第三章误差和分析数据的处理

第三章 思考题与习题

1．指出在下列情况下，各会引起哪种误差？如果是系统误差，应该采用什么方法减免？

（1） 砝码被腐蚀；

（2） 天平的两臂不等长；

（3） 容量瓶和移液管不配套；

（4） 试剂中含有微量的被测组分；

（5） 天平的零点有微小变动；

（6） 读取滴定体积时最后一位数字估计不准；

（7） 滴定时不慎从锥形瓶中溅出一滴溶液；

（8） 标定HCl 溶液用的NaOH 标准溶液中吸收了CO 2。

答:（1）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更换仪器。

（2）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更换仪器。

（3）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更换仪器。

（4）系统误差中的试剂误差。减免的方法：做空白实验。

（5）随机误差。

（6）系统误差中的操作误差。减免的方法：多读几次取平均值。

（7）过失误差。

（8）系统误差中的试剂误差。减免的方法：做空白实验。

2．如果分析天平的称量误差为±0.2mg ，拟分别称取试样0.1g 和1g 左右，称量的相对误差各为多少？这些结果说明了什么问题？

解：因分析天平的称量误差为mg 2.0±。故读数的绝对误差g a 0002.0±=E

根据%100?T

E =E a r 可得 %2.0%1001000.00002.01.0±=?±=E g

g g r %02.0%1000000.10002.01±=?±=

E g g g r 这说明，两物体称量的绝对误差相等，但他们的相对误差并不相同。也就是说，当被测定的量较大时，相对误差就比较小，测定的准确程度也就比较高。

3．滴定管的读数误差为±0.02mL 。如果滴定中用去标准溶液的体积分别为2mL 和20mL 左右，读数的相对误差各是多少？从相对误差的大小说明了什么问题？

解：因滴定管的读数误差为mL 02.0±，故读数的绝对误差mL a 02.0±=E

根据%100?T

E =E a r 可得 %1%100202.02±=?±=E mL

mL mL r

%1.0%1002002.020±=?±=E mL

mL mL r 这说明，量取两溶液的绝对误差相等，但他们的相对误差并不相同。也就是说，当

被测定的量较大时，测量的相对误差较小，测定的准确程度也就较高。

4．下列数据各包括了几位有效数字？

（1）0.0330 (2) 10.030 (3) 0.01020 (4) 8.7×10-5 (5) pKa=4.74 (6) pH=10.00

答：（1）三位有效数字 （2）五位有效数字 （3）四位有效数字

（4） 两位有效数字 （5） 两位有效数字 （6）两位有效数字

5．将0.089g Mg 2P 2O 7沉淀换算为MgO 的质量，问计算时在下列换算因数

（2MgO/Mg 2P 2O 7）中取哪个数值较为合适：0.3623,0.362,0.36？计算结果应以几位有效

数字报出。

答:：0.36 应以两位有效数字报出。

6．用返滴定法测定软锰矿中MnO 2的质量分数，其结果按下式进行计算：

%1005000.094.86)25101000.000.807.1268000.0(

32?????-=-MnO ω 问测定结果应以几位有效数字报出？

答:：应以四位有效数字报出。

7．用加热挥发法测定BaCl 2·2H 2O 中结晶水的质量分数时，使用万分之一的分析天平

称样0.5000g ，问测定结果应以几位有效数字报出？

答:：应以四位有效数字报出。

8．两位分析者同时测定某一试样中硫的质量分数，称取试样均为3.5g ，分别报告结果

如下：

甲：0.042%,0.041%；乙：0.04099%,0.04201%。问哪一份报告是合理的，为什么？

答:：甲的报告合理。因为在称样时取了两位有效数字，所以计算结果应和称样时相同，都取两位有效数字。

9．标定浓度约为0.1mol ·L -1的NaOH ，欲消耗NaOH 溶液20mL 左右，应称取基准物

质H 2C 2O 4·2H 2O 多少克？其称量的相对误差能否达到0. 1%？若不能，可以用什么方

法予以改善？若改用邻苯二甲酸氢钾为基准物，结果又如何？

解：根据方程2NaOH+H 2C 2O 4·H 2O==Na 2C 2O 4+3H 2O 可知，

需H 2C 2O 4·H 2O 的质量m 1为：

g m 13.007.1262020.01.01=??=

相对误差为 %15.0%10013.00002.01=?=E g

g r 则相对误差大于0.1% ，不能用H 2C 2O 4·H 2O 标定0.1mol·L -1的NaOH ，可以选用相对分子质量大的作为基准物来标定。

若改用KHC 8H 4O 4为基准物时，则有：

KHC 8H 4O 4+ NaOH== KNaC 8H 4O 4+H 2O

需KHC 8H 4O 4的质量为m 2 ，则 g m 41.022.2042020.01.02=??=

%049.0%10041.00002.02=?=E g

g r

相对误差小于0.1% ，可以用于标定NaOH 。

10．有两位学生使用相同的分析仪器标定某溶液的浓度（mol ·L -1），结果如下： 甲：0.12,0.12,0.12（相对平均偏差0.00%）；

乙：0.1243,0.1237,0.1240（相对平均偏差0.16%）。

你如何评价他们的实验结果的准确度和精密度？

答：乙的准确度和精密度都高。因为从两人的数据可知，他们是用分析天平取样。所以有效数字应取四位，而甲只取了两位。因此从表面上看甲的精密度高，但从分析结果的精密度考虑，应该是乙的实验结果的准确度和精密度都高。

