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复变函数期末考试分章节复习题

第一章

复习题 1. 设z=1+2i ，则Im z 3

=（） A. -2

B. 1

C. 8

D. 14

2. z=2-2i ，|z 2|=（） A. 2 B. 8 C. 4

D. 8

3. z=(1+cost)+i(2+sint),0≤t<2π所表示的曲线为（） A.直线

B.双曲线

C.抛物线

圆

4. 设z=x+iy,则（1+i ）z 2的实部为（） A.x 2-y 2+2xy

B.x 2-y 2-2xy

C.x 2+y 2+2xy

D.x 2+y 2-2xy

5. arg(2-2i)=（） A.43π- B.4π- C.

4π

3π

6．设2,3z w i z =+=,则（） A ．3

arg π

=w B ．6

arg π

w C ．6

arg π

D ．3

arg π

7．设z 为非零复数，a ,b 为实数，若ib a z

+=_

，则a 2+b 2的值（）

A ．等于0

B ．等于1

C ．小于1

D ．大

于1

8．设1

1z i

-+，则z 为（） A ．21i +- B ．21i -- C ．21i

- D ．21i +

9. 设z=x+iy ，则|e 2i+2z |=（） A. e 2+2x B. e |2i+2z| C. e 2+2z

D. e 2x

10. Re(e 2x+iy )=（）

A. e 2x

B. e y

C. e 2x cosy

D. e 2x siny

11. 包含了单位圆盘|z|<1的区域是（） A.Re z<-1 B.Re z<0 C.Re z<1

D.Im z<0

12. 复数方程z=3t+it 表示的曲线是（）

A.直线

B.圆周

C.椭圆

D.双曲线

13 .下列集合为无界多连通区域的是（） A.0<|z-3i|<1 B.Imz>π C.|z+ie|>4

π<<π2z arg 2

14.复数方程z=cost+isint 的曲线是（） A.直线

B.圆周

C.椭圆

D.双曲线

15.下列集合为有界单连通区域的是（） A.0<|z-3|<2 B.Rez>3 C.|z+a|<1 D.

π≤<πargz 2

16．下列集合为有界闭区域的是（） A ．0< arg (z+3)≤2

B ．Re (z-i)<1

C ．1≤Imz ≤2

D ． 1≤||z i -≤4

17. arg(3-i)=___________.

18. arg (-1+3i )= .

19. 若i

1z -+=，则z =___________.

20．设i z 10

103+-=，则=_

z ____________.

21. 若z 1=e 1+i π,z 2=3+i ，则z 1·z 2=________.

22. 复数1-

i 的三角表达式是

_________________.

23. 求方程z 3+8=0的所有复根. 24. 解方程z 4=-1.

25 计算复数z=327-的值.

26．求z =（-1+i ）

6 的共轭复数z 及共轭复数的模|z |. 27．设复数)

2)(1(--=i i i

（1）求z 的实部和虚部；（2）求z 的模；（3）指出z 是第几象限的点.

28．设t 为实参数，求曲线z=re it +3 (0≤t ＜2π的直角坐标方程.

29．设iy x z +=.将方程1Re ||=+z z 表示为关于x ,y 的二元方程，并说明它是何种曲线. 30．用θcos 与θsin 表示θ5cos ．

第二章复习题

1. ln(-1)为（） A.无定义的 B.0 C .πi D.(2k+1)π

i(k 为整数)

2．=i 2ln （） A ．2ln B ．i 2

2ln π

+ C ．i

2ln π

D ．

i i 2Arg 2ln +

3．Ln(-4+3i)的主值是（）

A .ln5+i(-π-arctg 4

3) B .ln5+i(π-arctg

)

C .ln5+i(-π-arctg 34)

D .ln5+i(π-arctg 3

)

4. 设z=x+iy ，解析函数f(z)的虚部为v=y 3-3x 2y ，则f(z)的实部u 可取为（） A.x 2

-3xy 2

B.3xy 2

-x 3

C.3x 2y-y 3

D.3y 3

-3x 3

5. 设f(z)=e x (xcosy+aysiny)+ie x (ycosy+xsiny)在Z 平面上解析，则a=（）

A. -3

B. -1

C. 1

D. 3

6. 设f(z)=x 3-3xy 2+(ax 2y-y 3)i 在Z 平面上解析，则a=（）

A. -3

B. 1

C. 2

D. 3

7. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在Z 平面上解析，u(x,y)=x 2-y 2+x ，则v(x,y)=（） A.xy+x B.2x+2y C.2xy+y

D.x+y

8. 若f(z)=u(x ，y)+iv(x ，y)在Z 平面上解析，v(x,y)=e x (ycosy+xsiny)，则u(x ，y)=（） A. e x (ycosy-xsiny) B. e x (xcosy-xsiny) C.

e x (ycosy-ysiny) D. e x (xcosy-ysiny)

9. 设v(x,y)=e ax siny 是调和函数，则常数a=（）A. 0 B. 1 C.2 D.3

10. 设f(z)=z 3+8iz+4i ，则f ′(1-i)=（） A. -2i B. 2i C. -2 D. 2

11．正弦函数sinz=（）A ．

i e e iz

iz 2--

B ．2iz iz e e --

C ．i e e iz iz 2-+

D ．2iz

iz e e -+

12. 对数函数w=ln z 的解析区域为___________.

13．已知f(z)=u+iv 是解析函数，其中u =

)ln(2

22y x +,则

=??y

. 14. 若sinz=0，则z=___________. 15. 若cosz=0，则z=________.

16．方程i z 3

1ln π

=的解为____________. 17. tgz

的所有零点为_________________.

18. 设f(z)=x 2+axy+by 2+i(-x 2+2xy+y 2)为解析函数，试确定a ，b 的值.

19．设)()(2323y cx y i bxy ax z f +++=为解析函数，试确定a,b,c 的值.

20. 设f(z)=my 3+nx 2y+i(x 3-3xy 2)为解析函数，试确定m 、n 的值.

21．函数f(z)=x2-y2-x+i(2xy-y2)在复平面上何处可导？何处解析？

22. 已知调和函数v=arctg x

,x>0，求f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式.

23．设),(),()(y x iv y x u z f +=是解析函数，其中

xy x y y x u 2),(2

--=，求),(y x v .

