人教高中数学必修一知识点与重难点
人教版高中数学必修一
————各章节知识点及重难点
第一章集合及函数概念
1.1 集合
1.1.1集合的含义及表示
【知识要点】
1、集合的含义
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
2、集合的中元素的三个特性
（1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性
2、“属于”的概念
我们通常用大写的拉丁字母A,B,C, ……表示集合，用小写拉丁字母a,b,c, ……表示元素
如：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A，如果a不属于集合A 记作 a A
3、常用数集及其记法
非负整数集（即自然数集）记作：N；正整数集记作：N*或 N+ ；整数集记作：Z；有理数集记作：Q；实数集记作：R
4、集合的表示法
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
（2）描述法：用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}
（3）图示法（Venn图）
【重点】集合的基本概念和表示方法
【难点】运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合
【知识要点】
1、“包含”关系——子集
一般地，对于两个集合A及B，如果集合A的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B
2、“相等”关系
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B A B B A
且
???
3、真子集
如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A)
4、空集
不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.
【重点】子集及空集的概念；用Venn图表达集合间的关系
【难点】弄清元素及子集、属于及包含之间的区别
【知识要点】
1、交集的定义
一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A∩B(读作“A交B”)，即A∩B={x| x∈A，且x∈B}．
2、并集的定义
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作“A并B”)，即A∪B={x | x∈A，或x∈B}．
3、交集及并集的性质
A∩A = A，A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A , A∪B = B ∪A.
4、全集及补集
（1）全集
如果集合U含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。
（2）补集
设U是一个集合，A是U的一个子集（即A?U），由U中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集（或余集）。记作： C U A ，即 C S A ={x | x∈U且 x?A}
（3）性质
C U(C U A)=A，(C U A)∩A=Φ，(C U A)∪A=U；
(C U A)∩(C U B)=C U(A∪B)，(C U A)∪(C U B)=C U(A∩B).
【重点】集合的交集、并集、补集的概念
【难点】集合的交集、并集、补集的概念及应用
1.2 函数及其表示
1.2.1函数的概念
【知识要点】
1、函数的概念
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；及x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．【注意】
（1）如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；
（2）函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
【定义域补充】
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是
（1）分式的分母不等于零；
（2）偶次方根的被开方数不小于零；
（3）对数式的真数必须大于零;
（4）指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.
（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
（6）指数为零底不可以等于零
（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域.)
2、构成函数的三要素
定义域、对应关系和值域
【注意】
（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。
（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而及表示自变量和函数值的字母无关。
3、相同函数的判断方法
（1）定义域一致；
（2）表达式相同 (两点必须同时具备)
【值域补充】
（1）函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.
（2）应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。
4、区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
【重点】理解函数的模型化思想，用集合及对应的语言来刻画函数
【难点】符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示
1.2.2函数的表示法
【知识要点】
1、常用的函数表示法及各自的优点
（1）函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于x轴的直线及曲线最多有一个交点。
（2）函数的表示法
解析法：必须注明函数的定义域；
图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
【注意】
解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值
2、分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
3、复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f是g的复合函数.
4、函数图象知识归纳
（1）定义
在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由及任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.
（2）画法
A、描点法
根据函数解析式和定义域，求出x,y 的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B 、图象变换法
常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换 （Ⅰ）对称变换 ①将y= f(x)在x 轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如：书上P21例5
②y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y 轴对称。如1x
x x y a y a a -??=== ???