11．当置信度为0.95时，测得Al 2O 3的μ置信区间为（35.21±0.10）%，其意义是（ ）

A. 在所测定的数据中有95%在此区间内；

B. 若再进行测定，将有95%的数据落入此区间内；

C. 总体平均值μ落入此区间的概率为0.95；

D. 在此区间内包含μ值的概率为0.95；

答：D

12. 衡量样本平均值的离散程度时，应采用（ ）

A. 标准偏差

B. 相对标准偏差

C. 极差

D. 平均值的标准偏差

答：D

13. 某人测定一个试样结果应为30.68%，相对标准偏差为0.5%。后来发现计算公式的

分子误乘以2，因此正确的结果应为15.34%，问正确的相对标准偏差应为多少？ 解：根据%1001?=-x S

S r

得 %100%68.30%5.0?=

S 则S=0.1534% 当正确结果为15.34%时， %0.1%100%

34.15%1534.0%1002=?=?=-x S

S r 14. 测定某铜矿试样，其中铜的质量分数为24.87%。24.93%和24.69%。真值为25.06%，

计算：（1）测定结果的平均值；（2）中位值；（3）绝对误差；（4）相对误差。

解：（1）%83.243

%69.24%93.24%87.24=++=-x （2）24.87%

（3）%23.0%06.25%83.24-=-=-=E -T x a

（4）%92.0%100-=?=T

E E a r 15. 测定铁矿石中铁的质量分数（以32O Fe W 表示），5次结果分别为：67.48%，67.37%，

67.47%，67.43%和67.40%。 计算：（1）平均偏差（2）相对平均偏差 （3）标准偏差；（4）相对标准偏差；（5）极差。

解：（1）%43.675

%40.67%43.67%47.67%37.67%48.67=++++=-

x ∑=+++==-%04.05%03.0%04.0%06.0%05.0||1i d n d （2）%06.0%100%43.67%04.0%100=?=?=-

-x d d r （3）

%05.015%)03.0(%)04.0(%)06.0(%)05.0(122222=-+++=-=∑n d S i （4）%07.0%100%

43.67%05.0%100=?=?=-x S

S r （5）X m =X 大-X 小=67.48%-67.37%=0.11%

16. 某铁矿石中铁的质量分数为39.19%，若甲的测定结果（%）是：39.12，39.15，39.18；

乙的测定结果（%）为：39.19，39.24，39.28。试比较甲乙两人测定结果的准确度和精密度（精密度以标准偏差和相对标准偏差表示之）。

解：甲：%15.393

%18.39%15.39%12.391=++==∑-n x x %04.0%19.39%15.391-=-=-=E -

T x a

%03.013%)03.0(%)03.0(12221=-+=-=∑n d

S i -=

x S S r 11%08.0%100%

15.39%03.0%100=?=? 乙：%24.393

%28.39%24.39%19.392=++=-x %05.0%19.39%24.392=-==E -

x a

%05.013%)04.0(%)05.0(1222

2=-+=-=

∑n d S i %13.0%100%24.39%05.0%10022

2=?=?=-x S Sr 由上面|Ea 1|<|Ea 2|可知甲的准确度比乙高。 S 1

17. 现有一组平行测定值，符合正态分布（μ=20.40，σ2=0.042）。计算：（1）x=20.30

和x=20.46时的u 值；（2）测定值在20.30 -20.46区间出现的概率。

解：（1）根据σμ

-=x u 得

u 1=5.204.040.2030.20-=- 5.104

.040.2046.202=-=u （2）u 1=-2.5 u 2=1.5 . 由表3—1查得相应的概率为0.4938，0.4332

则 P(20.30≤x≤20.46)=0.4938+0.4332=0.9270

18. 已知某金矿中金含量的标准值为12.2g ?t -1（克·吨-1），δ=0.2，求测定结果大于

11.6的概率。

解： σμ-=x u =32

.02.126.11-=- 查表3-1，P=0.4987 故，测定结果大于11.6g·t -1的概率为：

0.4987+0.5000=0.9987

19. 对某标样中铜的质量分数（%）进行了150次测定，已知测定结果符合正态分布N

（43.15，0.232）。求测定结果大于43.59%时可能出现的次数。

解： σμ

-=x u =9.123

.015.4359.43≈- 查表3-1，P=0.4713 故在150次测定中大于43.59%出现的概率为：

0.5000-0.4713=0.0287

因此可能出现的次数为 150?0.0287（次）4≈

20. 测定钢中铬的质量分数，5次测定结果的平均值为1.13%，标准偏差为0.022%。

计算：（1）平均值的标准偏差；（2）μ的置信区间；（3）如使μ的置信区间为1.13% ±0.01%，问至少应平行测定多少次？置信度均为0.95。

解：（1） %01.05%

022.0≈==-n x σσ

（2）已知P=0.95时，96.1±=u ，根据 -±=-

x u x σμ 得%02.0%13.1%01.096.1%13.1±=?±=μ

钢中铬的质量分数的置信区间为%02.0%13.1±

（3）根据n s t x s t x f p x

f p ,,±=±=---μ

得%01.0,±=±=--n s t x f p μ

已知%022.0=s ， 故 5.0%

022.0%01.0==n t

查表3-2得知，当201=-=n f 时，09.220,95.0=t 此时

5.02109

.2≈ 即至少应平行测定21次，才能满足题中的要求。

21. 测定试样中蛋白质的质量分数（%），5次测定结果的平均值为：34.92，35.11，35.01，

35.19和34.98。（1）经统计处理后的测定结果应如何表示（报告n ，x 和s ）？（2）

计算P=0.95时μ的置信区间。

解：（1）n=5

%04.355%98.34%19.35%01.35%11.35%92.34=++++==∑

-n x x %11.01

506.015.003.007.012.012

22222=-++++=-=∑n d s i 经统计处理后的测定结果应表示为：n=5, %,04.35=-

x s=0.11%

（2）%04.35=-x , s=0.11% 查表t 0.95,4=2.78

因此 %14.0%04.355%

11.078.2%04.35,±=?±=±=-n s t x f p μ

22. 6次测定某钛矿中TiO 2的质量分数，平均值为58.60%，s=0.70%，计算：（1） 的

置信区间；（2）若上述数据均为3次测定的结果， 的置信区间又为多少？比较两次计算结果可得出什么结论（P 均为0.95）？

解：（1）%60.58=-x , s=0.70% 查表t 0.95,5=2.57

因此 %73.0%60.586%70.057.2%60.58,±=?±=±=-n s t x f

p μ

（2）%60.58=-x , s=0.70% 查表t 0.95,2=4.30

因此 %74.1%60.583%

70.030.4%60.58,±=?±=±=-n s t x f p μ

由上面两次计算结果可知：将置信度固定，当测定次数越多时，置信区间越小，

表明-x 越接近真值。即测定的准确度越高。

23. 测定石灰中铁的质量分数（%），4次测定结果为：1.59，1.53，1.54和1.83。（1）

用Q 检验法判断第四个结果应否弃去？（2）如第5次测定结果为1.65，此时情况有如何（Q 均为0.90）？

解：（1）8.053

.183.159.183.111=--=--=-x x x x Q n n n 查表3-3得Q 0.90,4=0.76,因Q>Q 0.90,4 , 故1.83这一数据应弃去。

（2）6.053

.183.165.183.111=--=--=-x x x x Q n n n 查表3-3得Q 0.90,5=0.64,因Q

24. 用K 2Cr 2O 7基准试剂标定Na 2S 2O 3溶液的浓度（mol ·L -1），4次结果为：0.1029，

0.1056，0.1032和0.1034。（1）用格鲁布斯法检验上述测定值中有无可疑值（P=0.95）；

（2）比较置信度为0.90和0.95时μ的置信区间，计算结果说明了什么？

解：(1) 1038.04

1056.01034.01032.01029.0=+++=-x 0011.0140018.00004.00006.00009.012

2222=-+++=-=∑n d

s i 82.00011

.01029.01038.011=-=-=-

s x x G 64.10011.01038.01056.041=-=-=

-s x x G 查表3-4得, G 0.95,4=1.46 , G 1G 0.95,4故0.1056这一数据应舍去。

(2) 1032.03

1034.01032.01029.0=++=-x 00025.0130002.00003.012

22

=-+=-=∑n d s i 当 P=0.90时，92.22,90.0=t 因此

0004.01032.0300025

.092.21032.0,1±=?±=±=-n s t x f p μ

当 P=0.95时，30.42,95.0=t 因此

0006.01032.0300025

.030.41032.0,1±=?±=±=-n s t x f p μ

由两次置信度高低可知，置信度越大，置信区间越大。

25. 已知某清洁剂有效成分的质量分数标准值为54.46%，测定4次所得的平均值为

54.26%，标准偏差为0.05%。问置信度为0.95时，平均值与标准值之间是否存在显著性差异?

