《电动力学》知识点归纳及典型例题分析学生版

《电动力学》知识点归纳及典型例题分析

一、知识点归纳

知识点1：一般情况下，电磁场的基本方程为：???

??

????=??=??+??=????-

=??.0;;B D J t D H t B

E ρ

ρρρρρρρ（此为麦克斯韦方程组）；在没有电荷和电流分布（的情形0,0==J ρ

ρ）的自由空间（或均匀介质）的电磁场方程为：???

?

?

??

??=??=????=????-=??.0;0;B D t D H t B E ρ

ρρρρ

ρ（齐次的麦克斯韦方程组） 知识点2：位移电流及与传导电流的区别。

答：我们知道恒定电流是闭合的：

在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。一般说来，在非恒定情况下，由电荷守恒定律有

现在我们考虑电流激发磁场的规律：()@.0J B μ=??取两边散度，由于

0≡????B ，因此上式只有当0=??J 时才能成立。在非恒定情形下，一般有0≠??J ，因而()@式与电荷守恒定律发生矛盾。由于电荷守恒定律是精确的普遍规律，故应修改()@式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。

把()@式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量D J ，它和电流

J 合起来构成闭合的量()()*,0=+??D J J 并假设位移电流D J 与电流J 一样产生磁效应，即把()@修改为()D J J B +=??0μ。此式两边的散度都等于零，因而理论上就不再有矛盾。由电荷守恒定律

.0=??+

??t

J ρ

电荷密度ρ与电场散度有关系式.0ερ=??E 两式合起来得：

.00=??? ?

?

??+??t E J ε与()*式比较可得D J 的一个可能表示式

位移电流与传导电流有何区别：

位移电流本质上并不是电荷的流动，而是电场的变化。它说明，与磁场的变化会感应产生电场一样，电场的变化也必会感应产生磁场。而传导电流实际上是电荷的流动而产生的。

知识点3：电荷守恒定律的积分式和微分式，及恒定电流的连续性方程。

答：电荷守恒定律的积分式和微分式分别为：0

=??+????-=???t J dV t ds J S V

ρρρρ

恒定电流的连续性方程为：0=??J

知识点4：在有介质存在的电磁场中，极化强度矢量p 和磁化强度矢量M 各的定义方法；P 与P ρ；M 与j ；E 、D 与p 以及B 、H 与M 的关系。

答：极化强度矢量p ：由于存在两类电介质：一类介质分子的正电中心和负电中心不重和，没有电偶极矩。另一类介质分子的正负电中心不重和，有分子电偶极矩，但是由于分子热运动的无规性，在物理小体积内的平均电偶极矩为零，因而也没有宏观电偶极矩分布。在外场的作用下，前一类分子的正负电中心被拉开，后一类介质的分子电偶极矩平均有一定取向性，因此都出现宏观电偶极矩分布。而宏观电偶极矩分布用电极化强度矢量P 描述，它等于物理小体积V ?内的

总电偶极矩与V ?之比，.V

p

P i

?=

∑ρ

i p 为第i 个分子的电偶极矩，求和符号表示

对V ?内所有分子求和。 磁化强度矢量M ：

介质分子内的电子运动构成微观分子电流，由于分子电流取向的无规性，没有外场时一般不出现宏观电流分布。在外场作用下，分子电流出现有规则取向，形成宏观磁化电流密度M J 。分子电流可以用磁偶极矩描述。把分子电流看作载有电流i 的小线圈，线圈面积为a ，则与分子电流相应的磁矩为：

介质磁化后，出现宏观磁偶极矩分布，用磁化强度M 表示，它定义为物理小体积V ?内的总磁偶极矩与V ?之比， 知识点5：导体表面的边界条件。

答：理想导体表面的边界条件为：

.,0α=?=?H n E n ???

?

??=?=?.0,B n D n σ。它们可以形象地表述为：在导体表面上，电场线与界面正交，磁感应线与界面相切。

知识点6：在球坐标系中，若电势?不依赖于方位角φ，这种情形下拉氏方程的通解。

答：拉氏方程在球坐标中的一般解为：

()()()φθφθφθ?m P R d R c m P R b R a R m n m n n nm n

nm m n m

n n nm n nm sin cos cos cos ,,,1

,1∑∑??? ?

