偶然误差的处理

§1.2偶然误差的处理

在这一节里，我们假定在没有系统误差存在的情况下，来讨论偶然误差问题。

一、测量结果的最佳值——多次测量的平均值

对某一物理量进行测量时，最好进行多次重复测量。根据多次重复测量的结果，可能获得一个最接近真值的最佳值。

在相同条件下，对某物理量x进行了n次重复测量，其测量值分别

当测量次数无限增多时，根据偶然误差的性质可以证明：该平均值

作为测量的结果。

二、算术平均绝对误差

真值无法得到，误差也就无法估算。由于平均值是最佳值，可以把它作为近真值来估算误差。一般定义测量值与平均值之差为“偏差”或“离差”，它们与误差是有区别的。然而当测量次数很多时，“偏差”会接近误差。在以下讨论中，不去严格区分“偏差”和误差，把它们统称为误差。

取

量结果表达式可写为

三、标准误差——方均根误差a

在现代实验测量中，通常用标准误差来衡量一组测量值的精密度，标准误差就是均方根误差。物理量x的标准误差用σx表示，它的定义是：当测量次数无限多时，有

测量次数不可能无限多，根据误差理论，当测量次数有限时，(1-4)式应改写成：

(1-5)式是n次重复测量中单次测量的标准误差，n次测量结果平均

当偶然误差用标准误差来表示时，测量结果应写为

四、相对误差

我们把测量结果及其偶然误差写为x±Δx的形式，其中x是测量值，它可以是一次测量值，也可以是多次测量的平均值；Δx是绝对误差，它可以是一次测量中绝对误差的绝对值，也可以是平均绝对误差或标准误差。在对同一对象采用不同精度的仪器或测量方法来测量时，Δx能够表示出测量的不同精确度。但对不同对象进行测量时，却反映不出不同的精确度。例如，用米尺测量两物体的长度，测量结果为：

x1=100.00±0.05cm，x2=10.00±0.05cm，两者的绝对误差相同，均为0.05cm，但误差点测量值的比例不同，前者的精确度高于后者。因此，引入相对误差，它可以评价上述两测量结果精确度的差别。相对误差通常用百分比表示，所以又称为百分比误差。相对误差E定义为

(1-8)式中的x通常取平均值，也可以用公认值或理论值代替。

例对某电压测量的数据处理(见表1-1)。

表1-1电压的测量

在计算过程中，误差一般取一位且应与测量值的尾位对齐，误差的尾数只进不退。

本例中的偶然误差分别用平均绝对误差、标准误差、平均标准误差来表示时，其对应的测量结果为

U=10.00±0.02V；U=10.00±0.03V；U=10.00±0.02V。

五、间接测量的误差估算

物理实验中的被测量N，往往通过与直接测量量的函数关系计算出来。我们称N为间接测量量或复合量。

计算间接测量量值时，是将各直接测量量的平均值代入有关函数式求出。由于各直接测量量的平均值均有误差，因此计算的结果也必然具有一定的误差，这

称为误差的传递，其误差的大小取决于各直测量误差的大小以及函数的具体形式。

设间接测量量与若干个直测量有下述函数关系：

N＝f(x，y，…) (1-9)

x，y，…表示直测量。对上式求全微分，得：

式中，d x，d y，…和dN都是微小改变量，可以看成是各量值的误差，并分别用Δx，Δy，…和ΔN代替它们，则绝对误差公式表示为

(1-11)式称为函数误差算术传递的基本公式。将(1-10)式两边平方后略去高阶小项，得

根据(1-11)式和(1-13)式，我们把常用函数的误差算术传递公式和标准误差传递公式列成表1-2以备查用。

表1-2常用函数的误差传递公式

例测得一金属圆柱体的质量m=162.38±0.01g，长度1=39.92±0.01mm、直径d=24.927±0.002mm，求其密度和误差

若题设中的误差为平均绝对误差，用误差算术传递公式：

求得其密度为ρ=(8.335±0.003)g·cm3

若题设中的误差为标准误差，用标准误差传递公式：

求得其密度为ρ=(8.335±0.003)g·cm3

误差和数据处理习题解答

第一章 误差和数据处理习题解答 1、指出下列情况属于随机误差还是系统误差： （1）视差； （2）天平零点漂移； （3）千分尺零点不准； （4）照相底版收缩； （5）水银温度计毛细管不均匀； （6）电表的接入误差。 解：（1）忽左忽右，属随机误差； （2）往单方向漂移属系统误差；随机漂移属随机误差； （3）属系统误差，应作零点修正； （4）属系统误差； （5）按随机误差处理； （6）属系统误差，可作修正。 2、说明以下因素的系统误差将使测量结果偏大还是偏小： （1）米尺因低温而收缩； （2）千分尺零点为正值； （3）测密度铁块内有砂眼； （4）单摆公式测重力加速度，没考虑θ≠0； （5）安培表的分流电阻因温度升高而变大。 解：（1）使结果偏大； （2）使结果偏大，属系统误差，修正时应减去这正零点值； （3）使密度值偏小； （4）使结果偏小： 当θ≠0时，单摆公式为： )2 sin 411(220θπ +=g l T 或 2220 2)2sin 1(4θπ+=T l g 若用θ=0的2 0204T l g π=近似，结果偏小； （5）分流电阻变大，分流变小，使结果偏大。 3、用物理天平（仪?=0.020g ）称一物体的质量m ，共称5次，结果分别为36.127g 、 36.122g 、36.121g 、36.120g 和36.125g 。试求这些数据的平均值、绝对不确定度和相对不确定度。 解：36.12736.12236.12136.12036.12536.12336.1230 m g +++++== m S =0.0026g ， 已知：仪? =0.020g ， 0.020u g ==?