24.设u=x 2-y 2+xy 是解析函数f(z)的实部，其中z=x+iy.求f ′(z)并将它表示成z 的函数形式. 25.设v=e ax siny ，求常数a 使v 成为调和函数. 26.已知调和函数u=(x-y)(x 2+4xy+y 2)，求f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式.

27．设u=e 2x cos 2y 是解析函数f(z)的实部，求f(z).

28．已知z ≠0时，22

x y

u x y -=

+为调和函数，求解

析函数()f z u iv =+的导数f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式．

29．求方程sin z +cos z =0 的全部根.

第三章复习题

1.设C 为正向圆周|z|=1，则?

dz （）A. 0

B. 1

C.πi

D. 2πi

2.设C 为从-i 到i 的直线段，则?=C

dz |z |（

）A. i B. 2i C. -i

D. -2i

3.设C 为正向圆周|z|=1，则?

=-C

z dz 1

e z sin （）

A.2πi ·sin 1

B.-2πi

C.0

D.2πi

==-2

|z |2

)i z (dz

（） A. 0 B. 1 C. 2

π D. 2πi

=-=2

|1z |dz z z

cos （） A. 0 B. 1 C. 2π D. 2πi

6.?

+=i

220

zdz （） A. i B. 2i C. 3i

D. 4i

7.设C 为正向圆周|z-a|=a(a>0)，则积分?

-C

z dz

2=（） A. a

2π-

B. a

π-

2π D.

i π 8.设C 为正向圆周|z-1|=1，则?=

-C dz z z 5

)1(（）A.0 B.πi C.2πi D.6πi

9.设C 为正向圆周|z |=1，则?

zdz cot （）A.

-2πi B. 2πi C. -2π D.2π 10.

=-3

|i z |z dz

=（） A. 0 B. 2π C. πi D. 2πi 11.

=---1

1212z z sinzdz

|z |=（）A. 0 B. 2πisin1

C. 2πsin1

D. 1sin 21

π 12.

2dz zcosz =（） A.

21sin9 B.2

cos9 C.cos9 D.sin9 13．设C 为正向圆周|z |=1,则dz z C

=（）A ．i π6

B ．i π4

C ．i π2

D ．0

14．设C 为正向圆周|z -1|=2,则

dz z e z

=（）

A ．e 2

B ．i e 22π

C ．i e 2π

D ．i e 22π-

15．设C 为正向圆周|z |=2，则

dz z e z z

)1(++?

=（）

A ．i e

3π

B ．

6π

C ．ei

π2

．

i e

16．复积分

iz e dz ?

的值是（）

A ． 1(1)e i ---

B ．1e i -

C ．1(1)e i --

D ．1e i -- 17．复积分

|1|2

z i e z i

--=-?dz 的值是（）A ．i

B ．i e -

C ．2πi i e

D ．2πi i e -

18.

设

为

正向圆周

=ξ-ξξ

=<=ξC 3

d )z (2sin )z (f 1|z |1||时，，则当_________

__. 19.设

==ζ<ζ-ζζ

L )z (f 3|:|L ),3|z (|,d z

sin )z (f ，则___________. 20.

设

′

(z)=

==ζ<-ζζ

ζL )z (f L )|z (|，则｜：｜， 55d ζz)( cos e 2

________.

21.设C 为正向圆周|z |=1,则

dz i

e c

z 2

2π

. 22. 设C 为正向圆周|z|=1，则积分?

=C dz z

___________. 23．设C 为从i 到1+i 的直线段，则

z d z C

Re ____________.

24．设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分

=?dz z z C

)(____________.

25．设C 为正向圆周|z |=2，则

=-C

dz z z 3

2)2

(cos π

____________.

26．

|3|1

cos z z i e zdz -=?

=______________.

27. 设

C 为正向圆周|z|=1，计算积分

+-=C 2.dz )2z )(2

z (z

sin I

28. 计算积分?

z dz )

a z (e I ，其中C 为正向圆周

|z|=1，|a|≠1. 29. 计算积分?

+-=

dz z

)i 1(z 1I ，

其中C 为正向圆周|z|=2.

30. 求积分?

++-C

dz i

z 2

2z 3I ）（

＝的值，其中C:|z|=4为正向. 31. 求积分?

-C

z dz z

3e I ＝

的值，其中C:|z|=1为正向.

32．设C 为正向圆周|z|=1，求I=dz ze

c z ?

33．设C 为正向圆周|z-i |=

,求I =?+c z z dz )1(2. 34．设C 为正向圆周|z|=1，求I=?C z

dz z

e 5.

35. 求积分I=

dz z i 的2

2值，其中C ：|z|=4为正向.

36. 求积分I=?

+C z

dz )

i z (e 的42

值，其中C ：|z|=2为正

向.

37．设C 为正向简单闭曲线，a 在C 的内部，计算I =.)(213

dz a z ze i

38．计算积分I=

2()c

x y ix dz -+?

，其中C 为从0

到1+i 的直线段． 39．计算积分I=

(1)(1)

dz z z -+?

，其中C 为正

向圆周2220x y x +-=

第四章复习题

1. 复数列i 2

n n e z π=的极限为（） A.-1

B.0

C.1

D.不存在

2. 设∑

∞

==0

n n

n z

)z (f ，则f (10)(0)为（）A.0

101

C.1

D.10！

3．z

-21的幂级数展开式

∑∞

n n

a 在z =-4处（）

A ．绝对收敛

B ．条件收敛

C ．发散

D ．收

敛于61

4．幂级数

∑

∞

=+0

)

1(1

n n n

z i 的收敛半径为（） A ．2 B ．1 C ．

D ．0 5. 下列级数中绝对收敛的是（）

A.∑∞

=+1

!)43(n n

n i B.

n i

∑∞

=+1

)231( C. ∑∞

=1n n

i D.

∑

∞

=+-1

)

1(n n

n i

6. 1

e 1

)z (f z -=

在z=πi 处的泰勒级数的收敛半径为

（）

A. πi

B. 2πi

C. π

D. 2π

7. 处在0z )i z )(2z (1

)z (f =--=泰勒展开式的收敛半

径是（）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3 8. f(z)=2

+在z=1处的泰勒展开式的收敛半径为（）

B. 1

C.2

D.3 9. f(z)=

z(z cosz -在z=1处泰勒展开式的收敛半径是

（）

A.0

B.1

C.2

D.3 10. z=2i 为函数2

22z )4z (z e )z (f +=

的（）

A.可去奇点

B.本性奇点

C.极点

D.解析点

11. 以z=0为本性奇点的函数是（） A.

z z

sin B.