?++??? ??+

=++ 式中nm nm nm nm d c b a 和,,为任意的常数，在具体的问题中由边界条件定出。

()θcos m n P 为缔合勒让德函数。若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势?不依赖于方位角φ，这球形下通解为：

()()θθ?cos ,cos 1

n n n

n n n n P P R b R a ∑??

?

??+

+＝为勒让德函数，n n b a 和是任意常数，由边界条件确定。

知识点7：研究磁场时引入矢势A 的根据；矢势A 的意义。

答：引入矢势A 的根据是：磁场的无源性。矢势A 的意义为：它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。只有A 的环量才有物理意义，而每点上的A （x ）值没有直接的物理意义。 知识点8：平面时谐电磁波的定义及其性质；一般坐标系下平面电磁波的表达式。

答：平面时谐电磁波是交变电磁场存在的一种最基本的形式。它是传播方向一定的电磁波，它的波阵面是垂直于传播方向的平面，也就是说在垂直于波的传播方向的平面上，相位等于常数。 平面时谐电磁波的性质：

（1）电磁波为横波，E 和B 都与传播方向垂直； （2）E 和B 同相，振幅比为v ；

（3E 和B 互相垂直，E ×B 沿波矢k 方向。

知识点9：电磁波在导体中和在介质中传播时存在的区别；电磁波在导体中的透射深度依赖的因素。

答：区别:（1）在真空和理想绝缘介质内部没有能量的损耗，电磁波可以无衰减地传播（在真空和理想绝缘介质内部）；（2）电磁波在导体中传播，由于导体内有自由电子，在电磁波电场作用下，自由电子运动形成传导电流，由电流产生的焦耳热使电磁波能量不断损耗。因此，在导体内部的电磁波是一种衰减波（在导体中）。在传播的过程中，电磁能量转化为热量。 电磁波在导体中的透射深度依赖于：电导率和频率。 知识点10：电磁场用矢势和标势表示的关系式。

答：电磁场用矢势和标势表示的关系式为：??

??

???--?=??=t A E A B ? 知识点11：推迟势及达朗贝尔方程。

答：推迟势为：

()()'

'0'

0',4,4,,dv

r

c r t x J t x A dv r

c r t x t x ??

??? ??

-=?

?

? ??-=πμπερ?

达朗贝尔方程为：???

?

??

??????

??=??+??-=??-?-=??-?0111202222

02222t c A t c J

t A

c A ?ερ??μ

知识点12：爱因斯坦建立狭义相对论的基本原理（或基本假设）是及其内容。

答：（1）相对性原理：所有的惯性参考系都是等价的。物理规律对于所有惯性参考系都可以表为相同的形式。也就是不论通过力学现象，还是电磁现象，或其他现象，都无法觉察出所处参考系的任何“绝对运动”。相对性原理是被大量实验事实所精确检验过的物理学基本原理。（2）光速不变原理：真空中的光速相对于任何惯性系沿任一方向恒为c ，并与光源运动无关。

知识点13：相对论时空坐标变换公式（洛伦兹变换式）和速度变换公式。

答：坐标变换公式（洛伦兹变换式）：2

22

'''2

2

'

11c

v x c v

t t z

z y

y c

v vt x x --

=

==--=

洛伦兹反变换式：2

2'

2''

'

2

2''11c

v x c v t t z z y y c

v vt x x -+=

==-+=

速度变换公式：?

???????

