幂的乘方
14.1.2幂的乘方
教学目标
知识与技能：熟记幂的乘方的运算法则，知道幂的乘方性质是根据乘方的童义和同底数幂的乘法性质推导出来的.
过程与方法：能熟练地进行幂的乘方的运算.
情感态度与价值观:在双向应用幂的乘方运算公式中，培养学生思维的灵活性.理解幂的乘方的意义，掌握幂的乘方法则.
教学重点、难点
注意与同底数幂的乘法的区别.
教学过程
一、复习活动.
1．如果—个正方体的棱长为16厘米，即42厘米，那么它的体积是多少?
2．计算： (1)a4·a4·a4； (2)x3·x3·x3·x3.
3．你会计算(a4)3与(x3)5吗?
二、新授.
1．x3表示什么意义? 2．如果把x换成a4，那么(a4)3表示什么意义?
3．怎样把a2·a2·a2·a2＝a2＋2＋2＋2写成比较简单的形式? 4．由此你会计算(a4)5吗? 5．根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空.
(1) (23)2＝23×23＝2( )； (2) (32)3＝( )×( )×( )＝3( )；
(3) (a3)5＝a3×( )×( )×( )×( )＝a( ).
6．用同样的方法计算：(a3)4；(a11)9；(b3)n(n为正整数).
这几道题学生都不难做出，在处理这类问题时，关键是如何得出3＋3＋ 3＋3＝12，教师应多举几例.
教师应指出这样处理既麻烦，又容易出错.此时应让学生思考，有没有简捷的方法?引导学生认真思考，并得到：
(23)2＝23×2＝26； (32)3＝32×3＝36； (a11)9＝a11×9＝a99 (b3)n＝b3×n＝b3n
(现察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数，猜想它们之间有什么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?)
怎样说明你的猜想是正确的?
即(a m)n＝a m·a n(m、n是正整数).
这就是幂的乘方法则. 你能用语言叙述这个法则吗? 幂的乘方，底数不变，指数相乘.
三、举例及应用.
1.例1 计算：
(1) (103)5； (2)(b3)4.
解（1）（105）5＝103×5＝1015． (2)（b3）4＝b3×4＝b12．
2．练习.课本第97页练习题.
3．例2 下列计算过程是否正确?
(1)x2·x6·x3＋x5·x4·x＝x ll＋x10＝x2l. (2)(x4)2＋(x5)3＝x8＋x15＝x23
(3) a2·a·a5＋a3·a2·a3＝a8＋a8＝2a8. (4)(a2)3＋a3·a3＝a6＋a6＝2a6.
说明.
(1)要让学生指出题中的错误并改正，通过解题进一步明确算理，避免公式用错.
(2)进一步要求学生比较“同底数幂的乘法法则”与“幂的乘方法则”的区别与联系. 4．练习.
5．例3 填空.
(1) a12＝(a3)( )＝(a2)( )＝a3·a( )＝(a( ))2；
(2) 93＝3( )； (3) 32×9n＝32×3( )＝3( ).
(此题要求学生会逆用幂的乘方和同底数幂的乘法公式，灵活、简捷地解题.)
四、巩固练习. 补充习题.
五、课堂小结.
1．(a m)n＝a m·n(m、n是正整数)，这里的底数a，可以是数、是字母、也可以是代数式；这里的指数是指幂指数及乘方的指数.
2．对于同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项这三个法则，要理解它们的联系与区别.在利用法则解题时，要正确选用法则，防止相互之间发生混淆(如：a m·a n＝a mn(a m)n＝a m ＋n).并逐步培养自己“以理驭算”的良好运算习惯.
六、布置作业. 小题单
幂的乘方和积的乘方练习题目大全
幂的乘方和积的乘方、除法一部分 一．选择题（共4小题） 1．（2016?重庆模拟）计算：（﹣a2）3（） A．a6B．﹣a6C．a5D．﹣a5 2．（2015?南京）计算（﹣xy3）2的结果是（） A．x2y6B．﹣x2y6C．x2y9D．﹣x2y9 3．（2015?潜江）计算（﹣2a2b）3的结果是（） A．﹣6a6b3B．﹣8a6b3C．8a6b3D．﹣8a5b3 4．（2015?大连）计算（﹣3x）2的结果是（） A．6x2B．﹣6x2C．9x2D．﹣9x2 二．填空题（共16小题） 5．（2015?黄浦区二模）计算：（a2）2=． 6．（2015?红桥区一模）计算（a2）3的结果等于． 7．（2015秋?江汉区期末）（﹣2x2）2=． 8．（2015秋?巴中期中）计算：①（﹣a）2?（﹣a）3=； ②（﹣3x2）3=． 9．（2015春?江阴市校级期中）计算：（﹣2xy）3=． 10．（2015春?苏州校级期中）计算（﹣2xy3）2=． 11．（2015秋?保亭县校级月考）计算：（1）a?a3=；（2）（﹣2x2）3=．12．（2015春?南京校级月考）（﹣ab3）2=，（x+y）?（x+y）4=．13．（2014?清河区一模）计算：（2x2）3=． 14．（2014?汉沽区一模）计算（2ab2）3的结果等于． 15．（2016春?耒阳市校级月考）（x2）3?x+x5?x2=． 16．（2015?大庆）若a2n=5，b2n=16，则（ab）n=．
17．（2015?河南模拟）计算：（）3=． 18．（2015春?苏州校级期末）计算（﹣2xy3）2=；（﹣）2014×（﹣1.5）2015=． 19．（1999?内江）若2x=a，4y=b，则8x﹣4y=． 20．（2015?黔东南州）a6÷a2=． 三．解答题（共10小题） 21．（2014春?寿县期中）已知a m=2，a n=3，求a3m+2n的值． 22．（2014春?无锡期中）已知9n+1﹣32n=72，求n的值． 23．（2014春?姜堰市校级月考）已知10a=5，10b=6，求： （1）102a+103b的值； （2）102a+3b的值． 24．（2015?诏安县校级模拟）计算：﹣（）0+（﹣2）3÷3﹣1．25．（2014?昆山市模拟）（1）计算：． （2）化简：求值.3（x2﹣2xy）﹣[3x2﹣2y+2（xy+y）]，其中x=﹣，y=﹣3． 26．（2013秋?徐汇区校级期末）计算或化简：（1）23﹣（）0﹣（）﹣2； （2）（3x﹣1）（2x+3）﹣（x+3）（x﹣3）． 27．（2014秋?万州区校级期中）已知3m=6，9n=2，求32m﹣4n的值． 28．（2014春?维扬区校级期中）已知：5a=4，5b=6，5c=9， （1）52a+b的值； （2）5b﹣2c的值； （3）试说明：2b=a+c． 29．（2013?金湾区一模）计算：．
