2021届内蒙古集宁一中高三(上)期中考试数学(理科)试题Word版含解析
2021届内蒙古集宁一中高三（上）期中考试
数学（理科）试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是最符合题意的．每小题5分，共60分．）
1．若全集U=R ，集合M={x|﹣x 2﹣x+2＜0}，N={x|x ﹣1＜0}，则如图中阴影部分表示的集合是（ ）
A ．（﹣∞，1]
B ．（1，+∞）
C ．（﹣∞，﹣2）
D ．（﹣2，1） 2．命题“若α=
，则tan α=1”的逆否命题是（ ） A ．若α≠，则tan α≠1 B ．若α=，则tan α≠1
C ．若tan α≠1，则α≠
D ．若tan α≠1，则α=
3．若命题p ：函数y=x 2﹣2x 的单调递增区间是[1，+∞），命题q ：函数y=x ﹣的单调递增区间是[1，+∞），则（ ）
A ．p ∧q 是真命题
B ．p ∨q 是假命题
C ．非p 是真命题
D ．非q 是真命题
4．已知a ，b ∈R ，则“log 3a ＞log 3b ”是“（）a ＜（）b ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知函数f （x ）=log 2x+
，若x 1∈（1，2），x 2∈（2，+∞），则（ ） A ．f （x 1）＜0，f （x 2）＜0
B ．f （x 1）＜0，f （x 2）＞0
C ．f （x 1）＞0，f （x 2）＜0
D ．f （x 1）
＞0，f （x 2）＞0 6．设实数x ，y 满足，则的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．若函数y=a x +b 的图象如图，则函数y=+b+1的图象为（ ）
A． B．C．D．
8．方程log
2
x+x=2的解所在的区间为（）
A．（0.5，1）B．（1，1.5）C．（1.5，2）D．（2，2.5）
9．已知等比数列{a
n }的前n项和S
n
，且a
1
+a
3
=，a
2
+a
4
=，则=（）
A．4n﹣1B．4n﹣1 C．2n﹣1D．2n﹣1
10．已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2，若g（2）=a，则f （2）=（）
A．2 B．C．D．a2
11．已知2sin2α=1+cos2α，则tan2α=（）
A．B．C．或0 D．或0
12．如图可能是下列哪个函数的图象（）
A．y=2x﹣x2﹣1 B．y=
C．y=（x2﹣2x）e x D．y=
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）
13． cosxdx= ．
14．已知e为自然对数的底数，则曲线y=2e x在点（1，2e）处的切线斜率为．
15．如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB的高，点P在射线OC上，则?的最小值为．
16．函数f （x ）=sin （2x+φ）（|φ|＜）向左平移个单位后是奇函数，则函数f （x ）在[0，]上的最小值为 ． 三、解答题（本大题共6小题满分70分）
17．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若
=k （k ∈R ） （1）判断△ABC 的形状；
（2）若c=，求k 的值．
18．已知函数f （x ）=Asin （ωx+
）（A ＞0，ω＞0）的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x 0，2）和（x 0+
，﹣2）．
（1）求函数f （x ）的解析式；
（2）求sin （x 0+）的值． 19．三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对边a ，b ，c 成公比小于1的等比数列，且sinB+sin （A ﹣C ）=2sin2C ．
（1）求内角B 的余弦值；
（2）若b=，求△ABC 的面积．
20．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足（1﹣q ）S n +qa n =1，且q （q ﹣1）≠0．
（Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列．
21．已知函数f （x ）=alnx ﹣ax ﹣3（a ≠0）．
（1）讨论f （x ）的单调性；
（2）若f （x ）+（a+1）x+4﹣e ≤0对任意x ∈[e ，e 2]恒成立，求实数a 的取值范围（e 为自然常数）．
22．设函数f （x ）=|x+1|+|x ﹣4|﹣a ．
（1）当a=1时，求函数f （x ）的最小值；
（2）若f （x ）≥+1对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．
2021届内蒙古集宁一中高三（上）期中考试
数学（理科）试题参考答案
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是最符合题意的．每小题5分，共60分．）
1．若全集U=R，集合M={x|﹣x2﹣x+2＜0}，N={x|x﹣1＜0}，则如图中阴影部分表示的集合是（）
A．（﹣∞，1] B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣2，1）
【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【分析】先观察Venn图，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件即可求解．
【解答】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合M中，但不在集合N中．
又M={x|﹣x2﹣x+2＜0}={x|x＜﹣2或x＞1}，N={x|x﹣1＜0}={x|x＜1}，
∴图中阴影部分表示的集合是：
N）∩M={x|x≥1}∩{x|x＜﹣2或x＞1}={x|x＞1}，
（?