?????????--=

--=

--=

22

2'222'2'11111c vu c v u u c vu c v u u c vu v u u x

z z x

y y x

x x

知识点14：导出洛仑兹变换时，应用的基本原理及其附加假设；洛仑兹变换同伽利略变换二者的关系。

答：应用的基本原理为：变换的线性和间隔不变性。 基本假设为：光速不变原理（狭义相对论把一切惯性系中的光速都是c 作为基本假设，这就是光速不变原理）、空间是均匀的并各向同性，时间是均匀的、运动的相对性。洛仑兹变换与伽利略变换二者的关系：伽利略变换是存在于经典力学中的一种变换关系，所涉及的速率都远小于光速。洛仑兹变换是存在于相对论力学中的一种变换关系，并假定涉及的速率等于光速。当惯性系'S （即物体）运动的速度c V <<时，洛伦兹变换就转化为伽利略变换，也就是说，若两个惯性系间的相对速率远小于光速，则它以伽利略变换为近似。 知识点15：四维力学矢量及其形式。

答：四维力学矢量为：（1）能量－动量四维矢量（或简称四维动量）：

??

?

??=W c i p p ,μ（2）速度矢量：dt dx d dx U μμμγτ==（3）动量矢量：μμU m p 0=（4）

四维电流密度矢量：()ρρμμμic J J U J ,,0==（5）四维空间矢量：()ict x x ,=μ（6）

四维势矢量：??

?

??=?μc i A A ,（7）反对称电磁场四维张量：νμμνμνx A x A F ??-??=

（8）四维波矢量：??? ?

?

=c w i k k ,μ

知识点16：事件的间隔：

答：以第一事件P 为空时原点（0，0，0，0）;第二事件Q 的空时坐标为：（x,y,z,t ），这两事件的间隔为：

两事件的间隔可以取任何数值。在此区别三种情况：

（1）若两事件可以用光波联系，有r ＝ct ，因而02=s （类光间隔）； （2）若两事件可用低于光速的作用来联系，有ct r <，因而有02>s （类时间隔）；（a ）绝对未来；（b ）绝对过去。

（3）若两事件的空间距离超过光波在时间t 所能传播的距离，有ct r >，因而有02

知识点17：导体的静电平衡条件及导体静电平衡时导体表面的边界条件。

答：导体的静电平衡条件：

（1）导体内部不带电，电荷只能分布在于导体表面上； （2）导体内部电场为零；

（3）导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面。整个导体的电势相等。

导体静电平衡时导体表面的边界条件：

知识点18：势方程的简化。

答：采用两种应用最广的规范条件： （1） 库仑规范：

辅助条件为.0=??A ρ

（2） 洛伦兹规范：

辅助条件为：.012

=??+??t

c A α

ρ 例如：对于方程组：0

2022

222

)1(1ερφμφ-

=????

+?-=??+???-??-?A t J t

c A t A c A ρρρρ（适用于一

般规范的方程组）。

若采用库仑规范，可得：????

?

?

???=??-=?-=???-??-?)0(110

3022

222A J t c t A c A ρρρερφμφ；

若采用洛伦兹规范，可得：???

???

??????

??=??+??-=??-?-=??-?0111202222

02222t c A t c J

t A

c A ?ερ??μ（此为达朗贝尔方程）。

知识点19：引入磁标势的条件。

答：条件为：该区域内的任何回路都不被电流所环绕，或者说，该区域是没

有传导电流分布的单连通区域，用数学式表示为：?????=?=?L L d H j 00ρρρ 知识点20：动钟变慢：

'S 系中同地异时的两事件的时间间隔，即'S 系中同一地点'

1'

2x x =，先后

（'1'2t t ≠）发生的两事件的时间间隔'

1'2t t -在S 系的观测：

τ?称为固有时，它是最短的时间间隔，.τ?>?t

知识点21：长度收缩（动尺缩短）

尺相对于'S 系静止，在'S 系中观测'

1'

2'

'x x l -=在S 系中观测12t t =即两端位置

同时测定2

2

12'

1'21c v x x x x --=

-Θ),(1120'

1'2220

l x x l x x c

v l l =-=--=

0l 称为固有长度，固有长度最长，即l l >0。

知识点22：电磁场边值关系（也称边界上的场方程） 知识点24：电磁波的能量和能流 平面电磁波的能量为：221

B E w μ

ε=

=

平面电磁波的能流密度为：.)(2n E E n E H E S ρ

ρσρρρρμ

εμε=??=?=

能量密度和能流密度的平均值为： 知识点25：波导中传播的波的特点：

电场E 和磁场H 不同时为横波。通常选一种波模为o E z =的波，称为横电波（TE ）； 另一种波模为0=z H 的波，称为横磁波（TM ）。 知识点26：截止频率

①定义:能够在波导内传播的波的最低频率c w 称为该波模的截止频率。

②计算公式:(m,n)型的截止频率为：2

2,?