解：根据4%05.0|%46.54%26.54|||=-=-=-

x s T x t 查表3-2得t 0.95,3=3.18 , 因t>t 0.95,3 ，说明平均值与标准值之间存在显著性差异。

26. 某药厂生产铁剂，要求每克药剂中含铁48.00mg.对一批药品测定5次，结果为

（mg ·g -1）：47.44，48.15，47.90，47.93和48.03。问这批产品含铁量是否合格（P=0.95）？

解： 89.475

03.4893.4790.4715.4844.471=++++==∑-i x n x 27.01

5)14.0()04.0()01.0()26.0()45.0(2

2222=-++++=s

41.027.0|00.4889.47|||=-=-=-

s T x t 查表3-2, t 0.95,4 =2.78 , t

27. 分别用硼砂和碳酸钠两种基准物标定某HC1溶液的浓度（mol ·l -1），结果如下： 用硼砂标定 1x =0.1017，s 1=3.9×10-4，n 1=4

用碳酸钠标定 2x =0.1020，s 2=2.4×10-4，n 2=5

当置信度为0.90时，这两种物质标定的HC1溶液浓度是否存在显著性差异？

解：n 1=4 1017.01=-x 4110

9.3-?=s n 2=5 1020.02=-x 4210

4.2-?=s 64.2)

104.2()109.3(24242221

=??==--s s F 查表3-5, f s 大=3， f s 小=4 ， F 表=6.59 ， F< F 表 说明此时未表现s 1与s 2有显著性差异（P=0.90）因此求得合并标准差为

4242421222121101.3)

15()14()15()104.2()14()109.3()

1()1()1()1(---?=-+--?+-?=-+--+-=n n n s n s s 44.15454101.3|1020.01017.0|||4

212121=+??-=+-=---n n n n s x x t 查表3-2 , 当P = 0.90, f = n 1 + n 2 – 2 = 7 时, t 0.90 , 7 = 1.90 , t < t 0.90 , 7

故以0.90 的置信度认为1-x 与2-

x 无显著性差异。

28. 根据有效数字的运算规则进行计算：

（1）7.9936÷0.9967-5.02=？

（2）0.0325×5.103×60.06 ÷139.8=？

（3）（1.276×4.17）+1.7×10-4 -（0.0021764×0.0121）=？

（4） pH=1.05，[H +]=？

解：(1) 7.9936÷0.9967-5.02=7.994÷0.9967-5.02=8.02-5.02=3.00

(2) 0.0325×5.103×60.06÷139.8=0.0325×5.10×60.1÷140=0.0712

(3) （1.276×4.17）+1.7×10-4-（0.0021764×0.0121）

=（1.28×4.17）+1.7×10-4-（0.00218×0.0121）

= 5.34+0+0

=5.34

(4) pH=1.05 ,[H +]=8.9×10-2

29. 用电位滴定法测定铁精矿中铁的质量分数（%），6次测定结果如下：

60.72 60.81 60.70 60.78 60.56 60.84

（1） 用格鲁布斯法检验有无应舍去的测定值（P=0.95）；

（2） 已知此标准试样中铁的真实含量为60.75%，问上述测定方法是否准确可靠

（P=0.95）？

解：(1) %74.606

%84.60%56.60%78.60%70.60%81.60%72.60=+++++=-x %10.01

6%10.0%18.0%04.0%04.0%07.0%02.012

222222=-+++++=-=∑n d s i 8.1%

10.0%56.60%74.6011=-=-=-s x x G 0.1%

10.0%74.60%84.6062=-=-=-s x x G 查表3-4得, G 0.95,6=1.82 , G 1

（2） 1.0%

10.0|%75.60%74.60|||=-=-=-s T x t 0 查表3-2得，t 0.95,5=2.57 , 因t

误差理论及数据处理第三章课后答案

修正值=)(4321l l l l ?+?+?+?- =)1.03.05.07.0(+-+-- =)(m μ 测量误差: l δ=4 3 2 1 lim 2lim 2lim 2lim 2l l l l δδδδ+++± =2222)20.0()20.0()25.0()35.0(+++± =)(51.0m μ± 3-2 为求长方体体积V ，直接测量其各边长为mm a 6.161=， mm 44.5b =,mm c 2.11=,已知测量的系统误差为mm a 2.1=?，mm b 8.0-=?，mm c 5.0=?，测量的极限误差为mm a 8.0±=δ， mm b 5.0±=δ，mm c 5.0±=δ， 试求立方体的体积及其体积的极限误差。 abc V = ),,(c b a f V = 2.115.446.1610??==abc V )(44.805413 mm = 体积V 系统误差V ?为： c ab b ac a bc V ?+?+?=? )(74.2745)(744.274533mm mm ≈= 立方体体积实际大小为：)(70.777953 0mm V V V =?-= 2 22222lim )()()( c b a V c f b f a f δδδδ??+??+??±= 2 22 22 2)()()(c b a ab ac bc δδδ++±= )(11.37293mm ±= 测量体积最后结果表示为:

V V V V lim 0δ+?-=3)11.372970.77795(mm ±= 3—3 长方体的边长分别为α1，α2, α3测量时：①标准差均为σ；②标准差各为σ1、σ2、 σ3 。试求体积的标准差。 解： 长方体的体积计算公式为：321a a a V ??= 体积的标准差应为：2 323 22222121)()()( σσσσa V a V a V V ??+??+??= 现可求出： 321a a a V ?=??；312a a a V ?=??；213 a a a V ?=?? 若：σσσσ===321 则 有 ： 23 2221232322222121)()()()()()( a V a V a V a V a V a V V ??+??+??=??+??+??=σσσσσ221231232)()()(a a a a a a ++=σ 若：321σσσ≠≠ 则有：2 32212223121232)()()(σσσσa a a a a a V ++= 3-4 测量某电路的电流mA I 5.22=，电压V U 6.12=，测量的标准差分别为mA I 5.0=σ， V U 1.0=σ，求所耗功率UI P =及其标准差P σ。UI P =5.226.12?=)(5.283mw = ),(I U f P =I U 、Θ成线性关系 1=∴UI ρ I u I U P I f U f I f U f σσσσσ))((2)()( 2 222????+??+??= I U I U U I I f U f σσσσ+=??+??= 5.06.121.05.22?+?= )(55.8mw = 3-6 已知x 与y 的相关系数1xy ρ=-，试求2 u x ay =+的方差2u σ。 【解】属于函数随机误差合成问题。

误差理论与数据处理 实验报告

《误差理论与数据处理》实验指导书 姓名 学号 机械工程学院 2016年05月

实验一误差的基本性质与处理 一、实验内容 1．对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。 Matlab程序： l=[24.674,24.675,24.673,24.676,24.671,24.678,24.672,24.674];%已知测量值 x1=mean(l);%用mean函数求算数平均值 disp(['1.算术平均值为：',num2str(x1)]); v=l-x1;%求解残余误差 disp(['2.残余误差为：',num2str(v)]); a=sum(v);%求残差和 ah=abs(a);%用abs函数求解残差和绝对值 bh=ah-(8/2)*0.001;%校核算术平均值及其残余误差,残差和绝对值小于n/2*A,bh<0，故以上计算正确 if bh<0 disp('3.经校核算术平均值及计算正确'); else disp('算术平均值及误差计算有误'); end xt=sum(v(1:4))-sum(v(5:8));%判断系统误差（算得差值较小，故不存在系统误差） if xt<0.1 disp(['4.用残余误差法校核，差值为：',num2str(x1),'较小，故不存在系统误差']); else disp('存在系统误差'); end bz=sqrt((sum(v.^2)/7));%单次测量的标准差 disp(['5.单次测量的标准差',num2str(bz)]);

p=sort(l);%用格罗布斯准则判断粗大误差，先将测量值按大小顺序重新排列 g0=2.03;%查表g(8,0.05)的值 g1=(x1-p(1))/bz; g8=(p(8)-x1)/bz;%将g1与g8与g0值比较，g1和g8都小于g0，故判断暂不存在粗大误差if g1

误差和分析数据处理

第二章 误差和分析数据处理 第一节 概 述 定量分析的任务是要准确地解决“量”的问题，但是定量分析中的误差是客观存在的，因此，必须寻找产生误差的原因并设法减免，从而提高分析结果的可靠程度，另外还要对实验数据进行科学的处理，写出合乎要求的分析报告。 第二节 测量误差 一、绝对误差和相对误差 1. 绝对误差 测量值与真实值之差称为绝对误差。δ = x - μ 2. 相对误差 绝对误差与真值的比值称为相对误差。 %100%100?-=?μ μμδ x 若真实值未知，但δ 已知，也可表示为 %100?x δ 3. 真值与标准参考物质 理论真值：如某化合物的理论组成等。 约定真值：如国际计量大会上确定的长度、质量、物质的量单位等。 相对真值：如标准参考物质的含量。 标准参考物质：经权威机构鉴定并给予证书的，又称标准试样。 实际工作中，常把最有经验的人用最可靠的方法对标准试样进行多次测定所得结 果的平均值作为真值的替代值。 二、系统误差和偶然误差 1. 系统误差（可定误差） 由某种确定的原因引起，一般有固定的方向，大小在试样间是恒定的，重复测定 时重复出现。

按系统误差的来源分类：方法误差、仪器或试剂误差、操作误差。 方法误差：滴定分析反应进行不完全、干扰离子的影响、滴定终点与化学计量点 不符、副反应的发生、沉淀的溶解、共沉淀现象、灼烧时沉淀的分解或挥发。 仪器或试剂误差：砝码、容量器皿刻度不准、试剂中含有被测物质或干扰物质。 操作误差：称样时未注意防止吸湿、洗涤沉淀过分或不充分、辨别颜色偏深（浅）、 读数偏高（低）。 按系统误差的数值变化规律分类：恒定误差、比例误差。 系统误差可用加校正值的方法予以消除。 2. 偶然误差（随机误差、不可定误差） 由于偶然的原因如温度、湿度波动、仪器的微小变化、对各份试样处理时的微小 差别等引起，其大小和正负都不固定。 偶然误差服从统计规律，可用增加平行测定次数加以减免。 三、准确度和精密度 1. 准确度与误差 准确度表示分析结果与真实值接近的程度。准确度的大小用绝对误差或相对误差 表示。评价一个分析方法的准确度常用加样回收率衡量。 2. 精密度与偏差 精密度表示平行测量的各测量值之间互相接近的程度。精密度的大小可用偏差、 相对平均偏差、标准偏差和相对标准偏差表示。重复性与再现性是精密度的常见别名。 偏差：d = x i - x 平均偏差： n x x d n i i ∑=-=1 相对平均偏差： %100/)(%1001?-=?∑=x n x x x d n i i 标准偏差（标准差）： 1 )(1 2 --= ∑=n x x S n i i

实验误差及数据处理习题

误差理论与数据处理 学号: ____________ 姓名: __________ 专业: _____________ 评分: _______ 上课时间: 第____周星期____上午[ ]下午[ ]晚上[ ] 请将1-24小题的答案对应地填在下表中 一、单选题（每小题3分，共36分）。 1.采用“四舍六入五单双”法，将下列各数据取为2位有效数字（修约间隔为0.1），其 结果正确的是： A. 2.750→2.7 B. 2.650→2.6 C. 2.65001→2.6 D. 2.6499→2.7 2.自然数6的有效数字位数为： A. 1位 B. 2位 C. 3位 D. 无穷位 3.L=0.1010m的有效数字位数为： A. 2位 B. 3位 C. 4位 D. 5位 4.V=2.90×103m/s的有效数字位数为： A. 3位 B. 5位 C. 6位 D. 7位 5.下列单位换算正确的是： A. 0.06m=60mm B. 1.38m=1380mm C. 4cm=40mm D. 5.0mm=0.50cm 6.用有效数字运算法则计算123.98－40.456+ 7.8，其结果正确的是： A. 91.324 B. 91.3 C. 91.32 D. 91 7.用有效数字运算法则计算271.3÷0.1和3.6×4.1，其结果正确的是： A. 3×103和14.8 B. 3×103和15 C. 2712和14.76 D. 2712和15 8.用有效数字运算法则计算 4.0345 +38.1 9.0121-9.011 ，其结果正确的是： A. 3705.827 B. 370.8273 C. 3705.8 D. 4×103

实验数据误差分析和数据处理

第二章 实验数据误差分析和数据处理 第一节 实验数据的误差分析 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验的精确性。 一、误差的基本概念 测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。 1.真值与平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。通常真值是无法测得的。若在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。再经过细致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实验测量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种: (1) 算术平均值 算术平均值是最常见的一种平均值。 设1x 、2x 、……、n x 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为 n x n x x x x n i i n ∑==+???++=121 (2-1) (2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。即 n n x x x x ????=21几 (2-2) （3）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑==+???++= 1 222221均 (2-3) (4) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这种情况下表征平均值常用对数平均值。 设两个量1x 、2x ，其对数平均值

