二元函数的可微性研究
二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 (1) 2二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系 (2) 2.1二元函数连续与偏导数存在之间的关系 (2) 2.2二元函数连续与可微之间的关系 (3) 2.3二元函数可微与偏导数存在之间的关系 (3) 2.4二元函数可微与偏导数连续之间的关系 (4) 二元函数连续、偏导数、可微的关系图 (6) 参考文献 (7) 致谢 (8)
本科生毕业论文 2 二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系 摘要 一元函数可微与可导等价，可导必连续.但二元函数并非如此，以下文章给出了二元函数连续、偏导数、可微之间的关系，并给出了简单的证明，且用实例说明了它们之间的无关性和在一定条件下所具有的共性. 关键词 二元函数 连续 偏导数 可微 The Relationship among Continuation, Partial Derivatives and Differentiability in Binary Function Abstract Unary function differentiable with derivative equivalent, will be continuously differentiable. But the dual function is not the case, the following article gives a continuous function of two variables, partial derivatives, can be said the relationship between them, and gives a simple show, and illustrated with examples related between them and under certain conditions have in common.. Key words binary function continuation partial derivatives differentiability 引言 二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识.本文详细讨论这三者之间的关系. 1 二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 定义1 设f 为定义在点集2D R ?上的二元函数，0D P ∈（0P 或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点），对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要0,)(D P U P δ?∈， 就有0)||()(f P f P ε<-，则称f 关于集合 D 在点0P 连续. 定义2 设函数(,),(,)z f x y x y D =∈，若00,)(y D x ∈且0,)(y f x 在0x 的某一邻域内 有定义，则当极限00000000(,))(,) (,lim lim x x x f x y f x y f x x y x x ?→?→+-=????存在时，则称这个极限 为函数f 在点00,)(y x 关于x 的偏导数，记作0 (,) |x y f x ??. 定义3 设函数(,)z f x y =在点000,)(y P x 某邻域0()U P 内有定义， 对于0()U P 中的点00,)(,)(y P x y x x y ++=??，若函数f 在点0P 处的全增量可表示为
如何判定二元函数的可微性
万方数据
万方数据
如何判定二元函数的可微性 作者：黄激珊 作者单位：兴义良族师范学院,贵州,兴义,562400 刊名： 考试周刊 英文刊名：KAOSHI ZHOUKAN 年，卷(期)：2010，""(26) 被引用次数：0次 参考文献(3条) 1.同济大学应用数学系.高等数学(第五版)[M].北京:高等教育出版社,200 2. 2.华东师范大学数学系.数学分析(下册)[M].北京:高等教育出版社,200 3. 3.刘玉琏.数学分析学习指导书[M].北京:高等教育出版社,200 4. 相似文献(10条) 1.期刊论文何鹏.俞文辉.雷敏剑二元函数连续、可偏导、可微等诸条件间关系的研究-南昌高专学报2005,20(6) 本文指出二元函数诸性质间的关系源于二元函数对极限的两种不同推广:二重极限和累次极限,并详细阐明了连续、偏导数存在、可微、偏导连续四者间的关系.在文章的最后,作者对偏导连续推出可微这一命题的条件作了减弱并予以证明. 2.期刊论文杨凯.王焕东二元函数连续、偏导数与可微的关系-沧州师范专科学校学报2007,23(3) 一元函数可微与可导等价,可导必连续,但二元函数并非如此.给出了二元函数的连续、偏倒数、可微之间的关系,并给出了简洁全面地证明. 3.期刊论文张德利.