江苏省高考高三数学一轮复习专题函数导数

专题1函数、导数

【课标要求】 1．课程目标

通过集合的教学，使学生学会使用基本的集合语言描述有关的数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力；使学生初步感受到运用集合语言描述数学对象时的简洁性和准确性．

通过函数概念与基本初等函数I 的教学，使学生理解函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型；使学生感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步学会运用函数思想理解和处理现实生活中的简单问题；培养学生的理性思维能力、辨证思维能力、分析问题和解决问题的能力、创新意识与探究能力、数学建模能力以及数学交流的能力． 2．复习要求

（1）理解集合之间包含与相等的含义，理解两个集合的并集与交集的含义；理解补集的含义．了解集合的含义；了解全集与空集的含义；（不要求证明集合的相等关系、包含关系）．

（2）函数的概念和图象

理解函数的概念；理解函数的三种表示方法；理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性；理解函数最大（小）值的概念及其几何意义；会运用函数图象理解和研究函数的性质．

了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．了解简单的分段函数，（不要求根据函数值求自变量的范围）．

了解函数奇偶性的含义．（对复合函数的一般概念和性质不作要求）． （3）指数函数

理解有理数指数幂的含义；理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的性质，会画指数函数的图象．

了解实数指数幂的意义，能进行幂的运算．

了解指数函数模型的实际案例，会用指数函数模型解决简单的实际问题． （4）对数函数

理解对数的概念及其运算性质；理解对数函数的性质，会画对数函数的图象． 了解对数换底公式，知道一般对数可以转化成自然对数或常用对数．

了解对数函数模型的实际案例；了解对数函数的概念；了解指数函数x y a =

与对数函数log a y x =互为反函数（0,1a a >≠）．

（不要求一般地讨论反函数的定义，不要求求已知函数的反函数）． （5）幂函数

了解幂函数的概念；结合函数1

2

3

21,,,,y x y x y x y y x x

=====

的图象，了解幂函数的图象变化

情况．

（6）函数与方程

了解二次函数的零点与相应的一元二次方程的根的联系．了解用二分法求方程近似解的过程，能借助计算器求形如：3

0,0,lg 0x

x ax b a bx c x bx c ++=++=++=的方程的近似解．

（7）函数模型及其应用

了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能进行简单应用． （8）导数

理解导数的定义；能利用导数研究函数的单调性；能用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题；感受导数在解决实际问题中的作用．

了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义；了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵． 了解基本初等函数的导数公式；了解导数的四则运算法则；能利用导数公式表的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

3．复习建议

（1）关于函数的定义域与值域

避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题．

求简单函数的定义域和值域中，“简单函数”指下列函数：,y ax b =+

2,,,log (),sin ,cos x a cx d

y ax bx c y y y a y mx n y x y x ax b

+=++=

===+==+等． （2）关于分段函数

简单（情境）的分段函数指：在定义域的子集上的函数为常数、一次、反比例、二次函数的分段函数．例如：出租车收费、邮资、个人所得税等问题．

（3）关于奇偶性

对一般函数的奇偶性，不要做深入讨论． （4）关于反函数

不要求讨论一般形式的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数． （5）用二分法求方程的近似解

关键是结合具体例子感受过程与方法．本方法限于用计算器求三类方程： 30,0,lg 0x x ax b a bx c x bx c ++=++=++=的近似解．

（6）关于导数

重视导数在研究函数与实际生活中的应用的教学，发挥导数的工具作用．要注意运用学生熟悉的数学问题、生产与生活中的实际问题，帮助学生增强数学应用的意识，促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值．

【典型例题】

例1（填空题）

（1）设211()1x x f x x x

-

=???≥1，，，，则((2))f f 的值是 ．

解析：课标对分段函数要求能简单应用，直接代入得答案为0．

（2）设121,,,323α??∈-????

，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的α的值为 ． 解析：逐个检验，答案为3．课标中增加了幂函数知识点，

属于了解范围，

掌握简单应用．

（3）若0.5

2a =，πlog 3b =，22πlog sin 5

c =， 则,,a b c 从小到大的顺序为 ．

解析：利用估值法知a 大于1，b 在0与1之间， c 小于0.∴c b a <<．大小比较也是高考较常见的题型，

希望引起注意． （第（4）题图）

（4）设a R ∈，函数2()22.f x x x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13B x x =<<，A B φ≠，实数a

的取值范围是 ．

解析：结合图象分类讨论，22()221)12f x x x a x a =-----＝（．对称轴为1x =．

若()10f >，则()0f x >的解集为R ，满足A B φ≠；若()10f ＝，则()0f x >的解集为{}

1x x ≠，

满足A B φ≠；若()10f ＜，则只要(3)0f >，则()0f x ＝在1,3（）内有根，满足A B φ≠；解得32

a <

．图象法．函数图象在课标中是较高要求，体现数形结合思想．另①把函数改为2()22f x ax x a =--，其它不变，

求解本题试试看？②2()022f x a x x >?<-试试看？（同学会误认为是恒成立问题）

（5）读下列命题，请把正确命题的序号都填在横线上 ．

①函数()1x

f x x

=

+ 的值域为()1,1-； ②已知()f x 是R 上的函数且满足(2)()f x f x +=，当[]1,2x ∈时，()2f x x =-，则

(2007.5)0.f =；

③若函数()f x 对定义域中x 总有(1)(1)f x f x +=-，则()f x 是奇函数； ④函数22log (23)y x x =--的单调增区间是(1,)+∞．

