高三数学上学期第一次统测试题 文

中山一中2017届高三第一次统测

文科数学试题

满分150分，时间120分钟

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母填在答案卷指定的位置上。） 1. 设全集为R ，集合A={}

4|2

<∈x R x ，B={}41|≤<-x x ，则(

)A

B =R

（ ）

A.()2,1-

B.()1,2--

C.(]1,2--

D.()2,2- 2. 已知命题:p ,x R ?∈使23x

x

>；命题:(0,

),tan sin 2

q x x x π

?∈>，则真命题的是 （ ）

A.()p q ?∧

B.()()p q ?∨?

C.()p q ∧?

D.()p q ∨? 3. “2

2a

b >”是 “22log log a b >”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4. 若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2

1，则双曲线122

22=-b y a x 的渐近线方程为（ ）

A .x y 23±

= B .x y 3±= C .x y 2

1

±= D .x y ±= 5. 设[]x 为表示不超过x 的最大整数,则函数lg[]y x =的定义域为 ( ) A.[1,)+∞ B.(1,)+∞ C.(0,)+∞ D.(1,2)

6. 已知定义域为R 的函数()f x 满足(4)3f =-,且对任意x R ∈总有()3f x '<, 则不等式()315f x x <-的解集为( )

A.(),4-∞

B.(),4-∞-

C.()(),44,-∞-+∞

D.()4,+∞

7. 已知函数2n y a x =（*0,n a n N ≠∈）的图象在1x =处的切线斜率为121n a -+（*2,n n N ≥∈），且当1n = 时，其图象经过()2,8，则7a =（ ）

A.1

2

B.5

C.6

D.7

8. 设函数()ln(1)f x x =+ ln(1)x --，则()f x 是（ ）

A.奇函数，且在(0,1)上是增函数

B.奇函数，且在(0,1)上是减函数

C.偶函数，且在(0,1)上是增函数

D.偶函数，且在(0,1)上是减函数

9. 过抛物线2

4y x =的焦点F 作直线交抛物线于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，如果126x x +=，那么AB ＝（ ）

A.6

B.8

C.9

D.10

10. 已知函数1

33,(1),()log ,(1),x x f x x x ?≤?

=?>??，则函数(1)y f x =-的大致图象是（ ）

11. 如果函数21

()(2)2

f x m x =-(8)1n x +-+(0,0)m n ≥≥在区间]2,21[上单调递减，

那么mn 的最大值为（ ）

A.16

B.18

C.25

D.

2

81

12．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数．当0x ≥时，5sin() (01)42()1() 1 (1)4

x x x f x x π?≤≤??=??+>?? 若关于x 的方程[]2

5()(56)()60f x a f x a -++= （a R ∈），有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．5014a a <<=

或 B ．5

014a a ≤≤=或 C ．5014a a <≤=或 D ．5

14

a <≤或0a =

二、填空题：（本题共4小题，每题5分共20分，答案填在答案卷指定的位置上） 13. 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5

()2

f -= ．

14. 已知幂函数2

223

(1)m

m y m m x --=--在区间(0,)+∞上单调递减，则实数m 的值为 ．

15. 已知函数?????>≤=-)

0()

0(3)(x x x x f x ，若函数b x x f x g --=21)()(有且仅有两个零点，

则实数b 的取值范围是 .

16. 记12x x -为区间12[,]x x 的长度．已知函数2x

y =，x ∈[]2,a -(0a ≥)，其值域为[],m n ，

x

y O B

x

y O D

x

y

O y C

x

O

则区间[],m n 的长度的最小值是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分。

17.（本题12分）

已知{}

0822=--∈=x x R x A ，{}

01222=-++∈=a ax x R x B ，B 是A 的非空子集，求实数a 的值。

18.（本题12分）

已知命题p ：实数x 满足1

2123

x --≤-

≤；命题q ：实数x 满足222(1)0(0)x x m m -+-≤>，若p ?是q ?的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.

19.（本小题满分12分）

某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本

=固定成本+生产成本），销售收入R (x )满足R (x )=?

??>≤≤-+-)5( 2.10)50( 8.02.44.02x x x x ．假定该

产品销售平衡，那么根据上述统计规律.

