2016年春西南大学《数学教育学》(方法论)第一次作业答案

2016 年春西南大学《数学教育学》 (方法论)第一次

作业答案

一、判定题：

1、杜宾斯基认为，学生学习数学概念是要进行心理建构的，其经历的四个阶段是：操作阶段T过程阶段T对象阶段T概型阶段。

参考答案：正确

2、中国古代数学的标志性著作是《九章算术》.

参考答案：正确

3、中国古代数学教育的主要目的是为了训练心智.

参考答案：错误

4、美籍匈牙利数学教育家波利亚关于解数学解题理论的三本代表作为：《发生认识论导论》《中小学生数学能力心理学》和《合情推理》。

参考答案：错误

、论述题：

1、简述二十世纪来，我国数学教育观的变化。随着时代的发展和科学技术的进步，人们的学科教育观念也在变化。二十世纪来我国数学教育观不断更新，主要表现在以下几个方面：(1) 由关心教师的"教”转向也关注学生的"学”；(2) 从"双基”与"三力”观点的形成，发展到更宽广的能力观和素观(3)从听课、阅读、演题，到提倡实验、讨论、探索的学习方式；；(4) 从看重数学的抽象和严谨，到关注数学文化、数学探究和数学应用。

2、按以下小题顺序要求，自拟课题设计一节渗透分类思想方法的数学教案。

中考专题复习之分类讨论思想在圆中的应用教学目标：1、通过复习，使学生掌握通过分类讨论思想在解圆之类题中所起的作用，并形成在解题时考虑多种情况的意识和能力。

2、通过复习，使学生全面熟悉圆中相关知识，掌握圆中相关的性质和定理，会通过性质定理和数学公式进行解题。

教学重点：分类讨论思想在圆中的的各种类型

教学难点：分类讨论思想在圆中的应用作相关归纳与分析

教学过程：

由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；既具有对称任意性，又具有旋转不变性，因此往往给解题带来一定的复杂性．为了避免在求解与圆有关的问题时出现漏解，本文将分类讨论思想在圆中的应用作相关归纳与分析，供同学们学习时参考．

一、点与圆的位置关系不唯一性

例1已知点P是O O外一点，PA PB是O O的两条切线，切点分别为A, B,点C是O

图3

O 上的任意一点（不与A , B 重合）.若/ APB=50°,求/ ACB 的度数.

分析 解题时若对点 C 位置理解不透，容易出现漏解的情况，须注意针对分点 弧与劣弧两种情况分类讨论.

解析如图1，连结OA 、OB , ??? PA , PB 是O O 的两条切

线，

? / PAO=/ PBO=90°.

???/ APB=50°o ???在四边形PA OB 中，

/ AOB=360° 一/ PAO 一/ APB 一/ PBO=130°. 1

① 若点C 在优弧AB 上，则/ ACB 二/ AOB=65°

2

1

② 若点C 在劣弧AB 上，则/ ACB J x （360 -130

2

? / ACB 的度数为65 °或115 ° . 变式 已知点P 是O O 外一点，PA PB 是O O 的两条切线，切点分别为 A , B ,点C 是 O O 上的任意一点（不与A , B 重合）.若/ APB=n ° 求/ A CB 的度数.

二、弦与弦的位置关系不唯一性 例2 在半径为1的O O 中，弦AB=、2 , A C=、3，求/ BAC 的度数.

分析 此题主要考查的是垂径定理和勾股定理，初学者多数只会做出一个解，要么

求得15°,要么求得75°.实际上应全面考虑两弦与圆心的位置，分弦

AB 与CD 在圆心O

的两侧与同侧两种情况讨论.

解析 如图2,分别作OD 丄AB, OE 丄A C,垂足分别是 D E.

?/ OD 丄 AB , OE 丄 A C,

??? AD=BD=-^ , 2

AE=BE 亘, 2

? cos / DAO=AD = 2 ,

AO 2

AE V 3 cos / AEO = =

AO 2 ? / DA O=45°,/ AEO=30°. 当AB 与CD 在圆心O 的两侧时,

/ BA C=/ BAO+/ CAO=75°; 当AB 与CD 在圆心O 的同侧时,

/ BAC=/ BAO / CAO=15°,

? / BAC 的度数为15 °或75

变式 如图3,已知AB 是O O 的直径，AB=2,弦AC=. 2 ,

C 在优

)=115 ° .