解析：③不正确，对称轴是1=x ，④不正确，应为(3,)+∞．正确答案是：①②． （6） 函数12

|log |y x =的定义域[,]a b ，值域[0,2]，

则区间[,]a b 的长度b a -的最小值是 ．

解析：结合图象：当4x =或1

4

x =时，2y =．

所以，当1,14

a b ==时b a -的最小值是34．

（7）若方程3

20x x -+=在区间(,)(,,1)a b a b Z b a ∈-=且上有一根，则a 的值为 ．

解析：画出2)(3

+-=x x x f 的大致图象，估算)2(-f 与)1(-f 的值，知2-=a ．

（8）设直线1

2

y x b =

+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值为 ．

解析：∵1

y x

'=

，令112x =，得x ＝2，∴切点为（2，ln2），代入直线方程得

b ＝ln2－1．本题主要考查导数的意义（切线的斜率）．类似地，要能从函数的图像中读懂导数的意义，能理解函数及其相应的导函数图像间的关系．

（9）设函数d cx bx ax x f y +++==23)(的图像与y 轴的交点为P 点，曲线在点P 处的切线方程为0412=--y x ．若函数在2=x 处取得极值0，则函数的单调减区间为 ．

解析：切线与y 轴的交点为4)-P(0，，4-=∴d ，又c bx ax x f ++='23)(2，12)0(=='c f ，0)2(,0)2(=='f f ，解得4,12,9,2-==-==d c b a ．

12186)(2+-='∴x x x f ，0)(<'x f ，解得21<

本题参数较多，须逐个翻译题设．

（10）已知函数2()cos f x x x =-，对于ππ22??-????

，上的任意12x x ，，有如下条件：①12x x >；

②2212x x >； ③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ． 解析：函数2

()cos f x x x =-显然是偶函数，其导数()2sin f x x x '=+在02

x π

≤<

时，显然也大

于0，是增函数，使12()()f x f x >恒成立的条件是12(||)(||)f x f x >，∴12||||x x >，∴22

12

x x >；当x 1=

2π,x 2=-2

π

时，①③均不成立．故填②．自觉应用导数，函数的图像，奇偶性等性质解题，培养学生转化意识、化归意识．

例2 求函数22

11x y x

-=+的值域． 解法一：令2

1(1)x t t +=≥，则2

1(1,1]y t

=

-∈-． 解法二：222222

2(1)(1)24(1)(1)

x x x x x

y x x -+--'==-++

∴当0x =时，函数取得极大值，也是最大值1；当x →+∞时，()1f x →-， ∴函数的值域为(1,1]-．

例3 在边长为60的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），

做成一个无盖的方底铁皮箱．箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？

图（a ） 图（b ）

解：设小正方形的边长为x ，则围成的长方体的体积为

2()(602)(030)V x x x x =-<<，

2()12(40300)0V x x x '=-+=得10x =或30x =（舍去）， 当(0,10)x ∈时，()0V x '>，()V x 为增函数， 当(10,30)x ∈时，()0V x '<，()V x 为减函数，

所以，当10x =时，()V x 取得极大值也是最大值(10)16000V =（cm 3）．

答：当箱子底边长等于40cm 时，箱子容积最大，最大值为16000cm 3．

说明：此题是教材中的一道例题，求解也并不困难，如果能适当创设问题情景，譬如设问：由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得的长方体容器的体积V 2＞V 1．

学生不难发现多种方案，如方案一：

以①为底面，以②③④⑤为侧面，焊接成一个长方体；

方案二：将正方形作如图切割，然后以ABCD 为底面，四个角分别拼接成四个矩形侧面． 进一步引导启发可以发现，问题即为已知2

43600x xy +=，求y x V 2

=的最大值． 通过精讲例题，培养学生的数学思维能力，探究创新能力，归纳概括能力．

例4 已知()f x 是(－1，1)上的奇函数，当x ∈(－1，0)时，2()41

x

x f x =+．

（1）求()f x 在(－1，1)上的解析式．

（2）判断()f x 在(0，1)的单调性，并给出证明．

解：（1）当x ∈(0，1)时，x -∈(－1，0)，22()4141

x x

x x f x ---==++，

因为()f x 为奇函数．所以2()()41

x

x f x f x =--=-+．

又(0)(0)(0)f f f =--=-，所以(0)0f =．

所以在区间(－1，1)上，2,10,41()0,0,2,0 1.41

x

x x x x f x x x ?-<

==???-<

（2）()f x 在(0，1)上为增函数，证明如下：

设1201x x <<<，则

212112211221121212222(41)2(41)(22)(12)

()()4141(41)(41)(41)(41)

x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x ++-+---=-==

++++++． ∵1201x x <<<，∴x 1＋x 2＞0，则2122x x -＞0，122x x +＞1，141x +＞0，241x

+＞0.

例5 已知函数|

|212)(x x x f -

=. （1）若2)(=x f ，求x 的值；

（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围.

解：（1）当0

x x f 21

2)(-=. 由条件可知 22

1

2=-

x x ，即 012222=-?-x x ，解得 212±=x . 02>x

，∴()

2log 1x =.

（2）当]2,1[∈t 时，021*******≥??? ?

?

-+??? ??-t t t t t m ，即 ()()

121242--≥-t t m .

0122>-t ，∴()

122+-≥t m . ()

]5,17[21],2,1[2--∈+-∴∈t t ，

故m 的取值范围是),5[∞+-.

例6 已知函数f (x )=21ln ,[,2]2a x x a R x x -??+∈∈ ???

． (Ⅰ)当1

[2,)4

a ∈-时, 求()f x 的最大值;

(Ⅱ) 设2()[()ln ]g x f x x x =-?, k 是()g x 图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数a ，使得1k <恒成立?若存在,求a 的取值范围;若不存在,请说明理由．

解：(Ⅰ)当-2≤a <41

时，由'()f x =0得x 1

2x 显然-1≤x 1<21,21

∴?∈????????

又'()f x =－()()122x x x x x --

当2

1

≤x ≤x 2时，'()f x ≥0，()f x 单调递增；当x 2

+

(Ⅱ)答：存在(,13)a ∈-∞符合条件．

因为2

()[()ln ]g x f x x x

=-?=3ax x -，不妨设任意不同两点111222(,),(,)p x y p x y ，其中12x x <，则

3

32212122111221212

()()()y y a x x x x k a x x x x x x x x --+-===-++--，

由1k <知:a <1+221122()x x x x ++<12

2

3x + 又2

2144x ≤≤，故74

a <，故存在(,13)a ∈-∞符合条件．

【新题备选】

1．设［x ］表示不超过x 的最大整数（如［2］=2, ［

5

4

］=1）,对于给定的n ∈N *,定义[][](1)(1),(1)

(1)x n

n n n x C x x x x --+=

--+x ∈[)1,+∞,则当x ∈3,32??

????

时，函数8x C 的值域是 ．

解：当x ∈3,22??

????

时，3

28816,332

C ==当2x →时，[]1,x = 所以8842x C ==； 当[)2,3时，2

88728,21C ?=

=?当3x →时，[]2,x = 88728

,323

x C ?==? 故函数x C 8的值域是16284,

,2833????

? ??????

. 2．方程122-+x x 0=的解可视为函数2+=x y 的图像与函数x

y 1

=的图像交点的横坐标. 若方程044=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k x x x k 所对应的点(i i x x 4

,)

（i =k ,,2,1 ）均在直线x y =的同侧，则实数a 的取值范围是 .

解：方程的根显然0x ≠，原方程等价于34x a x +=，原方程的实根是曲线3y x a =+与曲线4y x

=的

交点的横坐标；而曲线3y x a =+是由曲线3y x =向上或向下平移||a 个单位而得到的．若交点(x i ,4x i )（i

＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，因直线y ＝x 与4y x

=交点为：(2,2),(2,2)--；所以结合图象可得：

33002 2 (,6)(6,)22a a x a x a a x x >-+

或； 3．已知函数x x f x

2log )3

1

()(-=，正实数a 、b 、c 成公差为正数的等差数列，且满足

0)()()(；

③c d <；④c d >中有可能成立的是 ．

解：函数()f x 为（0，＋∞）上的减函数，且a b c <<，∴()()()f a f b f c >>，又∵

0)()()(>>或()()0()f a f b f c >>>，故填①②③．

4．已知函数)3||(log )(3

1+-=x x f 定义域是],[b a ),(z b a ∈，值域是]0,1[-，则满足条件的整数

数对),(b a 有 对．

解：显然，函数()f x 是偶函数，定义域为（－3，3），且(0)1,f =-(2)0f ±=，所以，则满足条件的整数数对),(b a 有（－2，0），（－2，1），（－2，2），（－1，2）， （0，2）5对．

5．对于函数x x x f -+=11lg )(，有三个数满足1,1,1<<

=++ab b a f ，2)1(=--bc

c

b f ，那么)1(

ac

c

a f ++的值是 ___． 解：(

)()(),()()()11a b b c

f f a f b f f b f c ab bc +-=+=-+-， 所以(

)()()[()()][()()]11a c

f f a f c f a f b f b f c ac

+=+=+--=-+． 6．已知函数1)3()(2

+-+=x m mx x f 的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧．

（1）求实数m 的取值范围；

（2）令t ＝－m ＋2，求]1

[t

的值（[t]表示不大于t 的最大整数）；

（3）对（2）中的t ，求函数1

]1[][]1[][1

)(+++?+

=

t

t t t t

t t g 的值域．

解：（1）若m ＝0 则1

()3 1 ()0,0.3

f x x f x x =-+==>由得符合题意． 若m≠0 ，①m<0时，∵

1

0 , ()0f x m

<=方程两根异号，∴必有一个负根． ②m>0时，由210,3

0, (0,1](3)40,m m m m m m ?>??

-?->∈??

?--??

得≥时，方程有两正根．综上得1≤m ．

（2）∵t ＝－m ＋2 ，∴1

[1,),01t t ∈+∞∴<≤．当t ＝1时，1]1[=t ，当t>1时，0]1[=t

．

（3）当t ＝1时，2

1)(=

t g ；当t>1时，]1[t ＝0，设[t]＝n ，且t ＝[t]＋a ，则10,<≤∈+

a Z n ．

于是1

1

)(+++

+=

n a n a n t g ．由函数11)(≥+=x x x x h 在时是增函数，

及111

1101,111

n n a n n n a n a n n n +

++++++<+++≤≤得

≤． 设2

)

1(1111

+-+=++

=n n n n n a n 递减，∴)2)(1(21++-=-+n n n n a a n n ． ∴ <<<<=>n a a a a a 4321．

2

)

1(11111

1++=++++=

n n n n b n 递减，∴ >>>>n b b b 21． 于是t>1时，)(t g 的值域为2155[,),[,)64a b 即．综上)(t g 的值域为155

{}[,)264

．

7．已知函数43

22411()(0)43

f x x ax a x a a =

+-+>， （1）求函数()y f x =的单调区间；

（2）若函数()y f x =的图像与直线1y =恰有两个交点，求a 的取值范围．

解：（1）因为322()2(2)()f x x ax a x x x a x a '=+-=+- ， 令()0f x '=得1232,0,x a x x a =-==，

由0a >时，()f x '在()0f x '=根的左右的符号如下表所示

所以()f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与，()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-，与，， （2）由（1）得到4

5

()(2)3

f x f a a =-=-极小值，4

7()()12

f x f a a ==

极小值， 4()(0)f x f a ==极大值 ；

要使()f x 的图像与直线1y =恰有两个交点，只要4

4

5713

12

a a -<<

或41a <，

即a >

01a ≤<． 8．设函数sin ()2cos x

f x x

=+．（1）求()f x 的单调区间；

（2）当1

3

a ≥

时，证明：对任何0x ≥，都有()f x ax ≤． 解：（1）22

(2cos )cos sin (sin )2cos 1

()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'=

=

++． 当2π2π

2π2π33

k x k -

<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x >-，即()0f x '>；

当2π4π

2π2π33

k x k +<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x <-，即()0f x '<．

因此()f x 在每一个区间2π2π2π2π33k k ?