郭彩梅.ZHANG De-li.GUO Cai-mei一类二元函数连续性的等价刻画及在三角模上的应用-模糊系统与数学2007,21(4) 关于二元函数的连续,经典数学分析中有熟知的结果,即"如果二元函数连续,则必关于每个单变量连续.反之,则未必".本文证明对于单调且对称的二元函数而言,其二元连续等价于单变量连续,并重新定义了三角模的连续. 4.期刊论文樊红云.张宏民.FAN Hong-yun.ZHANG Hong-min视一元函数为二元函数时的极限与连续-长春师范学院学报（自然科学版）2006,25(3) 本文讨论了视一元函数u=φ(x)为二元函数u=f(x,y)=φ(x)时的极限与连续. 5.期刊论文郭素霞二元函数连续与其按单变量连续的关系-衡水师专学报2001,3(2) 若二元函数连续,则二元函数按每一个单变量必连续;反之,二元函数按每一个单变量都连续,但二元函数不一定连续.而补充某些条件后,二元函数就连续. 6.期刊论文齐小忠关于二元函数二阶混合偏导数的注记-许昌学院学报2004,23(2) 大多数数学分析教科书讨论二元函数的二阶混合偏导数f'xy(x,y)、f"(x,y)与求导次序有无关系时,都是在其连续的情况下得出与次序无关的结论的.本文给出了较弱的与求导次序无关的几个结论. 7.期刊论文张仁华.秦建红二元函数可微的又一充分性条件及证明-科技信息2009,""(35) 本文对常见教材中二元函数可微的条件进行修改,给出了一个二元函数可微的又一个充分性条件,因而可得二元函数可微的另一个定理. 8.期刊论文闫彦宗关于二元函数分析性质的讨论-宜宾学院学报2003,6(6) 讨论了二元函数的重极限与累次极限、可微性与偏导数的存在性及函数的连续性、重积分与累次积分之间的关系. 9.期刊论文张骞二元函数全连续和偏连续关系的探讨-太原城市职业技术学院学报2005,""(1) 文章根据二元函数全连续性的定义给出了偏连续的定义,并进一步讨论了它们之间的关系. 10.期刊论文赵辉Mathematica的图形功能在二元函数极限与连续中的应用-安徽电子信息职业技术学院学报2008,7(6) 在高等数学中,二元函数极限与连续的概念是个难点,本文利用Mathematica软件作出二元函数在案区域的三维图形和等高线,可以更加直观的观察二元函数当时的变化情况,加深对此概念的理解. 本文链接：https://www.docsj.com/doc/c37096402.html,/Periodical_kszk201026056.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：10c98dc1-0e96-4f5e-8c65-9dce00bbfc62 下载时间：2010年8月10日
多元函数的可微性
多元函数的可微性 摘要：多元函数微分学是一元函数微分学的推广，也保留了一些一元函数微分学的许多性质。但是由于自变量的增加使之产生了某些本质上是新的内容。 关键词：可微、多元函数、偏导 在一元函数中,可微性与可导性是等价的,但在多元函数中可微可以保证各偏导数都存在,而各偏导数都存在并不能保证可微,即偏导数都存在只是可微的必要条件而非充分条件。本文总结了一些可微的必要条件而非充分条件和充要条件。 一、全微分的定义： 函数(,)u f x y =在点(,)x y 全微分的定义为：若函数(,)u f x y =的全改变量u ?可以 表示为(,)(,)u f x x y y f x y A x B y ο?=+?+?-=?+?+且其中A 、B 与x ?， y ?无关而仅与,x y 有关，则称函数(,)f x y 在点(,)x y 可微，并称A x B y ?+?为(,)f x y 在点(,)x y 的全微分，记为du 或(,)df x y 。 可微的判别方式：0()lim 0ρορρρ →== (,)f x y 在点(,)x y 可微。 二、可微的必要条件而非充分条件： 定理1：若(,)f x y 在点P (,)x y 可微，则(,)f x y 在点(,)x y 的偏导存在，且(,)x f x y A =、(,)y f x y B =。 证明：(,)(,)u f x x y y f x y A x B y ο?=+?+?-=?+?+ 且 0(,)(,)(,)lim x x f x x y f x y f x y x ?→+?-=? 0lim x A ?→== 同理：(,)y f x y B = 定理2：若(,)u f x y =在点P (,)x y 可微，则必在该点连续。 证明：因为(,)u f x y =在点(,)x y 可微，所以有 (,)(,)u f x x y y f x y ?=+?+?- (),A x B y ορρ=?+?+其中 由此立即可得
二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系
摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 (1) 2二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系 (2) 二元函数连续与偏导数存在之间的关系 (2) 二元函数连续与可微之间的关系 (3) 二元函数可微与偏导数存在之间的关系 (3) 二元函数可微与偏导数连续之间的关系 (4) 二元函数连续、偏导数、可微的关系图 (6) 参考文献 (7) 致谢 (8) 二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系
