二次函数的应用(实际问题)
全国中考数学试题分类解析汇编
专题23：二次函数的应用（实际问题）
一、选择题
1. （2012四川资阳3分）如图是二次函数2
y=ax
+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式2ax +bx+c<0的解集是【 】
A ．1 B ．x>5 C ．x<1-且x>5 D ．1 【答案】D 。 【考点】二次函数与不等式（组），二次函数的性质。 【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x 轴的另一个交点坐标，结合图象可得出2 ax +bx+c<0的解集： 由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0）， ∴图象与x 轴的另一个交点坐标为（－1，0）。 由图象可知：2 ax +bx+c<0的解集即是y ＜0的解集， ∴x＜－1或x ＞5。故选D 。 二、填空题 1. （2012浙江绍兴5分）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为21 (4)312 y x =- -+，由此可知铅球推出的距离是 ▲ m 。 【答案】10。 【考点】二次函数的应用。 【分析】在函数式21 (4)312 y x =- -+中，令0y =，得 21 (4)3012 x - -+=，解得110x =，22x =-（舍去） ， ∴铅球推出的距离是10m 。 2. （2012湖北襄阳3分）某一型号飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）之间的函数关系式是y=60x ﹣1.5x 2 ，该型号飞机着陆后滑行 ▲ m 才能停下来． 【答案】600。 【考点】二次函数的应用。1028458 【分析】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值。 ∵﹣1.5＜0，∴函数有最大值。 ∴() 2060s 6004 1.5-==?-最大值 ，即飞机着陆后滑行600米才能停止。 3. （2012山东济南3分）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx ．小强骑自行车从拱梁一端O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC ，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC 共需 ▲ 秒． 【答案】36。 【考点】二次函数的应用 【分析】设在10秒时到达A 点，在26秒时到达B ， ∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同， ∴A，B 关于对称轴对称。 则从A 到B 需要16秒，从A 到D 需要8秒。 ∴从O 到D 需要10+8=18秒。∴从O 到C 需要2×18=36秒。 三、解答题 1. （2012重庆市10分）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y 1（吨）与月份x （1≤x≤6，且x 取整数）之间满足的函数关系如下表： 7至12月，该企业自身处理的污水量y 2（吨）与月份x （7≤x≤12，且x 取整数）之间满足二次函数关系式为y 2=ax 2 +c(a≠0)．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z 1（元）与月份x 之间满足函数关系式：11z x 2= ，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x 之间满足函数关系式：2231 z = x x 412 -；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元． （1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y 1，y 2与x 之间的函数关系式； （2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W （元）最多，并求出这个最多费用； （3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a ﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a 的整数值． （参考数据： ≈15.2， ≈20.5， ≈28.4） 【答案】解：（1）根据表格中数据可以得出xy=定值， 则y 1与x 之间的函数关系为反比例函数关系：1k y x =。 将（1，12000）代入得：k=1×12000=12000， ∴112000 y x = （1≤x≤6，且x 取整数）。 根据图象可以得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，代入y 2=ax 2 +c 得： 49a+c=10049144a+c=10144???，解得：a=1 c=10000?? ? 。 ∴y 2=x 2 +10000（7≤x≤12，且x 取整数）。 （2）当1≤x≤6，且x 取整数时： ()2111212000 11200031W=y z +12000y z = x+12000 x x x 2x 412???? ?-??-?- ? ????? =﹣1000x 2 +10000x ﹣3000=﹣1000（x ﹣5）2 +2200。 ∵a=﹣1000＜0， 1≤x≤6，∴当x=5时，W 最大=22000（元）。 当7≤x≤12时，且x 取整数时： W=2×（12000﹣y 1）+1.5y 2=2×（12000﹣x 2 ﹣10000）+1.5（x 2 +10000）=﹣12 x 2 +1900。 ∵a=﹣ 1 2 ＜0，对称轴为x=0，当7≤x≤12时，W 随x 的增大而减小， ∴当x=7时，W 最大=18975.5（元）。 ∵22000＞18975.5， ∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元。 （3）由题意得：12000（1+a%）×1.5××（1﹣50%）=18000， 设t=a%，整理得：10t 2 +17t ﹣13=0，解得：17809 t= 20 ±。 ∵809≈28.4，∴t 1≈0.57，t 2≈﹣2.27（舍去）。 ∴a≈57。 答：a 整数值是57。 【考点】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，解一元二次方程。 【分析】（1）利用表格中数据可以得出xy=定值，则y 1与x 之间的函数关系为反比例函数关系，求出即可。再利用函数图象得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，求出二次函数解析式即可。 （2）利用当1≤x≤6时，以及当7≤x≤12时，分别求出处理污水的费用，即可得出答案。 （3）利用今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a 一30）%，得出等式12000（1+a%）×1.5××（1-50%）=18000，进而求出即可。 2. （2012安徽省14分）如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2 +h.已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m 。 （1）当h=2.6时，求y 与x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围） （2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围。 【答案】解：（1）把x=0，y=,及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h，即2=a(0－6)2+2.6，∴ 1 a 60 =- ∴当h=2.6时， y与x的关系式为y= 1 60 - (x－6)2+2.6 （2）当h=2.6时，y= 1 60 - (x－6)2+2.6 ∵当x=9时，y= 1 60 - (9－6)2+2.6=2.45＞2.43，∴球能越过网。 ∵当y=0时，即 1 60 - (18－x)2+2.6=0，解得x=6+156＞18，∴球会过界。 （3）把x=0,y=2,代入到y=a(x-6)2+h得 2h a 36 -=。 x=9时，y=2h 36 - (9－6)2+h 23h 4 + =＞2.43 ① x=18时，y=2h 36 - (18－6)2+h=h 3 8-≤0 ② 由① ②解得h≥8 3。 ∴若球一定能越过球网，又不出边界， h的取值范围为h≥8 3。 【考点】二次函数的性质和应用。 【分析】（1）利用h=2.6，将（0，2）点，代入解析式求出即可。 （2）利用h=2.6，当x=9时，y= 1 60 - (9－6)2+2.6=2.45与球网高度比较；当y=0时，解出x值与球场的边界距离比较， 即可得出结论。 （3）根据球经过点（0，2）点，得到a与h的关系式。由x=9时球一定能越过球网得到y＞2.43；由x=18时球不出边界得到y≤0。分别得出h的取值范围，即可得出答案。 3. （2012浙江嘉兴、舟山12分）某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出工辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出） （1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为元（用含x的代数式表示）； （2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ （3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？ 4. （2012浙江台州12分）某汽车在刹车后行驶的距离s （单位：米）与时间t （单位：秒）之间的关系得部分数据如下表： 时间t （秒） 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 … 行驶距离s （米） 2.8 5.2 7.2 8.8 10 10.8 … （1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点； （2）选择适当的函数表示s 与t 之间的关系，求出相应的函数解析式； （3）①刹车后汽车行驶了多长距离才停止？ ②当t 分别为t 1，t 2（t 1＜t 2）时，对应s 的值分别为s 1，s 2，请比较11 s t 与22 s t 的大小，并解释比较结果的实际意义． 【答案】解：（1）描点图所示： （2）由散点图可知该函数为二次函数。设二次函数的解析式为：s=at 2 ＋bt ＋c ， ∵抛物线经过点（0，0），∴c=0。 又由点（0.2，2.8），（1，10）可得： 0.04a+0.2b=2.8a+b=10?? ? ，解得：a=5 b=15-???。 经检验，其余各点均在s=－5t 2 +15t 上。 ∴二次函数的解析式为：2 s 5t 15t =-+。 （3）①汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离。 ∵2 2 345s 5t 15t=5t 24? ?=-+--+ ??? ，∴当t=32时，滑行距离最大，为454。 因此，刹车后汽车行驶了45 4 米才停止。 ②∵2 s 5t 15t =-+，∴22111222s 5t 15t s 5t 15t =-+=-+，。 ∴22111222 121122 s 5t 15t s 5t 15t = =5t 15==5t 15t t t t -+-+-+-+ ，。 ∵t 1＜t 2，∴()()1 2 12211 2 s s =5t 155t 15=5t t 0t t >- -+--+-。∴1212s s t t >。 其实际意义是刹车后到t 2时间内的平均速到t 1时间内的度小于刹车后平均速度。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质和应用，不等式的应用。 【分析】（1）描点作图即可。 （2）首先判断函数为二次函数。用待定系数法，由所给的任意三点即可求出函数解析式。 （3）将函数解析式表示成顶点式（或用公式求），即可求得答案。 （4）求出 11s t 与22 s t ，用差值法比较大小。 5. （2012江苏常州7分）某商场购进一批L 型服装（数量足够多），进价为40元/件，以60元/件销售，每天销售20件。根据市场调研，若每件每降1元，则每天销售数量比原来多3件。现商场决定对L 型服装开展降价促销活动，每件降价x 元（x 为正整数）。在促销期间，商场要想每天获得最大销售利润，每件降价多少元？每天最大销售毛利润为多少？（注：每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差） 【答案】解：根据题意，商场每天的销售毛利润Z=（60－40－x ）（20＋3x ）=－3x 2 ＋40x+400 ∴当b 402 x===62a 33 - --时，函数Z 取得最大值。 ∵x 为正整数，且22 766633 <--， ∴当x=7时，商场每天的销售毛利润最大，最大销售毛利润为－3·72 ＋40·7+400=533。 答：商场要想每天获得最大销售利润，每件降价7元，每天最大销售毛利润为533元。 【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。 【分析】求出二次函数的最值，找出x 最接近最值点的整数值即可。 6. （2012江苏无锡8分）如图，在边长为24cm 的正方形纸片ABCD 上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A ．B ．C ．D 四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E 、F 在AB 边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x （cm ）． （1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V ； （2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S 最大，试问x 应取何值？ 【答案】解：（1）根据题意，知这个正方体的底面边长a=2x ，EF=2a=2x ， ∴x+2x+x=24，解得：x=6。则 a=62， ∴V=a 3 =（62）3 =4322（cm 3 ）； （2）设包装盒的底面边长为acm ，高为hcm ，则a=2 x ，()242x h 212x 2 -= =-， ∴S=4ah+a 2 =()( ) ()2 2 242x 212x 2x 6x 96x=6x 8238?-+ =-+--+。 ∵0＜x ＜12，∴当x=8时，S 取得最大值384cm 2 。 【考点】二次函数的应用。 【分析】（1）根据已知得出这个正方体的底面边长a=2x ，EF=2a=2x ，再利用AB=24cm ，求出x 即可得出这个包装盒的体积V 。 （2）利用已知表示出包装盒的表面，从而利用函数最值求出即可。 