同济版高数试卷及答案
模拟试卷一
一、填空题（每小题3分，满分18分）
1、若函数22),(y x x y
y x f -=+,则),(y x f = .
2、设函数z y
x
u 1
)(=,则)1,1,1(d u = .
3、交换积分次序:?
?x y y x f x ln 0
e 1
d ),(d = .
4、曲面xy z =包含在柱面122=+y x 内的面积可用二次．．积分表示为(不必具体计算) .
5、已知∑∞
=-=-11
2)
1(n n n a ,∑∞=-=1
125n n a ,则∑∞
=1
n n a = .
6、母线平行于z 轴，准线为两曲面22219z y x +=+与x z y x =+-222 的交线的柱面方程为
二、单项选择题（每小题3分，满分12分） 1、),(y x f z =在点),(y x 的偏导数x
z
??及y z ??存在是),(y x f 在该点可微的( ).
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充分必要条件
D. 既非充分又非必要条件
2、函数22y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为( ).
A. 321-
B. 321+
C. 342+
D. 342-
3、若∑∞
=-1
)1(n n n x a 在1-=x 处收敛,则此级数在2=x 处( ).
A. 条件收敛
B. 绝对收敛
C. 发散
D.收敛性不能确定
4、设D 为122≤+y x ；1D 为122≤+y x 且0≥x ,则使
??D
y x y x f d d ),(
??=1
d d ),(2D y x y x f 成立的充分条件是( ).
(A)),(),(y x f y x f =-
(B)),(),(y x f y x f =- (C)),(),(y x f y x f -=-
(D)),(),(y x f y x f -=-
三、计算下列各题（每小题7分，满分49分）
1、设),23(2
xy y x f z -=,其中f 具有二阶连续偏导数,求x z ??,y z ??,y
x z
???2.
2、求曲面z
x
y z ln
+=在点)1,1,1(0M 处的法线方程. 3、计算??1
1
d e d x
y
x y x .
4、计算三重积分???Ω
v z d ，其中Ω是由曲面222y x z --=与22y x z +=所
围成的闭区域.
5、求幂级数∑∞
=+0
1n n
n x 的收敛半径、收敛域及和函数.
6、
将函数x
x f 1
=
)(展开为)(3-x 的幂级数. 7、过点)1,2,1(且与直线1L ：31
2213-+=
-+=-z y x ，2L ：???=+-=+-002z y x z y x 平行的平面方程。
四、应用题（每小题8分，满分16分）
1、求旋转椭球面14
2
2
2
=++z y x 在第一卦限的一点,使该点处的切平面在三个坐标轴上的截距平方和最小.
2、设球体占有闭区域}2),,{(222Rz z y x z y x ≤++=Ω,它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方,试求这球体的质量.
五、证明题（5分）
若∑∞=1||n n a 收敛,试证∑∞
=1
2
n n a 也收敛.
模拟试卷一答案
一、1、y
y x +-112)
(； 2、y x d d -； 3、??e e 1d ),(d y x y x f y 0；
4、??
----++1
1
112222
1x x y y x x d d (或??+πθ201
021r r r d d )；
5、8；
6、18222+=+x y x . 二、1、B ； 2、B ； 3、B ； 4、B .
三、1、解
x
z
??=22122133f y f y f f +=?+?, (2分)
y z
??=2121
2222xyf f y x f f +-=??+-?)(. (4分) y
x z
???2=])([])([y x f f y yf y x f f 2222232221221211??+-?++??+-?
(6分)
=22
321221122266f xy yf f y xy f ++-+-)(.
(7分)
2、解 设z x y z z
x
y z z y x F ln ln ln ),,(+--=--=,(1分)则曲面在0M 点的法向量为
},,{},,{},,{2111
11100--=+--==M M z y x z
x F F F , (5分) 所以,所求法线方程为
2
1
1111-=
--=--z y x . (7分) 3、解 原式=??1
2
y y
x
x y d e d =)d(e d ??
1
2y y
x y
x
y y (3分)
=?1
2y y y y x
d e
=?-1
y y y 1)d e ( (5分)
=2
1
]21e )1[(102=-
-y y y . (7分) 4、解 由222y x z --=及22y x z +=中消去z 得122=+y x ,因而Ω在
xOy 面上的投影区域为: 122≤+y x . (2分)
原式=?
??
-πθ20
1
0222
r r z z r r d d d (4分)
=?-?1
0222
2212r z r r r
d π=?--10422r r r r d )(π (6分)
=ππ12
7
614110642=--)(r r r . (7分)
5、解 收敛半径112
1
=++==∞→+∞→n n a a R n n n n lim lim
. (1分)
当1-=x 时,原级数为∑∞
=+-011n n
n )(,收敛;
当1=x 时,原级数为∑
∞
=+0
11
n n ,发散. 所以,原级数的收敛域为:11<≤-x . (3分)
设∑∞
=+=0
1n n
n x x S )(, 11<≤-x .则
当0≠x 时,
)(x S =∑∞=++0111n n n x x =∑?∞=001n x n
x x x d =?∑∞=x n n x x x 001)d (=?-x x x
x 011
1d
=x x x 011)ln(--=)ln(x x
--11
. (6分) 当0=x 时,
10=)(S . (7分)
∴ ?????=-∈--=01100111
x x x x x S
,)
,(),[,)ln()( .
6、解 )(x f =
3
311
3
1
331-+
?
=-+x x )( (3分) =∑∞=--033131n n
n x )(
)(=∑∞
=+--0133
1n n n n x )()(. (5分)
展开域为
13
3
<-x 即 60< 2L 的方向向量可取}1,1,0{1 111122=---=k j i l ， （3分） 所求平面π的法向量可取}1,1,1{11032121-=--=?=k j i l l n ，（5分） 故π的方程为0)1(1)2(1)1(1=-+---z y x 或01=++-z y x （6分） (7分) 四、1、解 曲面位于第一挂限部分上任一点),,(z y x 处的切平面方程为 14=++Z z yY xX ,(2分)则它在三个坐标轴上的截距分别为x 1,y 1,z 4 .(3分)所以设 )(),,,(14161122 2222-+++++=z y x z y x z y x F λλ. (5分) 由 ????? ? ?? ??? =-++==+-==+-==+-=0 1402320 220222 2 2333 z y x F z z F y y F x x F z y x λλλλ (7分) 解得2 1==y x ,2=z .因为驻点惟一,所以),,(221 21即为所求的点 (8 分) 2、解 密度函数为222z y x z y x ++=),,(μ,(1分)则球体的质量为 M =???Ω v z y x d ),,(μ=???Ω ++v y x )d z (222 (2分) =??? ?ππ ???θ20 20 20 22cos d sin d d R r r r (5 分) =??20 20 5 5 12π ???πd sin cos R r =?2 0555 64π ???πd cos sin R (7 分) =?-2055564π ??π)d(cos cos R =2 656 1 564π ? πcos ?-R = 5 15 32R π. (8分) 五、证 ∑∞ =1||n n a , ∴ 0=∞ →n n a lim . (2分) 由极限的性质知,N ?,当N n >时,有10<≤n a ,而 n n a a <≤2 0, (4分) 故由比较判别法知,∑∞ =12n n a 收敛. (5分)