（1）要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？

（2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？

20．（本小题满分12分）

已知椭圆1C ：2221(1)y x a a

+=>与抛物线2C ：2

4x y =有相同焦点1F ．

（1）求椭圆1C 的标准方程；

（2）已知直线1l 过椭圆1C 的另一焦点2F ，且与抛物线2C 相切于第一象限的点A ， 设平行1

l 的直线l 交椭圆1C 于,B C 两点，当△OBC 面积最大时，求直线l 的方程．

21. （本小题满分12分）

已知函数2

()ln f x x x =+. （1）求函数x x f x h 3)()(-=的极值；

（2）若函数()()g x f x ax =-在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围；

(3)设2

()2()3()F x f x x kx k R =--∈，若函数()F x 存在两个零点,(0)m n m n <<，且

02

m n

x +=

，问：函数()F x 在00(,())x F x 处的切线能否平行于x 轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由.

选做题：请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分． 做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图所示,已知圆O 外有一点P ,作圆O 的切线PM ,M 为切点,过PM 的中点N ,作割线

NAB ,交圆于A 、B 两点,连接PA 并延长,交圆O 于点C ,连接PB 交圆O 于点D ,若BC MC =.

（1）求证:△APM ∽△ABP ;

（2）求证:四边形PMCD 是平行四边形.

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为：

1cos ()sin x y ?

??=+??

=?

为参数．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是2sin()333

π

ρθ+

=，射线:3

OM π

θ=

与圆C 的交点为O 、P ，与直线

l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．

24. （本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲

（22题图）

设函数()f x =|2||2|x x ++-，R x ∈.不等式()6f x ≤的解集为M .

（1）求M ； （2

析】令{}1

2122103x A x x x ?

-?

=-≤-≤=-≤≤????， ……………………2分

{}{}

2

2

2(1)00110B x x x m m x m x m m =-+-≤>=-≤≤+> ， ，p ?q

?q p p ?q

?q p 12101m m m >??-≤-??≤+?9m ≥令{}12122103

x A x x x ?-?=-≤-≤=-≤≤???

?

， ……………………2分

{

}

{}222(1)00110B x x x m m x m x m m =-+-≤>=-≤≤+> ， ，……………………5分

∵ “若p ?则q ?”的逆否命题为 “若q 则p ”，

而p ?是q ?的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件，……………………7分

∴A B ，故012101m m m

>??

-≤-??≤+?（……………………11分），解得9m ≥ ………………12分 高三第一次统测文科数学参考答案

一、选择题（每小题5分，共50分）

二、填空题（每小题5分，共20分） 13.

12

-

； 14.

2

； 15.

102

b <<

； 16.

3

.

17．解：由已知，{}4,2-=A B 是A 的非空子集 {}2-=∴B 或{}4或{}4,2-……5分

若{}2-=B ，则有 ()22

22

4480

22120

a a a a ??=-+=??--+-=?? 解得 4=a ………7分 若{}4=B ，则有 2222

4480

44120

a a a a ??=-+=??++-=?? ?∈a ………9分 若{}4,2-=B ，由韦达定理可得()()2

242412

a

a -+=-???-?=-??， 解得2-=a ………11分 综上，所求实数a 的值为2-或4。………………………12分

18．解：

19．解：依题意，G （x )=x +2,设利润函数为f (x ),则

?

??>-≤≤-+-=)5( 2.8)

50( 8.22.34.0)(2x x x x x x f ………………………4分

（1）要使工厂有赢利，则有f (x )>0.

当0≤x ≤5时，有–0.4x 2

+3.2x –2.8>0,得15时，有8.2–x >0,得x <8.2, ∴5

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案

C

D

B

A

A

D

B

A

B

D

B

C

综上，要使工厂赢利，应满足1

（2）0≤x ≤5时，f (x )=–0.4(x –4)2

+3.6

故当x =4时，f (x )有最大值3.6. 而当x >5时f (x )<8.2–5=3.2

所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，此时只须求x =4时，每台产品售价为4

)4(R =2.4（万元/

百台）=240（元/台） ………………………12分 20．解：（1） 抛物线y x 42

=的焦点为)1,0(1F ，

1=∴c ，又21,2b a =∴=∴椭圆方程为

12

22

=+x y ． ………4分 （2） 2(0,1)F -，由已知可知直线1l 的斜率必存在，设直线1:1l y kx =-

由214y kx x y

=-??=? 消去y 并化简得2440x kx -+= ∵直线1l 与抛物线2C 相切于点A .

∴2

(4)440k ?=--?=，得1k =±. …………5分 ∵切点A 在第一象限.∴1k = ………6分 ∵l ∥1l ∴设直线l 的方程为y x m =+

由22

12

y x m y x =+???+=??，消去y 整理得223220x mx m ++-=， ……7分

22(2)12(2)0m m ?=-->，解得33m -<<.

