湍流理论发展概述

湍流理论发展概述

一、湍流模型的研究背景

自然环境和工程装置中的流动常常是湍流流动，模拟任何实际过程首先遇到的就是湍流问题，而湍流问题本身又是流体力学理论上的难题。对于某些简单的均匀时均流场，如果湍流脉动是各向均匀及各向同性的，可以用经典的统计理论来分析，但实际上的湍流往往是不均匀的，这就给理论分析带来了极困难。这也就引发了对湍流过程进行模拟的想法。

对湍流最根本的模拟方法是在湍流尺度的网格尺寸求解瞬态的三维N-S方程的全模拟方法，此时无需引进任何模型。然而由于计算方法及计算机运算水平的限制，该种方法不易实现。另一种要求稍低的方法是亚网格尺寸度模拟即大涡模拟（LES），也是由N-S方程出发，其网格尺寸比湍流尺度大，可以模拟湍流发展过程的一些细节，但由于计算量仍然很大，只能模拟一些简单的情况，直接应用于实际的工程问题也存在很多问题[1]。目前数值模拟主要有三种方法：1.平均N-S方程的求解，2.大涡模拟（LES），3.直接数值模拟（DNS），而模拟的前提是建立合适的湍流模型。

所谓的湍流模型，就是以雷诺平均运动方程与脉动运动方程为基础，依靠理论与经验的结合，引进一系列模型假设，而建立起的一组描写湍流平均量的封闭方程组。目前常用的湍流模型可根据所采用的微分方程数进行分类为：零方程模型、一方程模型、两方程模型、四方程模型、七方程模型等。对于简单流动而言，一般随着方程数的增多，精度也越高，计算量也越大、收敛性也越差。但是，对于复杂的湍流运动，则不一定。湍流模型可根据微分方程的个数分为零方程模型、一方程模型、二方程模型和多方程模型。这里所说的微分方程是指除了时均N-S 方程外，还要增加其他方程才能是方程封闭，增加多少个方程，则该模型就被成为多少个模型。

二、基本湍流模型

常用的湍流模型有：

零方程模型：C-S模型，由Cebeci-Smith给出；B-L模型，由Baldwin-Lomax 给出。

一方程模型：来源由两种，一种从经验和量纲分析出发，针对简单流动逐步发展起来，如Spalart-Allmaras(S-A)模型；另一种由二方程模型简化而来，如Baldwin-Barth(B-B)模型。

二方程模型：应用比较广泛的两方程模型有Jones 与Launder 提出的标准k-e 模型，以及k-omega 模型。

下面仅针对有代表性的模型进行论述：

1、零方程模型

上世纪30年代发展的一系列湍流的半经验理论，如Prandtl 的混合长度理论、Taylor 的涡量输运理论、von Karman 的相似性理论等，本质上即是零方程湍流模型。零方程模型直接建立雷诺应力与平均速度之间的代数关系，由于不涉及代数关系故称为另方程模型：

''m u u v y

ρρε?-=? 其中m ε称为涡粘系数，他与分子的运动粘性系数ν有相同的量级。对于一般的三维的情况，上式可写为：

''

223

i j m ij ij u v S K ρεδ-=- K 为单位质量的湍流脉动动能。为了发展上述方法，需要建立m ε与平均速度之间的关系。1925年，普朗特沿这一方向做了重要工作，提出可混合长度理论，混合长度理论认为，存在这样的长度l ,在此长度流体质点运动是自由的（不与其他质点相遇），我们把这样的l 称为混合长度[2]。由于湍流漩涡的作用，流体微团就爱那个上下跳动，由于微团的流向速度不会立即改变，到达新位置后他会低于当地周围的平均速度，此即流向脉动速度'10()()u U y U y ≈-，显然，此速度差取决于当地的平均速度梯度U y ??与微团沿y 向跳动的距离l ,即：

'U u l y

?≈? 此l 称为混合长度，他表示这样的距离，在此距离微团沿y 向跳动时基本不丧失其原有速度。实际测量表明，虽然一般情况下流向的脉动速度的均方根值大于法向值，但他们有相同的量级，因此有：

'U v l y

?≈? 所以有：

''2u u u v l y y

ρρ??-=??

由此可算出涡粘性系数为：

2m u l y

ε?=? 由此可见，若假设l 不随速度变化，则可得出湍流切应力与平均速度平方成比例，这与实验结果是一致的。

混合长度理论已成功的用于研究多种湍流剪切流，如流管、边界层和各种湍流剪切流。

目前应用最广泛的零方程模型是Baldwim-Lomax 模型[3]

，该模型对湍流边界层的层和外层采用不同的混合长度假设，在流体分离不严重的流场计算中结果较好。事实上，零方程湍流模型仅适用于局部平衡状态的湍流流动。

2,、一方程模型

单方程模型一般求解湍流动能或涡粘性系数的输运方程，精度较好，鲁棒性也比较好，其中B-B 模型和S-A 模型是单方程模型中的优秀代表。特别是S-A 模型，从经验和量纲分析出发得出了涡粘性系数的输运方程，采用大量的实验结果标定模型系数，具有良好的鲁棒性和计算准确性，目前已经被集成在各种商业软件和科学计算的代码中，在航空航天领域空气动力学计算中得到了十分广泛的应用。

