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北师大版八年级下第一章三角形的证明综合题专题训练

北师大版八年级下第一章三角形的证明综合题专题

训练

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三角形证明

【命题趋势】

常考的知识点包括：全等三角形的判定与性质、线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的三线合一的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、含30°的角的直角三角形的性质等，在中考时，灵活的掌握相应辅助线方法是解决问题的关键.在中考中将会加大对三角形有关证明的考察，而三角形全等是证明的基础.题型主要是以解答题的形式呈现，难度属于中等难度. 线段的和差是中考中常见的考试类型，能较好的考察学生的推理和证明能力，同时能把三角形全等有机的结合起来，因此在最近几年的重庆中考试题中时常出现.针对此类中考热点问题，本专题主要探讨此类问题的解决方法—取长补短法.

三角形证明（一）

【经典专题突破】

例1.如图，等边ABC △中，AO 是BAC ∠的角平分线，D 为AO 上一点，以CD

为一边且在CD 下方作等边CDE △,连结BE . （1）求证：ACD BCE △≌△；

（2）延长BE 至Q , P 为BQ 上一点，连结CP 、QC 使5CP CQ ==, 若8BC =时，求PQ 的长.

例2.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=，AC BC <，D 为AB 的中点，DE 交

AC 于点E ，DF 交BC 于点F ，且DE DF ⊥，过A 作AG ∥BC 交FD 的延长线于点G ．（1）求证：AG BF =；

（2）若9AE =，18BF =，求线段EF 的长．

第1题图

例3：如图1，在Rt ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥，作ABC ∠的平分线交

AC 、CD 于点E 、F ．（1）求证：CE CF =；

（2）如图2，过点F 作FG ∥AB 交AC 于点G ，若10AC =，4EG =，求CE 的长度．

【仿真题型演练】

1. 如图，在等腰Rt ABC △中，90ACB ∠=，AC CB =，F

是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且始终保持AD CE =．连接

DE 、DF 、EF ．（1）求证：DF =EF ；

（2）试证明△DEF 是等腰直角三角形．

第3题图

D C

第1题图

2. 已知等腰Rt ABC △中，90ACB ∠=，AC BC =，点G 在BC 上，连接AG ，过C 作CF ⊥AG ，垂足为点E ，过点B 作BF ⊥CF 于点F ，点D 是AB 的中点，连接

DE 、DF ．

（1）若30CAG ∠=，EG =1，求BG 的长；（2）求证：∠AED =∠DFE

3. 如图1，已知点D 为等腰直角ABC △内一点，90ACB ∠=，

15CAD CBD ∠=∠=，E

为AD 延长线上的一点，且CE CA =．

（1）求DCA ∠的大小；

（2）若点M 在DE 上，如图2，且DC DM =，求证：ME DB =.

4. 如图，在Rt ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=，,D E 为BC 上两点，

45DAE ∠=，F 为ABC △ 外一点，且FB BC ⊥，FA AE ⊥。

（1）证明：CE BF =；（2）证明：222BD CE DE +=.

【一线名师预测】

第2题图

第3题图

第4题图

1. 如图，在ABC △中，45ABC ∠=，CD AB ⊥，BE AC ⊥，垂足分别为,,D E F 为

BC 中点，BE 与DF ，DC 分别交于点G ，H ，ABE CBE ∠=∠．

（1）证明：BH CA =；（2）证明：2

BG GE EA -=．

2．如图，分别以ABC △的边AB ，AC 向外作等边三角形ABD 和等边三角形

ACE ，线段BE 与CD 相交于点O ，连接AO ．

（1）求BOD ∠的度数；（2）求证：AO 平分DOE ∠．

三角形证明（二）

【经典专题突破】

例1．如图，Rt ACB △中，90ACB ∠=，ABC △的角平分线AD 、BE 相交于

点P ，过P 作PF AD ⊥交BC 的延长线于点F ，交AC 于点H . （1）求APB ∠的度数；（2）证明：AH BD AB +=.

例2. 如图，等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=，D 、E 分别为AB 、AC

第1题图

第2题图

第1题图

边上的点，AD AE =，AF BE ⊥交BC 于点F ，过点F 作FG CD ⊥交BE 的

延长线于点G ，交AC 于点M ．（1）证明：EGM △为等腰三角形；（2）证明：BG AF FG =+.

例3.如图，ABC △中，AC BC =，90ACB ∠=，点D 在AC 上，点E 在BC

延长线上，CD =CE ，BD 的延长线交AE 于点F ，连CF . （1）证明：AE BD =；（2）证明：2EF FD FC +=.

【仿真题型演练】

1.在四边形ABCD 中，AC AB =，DC DB =，60CAB ∠=，120CDB ∠=，

E 是AC 上一点，

F 是AB 延长线上一点，且CE BF =．（1）证明：DE DF =；

（2）在图中，若G 在AB 上且60EDG ∠=，

证明：CE BG EG +=.

第2题图

第3题图

第1题图

2. 如图，D 是等边ABC △的边AB 上一点，E 是BC 延长线上一点，

CE DA =，连接DE 交AC 于F ，过D 点作于DG AC ⊥于G 点. （1）证明：1

AG AD =

；（2）证明：GF FC AG =+.

3. 如图，等边ABC △中，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，P 为BC 上

一点，连接EP ，作等边EPQ △，连接FQ ，EF ．

（1）若等边ABC △的边长为20，且BPE ∠=45°，求等边EPQ △的边长；

（2）证明：BP EF FQ =+．

4. 如图，Rt ABC △中，90E ACB ∠=，ABC ∠的角平分线BE 和BAC ∠的外角平分线AD 相交

第2题图

第3题图

于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D．过P作PF AD

交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．

（1）证明：45APB ∠=；（2）证明：BD AH AB -=；

【一线名师预测】

1.如图，在Rt ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=，ABE EBC ∠=∠，

CE BD ⊥的延长线于E . （1）证明：2BD CE =;

（2）若3AB =，1AD =，求BE 的长度.

第4题图

第1题图

2.如图，已知90

ACD

∠=，MN是过点A的直线，AC DC

=，DB MN

⊥于点B．

（1

）证明：BD AB

+=;

（2）当30

∠=，BD=BC的长度.

BCD