2020届 全国大联考 高三第五次联考数学(理)试题(解析版)
2020届全国大联考高三第五次联考数学（理）试题
一、单选题
1．已知复数z 满足()()5z i i --=，则z =（ ） A ．6i B ．6i -
C ．6-
D ．6
【答案】A
【解析】由复数的运算法则计算． 【详解】
因为()()5z i i --=，所以5
6z i i i
=+=- 故选：A ． 【点睛】
本题考查复数的运算．属于简单题．
2．已知全集U =R ，集合3|
01x A x x +??=≤??-??
，{}
2|20B x x x =+->，则()?=U C A B （ ）
A ．{|31}x x -≤<
B ．{|12}x x ≤<
C ．{|31}x x -≤≤-
D ．{|12}x x <≤
【答案】B
【解析】解分式不等式和一元二次不等式得集合,A B ，然后由集合的运算法则计算． 【详解】
依题意{|31}A x x =-≤<，{| 3 1}U C A x x x =<-≥或，{|12}B x x =-<<，故
(){}|12U C A B x x ?=≤<．
故选：B ． 【点睛】
本题考查集合的运算．考查解分式不等式和一元二次不等式，掌握集合的运算法则是解题基础．
3．已知随机变量X 服从正态分布()4,9N ，且()()2P X P X a ≤=≥，则a =（ ） A ．3 B ．5
C ．6
D ．7
【答案】C
【解析】根据在关于4X =对称的区间上概率相等的性质求解．
【详解】
4μ=Q ，3σ=，
(2)(42)(42)(6)()P X P X P X P X P X a ∴≤=≤-=≥+=≥=≥，6a ∴=．
故选：C ． 【点睛】
本题考查正态分布的应用．掌握正态曲线的性质是解题基础．随机变量X 服从正态分布(
)2
,N μσ
，则()()P X m P X m μμ≤-=≥+．
4．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP 中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（ ）
A ．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长
B ．2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP 比例持续7年保持在4%以上
C ．从2010年至2018年，中国GDP 的总值最少增加60万亿
D ．从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年 【答案】C
【解析】观察图表，判断四个选项是否正确． 【详解】
由表易知A 、B 、D 项均正确，2010年中国GDP 为
1.4670
413.55%
≈万亿元，2018年中
国GDP 为
3.6990
904.11%
=万亿元，则从2010年至2018年，中国GDP 的总值大约增加
49万亿，故C 项错误．
【点睛】
本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础．
5．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（ ）
A ．
12
B ．
14
C ．
13
D ．
23
【答案】A
【解析】根据线面垂直得面面垂直，已知SA ⊥平面ABC ，由AB BC ⊥，可得BC ⊥平面SAB ，这样可确定垂直平面的对数，再求出四个面中任选2个的方法数，从而可计算概率． 【详解】
由已知SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，可得SB BC ⊥，从该三棱锥的4个面中任选2个面共有2
46C =种不同的选法，而选取的2个表面互相垂直的有3种情况，故所求事件
的概率为
1
2
． 故选：A ． 【点睛】
本题考查古典概型概率，解题关键是求出基本事件的个数． 6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）
A ．
78
B ．
158
C ．
3116
D ．
1516
【答案】D
【解析】由程序框图确定程序功能后可得出结论． 【详解】
执行该程序可得1
234111115
0222216
S =++++=． 故选：D ． 【点睛】
本题考查程序框图．解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然后求解．
7．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、
0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ）
A ．0.18
B ．0.3
C ．0.24
D ．0.36
【答案】B
【解析】甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得． 【详解】
由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是0.3,0.4， ∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为
0.50.20.20.40.30.40.3P =?+?+?=．
故选：B ． 【点睛】
本题考查独立性事件的概率．掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础．
8．已知33a b ==r r ，且(2)(4)a b a b -⊥+r r r r ，则2a b -r r 在a r 方向上的投影为（ ）
A ．
7
3
B ．14
C ．
203
D ．7
【答案】C
【解析】由向量垂直的向量表示求出a b ?r r
，再由投影的定义计算． 【详解】
由(2)(4)a b a b -⊥+r r r r
可得22(2)(4)2740a b a b a a b b -?+=+?-=r
r
r
r
r
r
r
r ，因为||3||3a b ==r
r
，所以
2a b ?=-r r ．故2a b -r r 在a
r 方向上的投影为2(2)218220||||33
a b a a a b a a -?-?+===r r
r r r r r r ． 故选：C ． 【点睛】
本题考查向量的数量积与投影．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键．
9．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A ．甲 B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】D
【解析】根据演绎推理进行判断． 【详解】
由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁． 故选：D ． 【点睛】
本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础．
10．35(1)(2)x y --的展开式中，满足2m n +=的m n x y 的系数之和为（ ）
A ．640
B ．416
C ．406
D ．236-
【答案】B
【解析】2m n +=，有02m n =??