摘要 一元函数可微与可导等价，可导必连续.但二元函数并非如此，以下文章给出了二元函数连续、偏导数、可微之间的关系，并给出了简单的证明，且用实例说明了它们之间的无关性和在一定条件下所具有的共性. 关键词 二元函数 连续 偏导数 可微 The Relationship among Continuation, Partial Derivatives and Differentiability in Binary Function Abstract Unary function differentiable with derivative equivalent, will be continuously differentiable. But the dual function is not the case, the following article gives a continuous function of two variables, partial derivatives, can be said the relationship between them, and gives a simple show, and illustrated with examples related between them and under certain conditions have in common.. Key words binary function continuation partial derivatives differentiability 引言 二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识.本文详细讨论这三者之间的关系. 1 二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 定义1 设f 为定义在点集2D R ?上的二元函数，0D P ∈（0P 或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点），对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要0,)(D P U P δ?∈，就有0)||()(f P f P ε<-，则称f 关于集合D 在点0P 连续. 定义2 设函数(,),(,)z f x y x y D =∈，若00,)(y D x ∈且0,)(y f x 在0x 的某一邻域内 有定义，则当极限00000000(,))(,) (,lim lim x x x f x y f x y f x x y x x ?→?→+-=????存在时，则称这个极限为函数f 在点00,)(y x 关于x 的偏导数，记作0 (,)|x y f x ??. 定义3 设函数(,)z f x y =在点000,)(y P x 某邻域0()U P 内有定义，对于0()U P 中的点 00,)(,)(y P x y x x y ++=??，若函数f 在点0P 处的全增量可表示为
判断函数可导性的步骤【微积分】
《判断函数在x=x。处可导性的步骤》 利用知识：左右导数。 本人正读高中，知能浅薄，自行探究，若有疏漏请见谅。 【第一步】~~将原函数化成当x ＜x。与x＞x。的"分段函数".（像y=x2这样，分段之后两个式子一样的也要写出来）； 【第二步】~~将这两个式字都化成两个等价的、可用公式方便地求导的式子.（若原本很完美就省略这步）； 【第三步】~~根据求导公式对每个式子进行求导。求导过程中，只着手式子，不用看定义域怎样。定义域照抄下来； 【第四步】 分类讨论···㈠若此时y′为常数，则比较y′左是否等于y′右······························?如果y′左=y′右=这个常数，则说y=f（x）在x=x。处可导····················?如果y′左≠y′右，则说y=f（x）在x=x。处不可导 ···㈡若此时y′为含x代数式，则看当把x=x。代入时有无意义··············?有意义，则代入x=x。后比较y′左与y′右·····①相同，可导②不相同，不可导···············?无意义，不可导。 【【例题演示】】 第一题 ··············判断y=｜X|在x=0处是否可导.·············· 【第一步】y=｜X|等价于y=-x x＜0 y=x x＞0 【第二步】省略 【第三步】y′=（｜X|）′等价于y′左= -1 x＜0 y′右= 1 x＞0 【第四步】 其为常数，又由于两个常数不等，即左右导数不等，所以y=｜X|在x=0处是否不可导。 第二题 ··············判断y=x2在x=0处是否可导····（X的平方）············ 【第一步】y=x2等价于 y=x2 x＜0 y=x2 x＞0
二元函数可微的充分条件(最终版)
元函数可微的充分条件（最终版） 肇教材的充分条件是这样的，z二f（x, y）的偏导数连续，则函数是可微的。条件可弱化为, z二f（x, y）偏导数存在，且其中一个偏导数连续，另一个偏导数单元连续（关于求导变元）则函数是可微的。 蒄多元函数关于某个变元连续，则称之为单元连续。 :z : z 莁证明：1 ）设连续，关于y单元连续。 ex dy 罿因为偏导数存在，函数对单个自变量是连续的，根据拉格朗日中值定理，有 ）=f （x,y） - f （x°,y） f （x°,y） - f （冷,y。）膀= f （x,y） - f （X o,y。 祎=f x （ ,ypx f y（x。，）：y （1） 肅在y, y0之间，?在x,x0之间。 （ ,y）在（X o，y。）连续，有f x（ ,y）二f x（X o，y。） 1 （2） 螀f x 羇i在x— x°,yr y。时是无穷小量。 羄f y（x0,）在y二y0关于y单元连续，有 ，）= f y（X o，y。）；2 （3） 蒄f y（x。 蒀；2在y— y0时是无穷小量。 羈将（2）（3）代入（1）有
n f x (X o ,y °) ：x f y (x o ,y °) y 1 ：x 八 袄可以证明 ? 2 y=o^： L X - t y ) 穷小量，即 Q 'X 亠 22L y=o C ； L X 2 ： i y 2) 蒅2）设’连续，‘关于 x 单元连续。 dy dx 芃因为偏导数存在，函数对单个自变量是连续的，根据拉格朗日中值定理，有 羁 z 二 f (x,y) - f (x °,y o ) = f(x,y) - f (x,y 。) f (x, y 。)- f (心 y 。) f y (x, ) y f x ( ,y 。)：x 袈.在y,y 。之间， 在x,x 。之间。 螂 f y （X,） 在（x 。, y 。）连续，有 f y （x,巴）=f y （x 。, y 。）+ ^1 （ 4） 螁i 在 x — x °,yr y 0 时是无穷小量。 羈f x （ ,y 。）在X =x 。关于x 单元连续， 有 羆 f x （ , y 。）= f x （x 。，y 。） ；2 （5） 膂；2在X — X 。时是无穷小量 0空丨"lx J^x 2 + 也y 2 一丨；i |+|刑 肀| ；」+|列是无穷小量，又两边夹准则, 1 ■ ：x^ Ay 2'是无穷小量，所以.Uy 2 是无 (3)
二元函数可微的充分条件(最终版)
二元函数可微的充分条件（最终版） 教材的充分条件是这样的，(,)z f x y = 的偏导数连续，则函数是可微的。条件可弱化为， (,)z f x y =偏导数存在， 且其中一个偏导数连续，另一个偏导数单元连续（关于求导变元），则函数是可微的。 多元函数关于某个变元连续，则称之为单元连续。 证明：1）设z x ?? 连续，z y ??关于y 单元连续。 因为偏导数存在，函数对单个自变量是连续的，根据拉格朗日中值定理，有 000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)z f x y f x y f x y f x y f x y f x y ?=-=-+- 0(,)(,)x y f y x f x y ξ?=?+? （1） ? 在0,y y 之间，ξ 在0,x x 之间。 (,)x f y ξ 在00(,)x y 连续，有001(,)(,)x x f y f x y ξε=+ （2） 1ε在00,x x y y →→ 时是无穷小量。 0(,)y f x ?在0y y = 关于y 单元连续， 有 0002(,)(,)y y f x f x y ?ε=+ （3） 2ε在0y y → 时是无穷小量。 将（2）（3）代入（1）有 000012(,)(,)x y z f x y x f x y y x y εε?=?+?+?+? 可以证明12x y εε?+? 120||+||εε≤≤ 12||+||εε 是无穷 小量，即12x y εε?+? 2）设z y ?? 连续，z x ??关于x 单元连续。 因为偏导数存在，函数对单个自变量是连续的，根据拉格朗日中值定理，有
000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)z f x y f x y f x y f x y f x y f x y ?=-=-+- 0(,)(,)y x f x y f y x ξ?=?+? （3） ξ 在0,y y 之间，? 在0,x x 之间。 (,)y f x ξ 在00(,)x y 连续，有001(,)(,)y y f x f x y ξε=+ （4） 1ε在00,x x y y →→ 时是无穷小量。 0(,)x f y ?在0x x =关于x 单元连续， 有 0002(,)(,)x x f y f x y ?ε=+ （5） 2ε在0x x → 时是无穷小量 将（4）（5）代入（3）有 000021(,)(,)x y z f x y x f x y y x y εε?=?+?+?+? 可以证明21x y εε?+? 120||+||εε≤≤ 12||+||εε 是无穷 小量，即21x y εε?+?