幂的乘方与积的乘方教案及反思
幂的乘方与积的乘方教案及反思 无用置疑,设计好一个好教案,对于初中数学教学是有很大作用,下面我为大家带来初中数学，供各位教师参考。 幂的乘方与积的乘方数学教案： 教学建议 一、知识结构 二、重点、难点分析 本节教学的重点是幂的乘方与积的乘方法则的理解与掌握，难点是法则的灵活运用. 1.幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 ( 都是正整数) 幂的乘方 的推导是根据乘方的意义和同底数幂的乘法性质. 幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆，例如不能把 的结果错误地写成 ，也不能把 的计算结果写成 . 幂的乘方是变乘方为(底数不变，指数相乘的)乘法，如 ;而同底数幂的乘法是变(同底数的幂)乘为(幂指数)加，如 .
2.积和乘方 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.即 ( 为正整数). 三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质.例如： 3.不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆.幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算(底数不变);同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变). 4.同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的三个运算性质是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据.对三个性质的数学表达式和语言表述，不仅要记住，更重要的是理解.在这三个幂的运算中，要防止符号错误：例如， ;还要防止运算性质发生混淆： 等等. 三、教法建议 1.幂的乘方导出的根据是乘方的意义和同底数幂的乘法性质.教学时，也要注意导出这一性质的过程.可先以具体指数为例，明确幕的乘方的意义，导出性质，如 对于从指数连加得到指数相乘，要根据学生情况多作一些说明.以为例，再一次说明 可以写成 .这一点是导出幂的乘方性质的关键，务必使学生真正理解.在此基
《幂的乘方》教案
14.1.2 幂的乘方 教学目标 1．知识与技能 理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；通过推理得出幂的乘方的运算性质，并且掌握这个性质． 2．过程与方法 经历一系列探索过程，发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力，通过情境教学，培养学生应用能力． 3．情感、态度与价值观 培养学生合作交流意义和探索精神，让学生体会数学的应用价值． 重、难点与关键 1．重点：幂的乘方法则． 2．难点：幂的乘方法则的推导过程及灵活应用． 3．关键：要突破这个难点，在引导这个推导过程时，步步深入，层层引导，?要求对性质深入地理解． 教学方法 采用“探讨、交流、合作”的教学方法，让学生在互动交流中，认识幂的乘方法则．教学过程 一、创设情境，导入新知 【情境导入】 大家知道太阳，木星和月亮的体积的大致比例吗？我可以告诉你，?木星的半径是地球半径的102倍，太阳的半径是地球半径的103倍，假如地球的半径为r，那么，?请同学 们计算一下太阳和木星的体积是多少？（球的体积公式为V=4 3 πr3） 【学生活动】进行计算，并在黑板上演算． 解：设地球的半径为1，则木星的半径就是102，因此，木星的体积为 V木星=4 3 π·（102）3=？（引入课题）． 教师引导】（102）3=？利用幂的意义来推导． 【学生活动】有些同学这时无从下手． 【教师启发】请同学们思考一下a3代表什么？（102）3呢？ 【学生回答】a3=a×a×a，指3个a相乘．（102）3=102×102×102，就变成了同底数幂乘法运算，根据同底数幂乘法运算法则，底数不变，指数相加，102×102×102=102+2+2=106，?因此（102）3=106． 【教师活动】下面有问题：
幂的运算法则
幂的运算法则 1、同底数幂的乘法a a a n m n +=m ，即同底数幂相乘，底数不变，指数 相加。在考试过程中通常需要用其逆运算a a a n n m =+m ，即当在运算 中出现指数相加时，我们往往将其拆分成同底数幂相乘的形式。 2、同底数幂的除法a a a n m n -m =÷，即同底数幂相除，底数不变，指数 相减。在考试过程中通常需要用其逆运算a a a n n m ÷=-m ，即当在运算中出现指数相减时，我们往往将其拆分成同底数幂相除的形式。 3、幂的乘方a a mn m =)(n ，即当出现内、外指数（m 是内指数，n 是外指数）时，底数不变，指数相乘。在考试过程中通常需要用其逆运算)()(n m n a a a m mn ==，这时注意：具体用何种拆法要根据题目给出的是a m 还是a m 的形式。常在比较两个幂的大小等题目中出现。而在比较幂的大小类题目中，常用方法是转化为同底数幂或者同指数幂的形式。 如：（1）、化同指数比较。比较3275100与的大小，观察可以发现，底数2与3之间不存在乘方关系，因此，我们将其转化为同指数的幂进行比较，()1622225254251004===?，()2733325 25325753===?，因为27＞16，所以16272525＞，即2310075＞ （2）化同底数比较。比较934589与观察可以发现，底数9与3之间存 在着乘方关系即392=，因此，对于这样的题，我们将其转化为同底数幂进行比较，()33399045224545===?，而90＞89，∴338990＞即3989 45＞。 规律小结：在幂的大小比较中，底数之间存在乘方关系时，化为同底数幂，比较指数大小；底数之间不存在乘方关系时，化为同指数
