甘肃省庆阳市宁县第二中学2019-2020学年高二期中考试数学(理)试卷含解析

数学（理科）

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).

1. 曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）. A. 2e B. e

C. 2

D. 1

【答案】C 【解析】

试题分析：由1x y xe -=，得，故，故切线的斜率为，故选C.

考点：导数的集合意义.

2. 函数()[]()3

340,1f x x x x =-∈的最大值是( )

A. 1

B.

12

C. 0

D. 1-

【答案】A 【解析】 【分析】

求导函数2

()312f x x '=-,求出函数的单调区间，得到函数在1

2x =

处取得最大值. 【详解】2()312f x x '=-，令2

()310,2f x x '=->解得1122

x -<<

()f x 在1[0,]2上单增，在1

[1]2，单减

max 1

()()12

f x f ==

故选：A

【点睛】解决函数极值、最值问题的策略

(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．

(2)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值． 3. 已知复数1

i 1i

z =

++，则z =（ ） A

12

B.

22

3 D. 2

【答案】B

【分析】

先利用复数的除法，将1

i 1i z =++化简为1122

z i =+，再利用模的公式求解. 【详解】因

11i 11i=i=i 1i 222

z -=

++++，

所以2z ==

. 故选：B

【点睛】本题主要考查复数的运算及复数的模，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

4. 从6名女生、4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（ ） A. 3

2

64A A ? B. 23

64C C ?

C. 5

10C

D. 32

64C C ?

【答案】D 【解析】 【分析】

利用分层抽样的特点得到男女生应该抽取的人数后，再根据分步计数原理可得结果. 【详解】根据分层抽样的特点可知，女生抽3人，男生抽2人， 所以不同的抽取方法种数为3

2

64C C ?. 故选：D.

【点睛】本题考查了分层抽样，考查了分步计数原理，属于基础题.

5. 某人进行射击，共有10发子弹，若击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则10ξ=表示的试验结果是（ ） A. 第10次击中目标 B. 第10次未击中目标 C. 前9次未击中目标 D. 第9次击中目标

【答案】C 【解析】 【分析】

根据击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为10ξ=，即可得到答案. 【详解】由题知：10ξ=表示前9次未击中目标，第10次击中目标或未击中目标.

【点睛】本题主要考查随机事件问题，关键是理解击中目标或子弹打完就停止射击，属于简单题. 6. 用三段论推理命题：“任何实数的平方都大于，因为是实数，所以”你认为这个推理（ ）． A. 大前提错误 B. 小前提错误

C. 推理形式错误

D. 结论正确

【答案】A 【解析】

：任何实数的平方大于0，这句话是错误的，所以导致后面的结论是错误的，因此大前提错误．

7. 用数学归纳法证明“52n n -”能被3整除”的第二步中1n k =+时，为了使用假设，应将1152k k ++-变形为（ ） A. (

)52

45

2k k

k

k -+?-

B. (

)552

32

k k

k

-+? C. ()()5252k

k

--

D. (

)552

35

k k

k

--?

【答案】B 【解析】 【分析】

根据数学归纳法的证明过程，结合题意，即可容易判断选择. 【详解】根据数学归纳法， 当1n k =+时，

应将1152k k ++-变形为(

)55232

k k

k

-+?，

此时，(

)552

k k

-和32

k

?都可以被3整除.

故该变形是合理的. 故选：B .

【点睛】本题考查数学归纳法证明整除问题，属基础题.

8. 从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = )

A.

8

5

B.

65

C.

45

D.

25

【答案】B 【解析】

由题意知，3~(5,)3X B m +，由3

533EX m =?

=+，知3~(5,)5

X B ，由此能求出()D X ． 【详解】由题意知，3

~(5,

)3

X B m +， 3

533EX m ∴=?=+，解得2m =，

3

~(5,)5X B ∴，

336

()5(1)555

D X ∴=??-=．

故选：B ．

【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．

9. 已知随机变量X 的概率分布为()()()1,2,3,41a P X n n n n ===+，其中a 是常数，则1

52

2P X ??<<=

???（ ） A.

1

2

B.

23

C.

13

D.

