【数学竞赛】2012年全国初中数学联赛试题答案
【数学竞赛】2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1．已知1a =
-，b =2c =，那么,,a b c 的大小关系是 （ C ）
A. a b c <<
B. a c b <<
C. b a c <<
D.b c a <<
2．方程2
2
2334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 （ B ） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6.
3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ D ）
A B C D 4．已知实数,a b 满足2
2
1a b +=，则4
4
a a
b b ++的最小值为 （ B ） A ．18-
. B ．0. C ．1. D ．98
. 5．若方程2
2320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+，则实数p
的所有可能的值之和为 （ B ）
A ．0.
B ．34-
. C ．1-. D ．54
-. 6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有 （ C ）
A ．36个.
B ．40个.
C ．44个.
D ．48个. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111
a b c t b c a
+
=+=+=，则t =1
±．
2．使得521m
?+是完全平方数的整数m 的个数为 1 ．
3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则
BC
AP
＝．
4．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，2
224
3131319
a b c a a b b c c ++=------，则222a b c ++＝
33
2
．
第二试 （A ）
一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则30a b c ++=.
显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值. 由a b c ≤<及30a b c ++=得303a b c c =++<，所以10c >. 由a b c +>及30a b c ++=得302a b c c =++>，所以15c <. 又因为c 为整数，所以1114c ≤≤.
根据勾股定理可得2
2
2
a b c +=，把30c a b =--代入，化简得30()4500ab a b -++=，所以
22(30)(30)450235a b --==??，
因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是2
2
305,
3023,
a b ?-=??-=???解得5,12.a b =??=?
所以，直角三角形的斜边长13c =，三角形的外接圆的面积为
169
4
π. 二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D .证明：
2
AD BD CD =?.
证明：连接OA ，OB ，OC.
∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =?，2
AD PD OD =?.
又由切割线定理可得2
PA P B PC =?，∴PB PC PD PO ?=?，∴D 、B 、C 、O 四点共圆， ∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ，
∴
PD BD CD OD
=
，∴2
AD PD OD BD CD =?=?. 三．（本题满分25分）已知抛物线2
16
y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、
B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点
C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3
(0,)2
-，若AM//BC ，
求抛物线的解析式.
解 易求得点P 2
3
(3,)2
b b
c +，点C (0,)c .
设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m . 显然，12,x x 是一元二次方程2
106
x bx c -
++=的两根，所
以13x b =
，23x b =AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE
因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2
AE PE DE =?，即