=?，11m n =??=?，2
m n =??=?三种情形，用33(1)(1)x x -=-+中
m x 的系数乘以55(2)(2)y y -=-+中n
y 的系数，然后相加可得．
【详解】
当2m n +=时，35(1)(2)x y --的展开式中m n x y 的系数为
358()55353535(1)(2)(1)22m m m n n n n n m n n m n n m n m n C x C y C C x y C C x y ---+---?-=??-?=??．当
0m =，2n =时，
系数为3211080??=；当1m =，1n =时，系数为4235240??=；当2m =，0n =时，系数为523196??=；故满足2m n +=的m n x y 的系数之和为
8024096416++=．
故选：B ． 【点睛】
本题考查二项式定理，掌握二项式定理和多项式乘法是解题关键．
11．观察下列各式：2x y ?=，224x y ?=，339x y ?=，4417x y ?=，
5531x y ?=，6654x y ?=，7792x y ?=，
L ，根据以上规律，则1010x y ?=（ ） A ．255 B ．419
C ．414
D ．253
【答案】B
【解析】每个式子的值依次构成一个数列{}n a ，然后归纳出数列的递推关系
12n n n a a a n --=++后再计算．
【详解】
以及数列的应用根据题设条件，设数字2，4，9，17，31，54，92，L 构成一个
数列{}n a ，可得数列{}n a 满足12n n n a a a n --=++()
*
3,n n ≥∈N ，
则876854928154a a a =++=++=，
9879154929255a a a =++=++=，10981025515410419a a a =++=++=．
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的
一些项．
12．已知函数3ln ()3ln x a x f x a x x
=
-+-在区间()1,+∞上恰有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,3)(3,)e +∞U B ．[)0,e
C ．(
)
2
,e +∞
D ．(,){3}e -∞U
【答案】A
【解析】函数3ln ()3ln x a x f x a x x =-+-的零点就是方程3ln 30ln x a x
a x x
-+-=的解，设()ln x
g x x
=
，方程可化为(()3)(())0g x g x a --=，即()3g x =或()g x a =，求出()g x 的导数()g x '，利用导数得出函数的单调性和最值，由此可根据方程解的个数得出a 的范围． 【详解】 由题意得
3ln 30ln x a x a x x
-+-=有四个大于1的不等实根，记()ln x
g x x =，则上述方
程转化为3(()3)10()g x a g x ??
-+-=
???
，
即(()3)(())0g x g x a --=，所以()3g x =或()g x a =． 因为2
ln 1
()(ln )x g x x '
-=
，当()1,x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(),x e ∈+∞时，
()0g x '>，()g x 单调递增；所以()g x 在x e =处取得最小值，最小值为()g e e =．因
为3e >，所以()3g x =有两个符合条件的实数解，故3ln ()3ln x a x f x a x x
=-+-在区间()1,+∞上恰有四个不相等的零点，需a e >且3a ≠． 故选：A ． 【点睛】
本题考查复合函数的零点．考查转化与化归思想，函数零点转化为方程的解，方程的解再转化为研究函数的性质，本题考查了学生分析问题解决问题的能力．
二、填空题
13．某大学A 、B 、C 、D 四个不同的专业人数占本校总人数的比例依次为3.2%、
4.8%、4%、
5.2%，现欲采用分层抽样的方法从这四个专业的总人数中抽取129人
调查毕业后的就业情况，则D 专业应抽取_________人． 【答案】39
【解析】求出D 专业人数在A 、B 、C 、D 四个专业总人数的比例后可得． 【详解】
由题意A 、B 、C 、D 四个不同的专业人数的比例为8:12:10:13，故D 专业应抽取的人数为13
129398121013
?