56

【答案】D 【解析】 【分析】

根据概率和为1，求得参数a ，再求()()1,2P X P X ==，则问题得解. 【详解】因为()()()()12341261220

a a a a P X P X P X P X =+=+=+==+++=， 解得54

a =

. 故()()555128246

P X P X =+==+=. 故选：D

【点睛】本题考查根据分布列求参数值，属基础题. 10. ()6

2111x x ??++ ???

展开式中2x 的系数为（ ） A. 15 B. 20

C. 30

D. 35

【答案】C 【解析】

利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得2x 的系数.

【详解】根据二项式定理展开式通项为1C n r r

r n T a b '-+=

66622

111(1)(1)(1)x x x x x ??++=++?+ ???

则6(1)x +展开式的通项为16r r

r T C x +=

则6211(1)x x ??+

+ ??? 展开式中2x 的项为22446621C x C x x ??+? ??? 则6211(1)x x ??+

+ ??

?

展开式中2x 的系数为2466151530C C +=+= 故选：C

【点睛】本题考查了二项定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题. 11. 函数()2

()2f x x π=的导数是（ ） A. ()4f x x π'= B. 2()4f x x π'= C. 2()8f x x π=' D. ()16f x x π'=

【答案】C 【解析】

【详解】()()2

2228f x x x πππ=?='

故选C

12. 若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值范围是 ( ) A. (0,1) B. 1(0,)2

C. (－∞，1)

D. (0，＋∞)

【答案】B 【解析】

由题意得,函数()3

63f x x bx b =-+的导数()2

'36f x x b =-在(0,1)内有零点，

且()()'00,'10f f ,即60b -<,且360b ->， ∴102

b <<， 故选B.

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上)

13. 若函数()ln f x x a x =+不是单调函数，则实数a 的取值范围是____．

【答案】()-0∞，

【解析】 【分析】

转化为函数有极值点，利用导数求解.

【详解】因为函数()ln f x x a x =+不是单调函数，所以函数()f x 有极值点，即()1a

f x x

'=+在()0+∞，上有零点，即0,0a a ->∴<.

【点睛】本题考查函数单调性与极值，考查基本分析与求解能力，属中档题. 14. 若随机变量()2

~,X N μσ，且()()510.2P X P X >=<-=，则()25P X <<=__________.

【答案】0.3 【解析】 【分析】

由条件求得2μ=，可得正态分布曲线的图象关于直线2x =对称．求得()()510.2P X P X >=<-=的值，根据对称性，即可求得答案. 【

详解】

随机变量()2

~,X N

μσ，且(5)(1)0.2P X P X

>=<-=，

可得5(1)

22

μ+-=

=，正态分布曲线的图象关于直线2x =对称． ∴(15)2(25)10.20.20.6P X P X -≤≤=<≤=--= ∴(25)0.3P X <≤=，

故答案为：0.3．

【点睛】本题考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．

15. 若二项式6

21x ?+????

的展开式中的常数项为m ，则2

1m

x dx =?__________． 【答案】

26

3

【解析】

【详解】二项式621x x ?+????的展开式的通项为616123r r

r

r T C x -+-=??

，令1234r r -?= 所以常数项

为2

6424

11153,5C x x ????=?=? ????

??二项

式6

21x x ?+????的展开式中的常数项为3m =，则3

2

2

33111

126|33m

x dx x dx x ===??，故答案为263. 【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通

项公式1C r n r r

r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式

系数和；（3）二项展开式定理的应用. 16. 若随机变量η的分布列如下：

则当()0.8P x η<=时，实数x 的取值范围是 【答案】（1,2] 【解析】

试题分析：由离散型随机变量的概率分布列知： P （η=-2）=0.1，P （η＜0）=0.3， P （η＜1）=0.5，P （η＜2）=0.8

则当P （η＜x ）=0.8时，实数x 的取值范围是1＜x≤2 考点：离散型随机变量及其分布列

三、解答题：(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤).

17. 己知函数()3

2

392f x x x x =-++-，求：

（1）函数()y f x =的图象在点()()

0,0f 处的切线方程； （2）()f x 的单调递减区间.