)1z (z 1- C.2

z z

cos 1-

D.z

1sin

12．点z=-1是f(z)=(z+1)5sin

)

1(1

+z 的（）

A.可去奇点

B.二阶极点

C.五阶零点

D.本性奇点 13. z=0为函数cos

的（） A.本性奇点 B.极点 C.可去奇点 D.解析点

14．z=0是函数

cos 1z -的（）

A ．本性奇点

B ．可去奇点

C ．一阶极点

D ．二阶极点

15. 2

)

1z (z 1)z (f -=在0<|z-1|<1内的罗朗展开式是

（） A.

∑∞

=-0n n

)

1( B.

∑∞

=-0

n n

)

1z (1 C.

∑∞

=--0n n n

)1z ()

∑∞

=---0

n 2n n

)1z ()

16. 可以使f(z)=3

)3(1

+z z 在点z=0处的罗朗展开式收

敛的区域是（）

A.0<|z|<2或2<|z|<+∞

B. 0<|z|<+∞

C. 0<|z-2|<2

D. 0<|z-2|<+∞

17. f(z)=)

z )(z (121

--在0<|z-2|<1内的罗朗展开式是

（） A.

∑

∞

=-01n n

n z )( B.∑∞=-0

21n n

z )z ( C.∑

∞

=-0

2n n )z (

∑∞

=---0

21n n n

)

z ()(

18. 设i 1a a lim

n 1

n n +=+∞→，则幂级数∑

∞

=+0

n n n z 1n a 的收敛半径为___________. 19. 幂级数

∑∞

=0n n n

z 3

的收敛半径是___________.

20. 幂级数

∑∞=1

n n n

z n

n 的收敛半径是________.

21．若在幂级数

∑

∞

n n n z b 中，i b b n

n n 43lim

+=+∞→，则该幂

级数的收敛半径为____________.

22．幂级数

∑

∞

-12

n n

n nz 的收敛半径是____________.

23．设

n z z f n

n n

1()(0

∑

∞

=-=，则

)

0()10(f =___________.

24. z =0是f(z)=z

z )

1ln(+的奇点，其类型

为 . 25. f(z)=

z z -在圆环域0<|z|<1内的罗朗展开式为 .

26．设z z f -=11

sin )(的幂级数展开式为

∑∞

n n

a ，求

它的收敛半径，并计算系数a 1,a 2.

27. 求f(z)=ln z 在点z=2的泰勒级数展开式，并求其收

敛半径.

28 将函数0z )2z )(1z (1)z (f =++=在展开为泰勒级数.

29．求)

2)(1(1

)(--=z z z f 在z =0处的泰勒展开式.

30. 将函数f(z)=ln(3+z)展开为z 的泰勒级数.

31．将函数f(z)=ln(z2-3z+2)在z=0处展开为泰勒级数．

32. (1)求

z 1

在圆环域1<|z-1|<+∞内的罗朗级数展开式； (2)求2z

在圆环域1<|z-1|<+∞内的罗朗级数展开

式.

33. 将函数)

1z (z 1

)z (f -=在圆环域1<|z-1|<+∞内展开

为罗朗级数. 34. 将函数f(z)=

()

+z z 在圆环域0<|z|<2内展开为罗

朗级数. 35．求)

2)(4(2

)(---

=z z z f 在圆环域3|1|1<-

罗朗级数展开式.

36．将函数

)1(1

)(2-+=

z z z z f 在圆环域0

为罗朗级数．

第五章复习题

1. 设函数2

iz )

1z (e )z (f +=，则Res[f(z),-i]=（）

A.0

B.4ie -

C.4

ie D.4e

2. 设f(z)=1z z

22-，则Res[f(z),1]=（） A.0

B.1

C.π

D.2π

3. 若f(z)=tgz ，则Res[f(z)，

]=（） A. -2π B. -π C. -1 D. 0 4．函数z z tan 在z =0点的留数为（） A ．2 B ．i C ．1 D ．0

5．函数2

z e e ibz

iaz -(a 、b 为实数,a ≠b)在z=0点的留数为

（）

A ．)(a b i -

B ．a b -

C ．b a -

D ．

)(b a i -

6．Re [cot ,1]s z π=（） A ．1

B ．

C ．-2i

D ．2i

7.设

f(z)=

+--++--+---n

n z z z z )1()1()1(1)

1(1)1(12

,则Res[f(z),1]= . 8.利用留数计算积分?

=+-=

|z |4

dz )4z )(1z (e

9.（1）求)

4z )(1z (1)z (f 2

++=在上半平面的所有孤立

奇点；

（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；（3）利用以上结果计算积分?

+∞

∞

-++=)

4x )(1x (dx I 22.

10.（1）求2

z 2i z

4e )z (f +=

在上半平面的所有孤立奇点；

（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；

（3）利用以上结果计算积分?

+∞∞-+=.dx 4

x x

2cos I 2

11．（1）求f(z)=1

+z z

在上半平面内的孤立奇点，并指出其类型；

（2）求f(z)e iz 在以上奇点的留数；

（3）利用以上结果，求I=?+∞

∞-+dx x x

x 1

sin 2. 12. 利用留数计算积分I=

C zsinz

，其中C 为正向圆周

|z|=1.

13．（1）求f(z)=

iz e z z 2

1+在上半平面的所有孤立奇点；

（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；（3）利用以上结果计算积分I=?

+∞

∞-+

x d x 1xsinx 2

14．求)

)(3

i z z z f -=

在各个孤立奇点处的留数.

15．利用留数计算积分?

+∞

∞-++=dx x x x I )

9)(1(2

. 16．利用留数计算积分I=22

(1)z

c e dz z -?，其中C 为正向圆周||z =2．

17．（1）求2

()1

z f z z z =++在上半平面内的所有孤立奇点．

（2）求)(z f 在以上各孤立奇点的留数．（3）利用以上结果计算积分

x dx x x +∞

-∞

++?

．第六章复习题

1. 把点z=1，i,-1分别映射为点w=∞,-1,0的分式线性

映射为（） A.1

z 1

z w +-= B.z

1z (i w -+=

C.z

z w -+=

D.1

z )

1z (i w +-=

2. w=e z 把带形区域0

面

C.割去负实轴及原点的复平面

D.割去正实

轴及原点的复平面

3. 线性变换z

2+=ω（）

A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Im ω>0

B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1

C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0

D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1

4. 线性变换ω=i

z z

i +-（）

A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Im ω>0

B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1

C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0

D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1

5．3

z =ω把Z 平面上区域0<θ<π映射成W 平面

上的区域（）

A ．-3π

B ．3

D ．0

6. 映射z

ω是关于___________的对称变换.