二元函数连续可微偏导之间的关系解读
一、引言 对于一元函数而言,函数y=f(x在点x0处连续、导数存在、可微这三个概念的关系是很清楚的,即可微一定连续,但连续不一定可微,可微和导数存在是等价的。对多元函数而言,由于偏导数的出现,使得他们之间的关系要复杂的多。下面以二元函数为例,探讨其在点(x0,y0处连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系。 二、二元函数连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系 1.可微与连续的关系 若函数f(x,y在点(x0,y0处可微,则在该点连续,但反之不成立(同一元函数。 证明:因为f(x,y在点(x0,y0处可微,因此有0≤f(x0+△x,y0+△y- f(x0,y0≤A△x+B△y+O(O→(△x→0,△y→0, 所以lim (△x,△y→(0,0 f(x0+△x,y0+△y=f(x0,y0,故f(x,y在 点(x0,y0处连续。反之不成立。 例1.f(x,y= x2y x2+y2 ,x2+y2≠0 0,x2+y2= $
在点(0,0处连续, 但在该点不可微。 2.偏导数存在与可微的关系 由定理17.1[1](可微的必要条件,函数f(x,y在点(x0,y0处可微,则f(x,y在点 (x0,y0的偏导数一定存在;但反之不成立,如例1中函数f(x,y在点(0,0处偏导数存在,但在此点不可微。 3.偏导数连续与可微的关系 由定理17.2[2](可微的充分条件知,函数f(x,y在点(x0,y0处偏导数连续,则f(x,y 在点(x0,y0处可微;但反之不成立, 例2.f(x,y=(x2+y2sin1 x2+y2 ,x2+y2≠0 0,x2+y2= % ’ ’ ’ & ’ ’
多元函数微分学及其应用归纳总结
第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？
例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? （相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）
二元函数可微的充分条件(最终版)
精品文档 二元函数可微的充分条件(最终版) 教材的充分条件是这样的，z f(x, y)的偏导数连续，则函数是可微的。条件可弱化为， z f(x, y)偏导数存在，且其中一个偏导数连续，另一个偏导数单元连续(关于求导变元)，则函数是可微的。 多元函数关于某个变元连续，则称之为单元连续。 证明：1)设—连续，-5关于y单元连续。 x y 因为偏导数存在，函数对单个自变量是连续的，根据拉格朗日中值定理，有 z f (x,y) f (X o, y o) f(x,y) f(x°,y) f(x°, y) f(x°,y°) f x ( ,y) x f y(x o，) y ( 1) 在y, y o之间，在x,x o之间。 f x(，y)在(x o, y o)连续，有f x( , y) f x(x°,y°) 1 (2) i在x X o,y y o时是无穷小量。 f y(x o,)在y y o关于y单元连续，有 f y(x o, ) f y(x o, y o) 2 (3) 2在y y o时是无穷小量。 将(2)( 3)代入(1)有 z f x (x o, y o) x f y(x°,y°) y 1 X 2 y 可以证明1 x 2 y=o(〔x2 y2) o 11 x22 y1 111+121 .x y | 11+| 2I是无穷小量，又两边夹准则，1 1 : 2=^ 是无穷小量，所以1 X? 2丰是无穷 V x2y2V x2y2 小量，即1 x 2 y=oC x2y2) 2)设-连续，—关于x单元连续。 y x
因为偏导数存在，函数对单个自变量是连续的，根据拉格朗日中值定理，有
(整理)多元函数的极限与连续习题
多元函数的极限与连续习题 1. 用极限定义证明:14)23(lim 1 2=+→→y x y x 。 2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。 （1）y x y x y x f +-=),(； (2) y x y x y x f 1s i n 1s i n )(),(+=； (3) y x y x y x f ++=23 3),(； (4) x y y x f 1 s i n ),(=。 3. 求极限 （1）2 20 ) (lim 22 y x x y x y +→→； （2）1 1lim 2 2 220 0-+++→→y x y x y x ； （3）2 20 01 sin )(lim y x y x y x ++→→； （4）22220 0) sin(lim y x y x y x ++→→。 4. 试证明函数?? ???=≠+=0 0)1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上是连续的。
1. 用极限定义证明:14)23(lim 2 1 2=+→→y x y x 。 因为1,2→→y x ，不妨设0|1|,0|2|<-<-y x ， 有54|2||42||2|<+-≤+-=+x x x ， |22123||1423|2 2 -+-=-+y x y x |1|2|2|15|1|2|2||2|3-+-<-++-≤y x y x x |]1||2[|15-+-
函数的可导性与连续性的关系教案汇总
函数的可导性与连续性的关系教案 教学目的 1．使学生理解函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件． 2．使学生了解左导数和右导数的概念． 教学重点和难点 掌握函数的可导性与连续性的关系． 教学过程 一、复习提问 1．导数的定义是什么？ 2．函数在点x0处连续的定义是什么？ 在学生回答定义基础上，教师进一步强调函数f(x)在点x=x0处连续必须具备以