【答案】（1）920x y --=；（2）(),1-∞-，()3,+∞. 【解析】

【分析】

（1）利用导数的几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程； （2）根据导函数的正负即可确定所求的单调区间.

【详解】（1）由题意得：()()

()()2

2

369323331f x x x x x x x =-++=---=--+'，

()09f '∴=，又()02f =-，

()y f x ∴=在()()0,0f 处的切线方程为()290y x +=-，即920x y --=.

（2）由（1）知：()()()331f x x x '=--+，

∴当(),1x ∈-∞-()3,?+∞时，()0f x '<；当()1,3x ∈-时，()0f x '>；

()f x ∴的单调递减区间为(),1-∞-，()3,+∞.

【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解在某一点处的切线方程、利用导数求解函数的单调区间的问题，属于导数部分知识的基础应用.

18. 实力相当的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局谁就胜出并停止比赛). （1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率； （2）求按比赛规则甲获胜的概率. 【答案】（1）18，316，316

；（2）1

2.

【解析】 【分析】

题意知甲队、乙队获胜的概率均为

1

2

，甲打完3局、4局、5局获胜，根据独立重复试验可分别计算出它们的概率，最后由事件的互斥性即可求甲获胜的概率

【详解】（1）甲、乙两队实力相当，所以每局比赛甲队获胜的概率为

12，乙队获胜的概率为12

. 记事件A 为“甲队打完3局取胜”，记事件B 为“甲队打完4局才能取胜”，记事件C 为“甲队打完5局才能取胜”.

①甲队打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲队均取胜，所以甲队打完3局取胜的概率为

()3

331128

P A C ??== ?

?? ②甲队打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲队在第4局比赛中取胜，前3局为2胜1负，所以甲队打完4局才能取胜的概率为

()2

23

1113

22216

P B C ??=???= ???

③甲队打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲队在第5局比赛中取胜，前4局恰好2胜2负，所以甲队打完5局才能取胜的概率为

()22

24

1113

22216

P C C ????=??= ? ?????

（2）记事件D 为“按比赛规则甲获胜”，则D A B C =++ ，又∵事件A 、B 、C 彼此互斥 ∴()()()()()P D P A B C P A P B P C =++=++1331816162

=++=. 故按比赛规则甲获胜的概率为

12

. 【点睛】本题考查了独立重复试验，并计算试验中各子事件的概率，进而由互斥事件的概率公式求概率 19. 设2012(21)n n n x a a x a x a x -=++++展开式中只有第1010项的二项式系数最大．

（1）求n ；

（2）求012n a a a a ++++;

（3）求.

3

1223

2222n

n

a a a a ++++

. 【答案】（1）2018；（2）20183；（3）-1. 【解析】 【分析】

（1）由二项式系数的对称性，2018=n ． （2）012||,||,||,||n a a a a 即为2018(21)x +展开式中各项的系数，在2018(21)x -中令1x =- ，即可得出．

（3）由2018

220180122018(21)

a a x a x a x x =++-++，令0x =和 12

，可求出0a 与

3

2018

1223

2018

2222a a a a ++++

的值． 【详解】（1）由二项式系数的对称性，1101020182

n

n +=∴= （2）201801220180122018=3a a a a a a a a +++

+-++

+=

（3）令0x = ，得2018

0(10)1a =-=，

令12x =

，得2

123

20182

32018

(11)0222

2

a a a a ++++

=-=，

故

3

2018

12023

2018

12222a a a a a +++

=-=-. 【点睛】本题考查了二项式定理及其性质，考查了用特殊值求二项展开式的系数的应用问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

20. 北京市政府为做好APEC 会议接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知该海产品第一轮检测不合格的概率为1

6

，第二轮检测不合格的概率为

1

10

，两轮检测是否合格相互没有影响. （1）求该海产品不能销售的概率.

（2）如果该海产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有该海产品4件，记一箱该海产品获利X 元，求X 的分布列，并求出数学期望

()E X .