7. （2012江苏盐城12分） 知识迁移： 当0a >且0x >时，因为2 ()a x x - ≥0,所以2a x a x -+≥0,从而a x x +≥2a (当 x a =时取等号).记函数(0,0)a y x a x x =+>>,由上述结论可知：当x a =时,该函数有最小值为2a . 直接应用：已知函数 1(0)y x x =>与函数21 (0)y x x = >, 则当x =_________时,12y y +取得最小值 为_________. 变形应用：已知函数 11(1)y x x =+>-与函数22(1)4(1)y x x =++>-,求 21 y y 的最小值,并指出取得该 最小值时相应的x 的值. 实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用,共360元；二是燃油费,每 千米为1.6元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为0.001.设该汽车一次运输的路程为x 千米, 求当x 为多少时,该汽车平均每千米的运输成本．．．．．．．．．． 最低？最低是多少元？ 【分析】直接运用：可以直接套用题意所给的结论，即可得出结果： ∵函数 (0,0)a y x a x x =+>>,由上述结论可知：当x a =时,该函数有最小值为2a ， ∴函数1(0)y x x =>与函数21 (0)y x x =>，则当11x ==时，12y y +取得最小值为212=。 变形运用：先得出 21 y y 的表达式，然后将1x +看做一个整体，再运用所给结论即可。 实际运用：设该汽车平均每千米的运输成本为 y 元，则可表示出平均每千米的运输成本，利用所 给的结论即可得出答案。 8. （2012江苏扬州12分）已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l 是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标； (3)在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c ， ∴可设抛物线为y ＝a （x ＋1）（x －3）。 又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a （0＋1）（0－3），即a=－1。 ∴抛物线的解析式为y ＝－（x ＋1）（x －3），即y ＝－x 2 ＋2x ＋3。 （2）连接BC ，直线BC 与直线l 的交点为P 。 则此时的点P ，使△PAC 的周长最小。 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ， 将B(3，0)，C(0，3)代入，得： 3k+b=0b=3?? ? ，解得：k=1 b=3-???。 ∴直线BC 的函数关系式y ＝－x ＋3。 当x －1时，y ＝2，即P 的坐标(1，2)。 （3）存在。点M 的坐标为(1， 6)，(1，－6)，(1，1)，(1，0)。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，线段中垂线的性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质。 【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可。 （2）由图知：A 、B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC ，那么BC 与直线l 的交点即为符合条件的P 点。 （3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC 、②MA＝MC 、②AC＝MC ；可先设出M 点的坐标，然 后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解： ∵抛物线的对称轴为： x=1，∴设M(1，m)。 ∵A(－1，0)、C(0，3)，∴MA 2 ＝m 2 ＋4，MC 2 ＝m 2 －6m ＋10，AC 2 ＝10。 ①若MA ＝MC ，则MA 2 ＝MC 2 ，得：m 2 ＋4＝m 2 －6m ＋10，得：m ＝1。 ②若MA ＝AC ，则MA 2＝AC 2，得：m 2 ＋4＝10，得：m ＝±6。 ③若MC ＝AC ，则MC 2 ＝AC 2 ，得：m 2 －6m ＋10＝10，得：m ＝0，m ＝6， 当m ＝6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去。 综上可知，符合条件的M 点，且坐标为(1，6)，(1，－6)，(1，1)，(1，0)。 9. （2012福建莆田8分）如图，某种新型导弹从地面发射点Ｌ处发射，在初始竖直加速飞行阶段，导弹上升的高度y(km)与飞行时间x(s)之间的关系式为211 y x x 186 = + (0x 10)≤≤．发射3 s 后，导弹到达A 点，此时位于与L 同一水平面的R 处雷达站测得AR 的距离是2 km ，再过3s 后，导弹到达B 点． (1)(4分)求发射点L 与雷达站R 之间的距离； (2)(4分)当导弹到达B 点时，求雷达站测得的仰角(即∠BRL)的正切值． 【答案】解：(1)把x ＝3代入211 y x x 186 = +，得y ＝1，即AL ＝1。 在Rt△ARL 中，AR ＝2，∴ LR ＝2222AR AL =21=3-- 。 (2)把x ＝3＋3＝6代入211 y x x 186 =+，得y ＝3，即BL ＝3 。 ∴tan∠BRL＝ BL 3 3LR 3 ＝＝。 答：发射点L 与雷达站R 之间的距离为3km ，雷达站测得的仰角的正切值3。 【考点】二次函数的应用，解直角三角形的应用（仰角俯角问题），勾股定理，锐角三角函数定义。 【分析】（1）在解析式中，把x=3代入函数解析式，即可求得AL 的长，在直角△ALR 中，利用勾股定理即可求得LR 的长。 （2）在解析式中，把x=6代入函数解析式，即可求得AL 的长，在直角△BLR 中，根据正切函数的定义 即可求解。 10. （2012湖北武汉10分）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和 矩形的三边AE ，ED ，DB 组成，已知河底ED 是水平的，ED ＝16m ，AE ＝8m ，抛物线的顶点C 到ED 的 距离是11m ，以ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)已知从某时刻开始的40h 内，水面与河底ED 的距离h(单位：m)随时间t(单位：h)的变化满足函数 关系21 h=(t 19)+8(0t 40)128 - -≤≤且当水面到顶点C 的距离不大于5m 时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？ 【答案】解：（1）设抛物线的为y=ax 2 +11，由题意得B （8，8），∴64a+11=8，解得3 a 64 =- 。 ∴抛物线的解析式y= 364 -x 2 +11。 （2）画出21 h=(t 19)+8(0t 40)128 - -≤≤的图象： 水面到顶点C 的距离不大于5米时，即水面与河底ED 的距离h≥6， 当h=6时，21 6=(t 19)+8128 - -，解得t 1=35，t 2=3。 ∴35－3=32（小时）。 答：需32小时禁止船只通行。 【考点】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把B 坐标代入即可求解。 （2）水面到顶点C 的距离不大于5米时，即水面与河底ED 的距离h 至多为6，把6代入所给二次函数关系式，求得t 的 值，相减即可得到禁止船只通行的时间。 