∴f(x)在点x0处连续． 综合(1)(2)原命题得证． 在复习以上三个问题基础上，直接提出本节课题．先由学生回答函数的可导性与连续性的关系． 二、新课 1．如果函数f(x)在点x0处可导，那么f(x)在点x0处连续．
∴f(x)在点x0处连续． 提问：一个函数f(x)在某一点处连续，那么f(x)在点x0处一定可导吗？为什么？若不可导，举例说明． 如果函数f(x)在点x0处连续，那么f(x)在该点不一定可导． 例如：函数y=|x|在点x＝0处连续，但在点x=0处不可导．从图2－3看出，曲线y ＝f(x)在点O(0，0)处没有切线． 证明：(1)∵Δy=f(0＋Δx)－f(0)＝|0＋Δx|－|0|=|Δx|， ∴函数y=|x|在点x0处是连续的．
2．左导数与右导数的概念． (2)左、右导数存在且相等是导数存在的充要条件(利用左右极限存在且相等是极限存在的充要条件，可以加以证明，本节不证明)． (3)函数在一个闭区间上可导的定义． 如果函数y=f(x)在开区间(a，b)内可导，在左端点x＝a处存在右导数，在右端点x ＝b处存在左导数，我们就说函数f(x)在闭区间[a，b]上可导． 三、小结 1．函数f(x)在x0处有定义是f(x)在x0处连续的必要而不充分条件． 2．函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0处有极限的充分而不必要条件． 3．函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0处可导的必要而不充分的条件． 四、布置作业
多元函数的可微性
摘要 对于多元函数的连续性，偏导存在性，可微性等概念和它们之间因果关系的研究是多元微分学中的一个难点.此文在分别给出了一系列关于多元函数可微、连续，偏导存在的定理之后，本文主要以二元函数为例，通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间的关系进行了一些研究.多元函数微分学和一元微分学相比，虽然多元微分学有许多和一元微分学情形相似，但多元函数确也有不少质的飞跃，而从二元到三元以上的函数，则只有技复杂程度上的差别，而无本质上的不同.学习多元微分学就要抓住这两个特点，我们要看到它们的相同之处，又要分清它们不同之处. 关键词 连续性偏导存在性可微性 Abstract For continuous multivariate function, the existence of partial derivation, differentiability of concept and Research on the causal relationship between them, is a difficult problem in multivariate differential science. In this paper respectively gives a series on the differentiability of multivariate function, can be partial to guide, after the continuous theorem, mainly two unary as a function of example, through concrete examples for some discussion on the relations of several important concepts of differential calculus of differential calculus. And compared, although there are many multivariate differential calculus and differential calculus similar, but a function of many qualitative leap has multiple functions, and from two unary to three unary, function above, only the skills of the differences, but not essentially different. Study of differential calculus to seize these two characteristics, only to see their similarities, pay attention to different points again. Keywords Continuity the existence of partial derivation differentiability 内蒙古财经学院本科毕业论文 多元函数的可微性 作者姚淑艳 系别统计与数学学院 专业数学与应用数学 年级 09 级 学号 902091125 指导教师王君
二元函数的极限及其连续性