=+++．
故答案为：39． 【点睛】
本题考查分层抽样，根据分层抽样的定义，在各层抽取样本数量是按比例抽取的． 14．“六艺”源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两讲座必须相邻的不同安排种数为________． 【答案】24
【解析】分步排课，首先将“礼”与“乐”排在前两节，然后，“射”和“御”捆绑一一起作为一个元素与其它两个元素合起来全排列，同时它们内部也全排列． 【详解】
第一步：先将“礼”与“乐”排在前两节，有2
22A =种不同的排法；第二步：将“射”和“御”两节讲座捆绑再和其他两艺全排有23
2312A A =种不同的排法，所以满足“礼”
与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两节讲座必须相邻的不同安排种数为
22322324A A A =．
故答案为：24． 【点睛】
本题考查排列的应用，排列组合问题中，遵循特殊元素特殊位置优先考虑的原则，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法．
15．已知“在ABC ?中，sin sin sin a b c
A B C
==”，类比以上正弦定理，“在三棱锥A BCD -中，侧棱AB 与平面ACD 所成的角为
3π
、与平面BCD 所成的角为512
π，则
BCD
ACD
S S ??=________．
【解析】类比，三角形边长类比三棱锥各面的面积，三角形内角类比三棱锥中侧棱与面所成角． 【详解】
5sin sin 312
BCD
ACD S S ππ??=
，故sin
35sin 12
BCD ACD S S π
π??=
==，
【点睛】
本题考查类比推理．类比正弦定理可得，类比时有结构类比，方法类比等．
16．已知抛物线2:16C y x =的对称轴与准线的交点为M ，直线:4l y kx k =-与C 交于A ，B 两点，若4AM BM =，则实数k =__________． 【答案】4
3
±
【解析】由于直线:4l y kx k =-过抛物线C 的焦点，因此过A ，B 分别作C 的准线的垂线，垂足分别为P ，Q ，由抛物线的定义及平行线性质可得
4AF BF
=，从而再由抛
物线定义可求得直线AB 倾斜角的余弦，再求得正切即为直线斜率．注意对称性，问题应该有两解． 【详解】
直线:4l y kx k =-过抛物线C 的焦点()4,0F ，8p =，过A ，B 分别作C 的准线的垂线，垂足分别为P ，Q ，由抛物线的定义知AP AF =，||||BQ BF =． 因为////AP MF BQ ，所以
||||||
||||||PM AF AP QM BF BQ ==．因为90APM BQM ∠=∠=?，
所以APM BQM ??:，从而
||||||
4||||||
AM AP AF BM BQ BF ===．
设直线l 的倾斜角为α，不妨设02
π
α≤<
，如图，则
cos cos AF AP MF AF p AF αα==+=+，
1cos p AF α=
-，同理1cos
p
BF α
=+，
则
||1cos cos 4||1cos 1cos p
AF p BF α
ααα+-===-+1， 解得3cos 5α=
，4tan 3k α==，由对称性还有3
4k =-满足题意． ，综上，4
3
k =±
．
【点睛】
本题考查抛物线的性质，考查抛物线的焦点弦问题，掌握抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离与它到距离联系起来是解题关键．
三、解答题
17．已知ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2220a ab b --=． （1）若3C π
=
3sin B C =． （2）若23C π
=，7c =，求ABC ?的面积．
【答案】（1）见解析（273
【解析】（1）由余弦定理及已知等式得出,c b 关系，再由正弦定理可得结论；
（2）由余弦定理和已知条件解得,a b ，然后由面积公式计算． 【详解】
解：（1）由余弦定理得222222222cos 23c a b ab C a b ab a ab b b =+-=+-=--+， 由2220a ab b --=得到223c b =，由正弦定理得22sin 3sin C B =． 因为B ，()0,C π∈，所以3sin sin B C =． （2）由题意及余弦定理可知2249a b ab ++=，① 由2220a ab b --=得()(2)0a b a b +-=，即2a b =，② 联立①②解得7b =，27a =．所以173
sin 22
ABC S ab C ?==
． 【点睛】
本题考查利用正余弦定理解三角形．考查三角形面积公式，由已知条件本题主要是应用余弦定理求出边．解题时要注意对条件的分析，确定选用的公式．
18．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，90BCD ∠=?，
PA CD ⊥，1
12
BC CD AD ==
=，PA PD =，E ，F 分别为AD ，PC 的中点．
（1）求证：2PC EF =．
（2）若EF PC ⊥，求二面角P BE F --的余弦值． 【答案】（1）见解析（26
【解析】（1）由已知可证明CD ⊥平面PAD ，从而得证面面垂直，再由PE AD ⊥，得线面垂直，从而得PE EC ⊥，由直角三角形得结论；
（2）以,,EA EB EP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，用空间向量法示二面角． 【详解】
（1）证明：连接EC ，90BCD ADC ∠=∠=?Q ，AD CD ∴⊥．
PA CD ⊥Q ，PA AD A ?=，CD \^平面PAD ． CD ?Q 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PAD ． PA PD =Q ，E 为AD 的中点，PE AD ⊥∴．
Q 平面ABCD I 平面PAD AD =，PE ∴⊥平面ABCD ．
EC ?Q 平面ABCD ，PE EC ∴⊥．
F Q 为Rt PEC ?斜边PC 的中点，2PC EF ∴=，
（2）EF PC ⊥Q ，∴由（1）可知，PEC ?为等腰直角三角形， 则2PE EC ==
．以E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则(0,0,0)E ，(0,0,
2)P ，(0,1,0)B ，112,,222F ??
