第六届北方数学奥林匹克邀请赛试卷

第六届北方数学奥林匹克邀请赛试卷

第 一 天

(2010年8月6日 8:40 —11:40)

注：本试卷共四道题，每题25分，满分100分.

一、(25分)已知数列{}n a 满足()2

2112,222,n n n n a a a n n -==+?≥求通项n a .

二、(25分)如图，PA 、PB 是O ⊙的切线，切点分别是A 、B ，过点P 的割线与O ⊙交于C D 、两点，过点C 作PA 的平行线，分别交弦AB 、AD 于点E 、F .求证：CE EF =. 三、(25分)求所有的正整数组(,,)x y z ，使得

1235x y z +?=成立.

四、(25分)如图，在77?的方格表的64个网格线交点处放置棋子，每点至多放1枚，一共放了k 枚棋子.若无论怎样放，总存在4枚棋子，它们所在网格点构成一个矩形（矩形的边平行于网格线）的四个顶点. 试求k 的最小值.

O

P

F

第 二 天

(2010年8月7日 8:40 —11:40)

注：本试卷共四道题，每题25分，满分100分.

五、(25分) 设正实数,,a b c 满足(2)(2)9a b b c ++=

23≥.

六、(25分) 如图，O 是ABC ?的内切圆，D 、

E 、N 是切点，连NO 并延长交DE 于K ，连AK 并延长交BC 于M ．求证：M 是BC 的中点.

七、(25分) 求满足条件

[]()()()

,,,,,x y z x y y z z x =++，x y z ≤≤，

(),,1x y z = 的所有正整数组,,x y z .

其中记号[],m n 、(),m n 分别表示正整数m 、n 的最小公倍数和最大公约数.

八、(25分) 设[],,0,1,x y z ∈ 且12x y -≤

，12y z -≤ ，1

2

z x -≤，求 W x y z xy yz zx =++---的最小值和最大值.

K N

E

D

C

B

A

O