7. 线性映射ω=z 是关于________的对称变换.

8．分式线性映射i z i

z +---=

11ω把上半平面Imz>0映射

成___________.

9. 设D 是上半单位圆：Im z>0,|z|<1，求下列保角映射：（1）w 1=f(z)把D 映射为第Ⅱ象限D 1，且f(1)=0；（2）w 2=g(w 1)把D 1映射为第Ⅰ象限D 2；（3）w=h(w 2)把D 2映射为上半平面D 3；（4）求把D 映射为D 3的保角映射w=F(z).

10. 设D 是Z 平面上的带形区域：10

（1）ω1=f 1(z)把D 映射成ω1平面上的带形区域D 1：0

（2）ω2=f 2(ω1)把D 1映射成ω2平面上的上半平面D 2：Im ω2>0；

（3）ω=f 3(ω2)把D 2映射成ω平面上的单位圆域D 3：|ω|<1，且f 3(i)=0；

（4）综合以上三步，试用保角映射ω=f(z)把D 映射成单位圆域D 3.

11．设D 为Z 平面的单位圆盘去掉原点及正实轴的区域. 求下列保角映射：

（1）w 1=f 1(z)把D 映射成W 1平面的上半单位圆盘D 1；（2）w=f 2(w 1)把D 1映射成W 平面的第一象限；（3）w=f(z)把D 映射成W 平面的第一象限.. 12. 设D 是Z 平面上的带形区域：1

（1）ω1=f 1(z)把D 映射成ω1平面上的带形区域D 1：0

（2）ω2=f 2(ω1)把D 1映射成ω2平面上的带形区域D 2：0

（3）ω=f 3(ω2)把D 2映射成ω平面上的上半平面D 3：Im ω>0；

（4）综合以上三步，求把D 映射成D 3的保角映射ω=f(z).

13．设D 为Z 平面上的扇形区域.1||,3

arg 0<<

求

下列保角映射：

（1）)(11z f w =把D 映射为W 1平面的上半单位圆盘D 1；

（2）)(12w f w =把D 1映射为W 平面上的第一象限；（3）)(z f w =把D 映射为W 平面上的第一象限.

14．设Z 平面上区域D ：||z <2且||z i ->1．试求以下保角映射:

（1）)(11z f =ω把D 映射成W1平面上的带形域

D1：41

;

（2）)

(122ωωf =把D1映射成W2平面上的带形

域D2：0

)

(23ωωf =把D2映射成W 平面上的区域

D3：Im ω>0;

（4）综合以上三步，求保角映射)(z f =ω把D 映射成Im ω>0.

第二篇复习题

1.δ函数的傅氏变换F )]t ([δ为（） A.-2 B.-1 C.1 D.2

2. 函数f(t)=t 的傅氏变换F [f(t)]为（） A.δ(ω) B.2πi δ(ω) C.2πi δ'(ω)

D.δ'(ω)

3．函数f(t)=π212

t e -的傅氏变换F [])(t f 为（）

A ． 2

ω-e

B ． 2

2ω-

C ． 2

ωe

D ． 2

4.求函数)t (f 3)t (2-δ的傅氏变换，其中???≤>=-.

0t ,00t ,te )t (f t

5．求函数3f(t)+2sint 的付氏变换，其中

f(t)=???>≤1

||,01||,1t t

6. (1)求e -t 的拉氏变换F [e -t ]；

(2)设F(p)=F [y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，F [y ′(t)]、F [y ″(t)]存在，且y(0)=0，

y ′(0)=1，求F [y ′(t)]、F [y ″(t)]；

（3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：?

?='==-'+''-1)0(y ,0)0(y e 2y 3y 2y t

7.(1)求e t 的拉氏变换L [e t ];

(2)设F （p ）=L [y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，L [y ′(t)]、L [y ″(t)]存在，且y(0)=0， y ′(0)=0，求L [y ′(t)]、L [y ″(t)];

(3)利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：?

?='==+'-''.)(y ,)(y e y y y t

00002 8．求函数2

22)4(4

)(-+=p p p F 的拉氏逆变换

9.（1）求sint 的拉氏变换（sint ）；（2）设F （p ）=

[])(t y ，其中函数)(t y 可导，且

1)0(-=y ,求

[])(t y '.

（3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：??

?-==+'1

)0(sin y t y y

全国2009年4月自考复变函数与积分

变换试题

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共

20分） 1．设z =1-i ,则Im(

z )=（） A ．-1 B ．-21 C ．2

D ．1

2．复数z =

-+23的幅角主值是（） A ．0 B ．

4π C ．2

π D ．

3π

3．设n 为整数，则Ln （-ie ）=（）

A ．1-2πi

B ．)22(πn π-i

C ．1+)i π(n π22-

D ．1+

i π(n π)2

4．设z =x +iy .若f (z )=my 3+nx 2y +i (x 3-3xy 2)为解析函数，则（）

A ．m =-3,n =-3

B ．m =-3,n =1

C ．m =1,n =-3

D ．m =1,n =1 5．积分?

=2i i

πz dz e （）

A ．

)1(1

i +π

B ．1+i

C ．

2 D ．

2 6．设C 是正向圆周,11=-z 则?

-C dz z z 1

)

3/sin(2π=（） A ．i π23- B ．i π3- C ．i π4

3 D ．

i π2

3 7．设C 是正向圆周3=z ，则

dz z z 3

(sin π

=（） A ．i π2- B ．i π- C ．i π D ．2i π 8．点z =0是函数)

1(sin )1()(2--=z z z

e z

f z 的（）

A ．可去奇点

B ．一阶极点

C ．二阶极点

D ．本性奇点 9．函数)

3)(2()(-+=

z z z

z f 在1=z 的泰勒展开式的收

敛圆域为（）

A ．z ＜2

B ．1-z ＜2

C ．z ＜3

D ．

1-z ＜3

10．设)

1(sin )(2z z z

z f -=

,则Res[f (z ),0]=（）

A ．-1

B ．-

21 C ．2

D ．1 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 11．复数-1-i 的指数形式为__________.