??

??+??? ??=

b n a m w mn

c με

π

；

若a>b ，则10TE 波有最低截止频率

.21

2110,με

πa w c =若管内为真空，此最低截止频率为a c 2，相应的截止波长为：.210,a c =λ（在波导中能够通过的最大波长为2a ）

知识点28：静电场是有源无旋场：.0;

0=??=??E q P

E ρρ（此为微分表达式）

稳恒磁场是无源有旋场：.

;

00j B B ρρρμ=??=??（此为微分表达式）

知识点29：相对论速度变换式：???????

??

????

??--==--==--==.111;11222''

'2'''

222

'''c vu c v u dt dz u c vu v u dt dx u c vu c v u dt dy u x z z x

x x x y y

其反变换式根据此式

求???

??z

y x

u u u 。 知识点30：麦克斯韦方程组积分式和微分式，及建立此方程组依据的试验定律。

答：麦克斯韦方程组积分式为：???????=?=??????????+=????-=?S

V

S

L S L S

s d B dV

s d E s d t E j l d B s d t B l d E 0

1

00ρρρρρρ

ρρρρρ

ρρρεεμ 麦克斯韦方程组微分式为：0

00=??=

????+=????-

=??B E t E j B t

B E ρρρ

ρρρρερεμμ

依据的试验定律为：静电场的高斯定理、静电场与涡旋电场的环路定理、磁场中的安培环路定理、磁场的高斯定理。

三、典型试题分析

1、 证明题：

1、试由毕奥－沙伐尔定律证明0=??B ρ

证明：由式：

()

()

''

0'3

'0

144dv r

x J dv r r x J B ??=?=??πμπμ又知：

()()

'

'11x J r r x J ???? ???=?????

?

??，因此()()??=??=??=r

dv x J A A dv r

x J B '

'0'

'04 4πμπμ式中

由()0=????=??A B 所以原式得证。

2、试由电磁场方程证明一般情况下电场的表示式.t

A

E ??--?=ρ

ρ?

证：在一般的变化情况中，电场E 的特性与静电场不同。电场E]一方面受到电荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发，后者所激发的电场是有旋的。因此在一般情况下，电场是有源和有旋的场，它不可能单独用一个标势来描述。在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的表示式必然包含矢势A 在内。

t B E A B ??-

=????=式代入得：0=??? ?

?