S-A 湍流模型是个一方程模型。它常被认为是B-L 代数模型和两方程模型之间的桥梁。由于其容错功能好，处理复杂流动的能力强，S-A 模型已得到广泛应用。S-A 模型与B-L 模型相比，其湍流涡粘场是连续的。S-A 模型优于 模型之处在于其容错性好，计算量少。该湍流的原理是建立在一个附加的涡粘输运方程的解决上。方程中包含对流项，扩散项和源项，以非守恒形式建立。S-A 模型不同于其他一些单方程模型，不是从 方程经过简化得到的，而是直接根据经验和量纲分析，从简单流动开始，直接得到最终的控制方程。该模型具有一些很好的特点，相对于两方程模型计算量小和稳定性好，同时又有较高的精度。由于模型方程的因变量函数在对数律区与到壁面的距离成线性关系，所以可以使用相对与低雷诺数模型较粗的网格。另外，模型是非当地型的，方程中没有诸如y+这类当地型的项在，所以在有多个物理面的复杂流场中不需要特殊处理，使用方便。

3、两方程模型

上世纪70年代，Launder 发展的k-ε模型被称为标准k-ε模型，它求解湍流动能k 及湍流动能耗散率ε的输运方程，能够反映一定的湍流物理量的输运特性，是两方程湍流模型的先驱性工作。之后研究人员又发展了重整化群k-ε (RNG k-ε)模型、可实现性k-ε模型等，进一步强化k-ε系列模型的计算性能。另外一个系列的两方程模型为-k ω模型系列，其中比较有代表性的有标准-k ω模型和SST -k ω模型。一般来说，k-ε模型对高Re 数充分发展的湍流模拟结果较好，而-k ω模型改进了k-ε模型对受壁面影响湍流模拟的缺陷，对壁面附近的湍流模拟精度较高。

k-ε模型

在湍流模型的发展过程中逐渐形成了零方程模型、一方程模型和两方程模型，由于使用的局限性零方程模型和一方程模型很难应用于工程实际。目前两方程模型在工程中使用最为广泛，最基本的两方程模型是k-ε模型，即分别引入关于湍动能k 和耗散率ε的方程：

()()()e k k b k k k k

k k u k G G t x x x μρρρεσ????+=++-???? 12()()()()e k k k k k k u c G c t x x x k

εμρεερερεσ????+=+-???? 式中：

222[2()2()()]k t u v u v G x y y x

μ????=+++???? ()t t b x y t t T T G g g x y

μμβρσσ??=-+?? e t μμμ=+ 2

t k C μμρ

ε=

模型中各通用常数据计算经验可取为：

120.09, 1.44, 1.92,1, 1.3k C c c εμσσ===== 标准K-ε模型特性[4]：

可用于边界层型流动和分离流；近壁需修正或在计算边界上用壁函数（半经验公式）作边界条件；属于涡粘模型；ε方程模化不确定因素多，可靠性差；模型常数通用性差；不能模拟强各向异性流（如矩形槽道中的二次流）；不能计入涡量的影响。

除此之外还有各种改进的k ε-模型，比较著名的是RNG k ε-模型和带旋流修正的k ε-模型。

k-ω模型

标准-k ω模型是基于Wilcox -k ω模型，它是为考虑低雷诺数、可压缩性和剪切流传播而修改的。Wilcox -k ω模型预测了自由剪切流传播速率，像尾流、混合流动、平板绕流、圆柱绕流和放射状喷射，因而可以应用于墙壁束缚流动和自由剪切流动。标准k ε-模型的一个变形是SST -k ω模型。

SST -k ω模型由Menter 发展，以便使得在广泛的领域中可以独立于-k ω模型，使得在近壁自由流中-k ω模型有广泛的应用围和精度。为了达到此日的，-k ε模型变成了-k ω公式。SST -k ω模型和标准-k ω模型相似，但有以下改进：

（1）SST -k ω模型是由标准的-k ω模型和变形的-k ε模型分别乘上一个混合函数相加得到的，在近壁面混合函数将为1，此时启用标准-k ω模型，在远壁面，混合函数将为0，此时启用变形的-k ε模型。（2）SST -k ω模型合并了来源于方程中的交叉扩散。（3）湍流粘度考虑到了湍流剪应力的传播。（4）模型常量不同。这些改进使得SST -k ω模型比标准-k ω模型在在广泛的流动中有更高的精度和可信性。

由Fluent 提供的SST -k ω模型更适合对流减压区的计算。另外它还考虑了正交发散项从而使方程在近壁面和远壁面都适合。

SST -k ω模型[5]：

k ()()()i k k i j j

k k ku G Y t x x x ρρ????+=Γ+-???? ()()()i i j j

u G Y D t x x x ωωωωωρωρω????+=Γ+-+????

式中：k G ——由层流速度梯度而产生的湍流动能；

k ωΓΓ和——K 和ω的扩散率；

k ωΓΓ和——K 和ω的扩散率；

k Y Y ω和—— K 和ω的发散项；

D ω——正交发散项。

4、其他模型