12．设z =x +iy 满足x -1+i (y +2)=(1+i )(1-i )，则

z =__________. 13．区域0

在映射w =z 3下的像为__________. 14．设C 为正向圆周,2=z 则?

=-C

dz z e 1

2__________. 15．函数)

1(1

)(2

z z z f -=

在圆环域0

开式为__________.

16．设)1()(1-=

e z z

f ,则Res[f (z ),0]=__________.

三、计算题（本大题共8小题，共52分）

17．（本题6分）将曲线的参数方程z =3e it +e -it （t 为实参数）化为直角坐标方程. 18．（本题6分）设C 是正向圆周

+-=-C

dz z z e z .2

3,2

12计算

19．（本题6分）求0)

2)(1()(=-+=

z z z z

z f 在处的泰

勒展开式，并指出收敛圆域.

20．（本题6分）求)2)(1(1

2)(+-+=z z z z f 在圆环域1

内的罗朗展开式.

21．（本题7分）计算z =(1+i )2i 的值.

22．（本题7分）设v (x ,y )=arctan )(),0(z f x x

>是在右

半平面上以v (x ,y )为虚部的解析函数，求f (z ). 23．（本题7分）设C 是正向圆周2=z ，计算

1(2dz z z e I C

24．（本题7分）设C 是正向圆周1=z ，计算

C dz z

z I .2

sin )1(2 四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、

27题中只选做一题。每小题8分，共16分）

25．（1）求221

)(2+-=z z z f 在上半平面内的孤立奇点，

并指出其类型；

（2）求出iz e z f )(在以上奇点处的留数；（3）利用以上结果，求积分?

+∞

∞-+-=

2cos 2dx x x x

26．设D 为Z 平面上的带形区域：0

（1）w 1=f 1(z )将D 映射成W 1平面的上半平面D 1；（2）w =f 2(w 1)将D 1映射成W 平面的单位圆盘D 2∶|w |<1;

（3）w =f (z )将D 映射成W 平面的单位圆盘D 2∶|w |<1.

27．求函数t e t t f t 3sin 5)1(3)(22-++=的拉普拉斯变换.

全国2009年7月自考复变函数与积分

变换试题

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)。

1.(cos θ+i sin θ)3

=( )

A. cos(3θ)+i sin(3θ)

B. cos 3

sin

i +

C .cos(3θ)+3i sin(3θ) D.

cos 3

sin 33θθi +

2.下列集合为无界单连通区域的是( ) A. Re(z-5i )2≥ B. | z-5i |3≤ C. | z-5i |>0

D. Im(z-5i )<-1

3.下列选项中不属于．．．cosz 性质的是( )

A. cosz 以2π为周期

B. cosz 是偶函数 C .cosz 是有界函数 D. cosz 在Z 平面解析 4.Ln(-1)的主值是( )

A. -2πi

B. –πi

C. πi

D. 2πi 5.复积分dz z i

+的值是( )

A. 32（-1-i ）

B. 32（-1+i ）

C. 3

（1-i ） D.

（1+i ） 6.复积分

dz i

z z

z +?

||的值是( ) A. -i B i C. -2π D. 2π

7.z=0是函数2sin z z

的( )

A. 本性奇点

B. 可去奇点

C. 一阶极点

D. 二阶极点

8.Res ??

???+i z e iz ,12

=( ) A. -

2ie B. -e i 2 C. e i 2 D. 2

ie 9.3z =ω把Z 平面上的角形域0<θ<

映射成W 平面上的区域是( )

A. -2π

B. -π

C. 0

D. 0

10.函数f (t )=cos t 的傅氏变换F []f(t)为( )

A. π

[]

)1()1(--+ωδωδ B. 2π

[])1()1(--+ωδωδ

C. π

[]

)1()1(-++ωδωδ D. 2π

[])1()1(-++ωδωδ

二、填空题（本大题共6小题,每小题2分，共12分） 11.复数i -3的指数表达式是___________(辐角在主值范围内)。

12.sin （z -i ）的所有零点为___________。 13.

___________)

9(1

||=--?

=dz z z e z z 。 14.幂级数

∑

∞

=-1

___________)5(n n

z 的收敛半径是。

15.若)

7(0

,3)1()1()(f z z f n n n n

则∑

∞

=+--=(1)= ___________。 16.

分式线性映射___________1313映射成把单位圆内部<--=z z

z i ω。

三、计算题（本大题共8小题,共52分）

17.(本题6分)求解方程z 4+16=0。 18.(本题6分)已知z 2

2,)(0y

x x

u iy x z +=+=≠时为调和函数，求解析函数的导数iv u z f +=)(

f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式。 19.(

本

题

6分)设

的值

试确定时解析在a x x

i y x a z f ,0arctg )ln()(22>++=。

20.(本题6分)计算积分?

zdz 其中,Re C 为抛物线

的弧段到上从i x y +=102。

21.(本题7分)计算积分其中,cos 13

dz z z

I c ?

-=C 为正向

圆周2

=z 。

22.(本题7分)利用留数计算积分

-=c dz z z I 其中,)2(1

2C 为正向圆周43=-z 。

23.(本题7分)将函数

数的领域内展开为泰勒级在2)

2)(1(1

)(=++=

z z z z f 。

24.(

本题7分)将函数内展开为罗朗级数在圆环域201

)(2<-<+=i z z z f 。

四、综合题（本大题共3小题，第25小题必做,第26、

27小题只选做一题，每小题8分，共16分） 25. (1)

求

4)(2立奇点在上半平面内的所有孤++=z z e z f iz

(2)求;)(数在以上各孤立奇点的留z f

(3)利用以上结果计算积分?