- ? ???
，
则(0,1,0)EB =u u u r 112,,222EF ??=- ? ?
??
u u u r ，记平面EBF 的法向量为(),,m x y z r
= 由00m EB m EF ??=??=?u u u
v r u u u v r 得到011202
2y x y z =??
?-++
=??， 取2x =，可得2z =
，则(2,0,2)m =r
．
易知平面PEB 的法向量为(1,0,0)n EA ==u u u
r r ．
记二面角P BE F --的平面角为θ，且由图可知θ为锐角，
则||6cos ||||6
m n m n θ?===
r r r r ，所以二面角P BE F --的余弦值为6
．
【点睛】
本题考查用面面垂直的性质定理证明线面垂直，从而得线线垂直，考查用空间向量法求二面角．在立体几何中求异面直线成的角、直线与平面所成的角、二面角等空间角时，可以建立空间直角坐标系，用空间向量法求解空间角，可避免空间角的作证过程，通过计算求解．
19．已知函数32
1()26
F x x x a =-
++，()ln G x a x =，设()()()f x F x G x '=-． （1）当3a =-时，求函数()f x 的单调区间；
（2）设方程()f x c '=（其中c 为常数）的两根分别为α，β()αβ<，证明：
02
f αβ+??
''< ???
． （注：()f x ''是()f x '的导函数）
【答案】（1）()f x 在()0,3上单调递增，在()3,+∞上单调递减．（2）见解析 【解析】（1）求出导函数()f x '，由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间； （2）求出含有参数a 的()f x '，再求出()f x ''，由()f x c '=的两根是,αβ，得a αβ=， 计算(
)2
f αβ
+''，代入a αβ=后可得结论．
【详解】
解：2
1()()()2ln 2
f x F x G x x x a x '=-=-
+-，函数()f x 的定义域为()0,∞+， ()222a x x a
f x x x x
-+-'=-+-=
． （1）当3a =-时，222323(3)(1)
()x x x x x x f x x x x
-++---+'==-=-
， 由()0f x '>得03x <<，由()0f x '<得3x >，
故函数()f x 在()0,3上单调递增，在()3,+∞上单调递减． （2）证明：由条件可得()2a
f x x x
'=-+-
，0x >，2()1a f x x ''∴=-+，
Q 方程()f x c '=的两根分别为α，β()αβ<，()f c α'∴=，且()f c β'=，可得
a αβ=．
2222
44()1102
()()()a f αβ
αβαβαβαβαβ+--??
''=-+=-+=< ?+++??