设11(,)B x y ，22(,)C x y ，则1223

m

x x +=-，21223m x x -=

22

221212122222

||()4()43333

m m x x x x x x m --=+-=--=-. …8分

又直线l 交y 轴于(0,)D m

2221211222

||||||3(3)

2233

OBC S OD x x m m m m ?∴=??-=???-=-

22222

12(1)2(1)(1)4(1)0,(1)(1)(1)

u u u u u y u u u u u u +--+--'=-==>++

+3=

………………10分 当2

3

2

m =

，即(m =

时，max ()OBC S ?=

. ……11分 所以，所求直线l

的方程为y x =±

. ……………12分 21. 解：（1）由已知,x

x x x h 132)('2

+-= (1)

令x

x x x h 132)('2+-==0, 得1,2

1

==x x 或,

∴()h x 在10,2?? ??

?

单调递增，在1,12

?? ???

单调递减，在()1,+∞单调递增…………….3分

∴2)1()(-==h x h 极小值, 15()()ln 22

4

h x h ==--极大值…………………4分

（2）21()()ln ,()2.g x f x ax x x ax g x x a x

'=-=+-=+-由题意，

知()0,(0,)g x x '≥∈+∞恒成立，即min 1(2)a x x

≤+. …………………6分

又1

0,2x x x

>+

≥

x =时等号成立.

故min 1(2)x x

+=

，所以a ≤分

（3）假设函数()F x 在00(,())x F x 处的切线平行于x 轴，2

()2ln .F x x x kx =--依题意，

222ln 0;2ln 0m m km n n kn --=--=,相减得2ln

()()().m

m n m n k m n n

-+-=- /00000

22()20,2F x x k k x x x =

--=∴=-, 又02m n x +=,4

()k

m n m n

=

-++ 所以2(

1)2()ln .1m m m n n m n

m n

n

--==

++ 设(0,1)m u n =

∈，

2(1)ln 0((0,1)).1u u u u --=∈+ 设2(1)ln ((0,1))1

u y u u u -=-∈+， 所以函数2(1)ln 1

u y u u -=-+在(0,1)上单调递增，因此，当01u <<时，0y <，

即2(1)

ln 0.1u u u --

<+

也就是2(1)

ln 1m m n m

n

n

-<

+，所以

2(

1)2()ln

.1m

m m n n m n m n

n

--==++无解. 所以()F x 在00(,())x F x 处的切线不能平行于x 轴. ……12分

22. 证明:：（1）∵PM 是圆O 的切线, NAB 是圆O 的割线, N 是PM 的中点,

∴NB NA PN MN ?==2

2

, ∴

PN

NA

BN PN =

, 又∵BNP PNA ∠=∠, ∴△PNA ∽△BNP , ∴PBN APN ∠=∠, 即PBA APM ∠=∠.

∵BC MC =, ∴BAC MAC ∠=∠, ∴PAB MAP ∠=∠,

∴△APM ∽△ABP . ……………………………………5分 （2）∵PBN ACD ∠=∠,∴APN PBN ACD ∠=∠=∠,即CPM PCD ∠=∠,

∴CD PM //, ∵△APM ∽△ABP ,∴BPA PMA ∠=∠, ∵PM 是圆O 的切线,∴MCP PMA ∠=∠,

∴BPA PMA ∠=∠MCP ∠=,即MCP DPC ∠=∠, ∴PD MC //,

∴四边形PMCD 是平行四边形. ………………………………10分 23.解：（1）圆C 的普通方程为2

2

(1)1x y -+=，又θρcos =x ，θρsin =y

所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ= ………………5分 （2）设11(,)P ρθ，则有??

?

??==3cos 2πθθ

ρ解得3

,111

π

θρ=

=

设22(,)Q ρθ，则有(sin 3cos )33

3ρθθπ

θ?+=?

?=?

?

,解得3

,322

π

θρ=

=

所以2=PQ ………………10分 24.解:（1）|2||2|6x x ++-≤等价于

226x x ≤-??-≤? 或2246x -≤≤??

≤?或2

26

x x ≥??≤? 解得33x -≤≤ [3,3]M ∴=- …………………5分

（2） 当,a b M ∈时，即33,33a b -≤≤-≤≤时，

要证33+≤+ab b a ，即证2

2

)3()(3+≤+ab b a

22222222223()(3)3(2)(69)339a b ab a ab b a b ab a b a b +-+=++-++=+--

=22(3)(3)0a b --≤

所以33+≤+ab b a …………………………10分