谈谈系统误差的产生原因及其消除或减少的方法

谈谈系统误差的产生原因及其消除或减少的方法 在讨论随机误差时，总是有意忽略系统误差,认为它等于零。若系统误差不存在，期望值就是真值。但是，在实际工作中系统误差是不能忽略的。所以要研究系统误差，发现和消除系统误差。 一、系统误差产生的原因 在长期的测量实践中人们发现，系统误差的产生一般的与测量仪器或装置本身的准确程度有关；与测量者本身的状况及测量时的外界条件有关。 1、在检定或测试中，标准仪器或设备的本身存在一定的误差。在进行计量检定，向下一级标准量值传递时，标准值的误差是固定不变的，属于系统误差。又称为工具误差或仪器误差。如：标称值为100g的砝码，经检定实际值为99.997g，即误差为+0.003g。用此砝码去秤量其他物体的质量，按标称值使用，则始终把被测量秤大，产生+0.003g的恒定系统误差。 某些仪器或设备，在测量前须先进行调零位，若因测量前未调零位或存在调零偏差，使得标准仪器在测量前即具有某一初始值，该初始值必然直接影响测量结果，给测量结果带来误差。这种误差，一般称零位误差，或简称零差。 某些仪器或设备，如未按要求放置，特别是某些电磁测量和无线电测量仪器或设备，未正确接地或屏蔽，或未用专用连接导线，也会给测量结果带来误差。这种误差称为装置误差。 2、测量时的客观环境条件（如温度、湿度、恒定磁场等），也会给测量结果带来误差。如，重力加速度因地点不同而异，若与重力加速度有关的某些测量，未按测量地点的不同加以适当的修正，也会给测量结果带来误差。因这种误差是由客观环境因素引起的，一般把它称为环境误差。 3、由于某些测量方法的不完善，特别是检定与测试中所使用的某些仪器或设备，在设计制造时受某些条件的限制（如元器件，制造工艺等），不得不降低某些指标，采用一些近似公式，这也会给测量结果带来误差。这种误差称方法误差或称理论误差。 4、在测量中，测量者本身生理上的某些缺陷，如听觉、视力等缺陷，也会给测量结果带来误差。此项误差又称为人员误差。 二、消除或减少系统误差的方法 mad消除或减少系统误差有两个基本方法。一是事先研究系统误差的性质和大小，以修正量的方式，从测量结果中予以修正；二是根据系统误差的性质，在测量时选择适当的测量方法，使系统误差相互抵消而不带入测量结果。

消除系统误差的软件算法的研究

消除系统误差的软件算法的研究 摘要：一般而言，由于测量步骤的不尽完善会引起测量结果的误差，其中有的来自系统误差，有的来自随机误差。随机误差被假设来自无法预测的影响量或影响的随机的时间和空间变异。系统误差和随机误差一样无法删除，但是通常我们可以采用适当的算法来降低系统误差对测量结果的影响。 本文探讨了几种消除系统误差的软件算法。 关键词：系统误差；零位误差；增益误差；非线性校正 Research of Software algorithms to eliminate systematic errors Lou Benyue (School of Information and Electrical Engineering of CUMT,Xuzhou,Jiangsu 221008) Abstract：Generally speaking, measurement errors may be caused by imperfect measurement, some of them come from systematic errors, some from random error. Random error is assumed to come from the impact can not be predicted or influence the amount of random variation in time and space. Systematic error and random error all can not be deleted, but usually we can use appropriate algorithms to reduce system errors on the measurement results. Several software algorithms which can eliminate systematic errors was discussed in this article. Keywords:Systematic error; zero error; gain error; non-linear correction 0引言 系统误差（Systematic error）又叫做规律误差。它是在一定的测量条件下，对同一个被测尺寸进行多次重复测量时，误差值的大小和符号（正值或负值）保持不变；或者在条件变化时，按一定规律变化的误差。 认识系统误差产生原因，重点是系统非线性校正，关键是建立误差模型。我们往往无法预先知道误差模型，只能通过测量获得一组反映被测值的离散数据，利用这些离散数据建立起一个反应被测量值变化的近似数学模型(即校正模型)。 有时即使有了数学模型，例如n次多项式，但其次数过高，计算太复杂、太费时，常常要从系统的实际精度要求出发，用逼近法来降低一个已知非线性特性函数的次数，以简化数学模型，便于计算和处理。因此，误差校正模型的建立，包括了由离散数据建立模型和由复杂模型建立简化模型这两层含义。 1系统误差分析（几个概念的介绍） 系统误差:是指在相同条件下，多次测量同一量时其大小和符号保持不变或按一定规律变化的误差。 恒定系统误差:校验仪表时标准表存在的固有误差、仪表的基准误差等； 变化系统误差:仪表的零点和放大倍数的漂移、温度变化而引入的误差等； 非线性系统误差:传感器及检测电路（如电桥）被测量与输出量之间的非线性关系。 这些方法是较为常用的有效的测量校准方法，可消除或消弱系统误差对测量结果的影响。 2仪器零位误差和增益误差的校正方法

消除系统误差的方法

减少系统误差的方法 消除或减少系统误差有两个基本方法。一就是事先研究系统误差的性质与大小,以修正量的方式,从测量结果中予以修正;二就是根据系统误差的性质,在测量时选择适当的测量方法,使系统误差相互抵消 而不带入测量结果。 1、采用修正值方法 对于定值系统误差可以采取修正措施。一般采用加修正值的方法。对于间接测量结果的修正,可以在每个直接测量结果上修正后,根据 函数关系式计算出测量结果。修正值可以逐一求出,也可以根据拟合曲线求出。应该指出的就是,修正值本身也有误差。所以测量结果经修正后并不就是真值,只就是比未修正的测得值更接近真值。它仍就是被测量的一个估计值,所以仍需对测量结果的不确定度作出估计。 2、从产生根源消除 用排除误差源的办法来消除系统误差就是比较好的办法。这就要求测量者对所用标准装置,测量环境条件,测量方法等进行仔细分析、研究,尽可能找出产生系统误差的根源,进而采取措施。 采用专门的方法 （1）交换法:在测量中将某些条件,如被测物的位置相互交换,使产生系统误差的原因对测量结果起相反作用,从而达到抵消系统 误差的目的。如用电桥测电阻,电桥平衡时,R X=R0(R1/R2),保持 R1、R2不变,把Rx、R0的位置互换,电桥再次平衡时,R0变成R’,