?-

+ ???

，（k ∈Z ）是增函数， ()f x 在每一个区间2π4π2π2π33k k ?

?++ ??

?，（k ∈Z ）是减函数．

（2）令()()g x ax f x =-，则22cos 1()(2cos )x g x a x +'=-

+2

23

2cos (2cos )a x x =-+++

2

11132cos 33a x ?

?=-+- ?+??

．故当13a ≥时，()0g x '≥．

又(0)0g =，所以当0x ≥时，()(0)0g x g =≥，即()f x ax ≤．

【专题训练】 一、填空题

1

．函数2()f x =

的定义域为 ．

2．设函数()(1)()f x x x a =++为偶函数，则a = ． 3．方程96370x

x

-?-=的解是_______________．

4．设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为1

2

，则a =_____． 5．已知2(3)4log 3233x f x =+，则8(2)(4)(8)(2)f f f f +++

+的值等于 ．

6．设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，

()31x f x =-，则132

(),(),()323

f f f 的大小关系为________________．

7．若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =--的图象，则向量a =___________

8．已知实数a ，b 满足等式log 2a ＝log 3b ，给出下列5个关系式：①a ＞b ＞1；

②b ＞a ＞1；③a ＜b ＜1；④b ＜a ＜1；⑤a ＝b ．其中可能成立的关系式是____________．(填序号)

9．函数2

441()431

x x f x x x x -?=?

-+>?， ≤，的图象和函数

2()log g x x =的图象有_______个交点．

10．对于函数①()2f x x =+，②2

()(2)f x x =-， ③()cos(2)f x x =-，判断如下两个命题的真假：命题甲：

(2)f x +是偶

函数；命题乙：()f x 在()-∞2，

上是减函数，在(2)+∞，上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是______________．

11．右图是用二分法求方程5

1610x x -+=在

[2,2]-的近似解的程序框图，要求解的精确度

为0.0001，①处填的内容是____________, ②处填的内容是______________________.

12．已知函数f (x )= 2log |1|(0)ax a -≠满足

(2)(2)f x f x -+=--，则实数a 的值为 ．

13.若函数2

()l n (

1)f x x x

=

+-的零点在区间(,1)()k k k Z +∈上,则k 的值为 .

14．设函数13)(3

+-=x ax x f 对于[]1,1-∈x 总有0)(≥x f 成立，则a = .

二、解答题

15．设命题p

：{

}

R a y y x ∈=

∈, 命题q ：关于x 的方程20x x a +-=一根大于1，另

一根小于1． 如果命题p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，求实数a 的取值范围．

16．已知集合6|

1,1A x x R x ??

=≥∈??+?

?

，{}2|20B x x x m =--<． （1）当3m =时，求()R A B r e；

（2）若{}|14A B x x =-<<，求实数m 的值．

17．若函数3()4f x ax bx =-+，当2x =时，函数()f x 有极值为43

-． （1）求函数()f x 的解析式；

（2）若()f x k =有3个解，求实数k 的取值范围．

19．已知二次函数)(x f y =经过点（0，10），导函数52)(-='x x f ，当]1,(+∈n n x （*

N n ∈）时，

)(x f 是整数的个数记为n a ．（1）求数列}{n a 的通项公式；

（2）令1

4

+=n n n a a b ，求数列}{n n b a +的前n （n ≥3）项和n S ．

20．设函数1

()(01)ln f x x x x x

=

>≠且.（1）求函数()f x 的单调区间； （2）已知12a

x

x >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围．

【专项训练参考答案】

1．[3,)+∞ 2．-1 3．7log 3=x 4．4 5．2008 6．)3

2()23()31(f f f >> 7．(1，-2)

8． ②④⑤ 9．3 10．② 11．()()0f a f m ?<；0.0001a b -< 12．1

2

-

13．1± 14．4 15

．解：

2y x =-=∴命题p :03a ≤≤．

令2()f x x x a =+-, 命题q (1)0f ?<, ∴命题q :2a >．

∵命题p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，就是p 和q 中有且仅有一个真命题． 所以实数a 的取值范围是02a ≤≤或3a >． 16．解：{}|15A x x =-<≤

（1）当3m =时，{}|13B x x =-<<，则R B r e{}|13x x x =≤-≥或，∴{}()|35R A B x x =≤≤r e （2）∵{}|15A x x =-<≤，{}|14A

B x x =-<<，

∴有2

4240m -?-=，解得8m =，此时{}|24B x x =-<<，符合题意．

17．解：

2()3f x ax b '=-．

（1）由题意；(2)120

4(2)8243f a b f a b '=-???=-+=-??

＝，解得134a b ?=

??