+∞

∞-++=

dx x x x

I 5

4cos 2。 26.设Z 平面上区域D ：1

(1)把)(11z f =ωD 映射成W 1平面上区域D 1：

(2)把)(122ωωf =D 1映射成W 2平面上区域D 2：

Im ;02>ω

(3)把)(23ωωf =D 2映射成W 平面上区域D 3：

1<ω;

(4)综合以上三步，求保角映射把)(z f =ωD 映射成

D 3：1<ω。

27. (1)求cos2t 的拉氏变换L []t 2cos ； (2)

设

（

）=L

[],

)(,)(二阶可导其中函数t y t y L

[])0(,1)0(,)(y y t y '-=''且存在=0,求L [])(t y ''；

(3)利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：

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能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重

复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，

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复变函数_期末试卷及答案

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（） 3．下列命题中，正确．．的是（） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 ．在下列复数中，使得z e i =成立的是（） 8．已知3 1z i =+，则下列正确的是（） 9．积分 ||342z dz z =-??的值为（） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于（） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（） A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（） A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点

复变函数与积分变换期末考试试卷A及答案

复变函数与积分变换期末试题（A ）答案及评分标准复变函数与积分变换期末试题（A ）一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 231i -的幅角是（Λ2,1,0,23 ±±=+-k k ππ ）；2.)1(i Ln +-的主值是（ i 4 32ln 21π+ ）；3. 211)(z z f += ， =)0() 5(f （ 0 ）； 4．0=z 是 4 sin z z z -的（一级）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1）；二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ B ）；（A ） y x iu u z f +=')(；（B ）y x iu u z f -=')(；（C ） y x iv u z f +=')(；（D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=?C z z f ．（A ） 23-z ；（B ）2 ) 1(3--z z ；（C ）2)2()1(3--z z ；（D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在（ C ）（A ）2-=z 点条件收敛；（B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛；（D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；

(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ D ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞ (B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞ (D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算 ? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周：2=z ；（3）计算?=++33 42215 d )2()1(z z z z z （4）函数3 2 32) (sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点，如果有极点，请指出它的级. 四、（本题14分）将函数) 1(1 )(2 -= z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数；（1）110<-

北京大学谭小江复变函数2017春期中考试题

《复变函数》期中试题本试卷共7道大题，满分100分 1.设f(x,y)是(0,0)∈R2=C邻域上关于实变量(x,y)二阶连续可导的函数。用复变量z=x+iy和ˉz=x?iy及其相关的一阶、二阶偏导给出这一函数在z=0邻域上的Taylor展开。（20分） 2.证明复函数(x2+2y)+i(y?3x)不是复变量z=x+iy的解析函数。构造一个尽可能简单地二阶多项式函数p(x,y)+iq(x,y)，使得(x2+2y)+i(y?3x)+p(x,y)+iq(x,y)是复变量z=x+iy不为常数的解析函数。（20分） 3.表述Cauchy定理（不证）。利用Cauchy定理证明解析函数的Cauchy 积分公式。（15分） 4.令D={x+iy|y>0}为上半平面，证明D到自身，并且将i∈D 映到i∈D的解析同胚全体构成的群可以用一个实参数来表示，给出群运算（同胚的复合与同胚的逆）与参数的关系。（15分） 5.(a)给出单位圆盘D(0,1)到上半平面D={x+iy|y>0}的所有解析同胚映射。证明你的结论； (b)证明在这些同胚中，存在唯一的一个同胚f(z)，满足f(0)= i,f′(0)>0。（15分） 6.设D={z|1<|z|<2}为圆环，f(z)是D上的解析函数，证明f(z) 可以分解为f(z)=f1(z)+f2(z)的形式，其中f1(z)和f2(z)分别是圆盘D(0,2)={z||z|<2}和扩充复平面ˉC=C∪{∞}中取区域ˉC?D(0,1)上的解析函数。如果上面分解中要求f (0)=0，问这样 1 的分解是否是唯一的，为什么？（8分） 7.令D={z=x+iy||z|<1,y>0}为单位圆盘的上半部分，设f(z) 是D上解析，D上连续的函数，并且当z=x为实数时，f(z)也是实数。在单位圆盘D(0,1)上定义函数g(z)为：g(z)=f(z)，如果z=x+iy满足y≤0;g(z)=f(ˉz)，如果z=x+iy满足y<0，证明g(z)是单位圆盘D(0,1)上的解析函数（本题的结论如果直接引用定理，请给出定理的证明。证明中用到的其他定理只需表述，不需证明）（7分） (编辑：伏贵荣2017年4月，任课老师：谭小江)

《复变函数》-期末试卷及答案(A卷)

《复变函数》试卷第1页（共4页）《复变函数》试卷第2页（共4页） XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试复变函数试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。） 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0= z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=?dz z z C n ，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ，则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<-

大学复变函数期末考试试卷及答案(理工科所有专业)

dz C 2

2．设2 2-+= ni ni n α),3,2,1(ΛΛ=n ,则=∞→n n αlim （） A. 0； B. 1； C. -1+i ； D. 1+i 。 3．满足不等式3211≤-+≤i z 的所有点z 构成的集合是（）。 A ．有界单连通区域； B. 无界单连通区域； C ．有界复连通闭域； D.无界复连通闭域。 4．下列函数中，不在复平面内解析的函数是( ) A.1 )(+=z e z f ； B ．- =z z f )( ； C ．n z z f =)( ； D ．)sin (cos )(y i y e z f x +=。 5 A. ∑∞ =+08)56(n n n i ； C. ∑∞ =02n n i ；三．计算题（每小题71．设z 1+=

2．判定函数)2()()(222y xy i x y x z f -+--=在何处可导，在何处解析。 3．计算积分? - C dz z z 4 )2 (sin π 4.计算积分 4=。

5.设,)1(2y x u -=试求解析函数iv u z f +=)(，使得i f -=)2(。 6.将函数) 2)(1(1 )(--=z z z f ，在圆环域21<

7.利用留数计算积分?C 四.证明函数yi x z f 2)(+=在复平面内不可导。（7分）

参考答案一、填空题（本大题共8小题，每小题3 1．109 ， 2. 4 ，3. 0 ，4. 1，5. -3或二、单项选择题(本大题共7小题，每小题31. B ，2. B ，3.C,4. B,5. B . 三、计算题（本大题共7小题，15-19 1.解：由i z 31+=得：) sin (cos 2π π i z +=, （1分） 6 24 (cos 23166ππ k i z k +=+=所以)18sin 18(cos 260ππi z +=，)1813sin 1813(cos 262ππi z += , )25sin 1825(cos 264ππi z +=,5z 7分） 2. 解 ) 2()2y xy i x -+,则 (),(22y x y x u -= y u x x u ,12=??-=?? 只在2 1 = y ,x v ??-（6分）故只在2 1 =y 处可导，处处不解析。（7分） 3z 在2=z 内解析，（2分）

复变函数试题库(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】【最新整理，下载后即可编辑】《复变函数论》试题库梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||00)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2.=+z z 2 2 cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数0 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中 n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0=→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设)2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证 : ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值. 《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z 2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i z ________. 3. =-?=-1||0 0)(z z n z z dz _________.（n 为自然数）