幂的乘方和积的乘方(整理版)
【幂的乘方和积的乘方】 1、计算：23)3(a = ，2 32)3(y x -= . 2、计算：3 1)(+?n n b a = _____ ____；=+-222)(3ab b a _____ ___. 3、计算： =?20092009 5) 5 1( . 4、若2,3n n x y ==,则()n xy = ,2 3()n x y = . 5、下列等式，错误的是（ ） A.6 4 2 32 )(y x y x = B.3 3 )(xy xy -=- C.4 4 2 22 9)3(n m n m = D.6 4 2 32 )(b a b a =- 6、计算3 22 3)()(a a -+-的结果为（ ） A.62a - B.52a - C.6 2a 7、下列等式，成立的是（ ） A. 2 2 2 )(b a b a -=- B. 2 2 2 )(b a b a +=+ C. 2 2 2 )(b a ab = D. 5 2 2 3)(b a ab = 8、下列式子结果为12 10的是（ ） A.5 71010+ B.3 99 )52(? C.6 5 10)1052(??? D.9 3)10(. 9、已知2 3)(ab P -=，那么2 P -的正确结果是（ ） A.124b a B.62b a - C.84b a - D.12 4b a - 10、已知：0432=-+y x ，求y x 84?的值. 11、计算： ⑴4 )(xy - ⑵3 2)2(pq - ⑶3 32)5(bc a ⑷3 32 2)103()102(???
12、计算： ⑴;)()()(8)2(3 2 2 23 2 b a a b a -?-?+- ⑵2 52 34 )4()3(a a a ---?； ⑶2 32 3 24 )()(b a b a -?- ； ⑷(231)20·(7 3)21 . 13、计算：⑴()4 3 a +4 8 a a ； ⑵2 3422225)()()()(2a a a a ?-? ⑶()()3 44 3 a a -?-； ⑷33521024325 4)()()()()(a a a a a a a -?-?--+?---. 14、若510=x ，310=y ，求y x 3210+的值. 15、已知：723921 =-+n n ，求n 的值. 16、若552=a ，443=b ，33 4=c ，比较a 、b 、c 的大小．
幂的乘方运算
初一数学讲义 一.知识点分析与典例精讲 总结知识点并做分析 知识点一、 同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 公式表示为：()m n m n a a a m n +?=、为正整数 2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即 () m n p m m p a a a a m n p ++??=、、为正整数 注意点： （1） 同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数. （2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算. 例题： 例1： 计算列下列各题 （1） 34a a ?； （2） 23b b b ?? ； （3） ()()()24c c c -?-?- 例2： 若15(3)59n n x x x -?+=-，求x 的值. 知识点二、 幂的乘方与积的乘方 1、幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 公式表示为：()()n m mn a a m n =、都是正整数. 2、积的乘方 积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 公式表示为：()()n n n ab a b n =为正整数. 注意点： （1） 幂的乘方的底数是指幂的底数，而不是指乘方的底数. （2） 指数相乘是指幂的指数与乘方的指数相乘，一定要注意与同底数幂相乘中“指数相加”区分开. （3） 运用积的乘方法则时，数字系数的乘方，应根据乘方的意义计算出结果;
（4） 运用积的乘方法则时，应把每一个因式都分别乘方，不要遗漏其中任何一个因式. 例题： 例1：计算：（1）n m a a ?3)(； ⑵[]42 3)1(a ?- 例2：若有理数a,b,c 满足(a+2c-2)2+|4b-3c-4|+|2 a -4b-1|=0，试求a 3n+1 b 3n+2- c 4n+2 知识点三、 同底数幂的除法 1、同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 公式表示为：()0,m n m n a a a a m n m n -÷=≠>、是正整数，且. 2、零指数幂的意义 任何不等于0的数的0次幂都等于1.用公式表示为：()010a a =≠. 3、负整数指数幂的意义 任何不等于0的数的-n(n 是正整数)次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，用公式表示为 ()10,n n a a n a -=≠是正整数 4、绝对值小于1的数的科学计数法 对于一个小于1且大于0的正数，也可以表示成10n a ?的形式，其中110,a n ≤<是负整数. 注意点： (1) 底数a 不能为0，若a 为0，则除数为0，除法就没有意义了； (2) ()0,a m n m n ≠>、是正整数，且是法则的一部分，不要漏掉. （3） 只要底数不为0，则任何数的零次方都等于1. 例题： :例1：（x-y ）10÷（y-x ）5÷（x-y ）； 例2： 21--（-32）2-+（2 3）0.
幂的乘方练习题及答案
幂的乘方练习题及答案 2．计算： 4=_______；75×74=_______； 2=_______；x5·x2=________； [4]=_______； [5]=________． 3．你能说明下面每一步计算的理由吗？将它们填在括号里． y·3 =y·y =y7 26－4 =2a12－a12 =a12 专项练习： [2]=－5= 2[3]－3 [2] 5·a－a11 2+x10·x2+2[3] =_______，=________，[]=______． 53n－233 52252
[][] 3524 2?3?______________ 2?3?____________； 5?4?___________， 3?1?m?_______________ 32?4?2?2___________________ 若 x?3，则x n3n? x· [3]6+[9]2 [2]n+1·[2n+1]3 3n513x·=x，则n=_______． 34433223+=________，·=_________． 若x·x=2，求xm2m9m3410238 若2=4，27=3 已知：3=2，求3的值． 已知x·x 3=33=7 x 188n?5 3n535n3+5n1 提示：x·=x·x=x=x，∴3+5n=13，n=2．
121234431212123223666+612x a 提示：+=x+x=2x，·=a·a=a=a． x3m=2， x 49m = ==8=3=729 2n363 a2m+3n3n =a2m12n2n)=aa3n==2×3=108 43333m64×8=×=2 2×2 3m436x=33n×24n=22n7n?1，n+1=2 n=2m3n -+a·b22m3n=2-3+2×3=5 =2x2y?2， 3y=3x- 1 X=2y+y=x+1 解得：x= y=1 =33 m+n）+=9 M=4.x+2x =2×9=18 8.2幂的乘方与积的乘方同步练习 一、填空题 1.计算：?a3?表示. 2.计算：3= . 3.计算：2+3=. 4.计算：2?3? 5.2?43的结果是
幂的运算方法总结
幂的运算方法总结 幂的运算的基本知识就四条性质，写作四个公式： ①a m×a n=a m+n ②(a m)n=a mn ③(ab)m=a m b m ④a m÷a n=a m-n 只要理解掌握公式的形状特点，熟悉其基本要义，直接应用一般都容易，即使运用公式求其中的未知指数难度也不大。 问题1、已知a7a m=a3a10，求m的值。 思路探索：用公式1计算等号左右两边，得到等底数的同幂形式，按指数也相等的规则即可得m的值。 方法思考：只要是符合公式形式的都可套用公式化简试一试。 方法原则：可用公式套一套。 但是，渗入幂的代换时，就有点难度了。 问题2、已知x n=2,y n=3,求(x2y)3n的值。 思路探索：(x2y)3n中没有x n和y n，但运用公式3就可将(x2y)3n化成含有x n 和y n的运算。 因此可简解为，(x2y)3n =x6n y3n=(x n)6(y n)3=26×33=1728 方法思考：已知幂和要求的代数式不一致，设法将代数式变形，变成已知幂的运算的形式即可代入求值。 方法原则：整体不同靠一靠。 然而，遇到求公式右边形式的代数式该怎么办呢？ 问题3、已知a3=2,a m=3,a n=5，求a m+2n+6的值。 思路探索：试逆用公式，变形出与已知同形的幂即可代入了。 简解：a m+2n+6=a m a2n a6=a m(a n)2(a3)2=3×25×4=300
方法思考：遇到公式右边的代数式时，通常倒过来逆用公式，把代数式展开，然后代入。 方法原则：逆用公式倒一倒。 当底数是常数时，会有更多的变化，如何思考呢？ 问题4、已知22x+3－22x+1=48，求x的值。 思路探索：方程中未知数出现在两项的指数上，所以必须统一成一项，即用公式把它们变成同类项进行合并。由此，可考虑逆用公式1，把其中常数的整数指数幂，化作常数作为该项的系数。 简解：22x+3－22x+1=22x×23－22x×21=8×22x－2×22x =6×22x=48 ∴22x=8 ∴2x=3 ∴x=1.5 方法思考:冪的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数冪化成常数作为其它冪的系数，然后进行其它运算。 问题5、已知64m+1÷2n÷33m=81,求正整数m、n的值。 思路探索：幂的底数不一致使运算没法进行，怎样把它们变一致呢？把常数底数都变成质数底数就统一了。 简解：64m+1÷2n÷33m =24m+1×34m+1÷2n÷33m=24m+1-n×3m+1=81=34 ∵m、n是正整数∴m+1=4,4m+1－n=0 ∴m=3,n=13 方法思考：冪的底数是常数时，通常把它们分解质因数，然后按公式3展开，即可化成同底数冪了。 问题6、已知2a=3,2b=6,2c=12，求a、b、c的关系。 思路探索：求a、b、c的关系，关键看2a、2b、2c的关系，即3、6、12的关系。6是3的2倍，12是6的2倍，所以2c=2×2b=4×2a,由此可求。 简解：由题意知2c=2×2b=4×2a ∴2c=2b+1=2a+2 ∴c=b+1=a+2
苏科版七年级数学下册 幂的乘方与积的乘方教案
《幂的乘方与积的乘方》教案 第1课时 教学目标 1．经历探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力． 2．了解幂的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题． 过程与方法 在探索幂的乘方运算性质的过程中，培养和发展学生学习数学的主动性，提高数学表达能力． 情感、态度与价值观 通过积极参与数学学习活动，培养学生积极探索、勇于创新的精神和团结合作的学习习惯． 重点难点 重点 理解并正确运用幂的乘方的运算性质． 难点 幂的乘方的运算性质的探究过程及应用． 教学设计 本节课设计了七个教学环节：复习回顾、情境引入、探究新知、落实基础、练习提高、课堂小结、布置作业． 第一环节：复习回顾 活动内容：复习已学过的幂的意义及幂运算的运算法则： 1．幂的意义： n a n a a a a= ? ? ? 个 2．a m·a n=a n m+（m、n为正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 活动目的：本堂课的学习方法仍是引导鼓励学生通过已学习的知识经过个人思考、小组合作等方式推导出本课新知，增进学生符号感．而这个过程离不开旧知识的铺垫，幂的意义知识在本节课中仍旧是法则推导的主要依据，其地位不可小觑，而同底数幂的乘法的推导过程，其中包含的算理知识在本堂课中仍是精神主旨，因而复习要细致． 第二环节：情境引入 活动内容：根据已经学习过的知识，带领学生回忆并探讨以下实际问题：
1．乙正方体的棱长是2cm ，则乙正方体的体积V 乙=cm 3． 甲正方体的棱长是乙正方体的5倍，则甲正方体的体积V 甲=cm 3 ． 2．乙球的半径为3cm ，则乙球的体积V 乙=cm 3 甲球的半径是乙球的10倍，则甲球的体积V 甲=cm 3． 如果甲球的半径是乙球的n 倍，那么甲球体积是乙球体积的倍． 地球、木星、太阳可以近似地看作球体．木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和10 2倍，它们的体积分别约是地球的倍和倍． 活动目的：正方体是学生非常熟悉的几何体，它的体积计算公式学生琅琅上口，但是当其棱长扩大一定的倍数后，新的正方体体积与原来正方体体积之间有怎样的数量关系呢？这是学生以前很少考虑过的． 课本上的问题情境从木星、太阳和地球的体积大小入手，直观的表现体积倍数之间的关系，非常吸引人．学生在探索这个问题的过程中，将自然地体会幂的乘方运算的必要性，了解数学与现实世界的联系，问题提出以后，教师可以鼓励学生根据幂的意义，独立得出木星、太阳的体积分别约是地球体积103和106倍． 第三环节：探究新知 活动内容： 1．通过问题情境继续研究：为什么()6321010=？让学生清楚运算之间的关系，题目所描述的是10的2次幂的三次方，其底数是幂的形式，然后根据幂的意义展开运算，去探究运算的过程． 2．计算下列各式，并说明理由． （1）（62）4；（2）（a 2）3；（3）（a m ）2；（4）（a m ）n ． 仿照前面，来研究以上四个题目的运算情况，实际上做到（3）题时可以猜想（4）题的结果，也为后面幂的乘方的法则推导带来指导性．完成本节课的主要教学任务． 活动目的：学习的过程中，时刻不能忘记学生是主体，一切教学活动都应当从学生已有的认知角度出发，问题环节设计跨越性不能太大，要让学生在不断的探索过程中得到不同程度的感悟，自己能够主动地去探究问题的实质，有成功的体验． 第四环节：落实基础 活动内容： 【例】计算： （1）（102）3；（2）（b 5）5；（3）（a n ）3； （4）-（x 2）m ；（5）（y 2）3·y ；（6）2（a 2）6－（a 3）4． 随堂练习 1．计算：
8.2 幂的乘方与积的乘方(1)
课题：8.2幂的乘方与积的乘方（1） 一．教学目标、重点、难点 教学目标: 1．掌握幂的乘方法则，并会用它熟练进行运算。 2．会双向应用幂的乘方公式。 3．会区分幂的乘方和同底数幂乘法。 教学重点： 1．掌握幂的乘方法则，并会用它熟练进行运算。 2．幂的乘方法则的推导过程。 教学难点： 会双向运用幂的乘方公式，培养学生思维的灵活性。 二．突破难点的关键从定义出发，注重公式的推导 三．教学过程 (一)．情境引入 问题1：哪位同学能在黑板上写下100 个104 的乘积？ 经过试验，同学们会发现黑板上写不下了。 问题2：那哪位同学能用一个比较简单的式子表示100个104 的乘积？ 根据乘方的定义，100 个104 的乘积不就是（104）100 吗？ 板书：幂的乘方 （二）.新课讲解：计算下列各式： ⑴（23）2 ＝ ⑵（a4）3 ＝ ⑶（a m）5 ＝ 问题3：从上面的计算中，你发现了什么规律？ 分析：让学生回到定义中去，进而在由同底数幂的乘法法则得出结果，比较后容易找到规律。 归纳：对于任意的底数a，当m 、n是正整数时， （a m）n ＝a m﹒a m﹒．．．﹒ a m n个a m
＝a m+m+．．．+m n 个m ＝a mn 所以（a m ）n ＝a mn (m 、n 是正整数) 学生口述：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 公式逆用： a mn ＝ （a m ）n (m 、n 是正整数) （三）．例题解析 例1：计算 （１）26)10( （２）4)(m a （ｍ为正整数） （３）－2 3)(y （４） 33)(x - 分析：⑴ 直接运用法则。 ⑵ 4m 数字在前，字母在后。 ⑶ 注意“－” ⑷ 负数的寄次幂是负数 例２：计算 （１）2342)(x x x +? （２）33)(a 3 4)(a ? 分析：本课的难点，要求学生仔细辨析，何时用同底数幂的法则，何时用幂的乘方法则，何时是合并同类项，不可张冠李戴。 （四）．练一练 师生互动，及时点评。 １．想一想：下面的计算对不对？如果不对，请指出： (1) 523)(a a =； (2) 1234a a a =?； （３）8 42)(a a =- ２．填空： (1)2(__)4(__)(__)2(__)612)()()(a a a a a a ===?= (2)(_____)32 42=?m ， 其中m 为正整数 （3）32)10(=__________； （4）2)2(x -=__________； （5）32])[(n -=_________； （6）3 2])[(b a +=_________；
幂的四大运算法则(整式的运算)解读
幂的四大运算法则 一、知识提要 1. 一个单项式中，所有字母的叫做这个单项式的次数；一个多项式中，，叫做这个多项式的次数． 2. 幂的四大运算法则： ①同底数幂相乘，，．表示； ②同底数幂相除，，．表示； ③幂的乘方，，．表示； ④积的乘方等于．表示． 3. 我们规定： ①单独的一个数或字母也是； ②单独一个非零数的次数是； ③a 0 ； ④a -P ． 二、精讲精练
1. 代数式x x 32 52-，y x 22πx 1，5-，a ，0中，单项式的个数是． 2. 在代数式a 3，4 x ，y +2，-5m 中，为单项式， 3. 2 32y x -的系数是；22b a π-的系数是，次数是. 4. 若62y x -与n m y x 313-的和仍是单项式，则=n m ． 5. 多项式-3x 2y 2+6xyz +3xy 2-7是次项式，其中最高次项为． 6. 多项式(1231224+-+-+xy y x y x y x a b 是关于x ，y 的四次多项式，则 a b 7. 如果一个多项式的次数是6，则这个多项式的任何一项的次数都( A ．小于6 B ．等于6 C ．不大于6 D ．不小于6 8. 65105104???； x a ?x 2a -1?x b +1； 2034a a a a a =?=?）（）（． 9. 已知a m =2，a n =3，则a m +n ； 已知a n -3a 2n +1=a 10则n = ；
已知a =10，a =2，则a 10. (-12n -1?(-12n ?(-12n +1 m 3?m 6-(-m 2?m 3(-m 4； (x -y 6?(x -y 4(y -x 3； ((=-+?+--?-+342 (c b a c b a c b a 11. -0.2-3；当x (3x + 21 0=1； (02 3(1----π；=-÷--02 14. 3( 4 3(π 12. (-a 3n +1÷(-a n ； ÷a m =1(a ≠0 ； a 2m ÷a m -1 ． 13. (3 n a (m 2 3?m n =m 9, 则n ； (3a 2 3+(a 2 2?a 2 14. [(a 2 1- 3]2； [(-x 3]4?(-x 5 (-x 2 3?(-y 2-(-x 3 2?(-y 2 15. =?-1011002 5. 0(；
幂的运算
幂的运算 一、教学内容： 1.同底数幂的乘法 2.幂的乘方与积的乘方 3.同底数幂的除法 二、技能要求： 掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法），能用字母式子和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。 三、主要数学能力 1．通过幂的运算到多项式乘法的学习，初步理解“特殊——一般——特殊”的认识规律，发展思维能力。 2．在学习幂的运算性质、乘法法则的过程中，培养观察、综合、类比、归纳、抽象、概括等思维能力。 四、学习指导 1．同底数幂的乘法：a m·a n=a m+n(m, n是自然数) 同底数幂的乘法法则是本章中的第一个幂的运算法则，也是整式乘法的主要依据之一。学习这个法则时应注意以下几个问题： （1）先弄清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。 （2）它的前提是“同底”，而且底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，如： (2x+y)2·(2x+y)3=(2x+y)5，底数就是一个二项式(2x+y)。
（3）指数都是正整数 （4）这个法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即 a m·a n·a p....=a m+n+p+... (m, n, p都是自然数)。 （5）不要与整式加法相混淆。乘法是只要求底数相同则可用法则计算，即底数不变指数相加，如： x5·x4=x5+4=x9；而加法法则要求两个相同；底数相同且指数也必须相同，实际上是幂相同系数相加， 如-2x5+x5=(-2+1)x5=-x5，而x5+x4就不能合并。 例1．计算：(1) (- )(- )2(- )3(2) -a4·(-a)3·(-a)5 解：(1) (- )(- )2(- )3分析：①(- )就是(- )1，指数为1 =(- )1+2+3②底数为- ，不变。 =(- )6③指数相加1+2+3=6 = ④乘方时先定符号“+”， 再计算的6次幂 解：(2) -a4·(-a)3·(-a)5分析：①-a4与(-a)3不是同底数幂 =-(-a)4·(-a)3·(-a)5可利用-(-a)4=-a4变为同底数幂 =-(-a)4+3+5②本题也可作如下处理： =-(-a)12-a4·(-a)3·(-a)5=-a4(-a3)(-a5)
幂的运算法则(人教版)(含答案)
幂的运算法则（人教版） 一、单选题(共15道，每道6分) 1.下列计算正确的有( ) ①；②；③；④． A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案：A 解题思路： ①中：，①错误； ②中：，②错误； ③中：，③错误； ④中：，④错误． 所以正确的有0个． 故选A． 试题难度：三颗星知识点：幂的乘方 2.有一句谚语说：“捡了芝麻，丢了西瓜”，意思是说有些人办事只抓一些无关紧要的小事，却忽略了具有重大意义的大事．据测算，25万粒芝麻才1000克，那么1粒芝麻有( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 根据题意，得 故选C．
试题难度：三颗星知识点：同底数幂的除法 3.计算的结果是( ) A.-10 B.9 C. D.-9 答案：D 解题思路： 观察式子结构划部分，按照法则进行运算． 故选D． 试题难度：三颗星知识点：幂的混合运算 4.计算的结果为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 可以把当作底数，首先化为同底数幂， 然后利用同底数幂的乘除法则进行计算． 故选C． 试题难度：三颗星知识点：同底数幂的乘除混合运算5.计算的结果是( )
A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 观察式子结构划部分，按照法则进行运算． 观察式子底数不同，可以把当作底数， 首先化为同底数幂，然后利用同底数幂的除法法则进行计算． 故选B． 试题难度：三颗星知识点：幂的混合运算 6.若，则的值为( ) A.4 B.3 C.-2 D.-3 答案：A 解题思路： 观察式子，等式右边底数是6，左边底数是2，3，2×3=6， 根据可得， 所以，解得． 故选A． 试题难度：三颗星知识点：积的乘方 7.若，，则的值为( ) A.1 B.16 C.4 D.8 答案：D 解题思路： 观察式子，，
幂的运算知识讲解