二元函数的极限及其连续性 在一元函数中，我们曾学习过当自变量趋向于有限值时函数的极限。对于二元函数z=f(x,y)我们同样可以学习当自变量x与y趋向于有限值ξ与η时，函数z的变化状态。 在平面xOy上，(x,y)趋向(ξ,η)的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。如果当点(x,y)以任意方式趋向点(ξ,η)时，f(x,y)总是趋向于一个确定的常数A， 那末就称A是二元函数f(x,y)当(x,y)→(ξ,η)时的极限。 这种极限通常称为二重极限。 下面我们用ε-δ语言给出二重极限的严格定义： 二重极限的定义 如果定义于(ξ,η)的某一去心邻域的一个二元函数f(x,y)跟一个确定的常数A有如下关系：对于任意给定的正数ε，无论怎样小，相应的必有另一个正数δ，凡是满足 的一切(x,y)都使不等式 成立， 那末常数A称为函数f(x,y)当(x,y)→(ξ,η)时的二重极限。 正像一元函数的极限一样，二重极限也有类似的运算法则： 二重极限的运算法则 如果当（x,y)→(ξ,η)时，f(x,y)→A，g(x,y)→B. 那末(1)：f(x,y)±g(x,y)→A±B； (2)：f(x,y).g(x,y)→A.B； (3)：f(x,y)/g(x,y)→A/B；其中B≠0 像一元函数一样，我们可以利用二重极限来给出二元函数连续的定义： 二元函数的连续性 如果当点(x,y)趋向点(x0,y0)时，函数f(x,y)的二重极限等于f(x,y)在点(x0,y0)处
的函数值f(x0,y0)，那末称函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续.如果f(x,y)在区域D的每一点都连续，那末称它在区域D连续。 如果函数z=f(x,y)在(x0,y0)不满足连续的定义，那末我们就称(x0,y0)是f(x,y)的一个间断点。 关于二元函数间断的问题 二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似，但是二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点，还有间断线。 二元连续函数的和，差，积，商(分母不为零）和复合函数仍是连续函数。 例题：求下面函数的间断线 解答：x=0与y=0都是函数的间断线。
浅析如何利用可导充要条件判断函数的可导性
版权所有 翻印必究 https://www.docsj.com/doc/c37096402.html,/1浅析如何利用可导充要条件判断函数的可导性 导数的定义以及应用一直是我们考研数学考试的一个重点，而且微分学这块的题相对于积分学还是比较简单的，属于我们相对容易拿分的一个点，所以对于导数的考察，我们应该尽可能的把这块的分拿到，为了更清楚深刻的理解导数，我们今天主要先来了解一下函数的可导性，以及如何判断函数是否可导。 1、函数在一点的导数 设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义，给自变量x 在0x 处加上增量x ?，相应的得到因变量y 的增量00()()y f x x f x ?=+?-.如果极限 0000()()lim lim x x f x x f x y x x ?→?→+?-?=??存在，则称函数在0x 处可导，该极限值称为函数在0x 处的导数，记作''00(),()f x y x 或0|x x dy dx =.导数的定义式还可以写成0'000 ()()()lim x x f x f x f x x x →-=-.导数的本质是极限，检验一个函数在一点是否可导或需要计算其导数时，最本质的方法就是计算极限000()()lim x f x x f x x ?→+?-?或000()()lim x x f x f x x x →--.从这里我们可以知道，判断一个函数是否可导，只需判断该极限是否存在即可。 2、函数可导的充要条件 因此函数可导的充要条件是极限000()()lim x f x x f x x ?→+?-?存在，该定义式我们可以做如下推广：因为我们只需要判断出函数是否可导，而对导数是谁没有要求，所以，不一定要求增量与分母是完全一样的，只需要分子的增量与分母是同阶即可。 3、判断函数的可导性 这里需要注意一点，用函数可导的充条件判断函数可导性的时候，注意在已有的极限过程中，增量的表示应该是可正可负的，从而保证左右导数都存在，进而说明函数是可导的。 以上是我们函数可导的充要条件以及函数可导性的判断，核心一点还是导数的定义式,只不过我们对定义式做了一个推广，这点需要理解，其次判断函数可导性的时候，注意增量应该是可正可负的。 最后，祝大家考研顺利，金榜题名！
二元函数的连续性
§3 二元函数的连续性 (一) 教学目的： 掌握二元函数的连续性的定义，以及多元函数的局部性质和它们在有界闭域上的整体性质． (二) 教学内容：二元函数的连续性的定义；有界闭域上连续函数的有界性，最大最小值定 理，介值性定理和一致连续性． 基本要求： (1) 掌握二元函数的连续性的定义，了解有界闭域上连续函数的性质． (2) 较高要求：掌握有界闭域上连续函数性质的证明要点． (三) 教学建议： (1) 有界闭域上多元连续函数的性质基本上与一元函数的情况类似，教学中可通过复习一元连续函数的定理引出．对较好学生，可布置一些与有界闭域上多元连续函数的性质有关的习题 —————————————————————— 一． 二元函数的连续概念 由一元函数连续概念引入 . 定义（用“δε-”定义二元函数连续） 设函数),(y x f 为定义在点集2R D ?上的二元函数，D P ∈0（它或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点），若对0,0>?>?δε，使 得当 D P U P );(0δ∈时，都有 ε<-|)()(|0P f P f 则称),(y x f 关于集合D 在0P 点连续，简称0P f 在点连续。 若函数D f 在上任何点都连续，则称D f 为上的连续函数。 由连续定义，若0P 是D 的孤立点，则0P 必定是f 关于集合D 的连续点；若0P 是D 的聚点，则f 关于集合D 在0P 连续等价于 )()(lim 00 P f P f D P P P =∈→ 如果0P 是D 的聚点，而上式不成立，则称f 关于集合D 在0P 不连续（或间断点）。特别 )()(lim 00 P f A P f D P P P ≠=∈→时，称0P 是f 的可去间断点。