复变函数期末考试题大全(东北师大)

____________________________________________________________________________________________________ 一、填空题（每小题2分） 1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上的曲线是 3、若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()? +--+i dz z 22 22= 6、积分?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α 1=（） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（） A i 2321- B 223i - C 223i +- D i 2 321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ?=-123z z dz B ?=-12 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1w 的分式线性变换是（） A )1(1>--=a z a a z e w i β B )1(1<--=a z a a z e w i β

复变函数期末考试分章节复习题

第一章复习题 1. 设z=1+2i ，则Im z 3=（） A. -2 B. 1 C. 8 D. 14 2. z=2-2i ，|z 2 |=（） A. 2 B. 8 C. 4 D. 8 3. z=(1+cost)+i(2+sint),0≤t<2π所表示的曲线为（） A.直线 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 4. 设z=x+iy,则（1+i ）z 2的实部为（） A.x 2-y 2+2xy B.x 2-y 2-2xy C.x 2+y 2+2xy D.x 2+y 2-2xy 5. arg(2-2i)=（） A.43π- B.4π- C.4π D.4 3π 6．设2,3z w i z =+=,则（） A ．3 arg π = w B ．6 arg π = w C ．6 arg π - =w D ．3 arg π - =w 7．设z 为非零复数，a ,b 为实数，若ib a z z +=_ ，则a 2+b 2的值（） A ．等于0 B ．等于1 C ．小于1 D ．大于1 8．设1 1z i = -+，则z 为（） A ．21i +- B ．21i -- C ．21i - D ．21i + 9. 设z=x+iy ，则|e 2i+2z |=（） A. e 2+2x B. e |2i+2z| C. e 2+2z D. e 2x 10. Re(e 2x+iy )=（） A. e 2x B. e y C. e 2x cosy D. e 2x siny 11. 包含了单位圆盘|z|<1的区域是（） A.Re z<-1 B.Re z<0 C.Re z<1 D.Im z<0 12. 复数方程z=3t+it 表示的曲线是（） A.直线 B.圆周 C.椭圆 D.双曲线 13 .下列集合为无界多连通区域的是（） A.0<|z-3i|<1 B.Imz>π C.|z+ie|>4 D.π<<π2z arg 2 3 14.复数方程z=cost+isint 的曲线是（） A.直线 B.圆周 C.椭圆 D.双曲线 15.下列集合为有界单连通区域的是（） A.0<|z-3|<2 B.Rez>3 C.|z+a|<1 D. π≤<πargz 2 1 16．下列集合为有界闭区域的是（） A ．0< arg (z+3)≤ 2 π B ．Re (z-i)<1 C ．1≤Imz ≤2 D ． 1≤||z i -≤4

《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案

?复变函数与积分变换?期末试题（A）一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i- 的幅角是（）；2.) 1 (i Ln+ -的主值是（）；3. 2 1 1 ) ( z z f + =，= )0()5(f（）； 4．0 = z是4 sin z z z- 的（）极点；5． z z f 1 ) (=，= ∞] ), ( [ Re z f s（）；二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数) , ( ) , ( ) (y x iv y x u z f+ =的导函数为（）；（A）y x iu u z f+ = ') (；（B） y x iu u z f- = ') (；（C）y x iv u z f+ = ') (；（D） x y iv u z f+ = ') (. 2．C是正向圆周3 = z，如果函数= ) (z f（），则0 d) (= ?C z z f．（A） 2 3 - z ；（B） 2 )1 (3 - - z z ；（C） 2 )2 ( )1 (3 - - z z ；（D） 2 )2 ( 3 - z . 3．如果级数∑ ∞ =1 n n n z c在2 = z点收敛，则级数在（A）2 - = z点条件收敛；（B）i z2 =点绝对收敛；（C）i z+ =1点绝对收敛；（D）i z2 1+ =点一定发散．４．下列结论正确的是( ) （A）如果函数) (z f在 z点可导，则) (z f在 z点一定解析；

(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周：2=z ；

复变函数与积分变换期末试题(附有答案)

复变函数与积分变换期末试题一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2. )1(i Ln +-的主值是（ i 4 32ln 21π + ）；3. 211)(z z f +=，=)0() 5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z z z -的（一级）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题3分，共15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（）；（A ） y x iu u z f +=')(；（B ）y x iu u z f -=')(；（C ） y x iv u z f +=')(；（D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （），则0d )(=?C z z f ．（A ） 23-z ；（B ）2)1(3--z z ；（C ）2)2()1(3--z z ；（D ）2 ) 2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在（A ）2-=z 点条件收敛；（B ）i z 2=点绝对收敛；

（C ）i z +=1点绝对收敛；（D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求 .,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件

复变函数测试试题库

复变函数试题库

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《复变函数论》试题库梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内

复变函数与积分变换期中考试题附答案

得分得分 ?复变函数与积分变换?期中考试题电子信息专业2015年11月题号一二三四五六总分得分一．填空题（每小题3分，共计15分） 1．231i -的幅角是； 2,1,0,23 ±±=+- k k ππ 2.)1(i Ln +-的主值是；i 4 32ln 21π + 3. 211)(z z f +=， =)0()5(f ；0 4．以原点为中心，焦点在实轴上，长半轴短半轴分别为a ，b 的椭圆曲线方程是（用复数形式表示！！！）； z=acost+ibsint t ∈[0,2π] 5． =?+i 11 z)dz z(e^ ；ie^(1+i)=ie(cos1+isin1) 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（）；B （A ） y x iu u z f +=')(；（B ）y x iu u z f -=')(；（C ） y x iv u z f +=')(；（D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （），则0d )(=?C z z f ； D （A ） 23-z ；（B ）2 ) 1(3--z z ；（C ）2)2()1(3--z z ；（D ）2)2(3-z .

3．若c 为不经过1与-1的正向曲线，则?+-c dz 1)^2)(z 1（z z 为（）；D （A ）πi/2； (B ）-πi/2；（C ）0； (D)以上的都可能. ４．下列结论正确的是( )；B （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=? C dz z f ；（C ）如果0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．函数)(z f 在z 点可导是)(z f 在点z 解析的（）．B (A) 充分不必要条件;(B) 必要不充分条件; (C) 充分必要条件;(D) 即不充分也不必要条件. 三．按要求完成下列各题（共计40分）（1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求 d c b a ,,,; 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件 y v x u ??=?? x v y u ??-=?? y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+ ,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c 给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。得分

复变函数题库(包含好多试卷,后面都有答案)

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（）二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数.