【答案】（1）14

；（2）分布列见解析，期望为40. 【解析】 【分析】

（1）利用对立事件的概率计算该产品不能销售的概率值；（2）由题意知X 的可能取值为320-，200-，80-，40，160；计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望()E X ． 【详解】（1）记“该产品不能销售”为事件A ， 则P （A ）1111(1)(1)6104

=--?-=，

所以，该产品不能销售的概率为

14

； （2）由已知，X 的可能取值为320-，200-，80-，40，160 计算411

(320)()4256

P X =-==，

1

34133(200)()4464P X C =-=??=，

2

2241327(80)()()44128P X C =-=??=，

3341327(40)()4464P X C ==??=， 4381

(160)()4256

P X ===；

所以X 的分布列为

P

1256 364 27128 2764 81

256

13272781()3202008040160402566412864256

E X =-?

-?-?+?+?=； 所以均值()E X 为40．

【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．

21. 某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计,其中120分(含120分)以上为优秀,绘制了如下的两个频率分布直方图:

（1）根据以上两个直方图完成下面的22?列联表: 成绩

性别 优秀

不优秀

合计

男生 女生 总计

（2）根据(1)中表格的数据计算,你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系?

0k

2.072 2.706

3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

()20P K k ≥

0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

（3）若从成绩在[130,140]的学生中任取2人,求取到的2人中至少有1名女生的概率. 【答案】（1）详见解析；（2）有95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系；（3）

3

5

.

【解析】 【分析】

（1）根据表格数据填写好22?联表；（2）计算出2

K

数值，由此判断出所以有95%的把握认为学生的数

学成绩与性别之间有关系.（3）先计算出男生、女生分别有多少人，然后用1减去全部都是男生的概率，求得所求的概率. 【详解】（1）

（2）由（1）中表格的数据知, 2 4.844K ≈.

因为2 4.844 3.841K ≈>,所以有95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系.

（3）成绩在[130,140]的学生中男生有500.008104??=人,女生有2人,从6名学生中任取2人,共有

26

15C =种选法,若选取的都是男生,共有24

6C =种选法;故所求事件的概率2

4263

15C P C =-=.

【点睛】本小题主要考查22?列联表独立性检验，考查古典概型概率计算，考查对立事件，属于基础题. 22. 已知函数()ln f x mx nx x =+的图象在点()()

,e f e 处的切线方程为4y x e =-. （1）求函数()f x 的解析式；

（2）若对任意(1,)x ∈+∞，不等式()(1)1f x t x >-+恒成立，求正整数t 的最大值. 【答案】（1）()2ln f x x x x =+；（2）4. 【解析】 【分析】

（1）首先求出函数()f x 的定义域与导函数，然后根据题意及导数的几何意义建立关于m 和n 的方程求解即可；

（2）首先将不等式化为2ln 1

1

x x x t x +-<

-，然后构造函数，通过研究新函数的单调性求得其最小值，从而

根据恒成立求得正整数t 的最大值.

【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()ln f x n x m n '=++，

所以有()24()4f e m n f e me ne e e =+=??=+=-'?，解之得21m n =??=?

，

故函数的解析式为：()2ln f x x x x =+；

（2）()(1)1f x t x >-+可化为2ln (1)1x x x t x +>-+， 因为(1,)x ∈+∞，所以2ln 1

1

x x x t x +-<-，

令2ln 1

()1

x x x g x x +-=-（1x >），则由题意知对任意的(1,)x ∈+∞，()min t g x <，

而2

2ln ()(1)x x

g x x --'=

-，(1,)x ∈+∞，

再令()2ln h x x x =--（1x >），则11

()10x h x x x

'

-=-=>， 所以()h x 在(1,)+∞上为增函数，

又(3)1ln30h =-<，(4)2ln 40h =->，

所以存在唯一的0(3,4)x ∈，使得0()0h x =，即002ln x x -=，

当0(1,)x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，所以()g x 在0(1,)x 上单调递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，()0g x '>，所以()g x 在0(,)x +∞上单调递增， 所以00000000002ln 12(2)1

()()111

min x x x x x x g x g x x x x +-+--====+--，

所以01t x <+，

又0(3,4)x ∈，所以01(4,5)x +∈， 因为t 为正整数，所以t 的最大值为4.

【点睛】本题考查导数的几何意义、不等式恒成立问题、导数的应用，意在考查逻辑思维能力、划归与转化能力、运算求解能力以及方程思想，属于常考题.