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2018年上海高考理科数学试题解析范文

2014年全国普通高等学校招生统一考试

上海数学试卷(理工农医类)

考生注意：

1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分. 考试时间120分钟.

2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.

3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1. 函数2

12cos (2)y x =-的最小正周期是 . 【解析】：原式＝cos 4x -，242

T ππ

= 2. 若复数12z i =+，其中i 是虚数单位，则1z z z ?

+?= ???

. 【解析】：原式＝2

11516z z z ?+=+=+=

3. 若抛物线2

2y px =的焦点与椭圆

195

x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 .

【解析】：椭圆右焦点为(2,0)，即抛物线焦点，所以准线方程2x =-

4. 设2,(,),(),[,).x x a f x x x a ∈-∞?=?∈+∞?

若(2)4f =，则a 的取值范围为 .

【解析】：根据题意，2[,)a ∈+∞，∴2a ≤

5. 若实数,x y 满足1xy =，则22

2x y +的最小值为 .

【解析】：2222x y x +≥?=

6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为（结果用反三角函数值表示）.

【解析】：设圆锥母线长为R ，底面圆半径为r ，∵3S S =侧底，∴2

3r R r ππ??=?，即

3R r =，∴1cos 3θ=

，即母线与底面夹角大小为1

arccos 3

7. 已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=，则C 与极轴的交点到极点的距离

是 .

【解析】：曲线C 的直角坐标方程为341x y -=，与x 轴的交点为1

(,0)3，到原点距离为13

8. 设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞

=++

+，则q = .

【解析】

：22311110112

a a q a q q q q q -==?+-=?=

--，∵01q <<，

∴12q = 9. 若2

()f x x x

-=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是 .

【解析】：213

()0f x x x -

10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）. 【解析】：3

1081

P C =

= 11. 已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}

,,a b a b =，则a b += .

【解析】：第一种情况：22

,a a b b ==，∵0ab ≠，∴1a b ==，与已知条件矛盾，不符；第二种情况：22,a b b a ==，∴4

1a a a =?=，∴2

10a a ++=，即1a b +=-； 12. 设常数a

使方程sin cos x x a =在闭区间[0,2]π上恰有三个解123,,x x x ，则

123x x x ++= .

【解析】：化简得2sin()3

x a π

，根据下图，当且仅当a =

即1237023

x x x π

π++=+

13. 某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分. 若() 4.2E ξ=，

P 2

P 5

P 6

P 7

P 8

P 4

P 3

P 1

则小白得5分的概率至少为 .

【解析】：设得i 分的概率为i p ，∴123452345 4.2p p p p p ++++=，

且123451p p p p p ++++=，∴12345444444p p p p p ++++=，与前式相减得：

1235320.2p p p p ---+=，∵0i p ≥，∴1235532p p p p p ---+≤，即50.2p ≥

14.

已知曲线:C x =，直线:6l x =. 若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上

的Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 . 【解析】：根据题意，A 是PQ 中点，即6

P Q

P x x x m ++=

，∵20P x -≤≤，∴[2,3]m ∈

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（）

(A) 充分条件.

(B) 必要条件.

(D) 既非充分又非必要条件.

【解析】：B

16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB

是一条侧棱，(1,2,

,8)i P i = 是上底面上其余的

八个点，则(1, 2, , 8)i AB AP i ?=的不同值的个

数为（） (A) 1. (B) 2. (C) 4.

(D) 8.

【解析】：根据向量数量积的几何意义，i AB AP ?等于AB 乘以i AP 在AB 方向上的投影，而i AP 在AB 方向上的投影是定值，AB 也是定值，∴i AB AP ?为定值1，∴选A

17. 已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1

y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组11221,

a x

b y a x b y +=??

+=?的解的情况是（）

(A) 无论12,,k P P 如何，总是无解. (B) 无论12,,k P P 如何，总有唯一解. (C) 存在12,,k P P ，使之恰有两解.

(D) 存在12,,k P P ，使之有无穷多解.

【解析】：由已知条件111b ka =+，221b ka =+，

122122

a b D a b a b a b =

=-122112(1)(1)0a ka a ka a a =+-+=-≠，∴有唯一解，选B 18. 设2(),0,()1

,0.

x a x f x x a x x ?-≤?

=?++>??

若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（） (A) [1,2]-.

(B) [1,0]-.

(D) [0,2].

【解析】：先分析0x ≤的情况，是一个对称轴为x a =的二次函数，当0a <时，

min ()()(0)f x f a f =≠，

不符合题意，排除AB 选项；当0a =时，根据图像min ()(0)f x f =，即0a =符合题意，排除C 选项；∴选D ；

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19. (本题满分12分)

底面边长为2的正三棱锥-P ABC ，其表面展开图是三角形123PP P ，如图. 求123PP P △的各边长及此三棱锥的体积V .

【解析】：根据题意可得12,,P B P 共线，

∵112ABP BAP CBP ∠=∠=∠，

60ABC ∠=?， ∴11260ABP BAP CBP ∠=∠=∠=?，∴160P ∠=?，同理2360P P ∠=∠=?，

∴△123PP P 是等边三角形，P ABC -是正四面体，所以△123PP P 边长为4；

∴3123

V AB ==

20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

设常数0a ≥，函数2()2x x a

f x a

+=-.

P 1

(1) 若4a =，求函数()y f x =的反函数1

()y f x -=；

(2) 根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由.