复变函数试题及答案

成绩西安交通大学考试题课程复变函数（A）系别考试日期 2007 年 7 月 5 日专业班号姓名学号期中期末 1. 填空（每题3分， 2. 共30分） 1．＝ 2．＝0是函数的（说出类型，如果是极点，则要说明阶数） 3. ,则＝ 4. 5. 函数在处的转动角为 6. 幂级数的收敛半径为 =____________ 7. 8．设C为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线，则 9．函数在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________ 10．二．判断题（每题3分，共30分） 1．在解析。【】 2．在点可微，则在解析。【】 3．是周期函数。【】 4．每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【】 5．设级数收敛，而发散，则的收敛半径为1。【】 6．能在圆环域展开成洛朗级数。【】 7．为大于1的正整数, 成立。【】 8．如果函数在解析，那末映射在具有保角性。【】 9．如果是内的调和函数,则是内的解析函数。【】10．。【】三．（8分）为调和函数，求的值，并求出解析函数。四．（8分）求在圆环域和内的洛朗展开式。五．（8分）计算积分。六．（8分）设，其中C为圆周的正向，求。七．（8分）求将带形区域映射成单位圆的共形映射。

复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分) 1. ； 2. 三级极点； 3. ； 4. 0 ； 5. 0 ； 6. ； 7. ； 8. 0； 9. 0 ；10. 。二.判断1.错；2.错；3.正确； 4. 错；5.正确；6.错； 7.错；8. 错；9. 正确；10. 错。三(8分) 解: 1)在 -----4分 2) 在 --4分四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故 --------3分 --------6分故 ---------8分五.(8分) 解: -------3分由于1+i在所围的圆域内, 故 -------8分六. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到 (映射不唯一,写出任何一个都算对) 七.(8分) 解:对方程两端做拉氏变换: 代入初始条件,得 --------4分故, ---------8分(用留数做也可以) 复变函数 (A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分)1. ；2. 三级极点；3. ； 4. 0 ；5. 0 ；6. ；7. ；8. 0 ； 9. 0 ； 10. 0。二.判断1.错；2.错；3.正确；4. 错；5.正确；6.错；7.错；8. 错；9. 正确；10. 错。三.(8分) 解:因为是调和函数,则有 ,即故 ---------2分 1) 当时, , 由C-R方程, , 则 , 又由，故 , 所以。则 ----------3分 2) 当时, , 由C-R方程, , 则 , 又由，故 , 所以。则

复变函数期末考试复习题及答案详解

《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2.=+z z 2 2 cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8. =)0,( Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在} 1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在 D 内为常数. 2. 试证 : ()f z = 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1 z =-的值. 《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分)

复变函数与积分变换期末试卷及答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2007－08 学年第1学期考试科目：复变函数与积分变换考试类型：（闭卷）考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（） 4 .34arctan 3 A i π-+-的主辐角为 .arg(3)arg()B i i -=- 2.rg(34)2arg(34)C a i i -+=-+ 2 .||D z z z ?= 3．下列命题中，正确．．的是（） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（） .z A z e + 2 sin . 1 z B z + .tan z C z e + .sin z D z e + 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = .cos sin iz C e z i z =+ . ||D z = 7．在下列复数中，使得z e i =成立的是（）

《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案[1]

一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 31i -的幅角是（ 2,1,0,23 ±±=+- k k ππ ）； 2.)1(i Ln +-的主值是（ i 4 32ln 21π + ）； 3. 2 11)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ）， 4．0=z 是 4 sin z z z -的（一级）极点； 5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）；（A ） y x iu u z f +=')(；（B ）y x iu u z f -=')(；（C ） y x iv u z f +=')(；（D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周 3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=?C z z f ．（A ） 23-z ；（B ）2 ) 1(3--z z ；（C ） 2)2()1(3--z z ；（D ） 2 )2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛；（B ）i z 2=点绝对收敛；（C ） i z +=1点绝对收敛；（D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B ) （A ）如果函数 )(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果 )(z f 在C 所围成的区域内解析，则 0)(=? C dz z f （C ）如果0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、) ,(y x v

复变函数与积分变换期末考试复习知识点

复习要点一题型 1、填空题（每题3分，共18分） 2、单项选择题（每题3分，共21分） 3、计算题（每题6分，共36分） 4、解答题（4小题，共25分）二知识点第一章复数与复变函数 1、会求复数的各种表示式（一般式、三角式、指数式）。一般式：z=x+yi 三角式：z=r(cosθ+isinθ) 指数式：z=re iθ 2、会求复数（各种表示式）的模、辐角、辐角主值。 3、掌握复数的四则运算、共轭运算、乘幂运算、方根运算。 4、理解区域、有界域、无界域、单连通域与多连通域等概念。 5、会用复变数的方程来表示常用曲线及用不等式表示区域。 6、理解复变函数的概念。 7、了解复变函数的极限与连续性的概念，会求常见的复变函数的极限。例：1.1；1.2 习题一：1.2（2）（3）；1.3；1.5 第二章解析函数 1、理解可导与解析的联系与区别（在一点；在一个区域）。对于点：解析→可导→连续对于区域：解析?可导 2、会判别常见函数的解析性，会求常见函数的奇点。

3、了解柯西—黎曼方程。 4、掌握各类初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数）的定义、性质。例：1.4；2.1；3.1；3.2 习题二：2.3（1）（2）（3）；2.4；2.9（1）（2）（3）；2.10；2.12（1）（3）第三章复变函数的积分 1、熟悉复积分的概念及其基本性质。 2、了解复积分计算的一般方法。 3、会求常见的各类积分（包括不闭路径、闭路径）。本章的主要方法如下，但要注意适用的积分形式。（1）牛顿—莱布尼茨公式。（2）柯西积分定理。（3）柯西积分公式。（4）高阶导数公式。（5）复合闭路定理。注意：上述方法中的（3）（4）（5）可与第五章中的留数定理的应用结合起来复习。例：1.1；2.1；2.2；3.1；4.1 习题三：3.1（1）；3.3；3.4；3.5；3.6；3.7 第四章级数 1、理解复数项级数的相关概念（收敛、发散、绝对收敛、条件收敛）。 2、会判常见复数项级数的敛散性，包括判绝对收敛和条件收敛。 3、熟悉幂级数的概念，会求幂级数的收敛半径。

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