R
故选B．
2．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）
A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=
【考点】四种命题间的逆否关系．
【分析】原命题为：若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a．
【解答】解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．
故选C．
3．若命题p：函数y=x2﹣2x的单调递增区间是[1，+∞），命题q：函数y=x﹣的单调递增区间是[1，+∞），则（）
A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．非p是真命题 D．非q是真命题
【考点】复合命题的真假．
【分析】先判断命题p为真命题，q为假命题，再根据复合命题的真假性判断选项是否正确．
【解答】解：∵函数y=x2﹣2x的单调递增区间是[1，+∞），∴命题p为真命题；
∵函数y=x﹣的单调递增区间是（﹣∞，0）和（0，+∞），∴命题q为假命题；
∴p∧q是假命题，A错误；
p∨q是真命题，B错误；
非p 是假命题，C 错误；
非q 是真命题，D 正确．
故选：D ．
4．已知a ，b ∈R ，则“log 3a ＞log 3b ”是“（）a ＜（）b ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数与对数函数的关系．
【分析】根据对数函数的性质由“log 3a ＞log 3b ”可得a ＞b ＞0，然后根据指数函数的性质由“（）a ＜（）b ，可得a ＞b ，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．
【解答】解：∵a ，b ∈R ，则“log 3a ＞log 3b ”
∴a ＞b ＞0，
∵“（）a ＜（）b ，
∴a ＞b ，
∴“log 3a ＞log 3b ”?“（）a ＜（）b ，
反之则不成立，
∴“log 3a ＞log 3b ”是“（）a ＜（）b 的充分不必要条件，
故选A ．
5．已知函数f （x ）=log 2x+，若x 1∈（1，2），x 2∈（2，+∞），则（ ）
A ．f （x 1）＜0，f （x 2）＜0
B ．f （x 1）＜0，f （x 2）＞0
C ．f （x 1）＞0，f （x 2）＜0
D ．f （x 1）＞0，f （x 2）＞0
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【分析】根据函数f （x ）=log 2x+利以及复合函数的单调性的判定方法可知，该函数在（1，+∞）是增函数，并且可以求得f （2）=0，利用单调性可以得到答案．
【解答】解：函数f （x ）=log 2x+
在（1，+∞）是增函数，（根据复合函数的单调性）
而f （2）=0，
∵x 1∈（1，2），x 2∈（2，+∞），
∴f （x 1）＜0，f （x 2）＞0，
故选B ．
6．设实数x ，y 满足，则的取值范围是（ ）
A．B． C．D．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用两点间的斜率公式，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=，则z的几何意义为区域内的点到定点D（﹣3，1）的斜率，
由图象知，AD的斜率最大，BD的斜率最小，
由得，即A（2，6），
由得，即B（2，0），
即AD的斜率k=，
BD的斜率k=，
故z的取值范围是，
故选：D
7．若函数y=a x+b的图象如图，则函数y=+b+1的图象为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】指数函数的图象变换．
【分析】由y=a x +b 的图象知，0＜a ＜1，﹣2＜b ＜﹣1，然后利用y=的图象平移变换可得答案．
【解答】解：由y=a x +b 的图象知，0＜a ＜1，﹣2＜b ＜﹣1，
y=+b+1的图象可看作由y=先向左平移a 个单位，再向下平移﹣（b+1）个单位得到，
故选C ．
8．方程log 2x+x=2的解所在的区间为（ ）
A ．（0.5，1）
B ．（1，1.5）
C ．（1.5，2）
D ．（2，2.5）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】判断f （x ）=log 2x+x ﹣2，在（0，+∞）上单调递增．根据函数的零点存在性定理得出：f （1）?f （1.5）＜0，可得出f （x ）的零点在（1，1.5）区间 内，即可得出答案．
【解答】解：设f （x ）=log 2x+x ﹣2，在（0，+∞）上单调递增．
∵f （1）
=0+1﹣2=﹣1＜0，
f （1.5）=lo
g 21.5﹣0.5=log 21.5﹣log 2＞0
∴根据函数的零点存在性定理得出：f （x ）的零点在（1，1.5）区间 内
∴方程log 2x+x=2的解所在的区间为（1，1.5）
故选：B ．
9．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1+a 3=，a 2+a 4=，则
=（ ）
A ．4n ﹣1
B ．4n ﹣1
C ．2n ﹣1
D ．2n ﹣1
【考点】等比数列的性质；等比数列的前n 项和．