与 ③y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x 轴对称。如
1log log log a a a
y x y x x ==-=与
（Ⅱ）平移变换
由f(x)得到f(x ±a) 左加右减； 由f(x)得到f(x)±a 上加下减 （3）作用
A 、直观的看出函数的性质；
B 、利用数形结合的方法分析解题的思路；
C 、提高解题的速度；发现解题中的错误。
5、映射
定义：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 及之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。记作“f ：A →B ”
给定一个集合A 到B 的映射，如果a ∈A,b ∈B.且元素a 和元素b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象
【说明】
函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应 （1）集合A 、B 及对应法则f 是确定的； （2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它及从B 到A 的对应关系一般是不同的；
（3）对于映射f ：A →B 来说，则应满足：
（Ⅰ）集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的； （Ⅱ）集合A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个； （Ⅲ）不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。
6、函数的解析式
（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等
A、如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；
B、已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；
C、若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)
【重点】函数的三种表示法，分段函数的概念，映射的概念
【难点】根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象，映射的概念
1.3函数的基本性质
1.3.1函数单调性及最大（小）值
【知识要点】
1、函数的单调性定义
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 【注意】 （1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； （2）必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1 （或f(x1)＞f(x2)）。 2、图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. 3、函数单调区间及单调性的判定方法 (A) 定义法 ①任取x1，x2∈D，且x1 ②作差f(x1)－f(x2)； ③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ⑤下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性：复合函数f[g(x)]的单调性及构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：同增异减 【注意】 函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 4、判断函数的单调性常用的结论 ①函数()y f x =-及()y f x =的单调性相反； ②当函数()y f x =恒为正或恒有负时，1 ()y f x = 及函数()y f x =的单调性相 反； ③函数()y f x =及函数()y f x C =+（C 为常数）的单调性相同； ④当C > 0（C 为常数）时，()y f x =及()y C f x =的单调性相同； 当C < 0（C 为常数）时，()y f x =及()y C f x =的单调性相反； ⑤函数()f x 、()g x 都是增（减）函数，则()()f x g x +仍是增（减）函数； ⑥若()0,()0f x g x >>且()f x 及()g x 都是增（减）函数，则()()f x g x 也是增（减）函数； 若()0,()0f x g x <<且()f x 及()g x 都是增（减）函数，则()()f x g x 也是减（增）函数； ⑦设()0f x >，若()f x 在定义域上是增函数，则 、()(0)k f x k >、 ()(1)n f x n > 都是增函数，而1 ()f x 是减函数. 5、函数的最大（小）值定义 （ⅰ）一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ； （2）存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值． （ⅱ）一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足 （1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≥ M ； （2）存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值. 【注意】 ○1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M； ○2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）． 6、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法 ○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○2利用图象求函数的最大（小）值 ○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 【重点】函数的单调性及其几何意义，函数的最大（小）值及其几何意义【难点】利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值. 1.3.2 函数的奇偶性 【知识要点】 1、偶函数定义 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． 2、奇函数定义 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 【注意】 ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 ③由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． 3、具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 4、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f(－x)及f(x)的关系； ③作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇 函数． 5、函数奇偶性的性质 ①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. ②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称. ③若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==. ④若奇函数()f x 定义域中含有0，则必有(0)0f =. ⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数()F x 及一个偶函数()G x 的和（或差）”.如设)(x f 是定义域为R 的任一函数， 则()() ()2f x f x F x --= ，()()()2 f x f x G x +-=. ⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. ⑦既奇又偶函数有无穷多个（()0 f x ，定义域是关于原点对称的任意一个数集）. 【重点】函数的奇偶性的定义及其几何意义 【难点】判断函数的奇偶性的方法及格式 第二章 基本初等函数 2.1 指数函数 2.1.1指数及指数幂的运算 【知识要点】 1、根式的概念： 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0=0. 【注意】 (1) n a = (2)当 n a = ，当 n ,0 ||,0 a a a a a ≥?