第三章 误差理论与数据处理 测量误差的传递

第三章 测量误差的传递 在间接测量中，待求量通过间接测量的方程式),,,(21n x x x f y =获得。通过测量获得量n x x x ,,,21 的数值后，即可由上面的函数关系计算出待求量y 的数值。那么测量数据的误差怎样作用于间接量y ，即给定测量数据n x x x ,,,21 的测量误差，怎样求出所得间接量y 的误差值? 对于更一般的情形，测量结果的误差是测量方法各环节的诸误差因素共同作用的结 果。这些误差因素通过一定的关系作用于测量结果。现研究怎样确定这一传递关系，即怎样由诸误差因素分量计算出测量的总误差。 研究测量误差的传递规律有重要意义，它不仅可直接用于已知系统误差的传递计算， 并且是建立不确定度合成规则的依据，因而是精度分析的基础①。 3.1 按定义计算测量误差 现在按测量误差的定义给出测量结果的误差，这是研究误差传递关系的基本出发点。 若对量Y 用某种方法测得结果y ，则按测量误差的定义，该数据的测量误差应为 Y y y -=δ (3-1) 设有如下测量方程 ),,,(21n x x x f y = 式中 y ——间接测量结果； n x x x ,,,21 ——分别为各直接测得值。 直接量的测量数据n x x x ,,,21 的测量误差分别为 111X x x -=δ, 222X x x -=δ …………… n n n X x x -=δ 式中，X 1，X 2，…，X n 分别为相应量的实际值(真值)。 则间接测量结果的误差可写为 ()()n n X X X f x x x f Y y y ,,,,,,2121 -=-=δ ()()n n n X X X f x X x X x X f ,,,,,,212211 -+++=δδδ (3-2) 上式给出了由测量数据的误差计算间接量y 的误差的传递关系式，这一误差关系是 准确无误的。 直接按定义计算测量结果误差的方法在误差传递计算中经常使用，特别是在单独分 析某项误差因素对测量结果的影响时，若这一影响关系不便或不能化成简单的线性关系， 则这一方法更常使用。因此直接按定义作误差传递计算的方法不能完全用下面所述的线

数据处理与误差分析报告

物理实验课的基本程序 物理实验的每一个课题的完成，一般分为预习、课堂操作和完成实验报告三个阶段。 §1 实验前的预习 为了在规定时间内，高质量地完成实验任务，学生一定要作好实验前的预习。 实验课前认真阅读教材，在弄清本次实验的原理、仪器性能及测试方法和步骤的基础上，在实验报告纸上写出实验预习报告。预习报告包括下列栏目： 实验名称 写出本次实验的名称。 实验目的 应简单明确地写明本次实验的目的要求。 实验原理 扼要地叙述实验原理，写出主要公式及符号的意义，画上主要的示意图、电路图或光路图。若讲义与实际所用不符，应以实际采用的原理图为准。 实验内容 简明扼要地写出实验内容、操作步骤。为了使测量数据清晰明了，防止遗漏，应根据实验的要求，用一张A4白纸预先设计好数据表格，便于测量时直接填入测量的原始数据。注意要正确地表示出有效数字和单位。 §2 课堂操作 进入实验室，首先要了解实验规则及注意事项，其次就是熟悉仪器和安装调整仪器（例如,千分 尺调零、天平调水平和平衡、光路调同轴等高等）。 准备就绪后开始测量。测量的原始数据（一定不要加工、修改）应忠实地、整齐地记录在预 先设计好的实验数据表格里，数据的有效位数应由仪器的精度或分度值加以确定。数据之间要留有间隙，以便补充。发现是错误的数据用铅笔划掉，不要毁掉，因为常常在核对以后发现它并没有错，不要忘记记录有关的实验环境条件（如环境温度、湿度等），仪器的精度，规格及测量量的单位。实验原始数据的优劣，决定着实验的成败，读数时务必要认真仔细。运算的错误可以修改，原始数据则不能擅自改动。全部数据必须经老师检查、签名，否则本次实验无效。两人同作一个实验时，要既分工又协作，以便共同完成实验。实验完毕后，应切断电源，整理好仪器，并将桌面收拾整洁方能离开实验室。 §3 实验报告 实验报告是实验工作的总结。要用简明的形式将实验报告完整而又准确地表达出来。实验报告 要求文字通顺，字迹端正，图表规矩，结果正确，讨论认真。应养成实验完后尽早写出实验报告的习惯，因为这样做可以收到事半功倍的效果。 完整的实验报告应包括下述几部分内容： 数据表格 在实验报告纸上设计好合理的表格，将原始数据整理后填入表格之中（有老师签 名的原始数据记录纸要附在本次报告一起交）。 数据处理 根据测量数据，可采用列表和作图法（用坐标纸），对所得的数据进行分析。按照 实验要求计算待测的量值、绝对误差及相对误差。书写在报告上的计算过程应是：公式→代入数据→结果，中间计算可以不写，绝对不能写成：公式→结果，或只写结果。而对误差的计算应是：先列出各单项误差,按如下步骤书写，公式→代入数据→用百分数书写的结果。 结果表达 按下面格式写出最后结果： ）N （）（N ）N （总绝对误差测量结果待测量?±=.. %100(??=N N ）Er 相对误差

物理实验-误差分析与数据处理

目录 实验误差分析与数据处理 (2) 1 测量与误差 (2) 2 误差的处理 (6) 3 不确定度与测量结果的表示 (10) 4 实验中的错误与错误数据的剔除 (13) 5 有效数字及其运算规则 (15) 6 实验数据的处理方法 (17) 习题 (25)

实验误差分析与数据处理 1 测量与误差 1.1 测量及测量的分类 物理实验是以测量为基础的。在实验中，研究物理现象、物质特性、验证物理原理都需要进行测量。所谓测量，就是将待测的物理量与一个选来作为标准的同类量进行比较，得出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．它们的倍数关系的过程．．．．．．．．．． 。选来作为标准的同类量称之为单位，倍数称为测量数值。一个物理量的测量值等于测量数值与单位的乘积。 在人类的发展历史上，不同时期，不同的国家，乃至不同的地区，同一种物理量有着许多不同的计量单位。如长度单位就分别有码、英尺、市尺和米等。为了便于国际交流，国际计量大会于1990年确定了国际单位制（SI ），它规定了以米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎德拉作为基本单位，其他物理量（如力、能量、电压、磁感应强度等）均作为这些基本单位的导出单位。 1．直接测量与间接测量 测量可分为两类。一类是直接测量，是指直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比较直接得到测量值的一种测量。它无须进行任何函数关系的辅助运算。如用尺测量长度、以秒表计时间、天平称质量、安培表测电流等。另一类是间接测量，是指被测量与直接测量的量之间需要通过一定的函数关系的辅助运算，才能得到被测量物理量的量值的测 量。如单摆测量重力加速度时，需先直接测量单摆长l 和单摆的周期T ，再应用公式224T l g π=，求得重力加速度g 。物理量的测量中，绝大部分是间接测量。但直接测量是一切测量的基础。不论是直接测量，还是间接测量，都需要满足一定的实验条件，按照严格的方法及正确地使用仪器，才能得出应有的结果。因此实验过程中，一定要充分了解实验目的，正确使用仪器，细心地进行操作读数和记录，才能达到巩固理论知识和加强实验技能训练的目的。 2．等精度测量与不等精度测量 同一个人，用同样的方法，使用同样的仪器，在相同的条件下对同一物理量进行多次测量，尽管各次测量并不完全相同，但我们没有任何充足的理由来判断某一次测量更为精确，只能认为它们测量的精确程度是完全相同的。我们把这种具有同样精确程度的测量称之为等精度测量。在所有的测量条件中，只要有一个发生变化，这时所进行的测量即为不等精度测量。在物理实验中，凡是要求多次测量均指等精度测量，应尽可能保持等精度测量的条件不变。严格地说，在实验过程中保持测量条件不变是很困难的。但当某一条件的变化对测量结果的影响不大时，乃可视为等精度测量。在本书中，除了特别指明外，都作为等精度测量。 1.2 误差及误差的表现形式 1．误差 物理量在客观上有着确定的数值，称为真值。测量的最终目的都是要获得物理量的真值。但由于测量仪器精度的局限性、测量方法或理论公式的不完善性和实验条件的不理想，测量