此时Rx=R0’(R2/R1)。于就是有Rx=R0`(R2/R1),由此算出的 Rx就可以消除由R1、R2带来的系统误差。 (2)替代法:替代法要求进行两次测量,第一次对被测量进行测量,达 到平衡后,在不改变测量条件情况下,立即用一个已知标准值替代被 测量,如果测量装置还能达到平衡,则被测量就等于已知标准值。如果不能达到平衡,修整使之平衡。替代法就是指直截了当地测定物理量的方法。如:利用精密天平的称重。设待测重量为x ,当天平达到平衡时所加砝码重量为Q ,天平的两臂长度各为l1 与l2 ,平衡时有x = Q ·l2/ ll 。再用已知标准砝码P 代替x , 平衡时有P = Q ·l2/ l1 ,得到x = P。若用标准砝码置换未知重量后,天平失去平衡,需加一差值△P , 才出现平衡, 这时有P + △P = Q ·l2/ l1 ,所以x = P + △P( △P 可正可负) 。这样就可消除由于天平两臂不等而带来的系统误差。 (3)补偿法:补偿法要求进行两次测量,改变测量中某些条件,使两次 测量结果中,得到误差值大小相等、符号相反,取这两次测量的算术平均值作为测量结果,从而抵消系统误差。如读数显微镜、千分尺等都存在空行程,这就是系统误差,设其为l,为消除这一误差,可从两个方向分别读数,第一次顺时针旋转,读得数据为L1,则被测量长度D 为:D=L1+l:第二次逆时针旋转读得数据为L2,则被测量长度为 D=L2-l,于就是D=(L1+L2)/2,这样系统误差l被消除,某些不等位电势、温度引起的温差电势、磁场对磁电系仪表的影响等也可以用这种办法来消除。

系统误差和偶然误差的区别

偶然错误也称为随机错误，与系统错误不同，如下所示： 1，原因不同 1.随机误差：它是由各种不稳定的随机因素引起的，例如室温，相对湿度和气压。 2.系统误差：样本与研究任务不符；他们不了解人口分布的性质，并选择可能扭曲人口分布的抽样程序；有意识地选择最方便，最有利的人口要素来解决问题，但是这些要素并不代表人口（例如，仅抽样先进企业）。 2，不同的表达方式 1.随机误差：是由于在确定较小的随机波动和形成相互补偿误差的过程中的一系列相关因素。 2.系统误差：指一种非随机误差。例如，违反随机原则的偏差误差，采样中的记录记录引起的误差等。 3，不同的特点 1.随机误差：其绝对值和符号是不可预测的。 2.系统错误：可重复性，单向性，可测试性。 主要区别在于性质，原因和特征不同 1，性质不同 1.意外错误 偶然误差一般是指随机误差，是由于在确定过程中一系列相关因素的随机小波动，具有相互补偿的关系。 2.系统错误

系统误差是一种非随机误差。在重复性条件下，测量结果的平均值与测量结果的真实值之间的差是无限的。 2，原因不同 1.意外错误 原因是分析过程中各种不稳定的随机因素的影响，例如室温，相对湿度和气压等环境条件的不稳定性，分析人员操作的细微差异以及仪器的不稳定性。 2.系统错误 主要原因如下： （1）样本不符合研究任务。 （2）在不了解人口分布本质的情况下，我们选择了可能会使人口分布失真的抽样程序。 （3）有意识地选择解决问题的最方便，最有利的要素，但这些要素并不代表人口（例如，仅抽样先进企业）。 3，不同的特点 1.意外错误 大小和方向不固定。 2.系统错误 重复性，单向性和可测试性。

系统误差和偶然误差的区别

系统误差： 系统误差，是指一种非随机性误差。如违反随机原则的偏向性误差，在抽样中由登记记录造成的误差等。它使总体特征值在样本中变得过高或过低。产生原因主要有：（1）所抽取的样本不符合研究任务；（2）不了解总体分布的性质选择了可能曲解总体分布的抽样程序；（3）有意识地选择最方便的和解决问题最有利的总体元素，但这些元素并不代表总体（例如只对先进企业进行抽样）。这类误差只要事先作好充分准备，是可以避免的。 定义： 系统误差（Systematic error） 在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。 系统误差是与分析过程中某些固定的原因引起的一类误差，它具有重复性、单向性、可测性。即在相同的条件下，重复测定时会重复出现，使测定结果系统偏高或系统偏低，其数值大小也有一定的规律。例如，测定的结果虽然精密度不错，但由于系统误差的存在，导致测定数据的平均值显著偏离其真值。如果能找出产生误差的原因，并设法测定出其大小，那么系统误差可以通过校正的方法予以减少或者消除，系统误差是定量分析中误差主要来源。 在对同一被测量进行多次测量过程中，出现某种保持恒定或按确定的方法变化的误差，就是系统误差。 原理：

相同待测量大量重复测量的平均结果和待测量真值的差。一般而言，由于测量步骤的不尽完善会引起测量结果的误差，其中有的来自系统误差，有的来自随机误差。随机误差被假设来自无法预测的影响量或影响的随机的时间和空间变异。一些系统误差可以消除，通常可以降低，如果系统来自影响量对测量结果的可辨识效应。 系统误差有下列情况：误读、误算、视差、刻度误差、磨损误差、接触力误差、挠曲误差、余弦误差、阿贝误差、热变形误差等。 系统误差的特点是测量结果向一个方向偏离，其数值按一定规律变化，具有重复性、单向性。我们应根据具体的实验条件，系统误差的特点，找出产生系统误差的主要原因，采取适当措施降低它的影响。