． 【点睛】
本题考查用导数研究函数的单调性，考查导数的运算、方程根的知识．在可导函数中一
般由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间．
20．第十三届全国人大常委会第十一次会议审议的《固体废物污染环境防治法（修订草案）》中，提出推行生活垃圾分类制度，这是生活垃圾分类首次被纳入国家立法中．为了解某城市居民的垃圾分类意识与政府相关法规宣传普及的关系，对某试点社区抽取
50户居民进行调查，得到如下的22?列联表．
已知在抽取的50户居民中随机抽取1户，抽到分类意识强的概率为0.58．
（1）请将上面的22?列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为居民分类意识的强弱与政府宣传普及工作有关？说明你的理由；
（2）已知在试点前分类意识强的9户居民中，有3户自觉垃圾分类在12年以上，现在从试点前分类意识强的9户居民中，随机选出3户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在12年以上的户数为X ，求X 分布列及数学期望．
参考公式：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
下面的临界值表仅供参考
【答案】（1）有99.5%的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系．见解析（2）分布列见解析，期望为1．
【解析】（1）由在抽取的50户居民中随机抽取1户，抽到分类意识强的概率为0.58可得列联表，然后计算2K 后可得结论；
（2）由已知X 的取值分别为0,1,2,3，分别计算概率得分布列，由公式计算出期望．
【详解】
解：（1）根据在抽取的50户居民中随机抽取1户，到分类意识强的概率为0.58，可得分类意识强的有29户，故可得22?列联表如下：
因为2K
的观测值
250(201659)6050
9.9347.87925252921609
k ?-?==≈≥???，
所以有99.5%的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系．
（2）现在从试点前分类意识强的9户居民中，选出3户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在12年以上的户数为X ，则X =0，1，2，3，
故36395
(0)21C P X C ===，21
633
915(1)28C C P X C ===， 1263393(2)14C C P X C ===
，33391
(3)84
C P X C ===，
则X 的分布列为
51531
()0123121281484
E X =?
+?+?+?=． 【点睛】
本题考查独立性检验，考查随机变量的概率分布列和数学期望．考查学生的数据处理能力和运算求解能力．
21．已知椭圆22
:143
x y C +=的右顶点为D ，E 为上顶点，点A 为椭圆C 上一动点．
（1）若DE AE ⊥，求直线AD 与y 轴的交点坐标；
（2）设F 为椭圆C 的右焦点，过点()4,0M 与x 轴垂直的直线为0l ，FM 的中点为N ，过点A 作直线0l 的垂线，垂足为B ，求证：直线AF 与直线BN 的交点在椭圆C 上． 【答案】（1
）0,? ??
（2）见解析 【解析】（1）直接求出直线AE 方程，与椭圆方程联立求出A 点坐标，从而可得直线AD 方程，得其与y 轴交点坐标；
（2）设00(,)A x y ，则0(4,)B y ，求出直线BN 和AF 的方程，从而求得两直线的交点坐标，证明此交点在椭圆上，即此点坐标适合椭圆方程．代入验证即可．注意分01x =和
01x ≠说明．
【详解】
解：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合， （1）由题知()2,0D
，(E
，则2
DE k =-
．因为DE AE ⊥
，所以3AE k =，
则直线AE
的方程为y x =+
22
14
3y x x y ?=+????+=??
，可得4825x y ?=-????=??
故48,2525A ??
-- ? ???
．则254814225
DA k ==+，直线AD
的方程为2)y x =-．令
0x =，
得y =，故直线AD 与y
轴的交点坐标为0,? ??
． （2）证明：因为(1,0)F ，(4,0)M ，所以5,02N ??
???
．设点()00,A x y ，则()04,B y ． 设
当01x =时，设31,
2A ?? ???，则34,2B ??
???
，此时直线AF 与x 轴垂直，
其直线方程为1x =，
直线BN 的方程为30
5205242
y x -??-=- ???-，即52y x =-． 在方程52y x =-
中，令1x =，得32y =-，得交点为31,2?
?- ??
?，显然在椭圆C 上．
同理当31,2A ?
?
-
???
时，交点也在椭圆C 上． 当01x ≠时，可设直线BN 的方程为
055242
y y x ??
=
- ???-，即02532y y x ??=- ???． 直线AF 的方程为0
0(1)1y y x x =--，联立方程00
02532(1)1
y y x y y x x ???
=- ?????
??=
-?-?
，
消去y 得
00025(1)321
y y x x x ??
-=- ?-??，化简并解得005825x x x -=-． 将005825x x x -=
-代入00(1)1
y y x x =--中，化简得00325y y x =-．
所以两直线的交点为0000583,2525x y x x ??
- ?--??．
因为22
000058311425325x y x x ????
-+ ? ?--????