误差分析和数据处理

误差分析和数据处理

误差和分析数据处理 1 数据的准确度和精度 在任何一项分析工作中，我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品，虽然经过多 少次测定，但是测定结果总不会是完全一样。这 说明在测定中有误差。为此我们必须了解误差产 生的原因及其表示方法，尽可能将误差减到最 小，以提高分析结果的准确度。 1.1 真实值、平均值与中位数 （一）真实值 真值是指某物理量客观存在的确定值。通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求 测到的。严格来讲，由于测量仪器，测定方法、 环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是 完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想 值。科学实验中真值的定义是：设在测量中观察 的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差 出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均， 在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数 值。故“真值”在现实中是指观察次数无限多时， 所求得的平均值（或是写入文献手册中所谓的 “公认值”）。

（二）平均值 然而对我们工程实验而言，观察的次数都是 有限的，故用有限观察次数求出的平均值，只能 是近似真值，或称为最佳值。一般我们称这一最 佳值为平均值。常用的平均值有下列几种： （1）算术平均值 这种平均值最常用。凡测量值的分布服从正 态分布时，用最小二乘法原理可以证明：在一组 等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信 赖值。 n x n x x x x n i i n ∑=++==121 式中： n x x x 21、——各次观测值；n ――观察 的次数。 （2）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑=++==12 22221 均 （3）加权平均值 设对同一物理量用不同方法去测定，或对同 一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对 比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。

物理误差分析及数据处理

第一章 实验误差评定和数据处理 （课后参考答案） 制作：李加定 校对：陈明光 3.改正下列测量结果表达式的错误： （1）12.001±0.000 625 （cm ） 改:12.0010±0.0007（cm ） （2）0.576 361±0.000 5（mm ） 改: 0.576 4±0.000 5（mm ） （3）9.75±0.062 6 （mA ） 改: 9.75±0.07 （mA ） （4）96 500±500 （g ） 改: 96.5±0.5 （kg ） （5）22±0.5（℃） 改: 22.0±0.5（℃） 4.用级别为0.5，量程为10 mA 的电流表对某电路的电流作10次等精度测量，测量数据如下表所示。试计算测量结果及标准差，并以测量结果形式表示之。 解：①计算测量列算术平均值I ： ②计算测量列的标准差I σ： ③根据格拉布斯准则判断异常数据： 取显着水平a ＝0.01，测量次数n ＝10，对照表1-3-1查得临界值0(10,0.01) 2.41g =。取max x ?计算i g 值，有 由此得6I ＝9.40为异常数据，应剔除。 ④用余下的数据重新计算测量结果 重列数据如表1-3-3。

计算得 9 1 1 9.564 ()9i i I I mA == =∑ ，0.0344 ()I mA σ== 再经过格拉布斯准则判别，所有测量数据符合要求。 算术平均值I 的标准偏差为I σ 0.01145I σ= = = （mA ） 按均匀分布计算系统误差分量的标准差σ仪 为 0.0289σ?=仪0.5%10 （mA ） 合成标准差σ为 0.031σ (mA ) 取0.04σ= (mA)，测量结果表示为 9.560.04x x σ=±=± (mA ) 5．用公式24m d h ρπ= 测量某圆柱体铝的密度，测得直径d ＝2.042±0.003（cm ），高h ＝4.126±0.004（cm ），质量m ＝36.488±0.006（g ）。计算铝的密度ρ和测量的标准差ρσ，并以测量结果表达式表示之。 解 （1）计算铝的密度ρ： （2）计算g 标准差相对误差： 对函数两边取自然对数得

误差理论与数据处理实验报告要点

误差理论与数据处理 实验报告 姓名：黄大洲 学号：3111002350 班级：11级计测1班 指导老师：陈益民

实验一 误差的基本性质与处理 一、实验目的 了解误差的基本性质以及处理方法 二、实验原理 （1）算术平均值 对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。 1、算术平均值的意义：在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n 而得的值成为算术平均值。 设 1l ，2l ，…,n l 为n 次测量所得的值，则算术平均值 121...n i n i l l l l x n n =++==∑ 算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值x 必然趋近于真值0L 。 i v = i l -x i l ——第i 个测量值，i =1,2,...,;n i v ——i l 的残余误差（简称残差） 2、算术平均值的计算校核 算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。 残余误差代数和为： 1 1 n n i i i i v l nx ===-∑∑ 当x 为未经凑整的准确数时，则有：1 n i i v ==∑0 1）残余误差代数和应符合：

当 1n i i l =∑=nx ，求得的x 为非凑整的准确数时，1 n i i v =∑为零； 当 1n i i l =∑>nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1 n i i v =∑为正；其大小为求x 时 的余数。 当 1n i i l =∑

误差分析与数据处理

桥梁模型试验与量测技术 1钢筋混凝土桥梁剩余寿命评估方法研究2006ZB01 2自预应力钢管混凝土开发应用试验研究2006ZB02 3 GPS长距离高精度高程传递关键技术研究2006ZB03 4公路隧道松弛荷载预测理论与预警系统及设计方法研究 2006ZB04 5大跨径预应力混凝土桥梁主梁下挠原因分析及对策研究 2006ZB05 6 FRP在混凝土桥梁预应力体系和构件中的应用技术研究 2006ZB06 7钢筋砼肋拱桥现状评价与加固技术研究2006ZB07 8斜拉—悬索协作体系桥梁的研究 2006ZB08 9公路隧道建设中数字化技术应用研究2006ZB09 10混凝土桥梁耐久性设计方法和设计参数研究2006ZB10 11桥梁结构表面防护耐久性材料的研究2006ZB11 12跨江海大型桥梁结构混凝土裂化性能与耐久性对策措施的研究 2006ZB12 13高性能预拌式冷铺沥青混合料的研制和应用技术研究 2006ZB13 14沥青路面热反射与热阻技术应用研究2006ZB14 15基于弹粘性的沥青混合料设计分析体系研究2006ZB15 16 沿海港口深水航道选线及设计主要参数研究2006ZB16 课程内容： 《桥梁模型试验与量测技术》课教学实施计划表