怎样减小系统误差和偶然误差对物理实验的不良影响

如何减小物理实验中系统误差和偶然误差 一：减小系统误差 1.系统误差的来源：系统误差总是偏大或总偏小，来自以下几方面 （1）仪器误差 如温度计的刻度不准确 天平砝码不准等。 (2)环境误差 如受环境的温度、电源电压、频率、波形、外界电磁场等发生变化的影响。 (3)方法误差这种测量误差是由于测量方法不完善及所依据的理论不严密所产生的 例如 测量设备的绝缘漏电等。 (4)个人误差这是由实验者的分辨能力、感觉器官的不完善和生理变化、反应速度和固有习惯等引起的误差。例如：记录读数始终偏大或偏小，记录信号时超前或滞后。 2.减少系统误差的方法： (1):减少产生系统误差的根源。在测量之前要求测量者对可能产生系统误差的环节作仔细的分析，从产生根源上加以消除。 例如：若系统误差来自仪器不准确或使用不当， 则应该把仪器校准并按规定的使用条件去使用。 若理论公式只是近似的， 则应在计算时加以修正。 若测量方法上存在着某种因素会带来系统误差， 则应估计其影响的大小或改变测量方法以消除其影响。若外界环境条件急剧变化、或存在着某种干扰，则应设法稳定实验条件，排除有关干扰。若测量人员操作不善、或者读数有不良偏向，则应该加强训练以改进操作技术以及克服不良偏向等。总之,从产生系统误差的根源上加以消除无疑是一种最根本的方法。 (2)减少系统误差还可用下列方法: I.抵消法。有些定值的系统误差无法从根源上消除,也难以确定其大小而修正 ,但可以进行两次不同的测量,使两次读数时出现的系统误差大小相等而符号相反,然后取两次测量的平均值便可消除系统误差。例如: 用电表测量电流时,因受地磁的作用而使测量值存在系统误差,可以用异号法完全消除。 II.代替法。在某些装置上对未知量测量后,马上用一标准量代替未知量再进行测量.若仪器示值不变,便可肯定被测的未知量即等于标准量的值从而消除了测量结果中的仪器误差。例如用天平秤物体质量时,由于天平的称量是利用“杠杆平衡时作用在等力臂上的力相等”的原理制成的。天平在制造或使用中会出现两臂的长度不完全相等,从而引起测量的系统误差.测量物体的质量m时,设天平两臂分别为L1和L2,先使m与砝码G平衡,则有m=21GLL再以标准砝码P取代质量为m的物体.若调节P和G达到平衡,则有P=21GLL从而得到m=P.消除了天平不等臂引起的系统误差。 二：减小偶然误差 1.偶然误差来源：偶然误差是由各种偶然因素对实验者、测量仪器、被测物理量的影响而产生的。偶然误差总是有时偏大，有时偏小，并且偏大偏小的概率相同。 2.消除偶然误差的方法： 在测量时，即使精心排除产生系统误差的因素之后，由于人的感觉灵敏程度、仪器的精度所限和周围环境的干扰等一些难以控制的偶然因素的影响，也还会产生偶然误差。减小偶然误差的方法主要有累积法、平均值法、逐差法和图像法。 (1)、累积法。实验中常采用累积法，这种方法的优点在于将测量宽度展延了若干倍，增加了待测量的有效数字位数，降低了测量值的相对误差。如测单摆振动周期，由于人的大脑反应速度和观察到摆球运动位置之间的差异，每次揿表的偶然误差为±0.1秒，设单摆振动周期为2.0秒，若只测一个周期，则相对误差为：T/T=10% 若测50个周期，则相对误差为：T/50T=0.2% 这样就使测量的准确度大大提高。还有测一滴油酸的体积、纸的厚度、细铜丝的直径等均采用了累积法。

1-3系统误差的发现和消除(精)

4 大学物理实验 1.3 系统误差的发现和消除 1.3.1 系统误差的发现 系统误差产生的原因往往是已知的，它的出现一般也是有规律的，人们通过长期的实践和理论研究总结出一些发现系统误差的方法。下面简述两种常用的方法。 1．理论分析法 所谓理论分析法就是观测者凭借所掌握的实验理论、实验方法和实验经验等，对实验所依据的理论公式的近似性、所采用的实验方法的完善性进行研究与分析，从中找出产生系统误差的某些主要根源，从而找出系统误差的方法。例如，气垫导轨实验中，经理论分析知道，由于滑块与导轨之间存在一定的摩擦阻力，如果实验中作为无摩擦的理想情况来处理，就会产生与摩擦阻力有关的系统误差。理论分析法是发现、确定系统误差的最基本的方法。 2．对比法 对比法就是改变实验的部分条件、甚至全部条件进行测量，分析改变前后所得的测量值是否有显著的不同，从中分析有无系统误差和探索系统误差来源的方法。对比的方法有多种，其中包括不同实验方法的对比，使用不同测量仪器的对比，改变测量条件的对比，以及采用不同人员测量的对比等。例如，将物体分别放在天平的左盘和右盘上进行称衡，可以发现天平不等臂引入的误差；精确地测量同一单摆在不同摆角时的周期值，可以发现周期与摆角有关。 以上介绍了两种发现系统误差的方法。除此之外，还有一些发现系统误差的方法，在具体的实验中，我们应该注意学习。 1.3.2 系统误差的处理 我们在处理系统误差时，常将它分为两类来考虑，即已定系统误差和未定系统误差。已定系统误差是指误差的绝对值和符号已经确定的系统误差，如电表、螺旋测微计的零位误差，测电压、电流时由于忽略表内阻引起的误差。处理数据时，必须将已定系统误差从测量值中减去，得到修正后的测量值。未定系统误差是指误差的绝对值和符号未确定的系统误差，如螺旋测微计制造时的螺纹公差等。处理数据时，对这类误差一般要估计出其分布范围（大致对应于不确定度估计中的△B）。实验中可以通过方案选择、参数设计、计量器具校准、环境条件控制等环节来减小未定系统误差的限值。下面介绍几个具体的原则。 1．消除产生系统误差的因素 这要求我们对整个测量过程及测量装置进行必要的分析与研究，找出可能产生系统误差的原因。例如，是否有近似公式或近似计算，测量仪器结构是否合理，测量环境方面是否有由于温度、湿度、气压、振动、电磁场等所引起的影响，观测者是否有估读刻度偏高或偏低的习惯等。经过分析与研究，如果确认实验中有系统误差，则针对具体原因，采取相应措施使系统误差得以减小或消除。

系统误差和随机误差

系统误差和随机误差 测量误差包括系统误差和随机误差两类不同性质的误差 系统误差 是指“在重复性条件下，对同一被测量进行无限次测量所得结果的平均值与被测量真值之差”。它是在重复测量中保持恒定不变或可按预见方式变化的测量误差的分量。由于只能进行有限次数的重复测量，真值也只能是用约定真值代替，因此可能确定的系统误差也只是估计值。系统误差的来源可以是已知或未知的，那么怎样发现系统误差呢？ 1、在规定的测量条件下多次测量同一个被测对量，从所得测量结果与计量标准所复现的量值之差可以发现并得到恒定的系统误差的估计值 2、在测量条件改变时，例如随时间、温度等街道条件改变时按某一确定的规律变化，可能是线性的或非线性地增长可减小，就可以发现测量结果中存在的可变的系统误差。通常消除或减小系统误差的方法有以下几种： （1）采用修正的方法：对系统误差的已知部分，用对测量结果进行修正的方法来减小系统误差。修正系统误差的方法包括在测量结果上加修正值；对测量结果乘修正因子；画修正曲线；以及制定修正值表等。例如：测量结果为20℃，用计量标准测量的结果是℃，则已知系统误差的估计值为℃，也就是说修正值是+℃，已修正测量结果等于未修正测量结果加修正值。即已修正测量结果为20℃+℃=℃。 （2）在实验过程中尽可能减少或消除一切产生系统误差的因素。例如在使用仪器时，应该对中的未能对中，应该调整到水平、垂直或平行理想状态的未能调好等等，都会带来系统误差，操作者要仔细调整，以便减小误差等。 （3）选择适当的测量方法，使系统误差抵消而不致带入测量结果中。例如：对恒定系统误差消除法，可采用异号法，即改变测量中的某些条件，例如测量方向、电压极性等，使两种

测量中偶然误差的分布有如下特点123

测量中偶然误差的分布有如下特点： 1、就误差的绝对值而言，小误差比大误差出现的机会多，故误差的概率与误差的大小有关； 2、大小相等。符号相反的正负误差的数目几乎相等，故误差的密度曲线是对称于误差为0的纵轴； 3、极大的正误差与负误差的概率非常小，故绝对值很大的误差一般不会出现。 数理统计中的几个常用的抽样分布 1、正态分布 2、x2分布2、x2分布 设X～N（0,1），X1，X2，‥‥，Xn为X的一个样本，则称它们的平方和为 3、t分布：设X～N（0,1），Y～x2（n），并且X与Y相互独立，则称随机变量t=X/（Y/n）1/2服从自由度为n的t分布，记为t～t（n），上右图为密度函数分布图象，，当n大时，t （n）与N（0,1）很接近。 假设检验的一般步骤是： ★、提出原假设H0；★、选择一个合适的检验统计量U，并从样本（子样观测值）求出统计量U的值u；★、对于给定的显著水平a（一般取0.05或0.01）查U的分布表，求出临界值u0（也称分位值），用它划分接受域W0和拒绝域W1，使得当H0为真时，有P｛U∈W1｝=a；★、比较u和u0,看是否在W0或W1里。 §2-2-2 检验方法 1、u检验法：使用服从标准正态分布的统计量所进行的假设检验称为u检验法。U检验一般用于未知的母体均值。 2、t检验法 t分布可用于小子样问题的检验中。在测量上t分布多用于附加系统参数的显著性检验，也可以用来进行粗差定位。 3、x2检验 利用服从x2分布的统计量检验正态母体方差σ2的各种假设，称为x2检验。

适用于大子样问题的检验。在测量上可通过此检验来判断观测值中是否存在粗差。 4、F检验 利用服从F分布的统计量来检验两正态母体的方差之比，称为F检验。 第三章变形监测技术 §3-1 变形监测技术 常用的地面监测方法主要有★两方向前方交会法；★双边距离交会法；★极坐标法；★自由设站法；★视准线法；★小角法；★测距法；★几何水准测量法和精密三角高程测量法等八种方法。常用前方交会法、距离交会法监测变形体的二维水平位移；用视准线法、小角法、测距法观测变形体的水平单向位移；用几何水准测量、精密三角高程测量法观测变形体的垂直位移。 地面监测方法具有如下的优点： ★、能够提供变形体的变形状态，监控面积大，可以有效地监测确定变形体的变形范围和绝对位移量。★、观测量通过组成网的形式可以进行测量结果的校核和精度评定。★、灵活性大，适用于不同的精度要求、不同形式的变形体和不同的外界条件。 固定式全自动变形监测系统的优点是：可实现全天候的无人守值监测，并有高效、全自动、准确、实时性强等。 固定式全自动变形监测系统的缺点是：★没有多余的观测量，测量精度随着距离的增长而显著降低，且不易检查发现粗差；★系统所需的测量机器人、棱镜、计算机等设备需要长期固定，且需采取特殊的保护措施；★需要昂贵点的资金作保证，机器设备等只能在一个变形监测项目中专用。 应用GPS进行变形监测有如下优点：具有精度高、速度快、操作简便，可实现从数据采集、传输、管理到变形分析及预报的自动化，达到远程在线网络实时监控的目的。 一、GPS变形监测的特点 1、测站间无需通视。可以省去不必要的中间传递过渡点，节省许多费用。 2、可同时提供监测点的三维坐标。传统方法采用不同的方法取得三维坐标，不仅监测的周期长、工作量大，而且监测的时间和点位很难保持一致。采用GPS可同时精确的测定监测点的三维坐标。 3、全天候监测。GPS不受气候条件的限制，无论刮风下雨、黑天白天均可进行正常的监测。 4、监测精度高。GPS可以提供1×10-6甚至更高的相对定位精度。进行变形监测可获得±（0.5～2）mm的精度。 5、操作简便，易于实现监测自动化。 6、GPS大地高用于垂直位移测量。 系统由★数据采集；★数据传输；★数据处理；★数据分析；★数据管理等组成。 §3-1-4 特殊的测量手段 特殊的测量手段包括应变测量、准直测量和倾斜测量三种。和常规的地面测量方法相比，特殊测量手段具有如下特点： 1、测量过程简单； 2、容易实现自动化观测和连续监测； 3、提供的是局部的变形信息。

系统误差和偶然误差的区别

系统误差和偶然误差的区别 系统误差是由于仪器本身不精确，或实验方法粗略，或实验原理不完善而产生的。 系统误差的特点是在多次重做同一实验时，误差总是同样的偏大或偏小，不会出现这几次偏大另几次偏小的情况。要减小系统误差，必须校准测量仪器，改进实验方法，设计在原理上更为完善的实验。 偶然误差 偶然误差是由各种偶然因素对实验者、测量仪器、被测物理量的影响而产生的。偶然误差总是有时偏大，有时偏小，并且偏大偏小的概率相同。因此，可以多进行几次测量，求出几次测得的数值的平均值，这个平均值比一次测得的数值更接近于真实值。 当多次重复同一测量时，偏大和偏小的机会比较接近，可以用求平均值的方法来减小偶然误差。 如何区分 偶然误差是由于主观因素引起的误差，系统误差是由于客观因素引起的误差。系统误差不可避免(但可通过平衡摩擦力等方法减小)，而人为误差可通过多次测量的避免。 “从来源看，误差可以分成系统误差和偶然误差两种。” “系统误差是由于仪器本身不精确，或实验方法粗略，或实验原理不完善而产生的。系统误差的特点是在多次重做同一实验时，误差总是同样的偏大或偏小，不会出现这几次偏大另几次偏小的情况。要减小系统误差，必须校准测量仪器，改进实验方法，设计在原理上更为完