?=?，∴所求的31()443f x x x =-+． （2）由（1）可得2

()4(2)(2)f x x x x '=-=-+．令()0f x '=，得 2x =或2x =-， ∴当2x <-时，()0f x '>；当22x -<<时，()0f x '<；当2x >时，()0f x '>．

因此，当2x =-时，()f x 有极大值

283；当2x =时，()f x 有极小值43

-， ∴函数31()443f x x x =-+的图象大致如图．由图可知：42833

k -<<．

18．解：（1）()()

()x a x x F -+=12

=a ax x x +-+-23．

（2）∵()a x x x F -+-=232

/

，当()∞+∞-∈，x 上时，()x F 单调递减．

∴ ()0232

/

≤-+-=a x x x F ，()∞+∞-∈，

x 恒成立， ∴△=0124≤-a ．解得：3

1

≥

a ． 19．解：（1）设)0()(2

≠++=a c bx ax x f ，由题设知：10)0(==c f ， 又522)(-=+='x b ax x f ，∴5,2-==b a ，∴105)(2

+-=x x x f ．

当2,)6,4[)(

,]2,1(,11=∈∈=a x f x n ，

1,]4,4

15

[)(,]3,2(,11=∈∈=a x f x n ，

42)()1(,)]1(,)(()(,]1,(,1-=-+=+∈+∈=n n f n f a n f n f x f n n x n n ，

∴??

?

??≥-===)3(42)2(1

)1(2

n n n n a n ， （2）???

?

???

≥--===)3()1)(2(1

)2(2)1(2

n n n n n a n ，

)()()()(332211n n n b a b a b a b a S ++++++++= )()(321321n n b b b b a a a a +++++++++=

)}1

1

21()3121()2111[(22{)]}42(2[2212{---++-+-+++-+?-+

+=n n n n 1

1

1032--+-=n n n ．

20．解：（1）'

22

ln 1(),ln x f x x x

+=-若 '

()0,f x = 则 1x e = 列表如下

（2）在 12a

x

x > 两边取对数, 得

1ln 2ln a x x >,由于01,x <<所以1ln 2ln a x x

>(*) 由(1)的结果可知,当(0,1)x ∈时, 1

()()f x f e e

≤=-, 为使(*)式对所有(0,1)x ∈成立,当且仅当

ln 2

a

e >-,即ln 2a e >-．

高考数学导数解法知识分享

高考中数学导数的解法 1、导数的背景： （1）切线的斜率；（2）瞬时速度. 如一物体的运动方程是21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____（答：5米/秒） 2、导函数的概念：如果函数()f x 在开区间（a,b ）内可导，对于开区间（a,b ）内的每一个0x ，都对应着一个导数 ()0f x ' ，这样()f x 在开区间（a,b ）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做()f x 在开区间（a,b ）内的导函数， 记作 ()0 lim x y f x y x ?→?'='=?()() lim x f x x f x x ?→+?-=?， 导函数也简称为导数。 提醒：导数的另一种形式0 0x x 0)()(lim )(0 x x x f x f x f y x x --='='→= 如（1）*?? ?>+≤== 1 1)(2 x b ax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b 解：?? ?>+≤==1 1)(2 x b ax x x x f y 在1=x 处可导，必连续1)(lim 1 =-→x f x b a x f x +=+ →)(lim 1 1)1(=f ∴ 1=+b a 2lim 0 =??- →?x y x a x y x =??+→?0lim ∴ 2=a 1-=b （2）*已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限： （1）h h a f h a f h 2) ()3(lim --+→?； （2）h a f h a f h ) ()(lim 20-+→? 分析：在导数定义中，增量△x 的形式是多种多样，但不论△x 选择哪种形式，△y 也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在a x =处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。 解：（1）h h a f h a f h 2) ()3(lim --+→

高三数学专题复习：导数及其应用

【考情解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查： 一是导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义； 二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题； 三是应用导数解决实际问题． 【知识梳理】 1．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点处的切线的，其切线方程是． 注意：函数在点P0处的切线与函数过点P0的切线的区别：． 2．导数与函数单调性的关系 (1)() '>0是f(x)为增函数的条件． f x 如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0． (2)() '≥0是f(x)为增函数的条件． f x 当函数在某个区间内恒有() '＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调 f x 性． 注意：导数值为0的点是函数在该点取得极值的条件．

3． 函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题． (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有 个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有． (3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的 ． 4． 几个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x )′＝ ； (2)(cos x )′＝ ； (3)(e x )′＝ ； (4)(a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (5)(x a )′＝ ； (6)(log e x )′＝ ； (7)(log a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (8)′＝ ； (9)??????? ? f (x ) g (x )′＝ (g (x )≠0) ．

高三数学一轮复习导数导学案

课题： 导数、导数的计算及其应用 2课时 一、考点梳理： 1.导数、导数的计算 （1）．导数的概念：一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0Δy Δx ＝__________，称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y '=. （2）．导函数： 记为f ′(x )或y ′. （3）．导数的几何意义： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几 何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________． ! （4）．基本初等函数的导数公式 （5）．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝__________；(2)[f (x )·g (x )]′＝__________；(3)??? ?f x g x ′ ＝__________(g (x )≠0)． （6）．复合函数的导数： 2．导数与函数的单调性及极值、最值 （1）导数和函数单调性的关系： (1)对于函数y ＝f (x )，如果在某区间上f ′(x )>0，那么f (x )为该区间上的________；如果在某区间上f ′(x )<0，那么f (x )为该区间上的________． (2)若在(a ，b )的任意子区间内f ′(x )都不恒等于0，f ′(x )≥0?f (x )在(a ，b )上为____函数，若在(a ，b )上，f ′(x )≤0，?f (x )在(a ，b )上为____函数． [ （2）函数的极值与导数 (1)判断f (x 0)是极值的方法： 一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时， ①如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ： ①____________ ；②________________ ;③_________________________. （3）求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤： (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )上的________； (2)将函数y ＝f (x )的各极值与______________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． ` 二、基础自测： 1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx 等于( )． A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2Δx 2 原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) ； f ′(x )＝________ f (x )＝sin x f ′(x )＝________ f (x )＝cos x f ′(x )＝________ f (x )＝a x f ′(x )＝________ f (x )＝e x > f ′(x )＝________ f (x )＝lo g a x f ′(x )＝________ f (x )＝ln x f ′(x )＝________

高考数学导数题型归纳

导数题型归纳 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：分离变量法： ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三：变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.