课程特点：内容多、涉及面宽、比较难学。 学习方法：认真笔记、完成思考题 第一章误差分析与实验数据处理 研究误差的意义 人类为了认识自然与改造自然，需要不断地对自然界的各种现象进行测量和研究，由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及受人们认识能力所限等，测量和实验所得数据和被测量的真值之间，不可避免地存在着差异，这在数值上即表现为误差。随着科学技术的日益发展和人们认识水平的不断提高，虽可将误差控制得愈来愈小，但终究不能完全消除它。误差存在的必然性和普遍性，已为大量实践所证明，为了充分认识并进而减小或消除误差，必须对测量过程和科学实验中始终存在着的误差进行研究。研究误差的意义为： ①正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差。 ②正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的效据。 ③正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。 第一节误差的基本概念 一、真值、实验值、平均值、理论值、误差 真值：是指在观测一个量时，该量本身所具有的真实大小。量的真值是一个理想的概念，一般是不知道的。但在某些特定情况下，真值又是可知的。 理论真值：例如：三角形三个内角之和为180o；一个整圆周角为360o。 规定真值：例如：1982年，国际计量局召开会议提出“米”的新定义为：1等于光在真空中1/299792458秒时间间隔内所经过的路径长度。 相对真值：为了使用上的需要，在实际测量中，常用被测的量的实际值来代替真值，而实际值的定义是满足规定精确度的用来代替真值使用的量值。例如在检定工作中，把高一等级精度的标准所测得的量值称为真值。 实验值：通过实验方法得到某个物理量的数值。 算术平均值：有限次观测值的平均值。 n x x n i ∑=1 理论值：通过理论公式计算得到某个物理量的数值。

第3章 误差与数据处理课堂练习题

第3章误差与数据处理课堂练习题 一. 选择题 1.定量分析工作要求测定结果的误差（） A. 越小越好 B. 等于零 C. 接近零 D. 在允许的误差范围内 2.对某试样进行多次平行测定获得其中硫的平均含量为 3.25%，则其中某个测定值与此平 均值之差为该次测定的（） A. 绝对误差 B. 相对误差 C. 系统误差 D. 绝对偏差 3. 滴定分析的相对误差一般要求为0.1%，滴定时耗用标准溶液的体积应控制在（） A.＜10mL B. 10～15mL C. 20～30mL D. ＞50mL 4. 滴定分析的相对误差一般要求为±0.1%，若称取试样的绝对误差为0.0002g，则一般至少 称取试样（） A. 0.1g B. 0.2g C. 0.3g D. 0.4g 5. 下列有关误差论述中，正确的论述是（） A. 精密度好误差一定较小 B. 随机误差具有方向性 C. 准确度可以衡量误差的大小 D. 绝对误差就是误差的绝对值 6. 下列有关系统误差的正确叙述是（） A. 系统误差具有随机性 B. 系统误差在分析过程中不可避免 C. 系统误差具有单向性 D. 系统误差是由一些不确定的偶然因素造成的 7.在定量分析中，精密度与准确度之间的关系是（） A. 精密度高，准确度必然高 C. 精密度是保证准确度的前提 B. 准确度高，精密度必然高 D. 准确度是保证精密度的前提 8.以下是有关系统误差的叙述，正确的是（） A. 对分析结果影响恒定，可以测定其大小 B. 具有正态分布规律 C. 在平行测定中，正负误差出现的几率相等 D. 可用Q检验法判断其是否存在 9. 关于提高分析结果准确度的方法，以下描述正确的是（） A. 增加平行测定次数，可以减小系统误差 B. 作空白试验可以估算出试剂不纯等因素带来的误差 C. 回收试验可以判断分析过程是否存在偶然误差 D. 通过对仪器进行校准减免偶然误差 10. 若不知所测样品的组成，则要想检验分析方法有无系统误差，有效的方法是（） A. 用标准试样对照 B. 用人工合成样对照 C. 空白试验 D. 加入回收试验 11. 某一分析方法由于试剂带入的杂质量大而引起很大的误差，此时应采用下列哪种方法来 消除？（） A. 对照分析 B. 空白试验 C. 提纯试剂 D. 分析结果校正 12.做对照实验的目的是（） A. 提高实验的精密度 B. 使标准偏差减小 C. 检查系统误差是否存在 D. 消除随机误差 13.为消除分析方法中所存在的随机误差，可采用的方法是（） A. 对照试验 B. 空白试验 C. 校准仪器 D. 增加测定次数 14.能有效减小分析中特定随机误差的方法有（） A. 校正分析结果 B. 进行空白试验 C. 选择更精密仪器 D. 应用标准加入法

实验数据误差分析与数据处理

第一章实验数据误差分析与数据处理 第一节实验数据误差分析 一、概述 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验测量值和真值之间，总是存在一定的差异，在数值上即表现为误差。为了提高实验的精度，缩小实验观测值和真值之间的差值，需要对实验数据误差进行分析和讨论。 实验数据误差分析并不是即成事实的消极措施，而是给研究人员提供参与科学实验的积极武器，通过误差分析，可以认清误差的来源及影响，使我们有可能预先确定导致实验总误差的最大组成因素，并设法排除数据中所包含的无效成分，进一步改进实验方案。实验误差分析也提醒我们注意主要误差来源，精心操作，使研究的准确度得以提高。 二、实验误差的来源 实验误差从总体上讲有实验装置（包括标准器具、仪器仪表等）、实验方法、实验环境、实验人员和被测量五个来源。 1.实验装置误差 测量装置是标准器具、仪器仪表和辅助设备的总体。实验装置误差是指由测量装置产生的测量误差。它来源于： （1）标准器具误差 标准器具是指用以复现量值的计量器具。由于加工的限制，标准器复现的量值单位是有误差的。例如，标准刻线米尺的0刻线和1 000 mm刻线之间的实际长度与1 000 mm单位是有差异的。又如，标称值为1kg的砝码的实际质量（真值）并不等于1kg等等。 （2）仪器仪表误差 凡是用于被测量和复现计量单位的标准量进行比较的设备，称为仪器或仪表．它们将被测量转换成可直接观察的指示值。例如，温度计、电流表、压力表、干涉仪、天平，等等。 由于仪器仪表在加工、装配和调试中，不可避免地存在误差，以致仪器仪表的指示值不等于被测量的真值，造成测量误差。例如，天平的两臂不可能加工、调整到绝对相等，称量时，按天平工作原理，天平平衡被认为两边的质量相等。但是，由于天平的不等臂，虽然天平达到平衡，但两边的质量并不等，即造成测量误差。 （3）附件误差 为测量创造必要条件或使测量方便地进行而采用的各种辅助设备或附件，均属测量附件。如电测量中的转换开关及移动测点、电源、热源和连接导线等均为测量附件，且均产生测量误差。又如，热工计量用的水槽，作为温度测量附件，提供测量水银温度计所需要的温场，由于水槽内各处温度的不均匀，便引起测量误差，等等。 按装置误差具体形成原因，可分为结构性的装置误差、调整性的装置误差和变化性的装置误差。结构性的装置误差如：天平的不等臂，线纹尺刻线不均匀，量块工作面的不平行性，光学零件的光学性能缺陷，等等。这些误差大部分是由于制造工艺不完善和长期使用磨损引起的。调整性的装置误差如投影仪物镜放大倍数调整不准确，水平仪的零位调整不准确，千分尺的零位调整不准确，等等。这些误差是由于仪器仪表在使用时，未调整到理想状态引起的。变化性的装置误差如：激光波长的长期不稳定性，电阻等元器件的老化，晶体振荡器频率的长期漂移，等等。这些误差是由于仪器仪表随时间的不稳定性和随空间位置变化的不均匀性造成的。 2.环境误差 环境误差系指测量中由于各种环境因素造成的测量误差。 被测量在不同的环境中测量，其结果是不同的。这一客观事实说明，环境对测量是有影响的，是测量的误差来源之一。环境造成测量误差的主要原因是测量装置包括标准器具、仪器仪表、测量附件同被测对象随着环境的变化而变化着。 测量环境除了偏离标准环境产生测量误差以外，从而引起测量环境微观变化的测量误差。 3.方法误差

物理实验误差分析与数据处理

物理实验误差分析与数 据处理 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】

目录 实验误差分析与数据处理 (2) 1 测量与误差 (2) 2 误差的处理 (6) 3 不确定度与测量结果的表示 (10) 4 实验中的错误与错误数据的剔除 (13) 5 有效数字及其运算规则 (15) 6 实验数据的处理方法 (17) 习题 (25)

实验误差分析与数据处理 1 测量与误差 测量及测量的分类 物理实验是以测量为基础的。在实验中，研究物理现象、物质特性、验证 物理原理都需要进行测量。所谓测量，就是将待测的物理量与一个选来作为标．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 准的同类量进行比较，得出它们的倍数关系的过程．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 。选来作为标准的同类量称之为单位，倍数称为测量数值。一个物理量的测量值等于测量数值与单位的乘积。 在人类的发展历史上，不同时期，不同的国家，乃至不同的地区，同一种物理量有着许多不同的计量单位。如长度单位就分别有码、英尺、市尺和米等。为了便于国际交流，国际计量大会于1990年确定了国际单位制（SI ），它规定了以米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎德拉作为基本单位，其他物理量（如力、能量、电压、磁感应强度等）均作为这些基本单位的导出单位。 1．直接测量与间接测量 测量可分为两类。一类是直接测量，是指直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比较直接得到测量值的一种测量。它无须进行任何函数关系的辅助运算。如用尺测量长度、以秒表计时间、天平称质量、安培表测电流等。另一类是间接测量，是指被测量与直接测量的量之间需要通过一定的函数关系的辅助运算，才能得到被测量物理量的量值的测量。如单摆测量重力加速 度时，需先直接测量单摆长l 和单摆的周期T ，再应用公式224T l g π=，求得重力 加速度g 。物理量的测量中，绝大部分是间接测量。但直接测量是一切测量的基础。不论是直接测量，还是间接测量，都需要满足一定的实验条件，按照严格的方法及正确地使用仪器，才能得出应有的结果。因此实验过程中，一定要充分了解实验目的，正确使用仪器，细心地进行操作读数和记录，才能达到巩固理论知识和加强实验技能训练的目的。 2．等精度测量与不等精度测量 同一个人，用同样的方法，使用同样的仪器，在相同的条件下对同一物理量进行多次测量，尽管各次测量并不完全相同，但我们没有任何充足的理由来判断某一次测量更为精确，只能认为它们测量的精确程度是完全相同的。我们把这种具有同样精确程度的测量称之为等精度测量。在所有的测量条件中，只要有一个发生变化，这时所进行的测量即为不等精度测量。在物理实验中，凡是要求多次测量均指等精度测量，应尽可能保持等精度测量的条件不变。严格地说，在实验过程中保持测量条件不变是很困难的。但当某一条件的变化对测量结果的影响不大时，乃可视为等精度测量。在本书中，除了特别指明外，都作为等精度测量。

实验数据误差分析和数据处理

第二章实验数据误差分析和数据处理 第一节实验数据的误差分析 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验的精确性。 一、误差的基本概念 测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。 1.真值与平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。通常真值是无法测得的。若在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。再经过细致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实

验测量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种: (1) 算术平均值 算术平均值是最常见的一种平均值。 设1x 、2x 、……、n x 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为 n x n x x x x n i i n ∑==+???++=1 21 (2-1) (2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。即 n n x x x x ????=21几 (2-2) （3）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑== +???++= 1 2222 21 均 (2-3) (4) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这种情况下表征平均值常用对数平均值。 设两个量1x 、2x ，其对数平均值 2 1212 121ln ln ln x x x x x x x x x -=--=对 (2-4) 应指出，变量的对数平均值总小于算术平均值。当1x /2x ≤2时，可以用算术平均值代替对数平均值。 当1x /2x =2，对x =, =x , (对x -x )／对x =%, 即1x /2x ≤2，引起的误差不超过%。

第3章 分析化学中的误差与数据处理

第3章 分析化学中的误差与数据处理 1．根据有效数字运算规则，计算下列算式： (1)19.469+1.537-0.0386+2.54 (2) 3.6?0.0323?20.59?2.12345 (3)10000000.11245 .0)32.100.24(00.45??-? (4) pH=0.06，求[H +]=? 解：a. 原式=19.47+1.54-0.04+2.54=23.51 b. 原式=3.6×0.032×21×2.1=5.1 c. 原式=45.0022.680.1245=0.12711.0001000??? d. [H +]=10-0.06=0.87( mol/L ) 2．设某痕量组分按下式计算分析结果： m C A -= χ，A 为测量值，C 为空白值，m 为试样质量。已知 s A =s C =0.1，s m =0.001，A =8.0，C =1.0，m =1.0，求s x 。 解：2 22222222 ()422222220.10.10.001 4.0910()()(8.0 1.0) 1.0A C x m A C m s s s s s s x A C m A C m --++=+=+=+=?--- 且8.0 1.07.01.0x -== 故0.14x s == 3. 反复称量一个质量为 1.0000g 的物体，若标准偏差为0.4mg ，那么测得值为1.0000~1.0008g 的概率为多少？ 解：由0.4mg σ= 1.0000g μ=

故有1.0000 1.0000 1.0008 1.00000.00040.0004u --≤≤ 即02u ≤≤ 查表得 P=47.73% 4．要使在置信度为95％时平均值的置信区间不超过±s ，问至少应平行测定几次? 解：x t s x t μ=±?=± 查表，得： 5, 2.57, 1.04916, 2.45,0.92615f t f t ====>====