【分析】利用等比数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1+a 3=，a 2+a 4=，求出q=，a 1=2，可得a n 、S n ，即可得出结论．
【解答】解：∵等比数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1+a 3=，a 2+a 4=，
∴两式相除可得公比q=，
∴a 1=2，
∴a
n ==，S
n
==4（1﹣），
∴=2n﹣1，
故选：D．
10．已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2，若g（2）=a，则f （2）=（）
A．2 B．C．D．a2
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】利用函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，由条件f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2，构建方程组，然后求解即可．
【解答】解：∵f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2，g（2）=a，
∴f（2）+g（2）=a2﹣a﹣2+2．①，
∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
∴当x=﹣2时，f（﹣2）+g（﹣2）=a﹣2﹣a2+2 ②
即﹣f（2）+g（2）=a﹣2﹣a2+2，③
①+③得：2g（2）=4，即g（2）=2，
又g（2）=a，∴a=2．
代入①得：f（2）+2=22﹣2﹣2+2，
∴f（2）=22﹣2﹣2=4﹣=．
故选：B．
11．已知2sin2α=1+cos2α，则tan2α=（）
A．B．C．或0 D．或0
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】把已知等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简，整理求出cos2α的值，进而求出sin2α的值，即可求出tan2α的值．
【解答】解：把2sin2α=1+cos2α两边平方得：4sin22α=（1+cos2α）2，
整理得：4﹣4cos22α=1+2cos2α+cos22α，即5cos22α+2cos2α﹣3=0，
∴（5cos2α﹣3）（cos2α+1）=0，
解得：cos2α=或cos2α=﹣1，
当cos2α=时，sin2α=，tan2；
当cos2α=﹣1时，sin2α==0，tan2α=0，
则tan2α=或0．
故选：C．
12．如图可能是下列哪个函数的图象（）
A．y=2x﹣x2﹣1 B．y=
C．y=（x2﹣2x）e x D．y=
【考点】函数的图象与图象变化．
【分析】A中y=2x﹣x2﹣1可以看成函数y=2x与y=x2+1的差，分析图象是不满足条件的；
B中由y=sinx是周期函数，知函数y=的图象是以x轴为中心的波浪线，是不满足条件的；
C中函数y=x2﹣2x与y=e x的积，通过分析图象是满足条件的；
D中y=的定义域是（0，1）∪（1，+∞），分析图象是不满足条件的．
【解答】解：A中，∵y=2x﹣x2﹣1，当x趋向于﹣∞时，函数y=2x的值趋向于0，y=x2+1的值趋向+∞，∴函数y=2x﹣x2﹣1的值小于0，∴A中的函数不满足条件；
B中，∵y=sinx是周期函数，∴函数y=的图象是以x轴为中心的波浪线，
∴B中的函数不满足条件；
C中，∵函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x＜0或x＞2时，y＞0，当0＜x＜2时，y＜0；
且y=e x＞0恒成立，
∴y=（x2﹣2x）e x的图象在x趋向于﹣∞时，y＞0，0＜x＜2时，y＜0，在x趋向于+∞时，y趋向于+∞；∴C中的函数满足条件；
D中，y=的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x∈（0，1）时，lnx＜0，
∴y=＜0，∴D中函数不满足条件．
故选：C．
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）
13． cosxdx= ．
【考点】定积分．
【分析】根据积分公式直接计算即可得到结论．
【解答】解： cosxdx=sin|=，
故答案为：．
14．已知e为自然对数的底数，则曲线y=2e x在点（1，2e）处的切线斜率为2e ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线的斜率．
【解答】解：曲线y=2e x的导数为：y′=2e x，
曲线y=2e x在点（1，2e）处的切线斜率为：y′|
=2e1=2e，
x=1
故答案为：2e．
15．如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB的高，点P在射线OC上，则?的最小值为．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】如图所示，，设=t≥0．可得?=?=t2﹣t=﹣，利用二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：如图所示，，
设=t≥0．
∴?=?