(完整)高考文科数学导数专题复习

高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3； 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2， 所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0

高三数学一轮复习 导数的综合应用

导数的综合应用 一、选择题 1.已知函数f(x)=x2+mx+ln x是单调递增函数,则m的取值范围是( B ) (A)m>-2(B)m≥-2 (C)m<2 (D)m≤2 解析:函数定义域为(0,+∞), 又f'(x)=2x+m+. 依题意有f'(x)=2x+m+≥0在(0,+∞)上恒成立, ∴m≥-恒成立,设g(x)=-, 则g(x)=-≤-2, 当且仅当x=时等号成立. 故m≥-2, 故选B. 2.(2013洛阳统考)函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f'(x)>1,则不等式 e x·f(x)>e x+1的解集为( A ) (A){x|x>0} (B){x|x<0} (C){x|x<-1或x>1} (D){x|x<-1或0e x-e x=0, 所以g(x)=e x·f(x)-e x为R上的增函数. 又因为g(0)=e0·f(0)-e0=1, 所以原不等式转化为g(x)>g(0), 解得x>0. 故选A. 3.如图所示,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S'(t)的图象大致为( A )

解析:由导数的定义知,S'(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率.如图所示,正五角星薄片中首先露出水面的是区域Ⅰ,此时其面积S(t)在逐渐增大,且增长速度越来越快,故其瞬时变化率S'(t)也应逐渐增大;当露出的是区域Ⅱ时,此时的S(t)应突然增大,然后增长速度减慢,但仍为增函数,故其瞬时变化率S'(t)也随之突然变大,再逐渐变小,但S'(t)>0(故可排除选项B);当五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再变化,故其导数值S'(t)最终应等于0,符合上述特征的只有选项A. 4.已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示.若两正 数a,b满足f(a+2b)<1,则的取值范围是( B ) (A)(B) (C)(-1,0) (D)(-∞,-1) 解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,所以f(-4)=-f(4),所以f(4)=1,所以f(a+2b)

江苏省2015届高三数学一轮复习备考试题：导数及其应用

江苏省2015年高考一轮复习备考试题 导数及其应用 一、填空题 1、（2014年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线),(y 2为常数b a x b ax +=过点)5,2(P -，且该曲线在点P 处的切线与直线0327x =++y 平行，则b a +的值是 ▲ ． 2、（2013年江苏高考）抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部与边界）。若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 。 3、（2015届江苏苏州高三9月调研）函数()321122132 f x ax ax ax a =+-++的图象经过四个象限的充要条件是 ▲ 4、（南京市2014届高三第三次模拟）设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)的导函数为f′(x )．对 任意x ∈R ，不等式f (x )≥f′(x )恒成立，则b 2 a 2+c 2的最大值为 ▲ 5、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））直线y = kx 与曲线2e x y =相切，则实数k = ▲ 6、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ 7、（江苏省南京市第一中学2014届高三12月月考）已知R 上的可导函数)(x f 的导函数)(x f '满足：)(x f '+)(x f 0>，且1)1(=f 则不等式>)(x f 11 -x e 的解是 ． 8、（江苏省阜宁中学2014届高三第三次调研）若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且 ()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数是 ▲ . 9、（江苏省如东县掘港高级中学2014届高三第三次调研考试）函数12ln y x x =+的单调减区间为__________ 10、（江苏省睢宁县菁华高级中学2014届高三12月学情调研）已知函数()f x ,()g x 满足(1)2f =,(1)1f '=,(1)1g =,(1)1g '=,则函数()(()1)()F x f x g x =-?的图象在1x =处的切线方程为 ▲ . 11、曲线2(1)1()e (0)e 2 x f f x f x x '=-+在点(1，f (1))处的切线方程为 ▲ ．

高考数学导数的解题技巧

2019年高考数学导数的解题技巧高考导数题主要是考查与函数的综合，考查不等式、导数的应用等知识，难度属于中等难度。 都有什么题型呢？ ①应用导数求函数的单调区间，或判定函数的单调性； ②应用导数求函数的极值与最值； ③应用导数解决有关不等式问题。 有没有什么解题技巧啦？ 导数的解题技巧还是比较固定的，一般思路为 ①确定函数f(x)的定义域（最容易忽略的，请牢记）； ②求方程f′(x)=0的解，这些解和f(x)的间断点把定义域分成若干区间； ③研究各小区间上f′(x)的符号，f′(x)＞0时，该区间为增区间，反之则为减区间。 从这两步开始有分类讨论，函数的最值可能会出现极值点处或者端点处，多项式求导一般结合不等式求参数的取值范围，根据题目会有一定的变化，那接下来具体总结一些做题技巧。 技巧破解+例题拆解 1．若题目考察的是导数的概念，则主要考察的是对导数在一点处的定义和导数的几何意义，注意区分导数与△y/△x 之间的区别。

观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。

2020届高考数学导数的11个专题

目录 导数专题一、单调性问题 (2) 导数专题二、极值问题 (38) 导数专题三、最值问题 (53) 导数专题四、零点问题 (77) 导数专题五、恒成立问题和存在性问题 (118) 导数专题六、渐近线和间断点问题 (170) 导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题 (190) 导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 (201) 导数专题九、公切线解决导数中零点问题 (214) 导数专题十、极值点偏移问题 (219) 导数专题十一、构造函数解决导数问题 (227)