【解析】：（1）∵4a =，∴24()24x x f x y +==-，∴4421x y y +=-，∴244

log 1

y x y +=-， ∴1

()log 1

x y f

x x -+==-，(,1)(1,)x ∈-∞-?+∞ （2）若()f x 为偶函数，则()()f x f x =-，∴2222x x x x a a

a a

--++=--，

整理得(22)0x x a --=，∴0a =，此时为偶函数

若()f x 为奇函数，则()()f x f x =--，∴2222x x x x a a

a a

--++=---，整理得2

10a -=，∵0a ≥，∴1a =，此时为奇函数

当(0,1)(1,)a ∈?+∞时，此时()f x 既非奇函数也非偶函数

21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点

C 处建造广告牌C

D ，其中D 为顶端，AC 长35

米，CB 长80米. 设点A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.

(1) 设计中CD 是铅垂方向. 若要求

2αβ≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？

(2) 施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差．现在实测得38.12α=?，18.45β=?，求CD

的长（结果精确到0.01米）.

【解析】：（1）设CD 的长为x 米，则tan ,tan 3580x x αβ=

=，∵202

αβ>≥>， ∴tan tan 2αβ≥，∴22tan tan 1tan βαβ≥-，∴22

1608035640016400

x x x x x ≥

=--

，

解得028.28x <≤，∴CD 的长至多为28.28米

（2）设,,DB a DA b DC m ===，180123.43ADB αβ∠=?--=?，则

sin sin a AB ADB α=∠，解得115sin 38.1285.06sin123.43a ?

=≈?

，

∴26.93m ≈，∴CD 的长为26.93米

22. (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.

在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c ++=和点111222(,),(,)

P x y P x y ，记1122()()ax by c ax by c η=++++. 若0η<，则称点12,P P 被直线l 分割. 若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分割，则称直线l 为曲线

C 的一条分割线.

(1) 求证：点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分割；

(2) 若直线y kx =是曲线2241x y -=的分割线，求实数k 的取值范围；

(3) 动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E . 求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.

【解析】：（1）将(1,2),(1,0)A B -分别代入1x y +-，得(121)(11)40+-?--=-< ∴点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分割

（2）联立2241x y y kx

?-=?=?，得22(14)1k x -=，依题意，方程无解，

∴2

140k -≤，∴12k ≤-

或12

k ≥

（3）设(,)M x y 1=，

∴曲线E 的方程为222[(2)]1x y x +-= ①

当斜率不存在时，直线0x =，显然与方程①联立无解，又12(1,2),(1,2)P P -为E 上两点，且代入0x =，有10η=-<， ∴0x =是一条分割线；

当斜率存在时，设直线为y kx =，代入方程得：2432(1)4410k x kx x +-+-=，

令2432

()(1)441f x k x kx x =+-+-，则(0)1f =-，

22(1)143(2)f k k k =+-+=-，22(1)143(2)f k k k -=+++=+，

当2k ≠时，(1)0f >，∴(0)(1)0f f <，即()0f x =在(0,1)之间存在实根， ∴y kx =与曲线E 有公共点

当2k =时，(0)(1)0f f -<，即()0f x =在(1,0)-之间存在实根， ∴y kx =与曲线E 有公共点

∴直线y kx =与曲线E 始终有公共点，∴不是分割线，

综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线0x =是E 的分割线

23. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分.

已知数列{}n a 满足1133

n n n a a a +≤≤，*

n ∈N ，11a =.

(1) 若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围； (2) 设{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++. 若1133

n n n S S S +≤≤，*

n ∈N ，

求q 的取值范围； (3) 若12,,

,k a a a 成等差数列，且121000k a a a ++

+=，求正整数k 的最大值，以及

k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.

【解析】：（1）依题意，232133

a a a ≤≤，∴

263x ≤≤，又3431

a a a ≤≤，∴327x ≤≤，综上可得36x ≤≤；

（2）由已知得1n n a q -=，又121133

a a a ≤≤，∴1

q ≤≤ 当1q =时，n S n =，

1133n n n S S S +≤≤，即133

n n ≤+≤，成立当13q <≤时，11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤，即11111

3111n n n q q q q q q +---≤≤---

， ∴111

331n n q q +-≤≤-，此不等式即11

320320

n n n n

q q q q ++?--≥?-+≤?，∵1q >， ∴1

32(31)2220n n n n q

q q q q +--=-->->，

对于不等式1

320n n q

q +-+≤，令1n =，得2320q q -+≤，解得12q ≤≤，

又当12q <≤时，30q -<，

∴1

32(3)2(3)2(1)(2)0n n n q

q q q q q q q +-+=-+≤-+=--≤成立，

∴12q <≤

当113q ≤<时，11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤，即1111133111n n n q q q q q q +---≤≤---

，

即11320320

n n n n

q q q q ++?--≤?-+≥?，310,30q q ->-< ∵132(31)2220n n n n q q q q q +--=--<-<

132(3)2(3)2(1)(2)0n n n q q q q q q q q +-+=-+≥-+=-->

∴

q ≤<时，不等式恒成立综上，q 的取值范围为1

q ≤≤

（3）设公差为d ，显然，当1000,0k d ==时，是一组符合题意的解， ∴max 1000k ≥，则由已知得1(2)1(1)3[1(2)]3

k d

k d k d +-≤+-≤+-，

∴(21)2(25)2

k d k d -≥-??

-≥-?，当1000k ≥时，不等式即22

,2125d d k k ≥-≥---， ∴221d k ≥-

-，12(1) (10002)

k k k d

a a a k -+++=+

=， ∴1000k ≥时，200022

(1)21

k d k k k -=

≥---，

解得10001000k ≤1999k ≤， ∴k 的最大值为1999，此时公差2000219981

(1)199919981999

k d k k -=

=-=--?