善的实验。” “偶然误差是由各种偶然因素对实验者、测量仪器、被测物理量的影响而产生的。偶然误差总是有时偏大，有时偏小，并且偏大偏小的概率相同。因此，可以多进行几次测量，求出几次测得的数值的平均值，这个平均值比一次测得的数值更接近于真实值。”2.人民教育出版社2004年5月第一版普通高中课程标准教科书物理必修1第102页“误差和有效数字”中的表述是这样的: “当多次重复同一测量时，偏大和偏小的机会比较接近，可以用求平均值的方法来减小偶然误差。” “多次重复测量的结果总是大于(或小于)被测量的真实值，呈现单一倾向。”

第五章误差基本知识

现在的位置：课程介绍 >> 理论部分 >> 电子讲稿 第五章误差基本知识 5.1误差的来源和分类 一、定义： 观测值与真值之差，记为： X为真值，即能代表某个客观事物真正大小的数值。 为观测值，即对某个客观事物观测得到的数值。 为观测误差，即真误差。 二、误差的来源 1、测量仪器 一是仪器本身的精度是有限的，不论精度多高的仪器，观测结果总是达不到真值的。二是仪器在装配、使用的过程中，仪器部件老化、松动或装配不到位使得仪器存在着自身的误差。 如水准仪的水准管轴不平行视准轴，使得水准管气泡居中后，视线并不水平。水准尺刻划不均匀使得读数不准确。又如经纬仪的视准轴误差、横轴误差、

竖盘指标差都是仪器本身的误差。 2、观测者 是由于观测者自身的因素所带来的误差，如观测者的视力、观测者的经验甚至观测者的责任心都会影响到测量的结果。 举例：如水准尺倾斜、气泡未严格居中、估读不准确、未精确瞄准目标都是观测误差。 3、外界条件 测量工作都是在一定的外界环境下进行的。例如温度、风力、大气折光、地球曲率、仪器下沉都会对观测结果带来影响。 上述三项合称为观测条件 a.等精度观测：在相同的观测条件下进行的一组观测。 b.不等精度观测：在不同的观测条件下进行的一组观测。 测量误差的分类 根据测量误差表现形式不同，误差可分为系统误差、偶然误差和粗差。 1、系统误差 定义：误差的符号和大小保持不变或者按一定规律变化，则称其为系统误差。 如：钢尺的尺长误差。一把钢尺的名义长度为30m，实际长度为30.005m，那么用这把钢尺量距时每量一个整尺段距离就量短了5mm，也就是会带来-5mm

的量距误差，而且量取的距离越长，尺长误差就会越大，因此系统误差具有累计性。 如：水准仪的i角误差，由于水准管轴与视准轴不平行，两者之间形成了夹角i，使得中丝在水准尺上的读数不准确。如果水准仪离水准尺越远，i角误差就会越大。由于i角误差是有规律的，因此它也是系统误差。 正是由于系统误差具有一定的规律性，因此只要找到这种规律性，就可以通过一定的方法来消除或减弱系统误差的影响。 具体措施有： （1）采用观测方法消除：如水准仪置于距前后水准尺等距的地方可以消除i角误差和地球曲率的影响。 通过后前前后的观测顺序可以减弱水准仪下沉的影响。 通过盘左盘右观测水平角和竖直角可以消除经纬仪的横轴误差、视准轴误差、照准部偏心差和竖盘指标差的影响。 （2）加改正数：如精密钢尺量距中的尺长改正：l d＝l/ l0 × l（l为任意尺段长） 温度改正和高差改正。 三角高程测量中的球气差改正数：， 光电测距仪的加常数和乘常数的改正： （3）检校仪器：将仪器的系统误差降低到最小限度或限制在一个允许的范围内。

(推荐)系统误差的处理

系统误差有确定的客观规律，要在掌握其来源的基础上采取有关技术措施消除或削弱。对于系统误差的处理只能根据具体情况采取不同的措施，因而需要测量者充分发挥其学识、经验和技巧水平进行处理。 由实践经验，处理系统误差要从以下几方面着手： （１）尽可能预计产生系统误差的来源，并在实施测量前采取措施消除或削弱其影响。如采取恒温、稳压等措施，使有关因素的影响减小到可接受的程度。 （２）采用一些行之有效的测量方法，以消除或减小系统误差。 （３）进行数据处理时，检验系统误差是否仍存在。 （４）估计出残存的系统误差值或范围，确定其对测量结果的影响。 一、对产生系统误差来源的消除或削弱 在开始测量前尽量发现并消除系统误差来源或防止测量受这些来源的影响，是消除或减弱系统误差的最好方法。主要考虑以下一些方面。 测量原理与方法要尽力做到正确、严格，不产生方法误差或使所产生的方法误差小于允许范围。例如，用伏安法测量电阻Ｒｘ有两种连接方法，如图２．１７（ａ）和（ｂ）所示。 如电压表与电流表的内阻分别为ＲＶ与ＲＡ，可导出：图２．１７（ａ）线路的系统误差为 ；图２．１７（ｂ）线路的系统误差为＋ＲＡ。当Ｒｘ＜ＲＶ时，用图２．１７（ａ）接法；当Ｒｘ＞ＲＡ时，用图２．１７（ｂ）接法，这是减小系统误差的正确选择。 测量中所使用的仪器应按规定期限进行定期检定和校准并注意仪器的正确使用条件和方法，对仪器的放置位置、工作状态、所用电源情况、接地、附件和导线的使用及连接都应符合规定并正确合理。 注意环境对测量的影响，如温度、振动、电磁干扰等，可采取一些辅助措施减少环境条件变化所产生的有害影响，如散热、减振、屏蔽等。必要时采用恒温、恒湿、恒压箱及屏蔽室等。 提高测量人员的素质与责任心，并注意改进设备与工作条件，以避免或减小人身误差。 二、消除或减弱系统误差的几种典型测量方法 1．零示法零示法是一种广泛应用的测量方法，主要用于消除因指示仪表不准而造成的误差。测量时被测物理量与标准已知量进行比较，使两者的效应互相抵消。当总效应刚好为零时，达到平衡。指示器的作用是判断平衡，只要求有足够的灵敏度，测量的准确度主要取决于标准已知量。 图2.18表示用零示法测量电压的电路，图中Ｅ为标准电池，Ｒ＝Ｒ１＋Ｒ２为标准分压器。当调节分压器的分压比使检流计指向零时，Ａ和Ｂ两点为等位点，所以Ｕｘ＝Ｕ＝ＥＲ２／Ｒ。在测量过程中，只须判断检流计中有无电流而不须读数，只要标准电池与标准分压器准确，检流计灵敏度高，测量就会准确。一般电气测量中常用电桥测电阻也是零示法的一种典型运用。