导数专题一、单调性问题 【知识结构】 【知识点】 一、导函数代数意义：利用导函数的正负来判断原函数单调性； 二、分类讨论求函数单调性：含参函数的单调性问题的求解，难点是如何对参数进行分类讨论， 讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系. 三、分类讨论的思路步骤： 第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点； 第二步、以导函数的零点存在性进行讨论；当导函数存在多个零点的时，讨论他们的大小关系及与 区间的位置关系（分类讨论）； 第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号（画导图、标正负、截定义域）；第四步、（列表）根据第五步的草图列出f '(x)，f (x)随x 变化的情况表，并写出函数的单调区间； 第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点，极值与区间端点函数 值比较得到函数的最值. 四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点： 1.最高次项系数是否为0； 2.导函数是否有极值点； 3.两根的大小关系； 4.根与定义域端点讨论等。 五、求解函数单调性问题的思路： （1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为f '(x) ≥ 0 或f '(x) ≤ 0 恒成立； （2）已知区间上不单调，转化为导函数在区间上存在变号零点，通常利用分离变量法求解参 变量的范围； （3）已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于 零有解. 六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法 （1）参变分离； （2）导函数的根与区间端点直接比较；

届高三数学第一轮复习导数

导 数 第3章 导数及其运用 §3.1导数概念及其几何意义 重难点：了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义． 考纲要求：①了解导数概念的实际背景． ②理解导数的几何意义． 经典例题：利用导数的定义求函数y=|x|(x ≠0)的导数． 当堂练习： 1、在函数的平均变化率的定义中，自变量的的增量x ?满足（ ） 2 3 ） 4 5A C 6A ．7A ．f ′(x0)>0 B ．f ′(x0)<0 C ．f ′(x0)=0 D ．f ′(x0)不存在 8．已知命题p ：函数y=f(x)的导函数是常数函数；命题q ：函数y=f(x)是一次函数，则命题p 是命题q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9．设函数f(x)在x0处可导，则0 lim →h h h x f h x ) ()(00--+等于 A ．f ′(x0) B ．0 C ．2f ′(x0) D ．－2f ′(x0) 10．设f(x)=x(1+|x|),则f ′(0)等于

A ．0 B ．1 C ．－1 D ．不存在 11．若曲线上每一点处的切线都平行于x 轴，则此曲线的函数必是___． 12．两曲线y=x2+1与y=3－x2在交点处的两切线的夹角为___________． 13．设f(x)在点x 处可导，a 、b 为常数，则0 lim →?x x x b x f x a x f ??--?+) ()(=_____． 14．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m ，时间单位：s)，求小球在t=5时的 瞬时速度________． 15.已知质点M 按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)， (1)当t=2，Δt=0.01时，求t s ??． 法则3 2()()v x v x ???? 经典例题：求曲线y=2 1x x +在原点处切线的倾斜角. 当堂练习： 1.函数f （x ）=a4+5a2x2－x6的导数为 ( ) A.4a3+10ax2－x6 B.4a3+10a2x －6x5 C.10a2x －6x5 D.以上都不对 2.函数y=3x （x2+2）的导数是( ) A.3x2+6 B.6x2 C.9x2+6 D.6x2+6

高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系

高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系 21、（本题满分14分） 已知函数1()ln ,()f x a x a R x =-∈其中 （1）设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。 （2）若函数()f x 有唯一的零点，求a 取值范围。 21．解：（1）1()ln h x a x x x =-+，定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x ++'=++=………………2分 令22()1,4g x x ax a =++?=- 当0?≤，即22a -≤≤时()0g x ≥，()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分 当0?>即2a <-或2a >时，由()0g x =得1x =，2x = ………………5分 若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立 所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分 若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x > 此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>；当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减……………………7分 综上，当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增 当2a <-时()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减……………8分 （2）方法1：问题等价于1ln a x x = 有唯一实根 显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a =有唯一实根……………10分 构造函数()ln x x x ?=，则()1ln x x ?'=+ 由0ln 1'=+=x ?，得e x 1=

高考数学专题导数题的解题技巧

第十讲 导数题的解题技巧 【命题趋向】导数命题趋势： 综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点： （1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题. （2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题. 【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2007年北京卷）()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2 2 ()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=Q 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实 数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.

高考数学真题导数专题及答案

2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R， （1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在0处的导数等于0； （）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

高三数学第一轮复习导数讲义(小结)

高三数学第一轮复习导数讲义（小结） 一．课前预习： 1．设函数()f x 在0x x =处有导数，且1)()2(lim 000=?-?+→?x x f x x f x ，则0()f x '=（ C ） ()A 1 ()B 0 ()C 2 ()D 2 1 2．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图（1）所示，则()y f x =的图象 （ D ） 3．若曲线3y x px q =++与x 轴相切，则,p q 之间的关系满足 （ A ） ()A 22()()032p q += ()B 23()()023 p q += ()C 2230p q -= ()D 2230q p -= 4．已知函数23()2 f x ax x =-的最大值不大于16，又当11[,]42x ∈时，1()8f x ≥，则a = 1 ． 5．若对任意3,()4,(1)1x R f x x f '∈==-，则()f x =42x -． 四．例题分析： 例1．若函数3211()(1)132 f x x ax a x = -+-+在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,)+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围． 解：2()1(1)[(1)]f x x ax a x x a '=-+-=---， 令()0f x '=得1x =或1x a =-， ∴当(1,4)x ∈时，()0f x '≤，当(6,)x ∈+∞时，()0f x '≥， ∴416a ≤-≤，∴57a ≤≤． 例2．已知函数3()f x ax cx d =++(0)a ≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-， （1）求()f x 的单调区间和极大值； （2）证明对任意12,(1,1)x x ∈-，不等式12|()()|4f x f x -<恒成立． 解：（1）由奇函数的定义，应有)()(x f x f -=-，R x ∈， 即d cx ax d cx ax ---=+--33，∴ 0=d ，∴cx ax x f +=3)(，∴c ax x f +='23)(，由条件2)1(-=f 为)(x f 的极值，必有0)1(='f ，故???=+-=+0 32c a c a ， 解得1=a ，3-=c ，∴x x x f 3)(3-=，)1)(1(333)(2-+=-='x x x x f ， ∴0)1()1(='=-'f f ，

