二次函数线段最值问题2
二次函数线段最值问题
———几何类
“最短距离”经典问题汇总
一、“两点之间线段最短”．
【基本问题】在直线l 上找一点P ，使得其到直线异侧两点A B 、的距离之和最小，如图所示．作点A （或B ）关于直线l 的对称点，再连接另一点与对称点，与l 的交点即为P 点．
【变式1】直线12l l 、交于O ，P 是两直线间的一点，在直线12l l 、上分别找一点A B 、，使得PAB ?的周长最短．如图所示，作P 点关于12l l 、的对称点12P P 、，连接12P P ，与12l l 、分别交于A B 、两点，即为所求．
【变式2】直线12l l 、交于O ，A B 、是两直线间的两点，从点A 出发，先到1l 上一点P ，再从P 点到2l 上一点Q ，再回到B 点，求作P Q 、两点，使AP PQ QB ++最小．如图所示，作A B 、两点分别关于直线12l l 、的对称点A B 、′′，连接A B ′′分别交12l l 、于P Q 、，即为所求．
【变式3】从A 点出发，先到直线l 上的一点P ，再在l 上移动一段固定的距离PQ ，再回到点B ，求作P 点使移动的距离最短，如图所示．先将A 点向右平移到A ′点，使AA ′等于PQ 的长，作点B 关于l 的对称点B ′，连接A B ′′，与直线l 的交点即为Q 点，将Q 点向左平移线段PQ 的长，即得到P 点．
【变式4】下面这个题与对称无关，但涉及到了平移的内容，与【变
l
A'
B
P
A
l
O
B A
P
2
P 1P l 2
l 1
O
l 1l 2
Q
P
B'
A'B
A
式4】的作法有点类似，因此放在这里，共享一下．
A B 、是位于河两岸的两个村庄，要在这条宽度为d 的河上垂直建一座桥，使得从
A 村庄经过桥到
B 村庄所走的路程最短．如图所示，将点A 向垂直于河岸的方向
向下平移距离d ，到A ′点，连接A B ′交河岸于Q 点，过Q 点作PQ 垂直于河岸，交河岸的另一端为P ，即为所求．
【变式5】在直线l 上找一点P ，使得其到直线异侧两点A B 、的距离之差的绝对值最大，如图所示．作点A （或B ）关于直线l 的对称点，再连接另一点与对称点，其延长线与l 的交点即为P 点．
二、“垂线段最短”．
AB ≥AM+BN
N
B
M
A
斜边大于直角边
C B
A
垂线段最短
例题探究：
【探究1】
如图，抛物线42
12+--=x x y 与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B
（2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．
在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长；
P
B'B
A
l
【探究2】已知在平面直角坐标xOy系抛物线223
=--与x轴交
y x x
于A B
、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。若一个动点P自点C出发，先到达x轴上某点（设为点E），
再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动
到点C．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐
标，并求出这个最短总路径的长．
【探究3】已知在平面直角坐标xOy系抛物线223
=--与
y x x
、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于x轴交于A B
点C，在线段BC上是否存在一点P，使得B、C两点
到直线AP的距离之和最大若存在，请求出P点的坐
标；若不存在，请说明理由。
【探究4】已知在平面直角坐标xOy系抛物线223
=--与
y x x
、两点（点A在点B的左侧），与y轴x轴交于A B
交于点C。若一个动点P自OC的中点M出发，先
到达x轴上某点（设为点E），再到达抛物线的对
称轴上某点（设为点F），最后运动到点C．求
使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，
并求出这个最短总路径的长．
【探究5】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线
3
64
y x =-+与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，将OBA ∠对折，使点O 的对应
点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点C ．设过A 、B 、C 三点的抛物线
2111
644
y x x =
-+的对称轴与直线BC 的交点为T ，Q 为线段BT 上一点，请求
出QA QO -的取值范围．
【探究6】
在平面直角坐标系xOy 中，抛物线268y x x =-+经过A （2，0）、B （4，0）
两点，直线122
y x =+交y 轴于点C ，且过点(8,)D m ．将抛物线268y x x =-+左右平移，记平移后点A 的对应点为'A ，点B 的对应点为'B ，当四边形''A B DC 的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形''A B DC 周长的最小值．
【探究7】
已知： 抛物线223y x x =-++与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D.直线l 过点C ,且l ∥x 轴,E 为l 上一个动点，EF ⊥x 轴于F ．求使DE+EF+BF 的和为最小值的E 、F 两点的坐标，并直接写出DE+EF+BF 的最小值.