11. （2012湖北黄冈12分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价 定为3000 元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种 新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购 买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元． (1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元? (2)设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并 写出自变量x 的取值范围． (3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变) 【答案】解：（1）设件数为x ，依题意，得3000－10（x －10）=2600，解得x=50。 答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。 （2）当0≤x≤10时，y=（3000－2400）x=600x ； 当10＜x≤50时，y=x ，即y=－10x 2 +700x ； 当x ＞50时，y=（2600－2400）x=200x 。 ∴2600x(0x 10x ) y 10x 700x(10x 50x )200x(x 50x )<>≤≤??=-+≤??? ，且整，且整，且整为数为数为数。 （3）由y=－10x 2 +700x 可知抛物线开口向下，当() 700 x 35210=- =?-时，利润y 有最大值， 此时，销售单价为3000－10（x －10）=2750元， 答：公司应将最低销售单价调整为2750元。 【考点】二次函数的应用。 【分析】（1）设件数为x ，则销售单价为3000-10（x-10）元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解。 （2）由利润y=销售单价×件数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x ＞50三种情况列出函数关系式。 （3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x 的值，确定销售单价。 12. （2012湖南岳阳10分）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm ，锅深3dm ，锅盖高1dm （锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直接坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为C 1，把锅盖纵断面的抛物线记为C 2． （1）求C 1和C 2的解析式； （2）如图②，过点B 作直线BE ：y=1 3 x ﹣1交C 1于点E （﹣2，﹣53），连接OE 、BC ，在x 轴上求一点P ，使以点 P 、B 、C 为顶点的△PBC 与△BOE 相似，求出P 点的坐标； （3）如果（2）中的直线BE 保持不变，抛物线C 1或C 2上是否存在一点Q ，使得△EBQ 的面积最大？若存在，求出Q 的坐标和△EBQ 面积的最大值；若不存在，请说明理由． Page 15 of 22 让每一个学生超越老 师！ 【答案】解：（1）∵抛物线C 1、C 2都过点A （﹣3，0）、B （3，0）， ∴设它们的解析式为：y=a （x ﹣3）（x+3）。 ∵抛物线C1还经过D （0，﹣3），∴﹣3=a （0﹣3）（0+3），解得a=1 3 。 ∴抛物线C 1：y=13（x ﹣3）（x+3），即y=13 x 2 ﹣3（﹣3≤x≤3）。 ∵抛物线C 2还经过A （0，1），∴1=a（0﹣3）（0+3），a=﹣1 9 ∴抛物线C 2：y=﹣19（x ﹣3）（x+3），即y=﹣19x 2 +1（﹣3≤x≤3）。 （2）∵直线BE ：y=13x ﹣1必过（0，﹣1），∴∠CBO=∠E BO （tan∠CBO=tan∠EBO=1 3 ）。 ∵由E 点坐标可知：tan∠AOE≠1 3 ，即∠AOE≠∠CBO， ∴它们的补角∠EOB≠∠CBx。 若以点P 、B 、C 为顶点的△PBC 与△BOE 相似，只需考虑两种情况： ①∠CBP 1=∠EBO，且OB ：BE=BP 1：BC ， 由已知和勾股定理，得OB=3，BE=510 3 ，BC=10。 ∴3： 510 3=BP 1：10， 得：BP 1=95，OP 1=OB ﹣BP 1=65。∴P 1（6 5 ，0） ②∠P 2BC=∠EBO，且BC ：BP 2=OB ：BE ，即： 10：BP 2=3： 5103，得：BP 2=509，OP 2=BP 2﹣OB=239。∴P 2（﹣23 9 ，0）． 综上所述，符合条件的P 点有：P 1（65，0）、P 2（﹣23 9 ，0）。 （3）如图，作直线l∥直线BE ，设直线l ：y=1 3 x+b 。 ①当直线l 与抛物线C 1只有一个交点时： 13x+b=13 x 2﹣3，即：x 2 ﹣x ﹣（3b+9）=0。 由△=（－1）2 ＋4（3b+9）=0。得37b=12 - 。 此时，135x=y=2 12- ，。 ∴该交点Q 2（135 212 - ，） 。 过点Q 2作Q 2F⊥BE 于点F ，则由BE ：y=1 3 x ﹣1可用相似得Q 2F 的斜率为－3， 设Q 2F ：y=－3x ＋m 。将Q 2（1352 12- ，）代入，可得17m=12 -。∴Q 2F ：y=－3x 1712-。 联立BE 和Q 2F ，解得125x=y=824--，。∴F（125 824 -- ，） 。 ∴Q 2到直线 BE ：y=13x ﹣1的距离Q 2F ：22 113525510++2812248???? +-= ? ????? 。 ②当直线l 与抛物线C 2只有一个交点时：13 x+b=﹣19x 2+1，即：x 2 +3x+9b ﹣9=0。 由△=32 ＋4（9b －9）=0。得3 b=4 。 此时，3 3x=y= 2 4 -，。∴该交点Q 1（3324- ，） 。 同上方法可得Q 1到直线 BE ：y=1 3 x ﹣1 的距离：271040。 ∵51027102510271010==0840404020 <---， ∴符合条件的Q 点为Q 1（33 24- ，） 。 ∴△EBQ 的最大面积：max 127101510271045 S BE 24023408 =??=??= 。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式，点到直线的距离，平行线的性质。 【分析】（1）已知A 、B 、C 、D 四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式。 13. （2012四川达州8分） 问题背景 若矩形的周长为1，则可求出该矩形面积的最大值.我们可以设矩形的一边长为x ，面积为s ，则s 与x 的函数关系式为： ()21 s x x x 02 >=-+，利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值. 提出新问题 若矩形的面积为1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？ 分析问题 若设该矩形的一边长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数关系式为：()1 y 2(x )x 0x >=+，问题就转化为研究该函数的最大（小）值了. 解决问题 借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数()1 y 2(x )x 0x >=+ 的最大（小）值. （1）实践操作：填写下表，并用描点法 画出函数()1 y 2(x )x 0x >=+ 的图象： x ··· 14 13 12 1 2 3 4 ··· y （2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想当x= 时，函数()1 y 2(x )x 0x >=+ 有最 值（填 “大”或“小”），是 . （3）推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数()2 1 s x x x 02 >=-+的最大值，请你尝试通过配方求函数()1 y 2(x )x 0x >=+的最大（小）值，以证明你的猜想. 〔提示：当x 0>时，2x (x )=〕 【答案】解：（1）填表如下： x ··· 1 4 13 12 1 2 3 4 ··· y ··· 182 263 5 4 5 263 1 82 ··· （2）1，小，4。 （3）证明：∵22222 111y 2( x)2(x)222(x )4(x)(x)x ????=+ =-++-+????? ??? ， 当 1 x 0x - =时，y 的最小值是4，即x =1时，y 的最小值是4。 【考点】二次函数的最值，配方法的应用。 【分析】（1）分别把表中x 的值代入所得函数关系式求出y 的对应值填入表中，并画出函数图象即可。 （2）根据（1）中函数图象的顶点坐标直接得出结论即可。 （3）利用配方法把原式化为平方的形式，再求出其最值即可。 14. （2012四川巴中9分）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。如果每 件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）。设每件商品的售价上涨x 元（x 为整数），每个月的销售利润为y 元， （1）求y 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 【答案】解：（1）设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），则每件商品的利润为：（60－50＋x ）元， 总销量为：（200-10x ）件， 商品利润为：y=（60－50＋x ）（200－10x ）=－10x 2 ＋100x ＋2000。 ∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，∴0＜x≤12。 （2）∵y=－10x 2 ＋100x ＋2000=－10（x －5）2 +2250， ∴当x=5时，最大月利润y=2250。 答：每件商品的售价定为5元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2250元。 【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。 【分析】（1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y 与x 的函数关系式。 （2）根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式（或用公式法），从而得出当x=5时得出y 的 最大值。 15. （2012辽宁锦州10分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元.调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元. 设每件玩具的销售单价上涨．．了x 元时（x ．为正整数．．．． ），月销售利润为y 元. （1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围. （2）每件玩具的售价．． 定为多少元时，月销售利润恰为2520元？ （3）每件玩具的售价．．定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 【答案】解：（1）依题意得2 y (30x 20)(23010x)10x 130x 2300=+--=-++ 自变量x 的取值范围是：0＜x≤10且x 为正整数。 （2）当y=2520时，得2 10x 130x 23002520-++=， 解得x 1=2,x 2=11（不合题意，舍去）。 当x=2时，30+x=32。 ∴每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元。 （3）2 2y 10x 130x 230010(x 6.5)2722.5=-++=--+ ∵a=-10＜0 ∴当x=6.5时，y 有最大值为2722.5 。 ∵0＜x≤10且x 为正整数， ∴当x=6时，30+x=36,y=2720， 当x=7时，30+x=37,y=2720。 ∴每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润。 最大的月利润是2720元。 【考点】二次函数的应用，二次函数的最值，解一元二次方程。 【分析】（1）根据销售利润=销售量×销售单价即可得y 与x 的函数关系式。因为x 为正整数，所以x ＞0； 因为每件玩具售价不能高于40元，所以x≤40－30=10。故自变量x 的取值范围是：0＜x≤10且x 为正整数。 （2）求出函数值等于2520时自变量x 的值即可。 （3）将函数式化为顶点式即可求。 16. （2012河北省9分）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm ）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm 2 ）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据． 薄板的边长（cm ） 20 30 出厂价（元/张） 50 70 （1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式； （2）已知出厂一张边长为40cm 的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价-成本价）， ①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式． ②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？ 参考公式：抛物线：y=ax 2 ＋bx ＋c （a≠0）的顶点坐标为2b 4ac b 2a 4a ?? -- ? ??? ，- 【答案】解：（1）设一张薄板的边长为xcm ，它的出厂价为y 元，基础价为n 元，浮动价为kx 元，则y=kx+n 。 由表格中的数据，得5020k n 7030k n =+?? =+?，解得k=2 n=10???。 ∴一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式为y=2x+10。。 （2）①设一张薄板的利润为p 元，它的成本价为mx 2 元，由题意，得： p=y －mx 2 =2x ＋10－mx 2 ， 将x=40，p=26代入p=2x ＋10－mx 2 中，得26=2×40+10－m×402 ，解得m=1 25 。 ∴一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式为2 1p x 2x 1025 =- ++。 ②∵a=－ 1 25＜0，∴当x=b 2==2512a 225--?? - ??? （在5～50之间）时， p 最大值=22 141024ac b 25==3514a 425???-?- ?-?? ?? ?- ??? 。 ∴出厂一张边长为25cm 的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元。 【考点】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案。 （2）①首先假设一张薄板的利润为p 元，它的成本价为mx2元，由题意，得：p=y-mx2，进而得出m 的值，求出函数解析 式即可。 ②利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可。 17. （2012黑龙江大庆6分）将一根长为16π厘米的细铁丝剪成两段．并把每段铁丝围成圆，设所得两圆半径分别为1r 和2r . 九年级数学专题二次函数的应用题 一、解答题 1.一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5米时，达到最大高度 3.5米，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。 （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 2.某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数．（1）试求y与x之间的关系式； （2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 3.在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为（6，5）（1）求这个二次函数的解析式； 米，）2）该男同学把铅球推出去多远？（精确到0.01 （ 元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量（件）某商场以每件42，4. 件）可看成是一次函数关系：/（元与每件的销售价 之间的函数关系式（每天的销售与每件的销售价写出商场卖这种服装每天的销售利润1. 利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）； 2.通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？ 5.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路 线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件），在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由 6.某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时 每套600元，每月可卖出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可买出120套（两套服装的市场行情互不影响）。目前有一可进B品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有 如下关系： 转让数量（套）120011001000900800700600500400300200100 价格（元/套）240250260270 280290 300310 320330 340 350 方案1：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装； 方案2：全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装； 方案3：部份转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装，同时经销A品牌服装。 问： ①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？ 二次函数在实际生活中的应用 【经典母题】 某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销量为400瓶．问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润＝每瓶售价－每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？ 解：设售价为每瓶x元时，日均毛利润为y元，由题意，得日均销售量为400－40[(x－12)÷0.5]＝1 360－80x， y＝(x－9)(1 360－80x) ＝－80x2＋2 080x－12 240(10≤x≤14)． －b 2a＝－ 2 080 2×（－80） ＝13， ∵10≤13≤14，∴当x＝13时，y取最大值， y最大＝－80×132＋2 080×13－12 240＝1 280(元)． 答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1 280元． 【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题，在建立函数关系式时，应注意自变量的取值范围，在这个取值范围内，需了解函数的性质(最大最小值，变化情况，对称性，特殊点等)和图象，然后依据这些性质作出结论． 【中考变形】 1．[2017·锦州]某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图Z8－1所示． (1)图中点P所表示的实际意义是__当售价定为35元 /件时，销售量为300件__；销售单价每提高1元时， 销售量相应减少__20__件； (2)请直接写出y与x之间的函数表达式：__y＝20x图Z8－1 一元二次函数应用题 一．选择题 1、向上发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 公尺，且时间与高度关系为y =ax 2+bx 。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？ (A) 第8秒 (B) 第10秒 (C) 第12秒 (D) 第15秒 。 2、在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 A ．222-=x y B ．222+=x y C ．2)2(2-=x y D ．2)2(2+=x y 3、抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，3） B ．（－2，3） C ．（2，－3） D ．（－2，－3） 5、二次函数2(1)2y x =++的最小值是（ ）． A ．2 B ．1 C ．－3 D ． 2 3 6、抛物线22()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ ） A ．()m n ， B ．()m n -， C ．()m n -， D ．()m n --， 7.图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ） A ．22y x =- B ．22y x = C ．212y x =- D ．212y x = 8.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式中错误．． 的是（ ） A ．a ＜0 B ．c ＞0 C ．ac b 42-＞0 D ．c b a ++＞0 二．填空题 9.若把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式，其中,m k 为常数，则m k += 10.已知二次函数的图象经过原点及点（12-，14 -），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 12.函数(2)(3)y x x =--取得最大值时，x = _____ 图6（1） 图6（2） 学 科 中考数学 课题名称 二次函数综合应用 教学目标 二次函数属于中考压轴题，知识点不仅多，考点灵活多变，而且难度较高，这就要求学生在复习二次函数时，须得把相关性质及相关解题技巧掌握扎实，理解透彻。本专题通过梳理二次函数的知识点(拓展知识点)，并结合近几年上海市中考数学最后2道题二次函数的考点，把握中考二次函数命题方向，提高学生利用二次函数和结合相似等综合知识点解决问题的能力。 教学重难点 重点：二次函数解析式的确定，二次函数与x 轴交点问题，二次函数最值问题，二次函数图像上点的 存在问题，二次函数与相似等其它知识点的结合。 难点：二次函数与相似等其它知识点的结合。 知识精解 二次函数性质及相关扩展 1、一般式：y=ax 2+bx+c(a≠0), 函数图像是抛物线； 2、开口方向：（1）a>0, 开口向上， （2）a<0, 开口向下; 3、顶点坐标：（-b/2a, (4ac-b 2)/4a ）, 对称轴：x= -b/2a 4、 顶点式：y=a(x+h)2+k(a≠0) h= -b/2a, k=(4ac-b 2)/4a 5、平移问题： ①将一般式化为顶点式； ②遵循原则：“左+ 右-，上+ 下-”（左右是指沿x 轴平移，上下是指沿y 轴平移） 例：将y=x 2+4x+3先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线解析式是多少？ 6、交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a≠0) ①一元二次方程根与系数的关系：x 1+x 2= -b/a, x 1.x 2=c/a ②求根公式：x ＝2 42b b ac a -±-，其中△＝b 2－4ac 叫做根的判别式。 当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点； 当△＝0时，抛物线与x 轴有一个交点； 当△＜0时，抛物线与x 轴没有交点。 ③运用抛物线的对称性： 若已知抛物线上两点12(,)(,)、x y x y ， 则对称轴方程可以表示为：12 2 x x x += 7、增减性： ①a>0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小； 在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大。 ②a<0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大； 二次函数的建模 知识归纳：求最值的问题的方法归纳起来有以下几点： 1．运用配方法求最值； 2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值； 4．利用基本不等式或不等分析法求最值． 一、利用二次函数解决几何面积最大问题 1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。 (1)设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式； (2)当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？ 解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米）， 根据题意，得： x x x x y 18)18(2+-=-=； 又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴? ??- （自变量x 的取值范围是关键，在几何类题型中，经常采用的办法是： 利用含有自变量的加减代数式的边长来确定自变量的取值范围，例如上式 中，18-x ，就是含有自变量的加减代数式，考虑到18-x 是边长，所以边长应该＞0，但边长最长不能超过18，于是有0＜18-x ＜18，0＜x ＜18） （2）∵x x x x y 18)18(2 +-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值， 即当9) 1(2182=-?-=-=a b x 时， 81)1(41804422max =-?-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。 点评：在回答问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。 2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？ 解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（250x -）（米）， 根据题意，得：x x x x y 252 1)250(2+-=-=； 又∵500,02 500＜x＜＞x x ＞∴?????- ∵x x x x y 252 1)250(2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值， 一、一元二次方程的应用题 1．（2010年长沙）长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？ 解：（1）设平均每次降价的百分率是x ，依题意得 ………………………1分 5000（1－x ）2= 4050 ………………………………………3分 解得：x 1=10％ x 2＝ 19 10 （不合题意，舍去） …………………………4分 答：平均每次降价的百分率为10％． …………………………………5分 （2）方案①的房款是：4050×100×0.98＝（元） ……………………6分 方案②的房款是：4050×100－1.5×100×12×2＝（元） ……7分 ∵＜ ∴选方案①更优惠． ……………………………………………8分 2．（2010年成都）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2007年底全市汽车拥有量为180万辆，而截止到2009年底，全市的汽车拥有量已达216万辆． （1）求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率； （2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2010年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆． 答案：26.. 解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x 。根据题意，得 2 150(1)216x += 解得10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）。 答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%。 （2）设全市每年新增汽车数量为y 万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为21690%y ?+万辆，2011年底全市的汽车拥有量为(21690%)90%y y ?+?+万辆。根据题意得 (21690%)90%231.96y y ?+?+≤ 解得30y ≤ 答：该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆。 中考压轴题中函数之二次函数的实际应用问题，主要是解答题，也有少量的选择和填空题，常见问题有以几何为背景问题，以球类为背景问题，以桥、隧道为背景问题和以利润为背景问题四类。 一. 以几何为背景问题 原创模拟预测题1. 市政府为改善居民的居住环境，修建了环境幽雅的环城公园，为了给公园内的草评定期喷水，安装了一些自动旋转喷水器，如图所示，设喷水管AB 高出地面1.5m ，在B 处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流呈抛物线状．喷头B 与水流最高点C 的连线与地平面成45的角，水流的最高点C 离地平面距离比喷水头B 离地平面距离高出2m ，水流的落地点为D ．在建立如图所示的直角坐标系中： （1）求抛物线的函数解析式； （2）求水流的落地点D 到A 点的距离是多少m ？ 【答案】（1）213222y x x =-++；（2）(2+m ． 【解析】 试题分析：（1）把抛物线的问题放到直角坐标系中解决，是探究实际问题常用的方法，本题关键是解等腰直角三角形，求出抛物线顶点C （2，3.5）及B （0，1.5），设顶点式求解析式； （2）求AD ，实际上是求当y=0时点D 横坐标． 在如图所建立的直角坐标系中， 由题意知，B 点的坐标为(01.5)，， 45CBE BEC ∠=∴，△为等腰直角三角形， 2BE ∴=， 点坐标为(23.5)， （1）设抛物线的函数解析式为2 (0)y ax bx c a =++≠， 则抛物线过点(01.5)，顶点为(23.5)， ， 当0x =时， 1.5y c == 由22b a -=，得4b a =-， 由24 3.54ac b a -=，得2 616 3.54a a a -= 解之，得0a =（舍去），1422a b a =-∴=-=，． 所以抛物线的解析式为213222 y x x =-++． 考点：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用 点评：此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．结合实际问题并从 中抽象出函数模型，试着用函数的知识解决实际问题，学会数形结合解答二次函数的相关题型． 原创模拟预测题2.在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m ）的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成（如图所示）．若设花园的BC x 边长为（m ），花园的面积为y （m ）． （1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）满足条件的花园面积能达到200 m 吗？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由； （3）根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1）x x y 202 12+- =)150(≤ 二次函数应用题专题复习（含答案） 1、（2016?葫芦岛）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元 （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大最大利润是多少 * 2．某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件． （1）若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少 （2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元 ( 3．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大最大利润是多少 （3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量） ^ 二次函数的应用(利润问题)(答案) 二次函数的实际应用 1．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价_ _元，最大利润为_ _元． 2. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 3．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？ 4．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？ 5.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量 (件)之间的关系如下表： 若日销售量y 是销售价x 的一次函数． ⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式； ⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 6．“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)?与销售单价x (元)(30 x ）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y 与x 的函数关系式； ⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ ⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，? 现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定 绿色食品销售单价x 的范围(?直接写出答案)． 7．，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据： 销售价x （元/千克） (25) 24 23 22 … 销售量y （千克） … 2000 2500 3000 3500 … （1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x ，y ）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y 与x 之间的函数关系，并求出y 与x 之间的函数关系式； （2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P （元）与销售价x （元/千克）之间的函数关系式，并求出当x 取何值时，P 的值最大？ 8.为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元) ． (1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式； (2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元?九年级数学二次函数应用题 含答案
二次函数在实际生活中的应用
一元二次函数应用题
初中数学二次函数综合应用
二次函数在实际生活中的应用及建模应用
一元二次方程与二次函数的应用题精选题
二次函数实际应用问题及解析
初三数学二次函数应用题专题复习
(完整版)二次函数的应用(利润问题)(答案)
二次函数的实际应用----最值问题以及设计方案问题