高中数学必修二期末测试题附答案

高中数学必修二期末测试题

考试时间：90分钟 试卷满分：100分

一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．在直角坐标系中，已知A (－1，2)，B (3，0)，那么线段AB 中点的坐标为( )． A ．(2，2)

B ．(1，1)

C ．(－2，－2)

D ．(－1，－1)

2．右面三视图所表示的几何体是( )．

A ．三棱锥

B ．四棱锥

C ．五棱锥

D ．六棱锥

3．如果直线x ＋2y －1＝0和y ＝kx 互相平行，则实数k 的值为( )． A ．2

B ．

2

1

C ．－2

D ．－

2

1 4．一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为( )． A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

5．下面图形中是正方体展开图的是( )．

A

B

C

D

(第5题)

6．圆x 2＋y 2－2x －4y －4＝0的圆心坐标是( )． A ．(－2，4)

B ．(2，－4)

C ．(－1，2)

D ．(1，2)

7．直线y ＝2x ＋1关于y 轴对称的直线方程为( )． A ．y ＝－2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －1

D ．y ＝－x －1

8．已知两条相交直线a ，b ，a ∥平面 α，则b 与 α 的位置关系是( )． A ．b ?平面α

B ．b ⊥平面

α

正视图

侧视图

俯视图

(第2题)

C ．b ∥平面α

D ．b 与平面α相交，或b ∥平面α

9．在空间中，a ，b 是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列条件中可推出 a ∥b 的是( )．

A ．a ?α，b ?β，α∥β

B ．a ∥α，b ?β

C ．a ⊥α，b ⊥α

D ．a ⊥α，b ?α

10． 圆x 2＋y 2＝1和圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0的位置关系是( )． A ．外切

B ．内切

C ．外离

D ．内含

11．如图，正方体ABCD —A'B'C'D'中，直线D'A 与DB 所成的角可以表示为( )．

A ．∠D'D

B B ．∠AD' C'

C ．∠ADB

D ．∠DBC'

12． 圆(x －1)2＋(y －1)2＝2被x 轴截得的弦长等于( )． A ． 1

B ．

2

3 C ． 2 D ． 3

13．如图，三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1

是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是( )．

A ．CC 1与

B 1E 是异面直线 B ．A

C ⊥平面A 1B 1BA

C ．AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1

D ．A 1C 1∥平面AB 1E

14．有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4 cm ，高为12 cm ．现要为100个这种相同规格的笔筒涂色(笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计)． 如果每0.5 kg 涂料可以涂1 m 2，那么为这批笔筒涂色约需涂料．

A ．1.23 kg

B ．1.76 kg

C ．2.46 kg

D ．3.52 kg

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 15．坐标原点到直线4x ＋3y －12＝0的距离为 ． 16．以点A (2，0)为圆心，且经过点B (－1，1)的圆的方程是 ．

17．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1——ABCD 的体积与长方体的体积之比为_______________．

18．在平面几何中，有如下结论：三边相等的三角形内任意一点到三边

C

B

A

D

A '

B '

C '

D ' (第11题)

A 1

B 1

C 1

A

B

E

C

(第13题)

A

B

C D

D 1

C 1

B 1

A 1

(第17题)

的距离之和为定值．拓展到空间，类比平面几何的上述结论，可得：四个面均为等边三角形的四面体内任意一点_______________________________________．

三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．已知直线l 经过点(0，－2)，其倾斜角是60°． (1)求直线l 的方程；

(2)求直线l 与两坐标轴围成三角形的面积．

20．如图，在三棱锥P —ABC 中，PC ⊥底面ABC ， AB ⊥BC ，D ，E 分别是AB ，PB 的中点．

(1)求证：DE ∥平面P AC ； (2)求证：AB ⊥PB ；

(3)若PC ＝BC ，求二面角P —AB —C 的大小．

21．已知半径为5的圆C 的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切． (1)求圆C 的方程；

(2)设直线ax －y ＋5＝0与圆C 相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；

(3) 在(2)的条件下，是否存在实数a ，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．

期末测试题

参考答案

一、选择题

A

C

P

B

D

E

(第20题)

1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．D 7．A 8．D 9．C

10．A

11．D

12．C

13．C

14．D

二、填空题 15．

5

12． 16．(x －2)2＋y 2＝10． 17．1:3．

18．到四个面的距离之和为定值． 三、解答题

19．解：(1)因为直线l 的倾斜角的大小为60°,故其斜率为tan 60°＝3，又直线l 经过点(0，－2)，所以其方程为3x －y －2＝0．

(2)由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是3

2，－2，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S ＝

21·3

2·2＝332．

20．(1)证明：因为D ，E 分别是AB ，PB 的中点， 所以DE ∥P A ．

因为P A ?平面P AC ，且DE ?平面P AC ， 所以DE ∥平面P AC ．

(2)因为PC ⊥平面ABC ，且AB ?平面ABC ， 所以AB ⊥PC ．又因为AB ⊥BC ，且PC ∩BC ＝C ． 所以AB ⊥平面PBC ． 又因为PB ?平面PBC ，

所以AB ⊥PB ． (3)由(2)知，PB ⊥AB ，BC ⊥AB ，

所以，∠PBC 为二面角P —AB —C 的平面角． 因为PC ＝BC ，∠PCB ＝90°， 所以∠PBC ＝45°，

所以二面角P —AB —C 的大小为45°． 21．解：(1)设圆心为M (m ，0)(m ∈Z )．

由于圆与直线4x ＋3y －29＝0相切，且半径为5，所以，

5

294-m ＝5，

A

C

P

B

D

E

(第20题)

即|4m －29|＝25． 因为m 为整数，故m ＝1．

故所求的圆的方程是(x －1)2＋y 2＝25．

(2)直线ax －y ＋5＝0即y ＝ax ＋5．代入圆的方程，消去y 整理，得 (a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0．

由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点，故△＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)＞0， 即12a 2－5a ＞0，解得a ＜0，或a ＞

12

5． 所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(

12

5

，＋∞)． (3)设符合条件的实数a 存在，由(2)得a ≠0，则直线l 的斜率为－

a 1，l 的方程为y ＝－a

1

(x ＋2)＋4， 即x ＋ay ＋2－4a ＝0．由于l 垂直平分弦AB ，故圆心M (1，0)必在l 上．所以1＋0＋2－4a ＝0，解得a ＝43．由于43∈(12

5

，＋∞)，故存在实数a ＝

4

3

，使得过点 P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB ．