #include #include #include"math.h" using namespace std; class Queen

{ friend int nQueen(int); //定义友元函数，可以访问私有数据 private: bool Place(int k); //判断该位置是否可用的函数 void Backtrack(int t); //定义回溯函数 int n; //皇后个数 int *x; //当前解 long sum; //当前已找到的可行方案数 }; int main() { int m,n; for(int i=1;i<=1;i++) { cout<<"请输入皇后的个数："; //输入皇后个数 cin>>n; cout<<"皇后问题的解为："<

大学计算机基础第五章

大学计算机基础第五章 第五章软件技术基础 1.程序设计语言 （1）机器语言和汇编语言 由计算机硬件系统可以识别的指令组成的语言称为机器语言。汇编语言是将机器指令映射为一些可以被人读懂的助记符。由于计算机只能识别机器语言，所以汇编语言通常需要通过汇编程序翻译为机器语言。汇编语言的翻译软件称为汇编程序，它可以将程序员写的助记符直接转换为机器指令，然后由计算机去识别和执行。用机器语言编写的程序是计算机可以直接执行的程序。 用机器语言编写的程序，代码长度短，执行效率高。但是，这种语言的缺点也很明显。最主要的是编写机器语言程序必须要熟知CPU 的指令代码，编写程序既不方便，又容易出错，调试查错也非常困难。而且编写的程序只能在特定的机器上运行，没有通用性。 （2）高级语言 高级语言源程序翻译为指令代码有两种做法：编译或者解释。编译通过编译程序来完成。解释则是通过解释程序完成。解释的结果产生可以直接执行的指令。编译的结果是得到目标程序。目标程序也是要经过连接才会得到可执行程序目前应用比较广泛的几种高级语言由FORTRAN/BASIC/PASCAL/C等。 （3）面向对象的语言 （4）未来的语言 2、语言处理程序语言处理程序是把源程序翻译成机器语言的程序，可分为三种：汇编程序、编译程序和解释程序。 （1）汇编程序把汇编语言源程序翻译成机器语言程序的程序称为汇编程序，翻译的过程称为汇编。汇编程序在翻译源程序时，总是对源程序从头到尾一个符号一个符号地进行阅读分析，一般用两遍扫描完成对源程序的加工转换工作。汇编语言在翻译的同时，还对各种形式的错误进行检查和分析，并反馈给用户，以便修改。反汇编程序也是一种语言处理程序，它的功能与汇编程序相反，它能把机器语言程序转换成汇编语言程序。 （2）编译程序编译程序是把高级语言源程序（如Fortran、Pascal、C 等）翻译