高三数学重点知识：导数及其应用

2019年高三数学重点知识：导数及其应用查字典数学网高中频道收集和整理了2019年高三数学重点知识：导数及其应用，以便高中生在高考备考过程中更好的梳理知识，轻松备战。祝大家暑假快乐。 一基础再现 考点87简单复合函数的导数 1.曲线在点处的切线方程为____________。 2.已知函数和的图象在处的切线互相平行，则=________. 3.(宁夏、海南卷)设函数 (Ⅰ)讨论的单调性；(Ⅱ)求在区间的最大值和最小值. 考点88定积分 4.计算 5.(1)；(2) 6. 计算= 7.___________ 8.求由曲线y=x3，直线x=1，x=2及y=0所围成的曲边梯形的面积. 二感悟解答 1.答案： 2.答案：6 3.解：的定义域为. 当时，；当时，；当时，.

从而，分别在区间，单调增，在区间单调减. (Ⅱ)由(Ⅰ)知在区间的最小值为. 又. 所以在区间的最大值为. 4.答案：6 5.答案：(1) 死记硬背是一种传统的教学方式，在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展，死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式，渐渐为人们所摒弃；而另一方面，老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实，只要应用得当，“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反，它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。 (2)利用导数的几何意义：与x=0，x=2所围图形是以(0，0)为圆心，2为半径的四分之一个圆，其面积即为(图略) 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重

(完整版)高三文科数学导数专题复习

高三文科数学导数专题复习 1.已知函数)(,3 ,sin )(x f x x b ax x f 时当π =+=取得极小值 33 -π . （Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）设直线)(:),(:x F y S x g y l ==曲线. 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件： （1）直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点； （2）对任意x ∈R 都有)()(x F x g ≥. 则称直线l 为曲线S 的“上夹线”. 试证明：直线2:+=x y l 是曲线x b ax y S sin :+=的“上夹线”. 2. 设函数3 221()231,0 1.3 f x x ax a x a =- +-+<< （1）求函数)(x f 的极大值； （2）若[]1,1x a a ∈-+时，恒有()a f x a '-≤≤成立（其中()f x '是函数()f x 的导函数），试确定实数a 的取值范围． 3.如图所示，A 、B 为函数)11(32 ≤≤-=x x y 图象上两点，且AB//x 轴，点M （1，m ）（m>3）是△ABC 边AC 的中点. （1）设点B 的横坐标为t ，△ABC 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式)(t f S =； （2）求函数)(t f S =的最大值，并求出相应的点C 的坐标.

4. 已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数. （I ）求)(x f 、)(x g 的表达式； （II ）求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解； (III ）当1->b 时,若21 2)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围 5. 已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2x =处有极值，曲线()y f x =在1x =处的切线平行于直线32y x =--，试求函数()f x 的极大值与极小值的差。 6.函数x a x x f - =2)(的定义域为]1,0(（a 为实数）. （1）当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域； （2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围； （3）求函数)(x f y =在∈x ]1,0(上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值. 7.设x=0是函数2()()()x f x x ax b e x R =++∈的一个极值点. （Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）设]2,2[,,)1()(,0212 2-∈++-=>+ξξ问是否存在x e a a x g a ，使得|1|)()(21≤-ξξg f 成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由. 8. 设函数()2ln q f x px x x =- -，且()2p f e qe e =--，其中e 是自然对数的底数. （1）求p 与q 的关系；

高考数学导数专题复习(基础精心整理)学生版

导数专题复习（基础精心整理）学生版 【基础知识】 1.导数定义：在点处的导数记作k = 相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=- 2.常见函数的导数公式: ①；②；③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧ 。 3.导数的四则运算法则： （1） （2） （3） 4.导数的应用： （1）利用导数判断函数单调性： ①是增函数；②为减函数；③为常数； （2）利用导数求极值：①求导数；②求方程的根；③列表得极值（判断零点两边的导函数的正负）。 （3）利用导数求最值：比较端点值和极值 【基本题型】 一、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率 ()()00f x x f x y x x +?-?=?V ；（3）取极限，得导数()00lim x y f x x →?'=?V 。 例1..已知x f x f x x f x ?-?+=→?) 2()2(lim ,1)(0则的值是（ ） A. 41- B. 2 C. 4 1 D. －2 变式1：()()()为则设h f h f f h 233lim ,430 --='→（ ） A ．－１ Ｂ．－2 C ．－3 D ．1 二、导数的几何意义 ()f x 0x x x f x x f x f x x y x ?-?+='=='→?) ()(lim )(|000 00'0C ='1()n n x nx -='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'()ln x x a a a =x x e e =')('1(log )ln a x x a =x x 1 )(ln '= )()()()(])()(['+'='x g x f x g x f x g x f 2)()()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f ' -'=' ??? ? ??' ?'='x u u f x u f ))(()(0)(x f x f ?>')(0)(x f x f ?<')(0)(x f x f ?≡')(x f '0)(='x f

高三数学一轮复习——导数的概念及运算

高三数学一轮复习——导数的概念及运算 考试要求 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1 x ，y ＝x 的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f (ax ＋b ))的导数；6.会使用导数公式表. 知 识 梳 理 1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ?→ f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ?→ Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ?→Δy Δx ＝ lim x ?→f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 2.函数y ＝f (x )的导函数 如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 称为函数y ＝f (x )在开区间内的导 函数. 3.导数公式表 基本初等函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0