幂的运算（基础） 【学习目标】 1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘方）； 2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算. 【要点梳理】 要点一、同底数幂的乘法性质 a m .a n = a m+n (其中m 、n 都是正整数). 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即m n p m n p a a a a ++??=（,,m n p 都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它 们的指数之和等于原来的幂的指数。 即 a m+n = a m .a n （m 、n 都是正整数）. 要点二、同底数幂的除法性质 a m ÷a n = a m-n (其中m 、n 都是正整数). 即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 逆用公式： a m-n = a m ÷a n
要点三、幂的乘方法则 （a m ）n = a mn （m 、n 都是正整数） 即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a (0≠a ，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： a mn =（a m ） n ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些 幂变形，从而解决问题. 要点三、积的乘方法则 (ab)n =a n b n (其中n 是正整数). 即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：（1）公式的推广：(abc) n =a n b n c n (n 为正整数). （2）逆用公式： a n b n =(ab) n 逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互 为倒数时，计算更简便.如：10 10 101122 1.22???? ?=?= ? ????? 要点四、 不等于0的数的0次幂是1 0的0次幂没有意义 (任何非零实数的0次方都等于1，包括负数。) 注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
幂的乘方经典(拔高)题型总结
幂的乘方经典（拔高）题型训练 知识点： 1．若m 、n 均为正整数，则（a m ）n =_____，即幂的乘方，底数_____，指数_______． 2．计算：1）（75）4=_______； （2）75×74=_______；（3）（x 5）2=_______；（4）x 5·x 2=________； 专项练习： （1）－（y 4）5 （2）（y 2a+1）2 （3）[（－5）3] 4－（54）3 （4）（a －b ）[（a －b ）2] 5 （5）（－a 2）5·a －a 11 （6）（x 6）2+x 10·x 2+2[（－x ）3] 4 （7）（－x 5）2=_______，（－x 2）5=________，[（－x ）2] 5=______． （8）______________)()(3224=-?a a （9）____________)()(323=-?-a a ； （10）___________)()(4554=-+-x x ， （11）_______________)()(1231=?-++m m a a （20）若 33=n ， 则=n 33 。 （ 21）若2k =83，则k=______． (22)[（b-3a ）2]n+1·[（3a-b ）2n+1]3（n 为正整数） (23)x 3·（x n ）5=x 13，则n=_______． (24)（x 3）4+（x 4）3=________，（a 3）2·（a 2）3=_________． (25)若x m ·x 2m =2，求x 9m ； (26）若a 2n =3，求（a 3n ）4 （27)已知a m =2,a n =3,求a 2m+3n （28）若644×83=2x ，求x 的值。 (29)若2×8n ×16n =222，求n 的值．（30）已知a 2m =2，b 3n =3，求（a 3m ）2－（b 2n ）3+a 2m ·b 3n 的值． （31）已知：3x =2，求3x+2的值． (32) 已知x m+n ·x m －n =x 9，求m 的值． （33）若52x+1=125，求（x －2）2011+x 的值．（34）已知a m =3，a n =2，求a m+2n 的值; （35）已知a=3555，b=4444，c=5333，试比较a ，b ，c 的大小． （36）已知n 为正整数，且x 2n =3，求9（x 3n ）2的值． （37）若│a －2b │+（b －2）2=0，求a 5b 10的值． （38)已知3x+4y －5=0，求8x ×16y 的值． (39)若n 为自然数，试确定34n －1的末位数字． (40)比较550与2425的大小。 （41）．灵活运用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则，以及数学中的整体思想，还可以解 决较复杂的问题，例如：已知a x =3，a y =2，求a x+y 的值． 根据同底数幂乘法的逆运算，设a 2x+3y =a 2x ·a 3y ，然后利用幂的乘方的逆运算， 得a 2x = （a x ）2，a 3y =（a y ）3，把a x =3，a y =2代入即可求得结果． 所以a 2x+3y =a 2x ·a 3y =（a x ）2·（a y ）3=32·23=9×8=72． 试一试完成以下问题： 已知a m =2，a n =5，求a 3m+2n 的值．
幂的乘方运算
幂的乘方运算 Prepared on 24 November 2020