()
()
()
22
22000
000
2
2
2
000258064
32580641242525425x x y x x y x x x -+-++=
+
=
---，
又因为22
00143
x y +=，所以22
004123y x =-，
则
()
()
()()
2
22
2
0000
002
2
2
000252580641242025
14252525x x x y x x x x x --++-+=
==---，
所以点0000583,2525x y x x ??
-
?--??
在椭圆C 上．
综上所述，直线AF 与直线BN 的交点在椭圆C 上． 【点睛】
本题考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方程，求出直线方程，解方程组求出交点坐标，代入曲线方程验证点在曲线．本题考查了学生的运算求解能力． 22．某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图（如图1）：规定产品的质量指标值在[)65,85的为劣质品，在[)85,105的为优等品，在[]105,115的为特优品，销售时劣质品每件亏损0.8元，优等品每件盈利4元，特优品每件盈利6元，以这100件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率．
（1）求每件产品的平均销售利润；
（2）该企业主管部门为了解企业年营销费用x （单位：万元）对年销售量y （单位：万件）的影响，对该企业近5年的年营销费用i x 和年销售量i y ，()1,2,3,4,5i =数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值．
5
1
i i u =∑
5
1
i i v =∑
()()5
1
i i i u u v v =--∑
()
5
2
1
i i u u =-∑
16.35
23.4 0.54 1.62
表中ln i i u x =，ln i i v y =，51
15i i u u ==∑，5
115i i v v ==∑．
根据散点图判断，b y ax =可以作为年销售量y （万件）关于年营销费用x （万元）的回归方程．
①求y 关于x 的回归方程；
②用所求的回归方程估计该企业每年应投入多少营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？（收益=销售利润-营销费用，取 3.5936e =）
附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，L ，(),n n u v ，其回归直线???v u α
β=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()
()
5
1
5
2
1?i
i i i
i u
u v v u
u β
==--=-∑∑，??v u α
β=-． 【答案】（1）3元．（2）①1
336y x =②216万元
【解析】（1）每件产品的销售利润为X ，由已知可得X 的取值，由频率分布直方图可得劣质品、优等品、特优品的概率，从而可得X 的概率分布列，依期望公式计算出期望即为平均销售利润；
（2）①对b y a x =?取自然对数，得(
)ln ln ln ln b
y a x
a b x =?=+，
令ln u x =，ln v y =，ln c a =，则v c bu =+，这就是线性回归方程，由所给公式数据计算出系数，得线性回归方程，从而可求得b y a x =?；
②求出收益1
1
333336108z y x x x x x =-=?-=-，可设
1
3t x =换元后用导数求出最大值． 【详解】
解：（1）设每件产品的销售利润为X ，则X 的可能取值为0.8-，4，6．由频率分布直方图可得产品为劣质品、优等品、特优品的概率分别为0.25、0.65、0.1． 所以(0.8)0.25P X =-=；(4)0.65P X ==；(6)0.1P X ==．所以X 的分布列为
所以()(0.8)0.2540.6560.13E X =-?+?+?=（元）． 即每件产品的平均销售利润为3元． （2）①由b y a x =?，得(
)ln ln ln ln b
y a x
a b x =?=+，
令ln u x =，ln v y =，ln c a =，则v c bu =+，
由表中数据可得()()
()
5
1
5
2
1
0.541
? 1.623
i
i
i i i u u v v b
u u ==--==
=-∑∑， 则23.4116.35
?? 4.68 1.09 3.59535
c
v bu =-=-?=-=， 所以1
? 3.593v
u =+，即13.5931?ln 3.59ln ln 3y x e x ??=+=? ???
， 因为取 3.5936e =，所以1
3?36y x =，故所求的回归方程为1
336y x =． ②设年收益为z 万元，则1133
3336108z y x x x x x =-=?-=-
令
1
3
0t x =>，则3108z t t =-，(
)
2
2
1083336z t t '=-=--，当06t <<时，0z '>，
当6t >时，0z '<，所以当6t =，即216x =时，z 有最大值432．
即该企业每年应该投入216万元营销费，能使得该企业的年收益的预报值达到最大，最大收益为432万元． 【点睛】
本题考查频率分布直方图，考查随机变量概率分布列与期望，考查求线性回归直线方程，及回归方程的应用．在求指数型回归方程时，可通过取对数的方法转化为求线性回归直线方程，然后再求出指数型回归方程．