图5

的半径之差; e O 1也可能与小圆、大圆都内切, e O 1的直径等于两圆的半径之和 （如图5）

.

在图中画出弦 AD ,使AD=1,并求/ CAD 的度数.

三、弦与它所对圆周角的不唯一性

例3圆的一条弦长等于它的半径，求这条弦所对的圆周角的度数.

分析 多数学生只是求出 30。，而未能求出150。，原因是学生对点与圆的位置关系、 弦所对的圆周角理解不透.一条弦 （非直径）所对的弧有优弧和劣弧，一条弦所对的圆周角 有锐角和钝角两种情况，需要区分优弧和劣弧所对的圆周角进行计算.

解析连结OA 、OB ,

?/ OA=OB=AB

???△ AOB 为正三角形，

???/ ADB=60°.

当点P 在优弧AB 上时，

1

/ P=— / A OB=30°;

2

当点Q 在优弧AB 上时,

/ Q=180° 一/ P=150°

???弦AB 所对的圆周角为30°或150°

变式1 已知点 O ABC 的外心，若/ BOC=100°,求/ BA C 的度数.

变式2 在半径为4的O O 中，弦AB=4.. 3，求弦AB 所对的圆周角的度数.

变式3 一条弦AB 分圆成1: 4两部分，求弦 AB 所对的圆周角的度数.

四、 直线与圆的位置关系不唯一性

例4 直线I 上一点P 到圆心O 的距离是5cm , O O 的半径也是5cm ，求直线I 与O 的 /亠护￥方

位置关糸.

分析 多数学生误以为圆心 O 到直线I 的距离为OP ,即把直线I 上一点P 当作垂足， 得出直线I 与O O 的位置关系是相切，出现漏解.

解析 （1）当OP 丄I 时，则圆心 O 到直线I 的距离为OP.

■/ OP=5, R=5,

???OP=R

???点P 到直线I 的距离等于O O 的半径，则直线I 与O O 相切；

⑵当OP 不垂直直线I 时，圆心O 到直线I 的距离小于 OP,则直线I 与O O 相交.

?直线I 与O O 的位置关系是相切或相交

变式 直线I 上一点P 到圆心O 的距离是a , O O 的半径是r ，并且a =r ，求直线I 与 O O 的位置关系.

五、 圆与圆的位置关系不唯一性

例5以点O 为圆心的两个同心圆的半径分别是 9和5, e O 1与这两个圆相切，求 e O 1的半径. 分析 由于两圆为同心圆， e O 1可能与小圆外切、 与大圆内切，e O 1的直径等于两圆

600

=900

解析 当e O 1与小圆外切、与大圆内切时,

e O i 的直径为

d 1 R r 9 5 4

当e O j 与小圆、大圆都内切时， e O i 的直径为

d 1 R r 9 5 14,

??? e O i 的半径是2或7.

变式 已知两圆相切，圆心距是 乙其中一圆的半径是 2,求另一圆的半径.

六、在圆锥侧面展开图计算中的应用

例 6 如图 6，在 Rt △ ABC 中，/ ACB=90° 周

得到一个几何体，求出这个几何体的全面积。

分析题中只说明Rt A ABC 的一边旋转 一周，而未

说明具体是哪一边旋转，所以必须 分情况进行讨

论.

解析???/ ACB=90°,

AC=20, BC=l 5,

? AB= ■ 202 152 25.

1 1 — ABgDD ACgBC ,

2 2

? 25CD=20X 1 5,

? CD=l 2.

若绕AC 旋转一周得到的几何体，则它的全面积为

2

S 15 25 15 若绕BC 旋转一周得到的几何体，则它的全面积为

5 20 25 202

若绕 AB 旋转一周得到的几何体，则它的全面积为

S 3 12 20 15 12 ．

420

???绕Rt A ABC 的一边旋转一周得到一个几何体的全面积为

600 或 900 或 420 ．

变式 在Rt A ABC 中，/ ACB=90 , A C=12, BC=5,绕Rt A ABC 的一边旋转一周得到 一个几何

体，求出这个几何体的全面积．

意图说明：在解有关圆的问题中，应让学生深刻掌握分类讨论思想，通过多

种情况的展示，让学生明白分类讨论思想在圆中的多种可能并善于举一反三，触类旁通，使所遇类似问题都能获得圆满解答．