初一数学讲义 一.知识点分析与典例精讲 总结知识点并做分析 知识点一、 同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 公式表示为：()m n m n a a a m n +?=、为正整数 2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即 注意点： （1） 同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数. （2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算. 例题： 例1： 计算列下列各题 （1） 34a a ?； （2） 23b b b ?? ； （3） ()()()24c c c -?-?- 例2： 若15(3)59n n x x x -?+=-，求x 的值. 知识点二、 幂的乘方与积的乘方 1、幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 公式表示为：()()n m mn a a m n =、都是正整数. 2、积的乘方 积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 公式表示为：()()n n n ab a b n =为正整数. 注意点： （1） 幂的乘方的底数是指幂的底数，而不是指乘方的底数. （2） 指数相乘是指幂的指数与乘方的指数相乘，一定要注意与同底数幂相乘中“指数相加”区分开. （3） 运用积的乘方法则时，数字系数的乘方，应根据乘方的意义计算出结果; （4） 运用积的乘方法则时，应把每一个因式都分别乘方，不要遗漏其中任何一个因式. 例题： 例1：计算：（1）n m a a ?3)(； ⑵[]42 3)1(a ?- 例2：若有理数a,b,c 满足(a+2c-2)2+|4b-3c-4|+| 2 a -4b-1|=0，试求a 3n+1 b 3n+2- c 4n+2 知识点三、 同底数幂的除法 1、同底数幂的除法
人教版数学八年级上《幂的乘方》教案
幂的乘方 教学目标：经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力；了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题． 教学重点与难点：会进行幂的乘方的运算，幂的乘方法则的总结及运用．教学过程： 一、回顾同底数幂的乘法 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；即 a m·a n = a m+n（m、n都是正整数） 二、自主探索，感知新知 64表示_________个___________相乘(4个6相乘) (62)4表示_________个___________相乘(4个62相乘) a3表示_________个___________相乘(3个a相乘) (a2)3表示_________个___________相乘(3个a2相乘) 推广形式，得到结论 1．(a m)n表示_______个________相乘(n个a m相乘) =________×________×…×_______×_______ (= ) =__________ (= a mn) 即(a m)n = ______________(其中m、n都是正整数) 2．通过上面的探索活动，发现了什么？ 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 三、例：判断题，错误的予以改正 （1）a5+a5= 2a10 （×）a5+a5 = 2a5
（2）(x3)3 = x6 （×）(x3)3 = x9 （3）(－3)2·(－3)4 = (－3)6 = －36 （×）(－3)2·(－3)4 = (－3)6 = 36（4）x3+y3= (x+y)3（×）x3与y3无法合并同类项 （5）[(m－n)3]4－[(m－n)2]6=0 （√ ） 四、小结： 幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
七年级数学下册《幂的乘方与积的乘方》典型例题2(含答案)
《幂的乘方与积的乘方》典型例题 例1 计算： （1）199********.08?； （2） 30142 25.01?- 例2 计算题： （1）43)(b -； （2）n m 24)(； （3）5])[(m y x -； （4）3542)()(x x ?； （5）32)4(n m ?； （6）43)3 2(ab -． 例3 计算题 （1）33326)3()5(a a a ?-+-； （2）5335654)()2(a a a a a -+--??； （3）1232332312)()(3)()(4--?+?-n n n n a b b a ； （4）))(2()3(24232xy y x xy --+-。 例4 计算题。 （1）20012001125.08?； （2）199910003)9 1(?-； （3）2010225.0?。 例5 比较5553，4444，3335的大小。
参考答案 例1 解：（1）原式199********.088??=8181997=?=； （2）原式15 214)2(25.01?-= 15 14425.01?-= 4425.011414??-= 4)425.0(1 14??-= 411 14?-=41-= 说明：（1）逆用了积的乘方性质；n n n ab b a )(=；（2）先后逆用幂的乘方n m mn a a )(=和同底数幂的乘法n m n m a a a ?=+的运算性质。 例2 分析：运算中同底数幂相乘和幂的乘方要注意加以区分，同底数幂相乘指数相加 ，而幂的乘方是指数相乘。在积的乘方运算中要注意以下的错误，如333)2()2(y a y a -=-。 解：（1）43)(b -;)()1(12434b b =?-= （2）n n n m m m 84242)(=?=； （3）m m y x y x 55)(])[(-=-； （4）231583542)()(x x x x x =?=?； （5）363264)4(n m n m =?； （6）12443444381 16)()32()32(b a b a ab =??-=-。 说明：运用幂的乘方性质时，一定要注意运算符号，如43)(b -与43)(b -其结果不同，前者为2b ，后者为12b -。 例3 分析：在计算本题时，要注意运算顺序，整式混合运算和有理数的运算顺序是一样的。 解：（1）原式3333262)()3()()5(a a a ?-+-=