=﹣
=t2﹣t
=﹣
．
当t=时取等号，
∴?的最小值为﹣．
故答案为：．
16．函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）向左平移个单位后是奇函数，则函数f（x）在[0，]上的最小值为．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】首先利用函数图象的平移得到平移后的图象的函数解析式，再根据函数为奇函数得到φ的值，则函数解析式可求，由x的范围得到相位的范围，最后求得函数的最小值．
【解答】解：把函数y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位得到函数y=sin（2x++φ）的图象，
∵函数y=sin（2x++φ）为奇函数，故+φ=kπ，
∵|φ|＜，故φ的最小值是﹣．
∴函数为y=sin（2x﹣）．x∈[0，]，
∴2x﹣∈[﹣，]，
x=0时，函数取得最小值为﹣．
故答案为：﹣．
三、解答题（本大题共6小题满分70分）
17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若=k（k∈R）
（1）判断△ABC的形状；
（2）若c=，求k的值．
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；余弦定理的应用．【分析】（1）判断△ABC的形状需要研究出三角形的边与角的大小，由题设条件变换整理，由其结果结合图形进行判断即可．
（2）由=k，故求出的内积即可，由（1）的结论，易求．
【解答】解：（1）∵，∴
∴
令AB 的中点是M ，则
∴
即AB 边上的中线垂直于AB ，故△ABC 是等腰三角形
（2）由（1）知a=b
∴
=bccosA=bc ×
∵c=
∴k=1
18．已知函数f （x ）=Asin （ωx+
）（A ＞0，ω＞0）的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x 0，2）和（x 0+
，﹣2）． （1）求函数f （x ）的解析式；
（2）求sin （x 0+）的值． 【考点】两角和与差的正弦函数；由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】（1）根据条件求出振幅以及函数的周期，即可求函数f （x ）的解析式；
（2）根据函数的最值，求出x 0的大小，结合两角和差的正弦公式进行求解即可．
【解答】解：（1）∵图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x 0，2）和（x 0+，﹣2）．
∴A=2， =x 0+﹣x 0=，
即函数的周期T=π，即T=
，解得ω=2， 即f （x ）=2sin （2x+）．
（2）∵函数的最高点的坐标为（x 0，2），
∴2x 0+
=，
即x 0=， 则sin （x 0+
）=sin （+）=sin cos +cos sin
=（sin +cos ）=（）=．
19．三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对边a ，b ，c 成公比小于1的等比数列，且sinB+sin （A ﹣C ）=2sin2C ．
（1）求内角B 的余弦值；
（2）若b=，求△ABC 的面积．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（Ⅰ） 三角形ABC 中，由条件化简可得C=90°，故有a=2c ．再由b 2=ac 利用正弦定理可得，sin 2B=sinAsinC ，化简求得cosB 的值．
（Ⅱ）根据b=，求得ac=b 2的值，求得sinB= 的值，再根据△ABC 的面积S=ac ?sinB ，计算求得结果．
【解答】解：（Ⅰ） 三角形ABC 中，∵sinB+sin （A ﹣C ）=2sin2C ，
∴sin （A+C ）+sin （A ﹣C ）=4sinCcosC ，∴sinA=2sinC ，或cosC=0．
∴a=2c ，或C=90°（不满足a ，b ，c 成公比小于1的等比数列，故舍去）．
由边a ，b ，c 成公比小于1的等比数列，可得b 2=ac ，∴b=c ，
∴cosB===．
（Ⅱ）∵b=，cosB=，∴ac=b 2=3，sinB=
， ∴△ABC 的面积S=ac ?sinB=
．
20．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足（1﹣q ）S n +qa n =1，且q （q ﹣1）≠0．
（Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列．
【考点】等差数列与等比数列的综合．
【分析】（Ⅰ）求出a 1=1．利用当n ≥2时，由S n ﹣S n ﹣1=a n ，利用q （q ﹣1）≠0，说明{a n }是以1为首项，q 为公比的等比数列，求出通项公式．
（Ⅱ）求出S n =，灵活S 3+S 6=2S 9，得到a 2+a 5=2a 8．说明a 2，a 8，a 5成等差数列．
【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，由（1﹣q ）S 1+qa 1=1，a 1=1．
当n ≥2时，由（1﹣q ）S n +qa n =1，得（1﹣q ）S n ﹣1+qa n ﹣1=1，两式相减得：（1﹣q ）a n +qa n ﹣qa n ﹣1=0，即a n =qa n ﹣1，
又q （q ﹣1）≠0，所以{a n }是以1为首项，q 为公比的等比数列，
故a n =q n ﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知S
n =，又S
3
+S
6
=2S
9
，得+=，
化简得a
3+a
6
=2a
9
，两边同除以q得a
2
+a
5
=2a
8
．
故a
2，a
8
，a
5
成等差数列．
21．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a≠0）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）+（a+1）x+4﹣e≤0对任意x∈[e，e2]恒成立，求实数a的取值范围（e为自然常数）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）先求导，再分类讨论即可得到函数的单调性；
（2）令F（x）=alnx﹣ax﹣3+（a+1）x+4﹣e=alnx+x+1﹣e，从而求导F′（x）=，再由导数的正负讨论确定函数的单调性，从而求函数的最大值，从而化恒成立问题为最值问题即可．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣a==（x＞0），
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，单调减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），单调减区间为（0，1]；
（Ⅱ）令F（x）=alnx﹣ax﹣3+（a+1）x+4﹣e=alnx+x+1﹣e，则F′（x）=，
若﹣a≤e，即a≥﹣e，
F（x）在[e，e2]上是增函数，
F（x）
max
=F（e2）=2a+e2﹣e+1≤0，
a≤（e﹣1﹣e2），无解．
若e＜﹣a≤e2，即﹣e2≤a＜﹣e，
F（x）在[e，﹣a]上是减函数；在[﹣a，e2]上是增函数，
F（e）=a+1≤0，即a≤﹣1．
F（e2）=2a+e2﹣e+1≤0，即a≤（e﹣1﹣e2），
∴﹣e2≤a≤（e﹣1﹣e2）．
若﹣a＞e2，即a＜﹣e2，
F（x）在[e，e2]上是减函数，
F（x）
max
=F（e）=a+1≤0，即a≤﹣1，
∴a＜﹣e2，
综上所述，a≤（e﹣1﹣e2）．
22．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣a．
（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥+1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【分析】（1）当a=1时，利用绝对值不等式的性质即可求得最小值；
（2）?|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+?a+≤4，对a进行分类讨论可求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣1≥|（x+1）﹣（x﹣4）|﹣1=5﹣1=4．
所以函数f（x）的最小值为4．
（2）对任意的实数x恒成立?|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+对任意的实数x恒成立?a+≤4对任
意实数x恒成立．
当a＜0时，上式显然成立；
当a＞0时，a+≥2=4，当且仅当a=即a=2时上式取等号，此时a+≤4成立．
综上，实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪{2}．