==? - 2、分数指数幂 （1）正数的正分数指数幂的意义，规定：0,,,1)m n a a m n N n *=>∈>且 （2）正数的正分数指数幂的意义：_1(0,,,1)m n m n a a m n N n a *= >∈>且 （3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3、实数指数幂的运算性质 （1）(0,,)r s r s a a a a r s R +=>∈ （2）()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ （3）(b)(0,0,)r r r a a b a b r R =>>∈ 【注意】 在化简过程中，偶数不能轻易约分；如122 [(1]11≠- 【重点】分数指数幂的意义，根式及分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质 【难点】根式的概念，根式及分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指 数幂． 2.1.2指数函数及其性质 【知识要点】 1、指数函数的概念 一般地，函数x y a 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R． 2 0 图象 性质 定义域R ,值域（0，+∞） （1）过定点（0，1）,即x=0时，y=1 (2)在R上是减函数(2)在R上是增函数 （3）当x>0时,0 当x<0时,y>1 （3）当x>0时,y>1; 当x<0时,0 共性向x轴正负方向无限延伸函数的定义域为R 函数图象都在x轴上方函数的值域为R+ 图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数 函数图象都过定点（0，1）过定点（0，1） 0 在第一象限内的图象纵坐标都小 于1 当x>0时,0 在第二象限内的图象纵坐标都大 于1 当x<0时,y>1 图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快， 到了某一值后减小速度 较慢； a>1自左向右看，图象逐渐上升增函数 在第一象限内的图象纵坐标都大 于1 当x>0时,y>1; 在第二象限内的图象纵坐标都小当x<0时,0 【重点】指数函数的的概念和性质． 【难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 2.2 对数函数 2.2.1对数及对数运算 【知识要点】 1、对数的概念 一般地，如果x a N = ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作： log a x N = （ a — 底数， N — 真数，log a N — 对数式） 【注意】 （1）注意底数的限制，a>0且a ≠1； （2）真数N>0； （3）注意对数的书写格式． 2、两个重要对数 （1）常用对数：以10为底的对数, 10log lg N N 记为 ； （2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , log ln e N N 记为． 3、对数式及指数式的互化 log x a x N a N =?= 对数式 指数式 对数底数← a → 幂底数 对数← x → 指数 真数← N → 幂 【结论】 （1）负数和零没有对数 （2）log a a=1, log a 1=0，特别地，lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0 （3）对数恒等式：log N a a N = 4、如果a > 0，a 1 1，M > 0，N > 0 有 （1）log M N log log a a a M N ?=+（） 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 （1）N M N M a a a log log log -= 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 （3）log log n n a a M n M =∈（R ） 一个正数的n 次方的对数等于这个正数的对数n 倍 【说明】 （1）简易语言表达:”积的对数=对数的和”…… （2）有时可逆向运用公式 （3）真数的取值必须是(0,＋∞) （4）特别注意：N M MN a a a log log log ?≠ ()N M N M a a a log log log ±≠± 5、换底公式 ()log lg log 0,1,0,1,0log lg c a c b b b a a c c b a a = =>≠>≠> 利用换底公式推导下面的结论 ①a b b a log 1log = ②log log log log a b c a b c d d =③log log m n a a n b b m = 【重点】对数的概念，对数式及指数式的相互转化 【难点】对数概念的理解，换底公式的应用 2.2.2 对数函数及其性质 【知识要点】 1、 对数函数的概念 函数log a y x = (a>0，且a ≠1) 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 【注意】 （1）对数函数的定义及指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：log 1a y x =-log 2a y x =+ 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． （2）对数函数对底数的限制：a>0，且a ≠1 2、对数函数的图像及性质 对数函数log y x =(a>0，且a ≠1) 0 ＜ a ＜ 1 a ＞ 1 图像 性质 定义域：（0，＋∞） 值域：R 过点(1 ,0), 即当x ＝1时,y ＝0 在(0,+∞)上是减函数 在(0,+∞)上是增函数 当x>1时，y<0 当x=1时，y=0 当0 【 在log a b 中，当a ,b 同在(0,1) 或(1,+∞)内时， 有log a b>0; 当a,b 不同在(0,1) 内，或不同在(1,+∞) 内时,有log a b<0. 【口诀】底真同大于0（底真不同小于0）. （其中，底指底数，真指真数，大于0指log a b 的值） 3、如图，底数 a 对函数x y a log = 的影响. y x 0 (1,0) y x (1,0) 规律：底大枝头低, 头低尾巴翘 4考点 Ⅰ、log a b, 当a,b在1的同侧时, log a b >0；当a,b在1的异侧时, log a b <0 Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较对数的大小，同底找对应的对数函数，底数不同真数也不同利用（1）的知识不能解决的插进1(=log a a)进行传递. Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0，值域求法用单调性. Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用1=log a a ，用y=1去截图象得到对应的底数。 Ⅴ、y=a x(a>0且a ≠1) 及y=log a x(a>0且a ≠1) 互为反函数，图象关于y=x对称。 5 比较两个幂的形式的数大小的方法 (1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的 单调性来判断. (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断. (3)对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来 判断.常用1和0. 6 比较大小的方法 (1)利用函数单调性(同底数)；(2)利用中间值（如:0,1.）；(3)变形后比较；(4)作差比较 【重点】掌握对数函数的图象及性质 【难点】对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用 2.3幂函数 【知识要点】 1、幂函数定义 一般地，形如y xα =的函数称为幂函数，其中x是 自变量，α为常数． 2、幂函数性质归纳 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象 都过点（1，1）； （2）α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+ ∞）上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象 下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； （3）α<0 时，幂函数的图象在（0，+∞）上是减函 数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在 y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴． 【重点】从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质 【难点】画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律