随机误差与系统误差

二、随机误差和系统误差 1.随机误差是指“测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差”(5.19条)。 这是1993年由BIPM、IEC、ISO、OIML等国际组织做了原则修改后的新定义。它表明测量结果是真值、系统误差与随机误差这三者的代数和；而测量结果与无限多次测量所得结果的平均值(即总体均值)差，则是这一测量结果的随机误差分量。随机误差等于误差减去系统误差。1993年前，随机误差被定义为在同一量的多次测量过程中，以不可预知方式变化的测量误差的分量。 老定义中这个以不可预知方式变化的分量，是指相同条件下多次测量时误差的绝对值和符号变化不定的分量，它时大时小、时正时负、不可预定。例如:天平的变动性、测微仪的示值变化等，都是随机误差分量的反映。事实上，多次测量时的条件不可能绝对地完全相同，多种因素的起伏变化或微小差异综合在一起，共同影响而致使每个测得值的误差以不可预定的方式变化。现在，随机误差是按其本质进行定义的，但可能确定的只是其估计值，因为测量只能进行有限次数，重复测量也是在“重复性条件”下进行的(见5.6条)。就单个随机误差估计值而言，它没有确定的规律；但就整体而言，却服从一定的统计规律，故可用统计方法估计其界限或它对测量结果的影响。 随机误差大抵来源于影响量的变化，这种变化在时间上和空间上是不可预知的或随机的，它会引起被测量重复观测值的变化，故称之为“随机效应”。可以认为正是这种随机效应导致了重复观测中的分散性，我们用统计方法得到的实验标准[偏]差是分散性，确切地说是来源于测量过程中的随机效应，而并非来源于测量结果中的随机误差分量。 随机误差的统计规律性，主要可归纳为对称性、有界性和单峰性三条: 1.对称性是指绝对值相等而符号相反的误差，出现的次数大致相等，也即测得值是以它们的算术平均值为中心而对称分布的。由于所有误差的代数和趋近于零，故随机误差又具有抵偿性，这个统计特性是最为本质的；换言之，凡具有抵偿性的误差，原则上均可按随机误差处理。

测量中系统误差的消除

测量中系统误差的消除 发表时间：2019-08-08T11:13:28.657Z 来源：《防护工程》2019年9期作者：朱文成[导读] 尚志市检验检测中心黑龙江尚志 150600 系统误差通常是由于测量设备的缺陷，不准确或安放位置不当，环境条件变化，个人习惯以及近似计算等原因造成的。消除或碱少系统误差有两个基本方法，一是事先研究系统误差的性质和大小，以修正量的方式，从测量结果中予以修正；二是根据系统误差的性质，在测量时选择适当的测量方法，使系统误差相互抵消而不带入测量结果。 1 消除系统误差的措施 消除系统误差对测量结果的影响是测量工作中头等重要的事情。由于人们不可能全部掌握所有系统误差的出现规律和数值的大小，网而也就不可能全部消除它们对于测量果的影响。但是我们应当尽可能地把已经掌握到的些规律用于消除我们所能认识到的那些系统误差。 通常可以采取如下两个措施: ①事先研究系统误差的性质和大小，用加修正值的方法从测量结果中予以消除; ②在测量过程中,根据系统误差的性质，选择适当的操作力法，使测得值中的系统误差在测量过程中相互抵消而不带入测量结果之中。 系统误差按其数值的表现形式，可以分为定值系统误差和变值系统误差两种。所谓定值系统误差是测量中误差值的大小固定不变的系统误差;变值系统误差则是随着测量的进行，误差值按某一规律发生变化的一种系统误差。 定值系统误差可以用上述两种措施予以消除。但是变值系统误差由于其数据按一定规律发生变化，所以通常不能采用加修正值的方法来消除。 2 用交换法消除系统误差 将测量中的某些条件相互交换使产生系统误差的因原对测量结果相反的作用，可以消除固定的系统误差，如用电桥测电阻，电桥平衡时Rx=R0(R1/R2)。保持R1、R2不变，把Rx、R0的位置互换，电桥再次平衡时，R0变成RO'，此时Rx=R0'(R2/R1)。 于是有:就可以消除由R1、R2带来的系统误差。 3 用加修正值的方法消除定值系统误差 对于某些事先通过分析或实验可以得知系统误差数值大小的定值系统误差，可以用加修正值的方法，从测量结果中予以扣除。 由误差理论可知，误差△是测量结果L与约定值L0之值，即△=L-L0(1) 修正值是这样的一个值:它的大小与系统误差的值相同但符事情相反。以C表示修正值，有: C=一△(2) 为了求得修正值，最常用的方法是对所使用的测量器具加以检定，确定该测量器具的示值相对于计量标准器的差异(示值误差)，然后将这一数值给予相反的符号。 4 用替伐检验修正法消除定值系统误差 替代检验修正法是一种在实际测量工作中比较常用的方法。这种方法是对被测对象做多次重复测量得到平均值L,然后按比值选取相应的标准器以替代被测对象。在完全相同的测量条件下作同亲戚多次数的重复测量。如果此时得到的平均值L0与L之差不超过,则该测量中不存在定值系统误差。如果超出此值，则L0与L之差即为该测量的定值系统差△。取△的异号值作为修正值对L进行修正后，在测量结果中就不再含有该定值系统误差。 5 用调换测量法消除定值系统误差 调换测量法就是将测量中的某些条件(例如被测物的位置等)相互调换后再次测量，使产生定值系统误差的原因对测量的结果起相反的作用，从而抵消了定值系统误差的影响。 调换测量法的具体步骤是:先将被测量与第一个已知相同量值A进行平衡，再将被测量值放在原先旋转已知量值A的地方，并与另一个已知量值B进行平衡比较。如果在两种情况下平衡指示装置的读数相同，则被测量值为。 同时还有:补偿法，半周期偶数测量法另外可以对仪器进行调整和检定，对观测顺序进行设计，使系统误差部分被抵消，还可以让同一个全部观测值，避免换人带来的观测习惯变化带来的系统误差。在我们实践中，多总结，多比较是有效发现系统误差的好方法，只有找出系统误差的规律，才能找出有效的方法法来克服它。

系统误差的产生原因及处理方法

试论系统误差特点、分类、产生原因及消除方法 摘要：本文从系统误差的概念出发，论述了系统误差的特点、分类、产生系统误差的原因及系统误差的减小和消除方法。 关键词：系统误差特点分类产生原因消除方法系统误差是指在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。它往往是由不可避免的因素造成的。 一、系统误差的特点 系统误差是可以通过实验或分析的方法，查明其变化规律和产生原因，通过对测量值的修正，或者采取别的预防措施，就能够消除或减少它对测量结果的影响。 系统误差的大小表明测量结果的正确度。它说明测量结果相对真值有一恒定误差，或者存在着按确定规律变化的误差。系统误差愈小，则测量结果的正确度愈高。 二、系统误差的分类 1、按照误差掌握的程度分为已定系统误差和未定系统误差。 已定系统误差是指误差绝对值和符号已经确定的系统误差。 未定系统误差是指误差绝对值和符号未能确定的系统误差，但通常可估计出系统误差。 2、按照误差出现的规律，分为不变系统误差和变化系统误差。 不变系统误差是指误差绝对值和符号为固定的系统误差。 变化系统误差是指误差绝对值和符号为变化的系统误差。按其变化规律又可分为线性系统误差、周期性系统误差和复杂规律系统误差。 三、系统误差产生的原因 系统误差是由固定不变或因素或按确定规律变化的因素所造成，主要包括以下几个方面的因素： 1、仪器和装置方面的因素 因使用的仪器本身不够精密所造成的测定结果与被测量真值之间的偏差，如使用未经检定或校准的仪器设备、计量器具等都会造成仪器误差。或因检测仪器

和装置结构设计原理上的缺点，如齿轮杠杆测微仪直线位移和转角不成比例而产生的误差；由仪器零件制造和安装不正确，如标尺的刻度偏差、刻度盘和指针的安装偏心、天平的臂长不等所产生的误差。 2、环境因素 待测量值在实际环境温度和标准环境温度下测量所产生的偏差、在测量过程中待测量随温度、湿度和大气压按一定规律变化的产生的偏差。 3、测定方法方面的因素 是由测定方法本身造成的误差，或由于测试方法本身不完善、使用近似的测定方法或经验公式引起的误差。例如，在重量分析中，由于沉淀的溶解，共沉淀现象，灼烧时沉淀分解或挥发等原因都会引起测定的系统误差。 4、人员因素 由于操作人员的生理缺陷、主观偏见、不良习惯等到个人特点或不规范操作，如在刻度上估计读数时，习惯上偏于某一方向、读滴定管数值时偏高或偏低，滴定终点颜色辨别偏深或偏浅而产生的误差。由于人员因素而产生的误差一般称为操作误差。 5、使用试剂方面的因素 由于检验中所用蒸馏水含有杂质或所使用的试剂不纯所引起的测定结果与实际结果之间的偏差。 四、系统误差的减小和消除方法 为了尽量减小或消除系统误差对测定结果的影响，可以用以下方法来减小和消除系统误差。 1、从产生误差的根源上消除系统误差 这是消除系统误差的根本方法。在测定之前，要求检测人员在检测过程中可能产生的系统误差进行认真的分析，必须尽可能预见一切可能产生系统误差的来源，并设法消除或尽量减弱其影响。例如，测量前对仪器本身性能进行检查，使仪器的环境条件和安装位置符合检验技术要求的规定；对仪器在使用前进行正确的调整；严格检查和分析测量方法是否正确等来消除仪器、检测方法、环境等因素而产生的系统误差；为防止因仪器长期使用而使其精度降低，及时送计量部门进行周期检定。

精密度 准确度 精确度 偶然误差 系统误差

§1.1误差分析 物理实验中，绝大多数实验都涉及到物理量的测量和物理规律的研究，要求学生能应用所选择的合适仪器，尽可能获得令人满意的结果。一个待测物理量，在客观上具有真值。但由于受到测量仪器、测量方法、测量条件和观察者生理反应能力、操作水平等因素的限制，测得的结果只可能是一个近似值。测量值与真值之差称为绝对误差，简称误差。即 误差=测量值-真值 在实验中进行测量和数据处理时，都应着眼于减少误差，尽可能使实验结果接近真值。误差产生的原因是多方面的，从误差的性质和来源上可分为系统误差和偶然误差两大类。 一、系统误差 系统误差的特点是：在相同条件下，对同一物理量进行多次测量时，误差的大小和正负总保持不变，或按一定的规律变化，或是有规律地重复。 系统误差主要来自以下三个方面： 1.仪器误差 这是由于测量仪器不完善或有缺陷，以及没有按规定条件使用而造成的误差。仪器误差常表现在下面三种情况： (1)示值误差。如米尺由于变形造成刻度不标准；电表的轴承磨损引起示值不准等。 (2)零值误差。如千分尺由于磨损致使在零位时，读数不为零；电表在使用之前未调整零位等。 (3)仪器机构和附件误差。如天平两臂不等长；砝码不准；电桥的标准电阻不准等。 2.方法误差

这是由于实验理论、实验方法或实验条件不合要求而引起的误差。如用伏安法测电阻，采用不同的连接方法，电表的内阻会给测量带来误差；在热学实验中，绝热条件的好坏对测量结果的影响等。 3.人员误差 这是由于观测者个人生理和心理上的特点所造成的误差。如在使用停表计时中，有的人失之过长，有的人失之过短；在电表读数时，有人偏左而有人偏右；在估计读数时，有人习惯偏大而有人习惯偏小等。 系统误差常分为两类，即已定系统误差和未定系统误差。前者指其误差的符号和绝对值均已确定，而后者是指其误差的符号或绝对值尚未确定。 二、偶然误差 在同一条件下，对某一物理量进行多次测量时，每次测量的结果有差异，其差异的大小和符号以不可预定的方式变化着。这种误差称为偶然误差或随机误差。 遇然误差是由于一些偶然的、不确定的因素引起的。例如，各次观察时仪器对得不准；调节平衡时，平衡点确定不准；读数不准确；实验仪器由于环境温度、湿度、振动、杂散电磁场的干扰、电源电压的波动等因素引起测量值的变化。这些因素的影响一般是微小的、混杂的，并且是随机出现的，这就难以确定某个因素产生的具体影响的大小。 每项测量的偶然误差是无规则的，但若测量次数充分多时，就会发现在一定条件下，它具有一定的规律性。这种规律性表现在偶然误差服从一定的统计规律，具体表现为 (1)绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率要大得多。 (2)比真值大的测量值与比真值小的测量值出现的概率相等。 (3)绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相等。 三、系统误差与偶然误差的关系