??+??t A E ，该式表示矢量t A E ??+是无旋场，因此它可以用标势?描述，?-?=??+

t

A

E 。因此，在一般情况下电场的表示式为：.t

A

E ??--?=ρ

ρ?。即得证。

3、试由洛仑兹变换公式证明长度收缩公式22

1c

v l l -=。 答：用洛伦兹变换式求运动物体长度与该物体静止长度的关系。如图所示，设物

体沿x 轴方向运动，以固定于物体上的参考系为‘

∑。若物体后端经过1P 点（第

一事件）与前端经过2P 点（第二事件）相对于∑同时，则21P P 定义为∑上测得的

物体长度。物体两端在‘∑上的坐标设为'2'1x x 和。在∑上1P 点的坐标为1x ，2P 点

的坐标为2x ，两端分别经过1P 和2P 的时刻为21t t =。对这两事件分别应用洛伦兹变换式得2

2

22'22

2

11'11,1c v

vt x x c v

vt x x --=

--=

，两式相减，计及21t t =，有

().*12

2

12'1'2c v

x x x x --=

-式中12x x -为∑上测得的物体长度l （因为坐标21x x 和是在∑

上同时测得的），'1'2x x -为‘∑上测得的物体静止长度0l 。由于物体对‘∑静止，

所以对测量时刻'2

'1

t t 和没有任何限制。由()*式得22

1c

v l l -=。 4、试由麦克斯韦方程组证明静电场与电势的关系.?-?=E ρ

答：由于静电场的无旋性，得：?=?0dl E 设21C C 和为由点点到21P P 的两条不同路径。21C C 与－合成闭合回路，因此01

2

=?-???C C dl E dl E

即???=?2

1

C C dl E dl E 因此，电荷由与路径无关，

点时电场对它所作的功点移至21P P 而只和两端点有关。把单位正电荷由,21P P 点移至电场E 对它所作的功为：,

2

1

??P P dl E 这功定义为点点和21P P 的电势差。若电场对电荷作了正功，则电势?下降。由此，

()()??-=-2

1

12P P dl E P P ??由这定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的

电势的绝对数值是没有物理意义的。 相

距

为

dl 的两点的电势差为.dl E d ?-=?由于

，dl dz z

dy y dx x d ??=??+??+??=

??

???因此，电场强度E 等于电势?的负梯度.?-?=E

5、

试由恒定磁场方程证明矢势A 的微分方程j A ρρμ-=?2

。

答：已知恒定磁场方程）（10J B μ=??（在均匀线性介质内），把

）代入（1)2(A B ??=得矢势A 的微分方程().J A μ=????由矢量分析公式()().2A A A ?-???=????若取A 满足规范条件0=??A ，得矢势A 的微分方程

()

0.

2=??-=?A J A μ

6、试由电场的边值关系证明势的边值关系.11122

σ?

ε??ε-=??-??n

证：电场的边值关系为：(

)()

(

)

()

*.$,01212σ=-?

=-?

D D n

E E n ρ

ρρ

ρ

ρρ，()*式可写为()@12σ=-n n D D

式中n 为由介质1指向介质2的法线。利用?ε-?==E E D ρ

ρρ及,可用标势将()@表

为：

势的边值关系即得证。

7、试由静电场方程证明泊松方程ε

ρ?-

=?2。 答：已知静电场方程为：???=??=??)2.()

1(,0ρD E 并知道)3.(?-?=E 在均匀各向同性线性

介质中，E D ε=，将（3）式代入（2）得ε

ρ

?-

=?2，ρ为自由电荷密度。于是得到静电势满足的基本微分方程，即泊松方程。 8、试由麦克斯韦方程证明电磁场波动方程。

答：麦克斯韦方程组()()()()()????

??

???

??+=??=????-=??=??t x E x j x B x B t

x B x E x x E 0

000

0)()()(μεμερ表明，变化的磁场可以激发电场，而变化的电场又可以激发磁场，因此，自然可以推论电磁场可以互相激发，形成电磁波。这个推论可以直接从麦克斯韦方程得到，在真空的无源区域，电荷密度和电流密度均为零，在这样的情形下，对麦克斯韦方程的第二个方程取旋度

并利用第一个方程，得到()()t

x B x E ????-=?)(2－，再把第四个方程对时间求导，

得到()()()2

200t x E t x B ??=????με，从上面两个方程消去()()t x B ????，得到()()02

2002

=??-?t x E x E με。这就是标准的波动方程。对应的波的速度是

.1

0c =με

9、

试由麦克斯韦方程组证明电磁场的边界条件

()()()

.0;;0121212=-?=-?=-?B B n D D n E E n ρρ

ρρρρρρρδ 解：

()

δ

δδρ=-=-?∴?=??-??=???n n f

V

S D D D D n S D n S D n S dV

s d D 121212.ρρ

ρρ

ρρρρ

ρΘ即：

对于磁场B ，把0=??s d B S

ρ

ρ应用到边界上无限小的扁平圆柱高斯面上，重复以

上推导可得：()

01212=-?-B B n B B n n ρ

ρρ即：

作跨过介质分界面的无限小狭长的矩形积分回路，矩形回路所在平面与界面垂直，矩形长边边长为l ?，短边边长为'l ?。因为?=?0dl E ，作沿狭长矩形的E 的路径积分。由于'l ?比l ?小得多，当0'→?l 时，E 沿'l ?积分为二级小量，忽略沿'l ?的路径积分，沿界面切线方向积分为：012=?-?l E l E t t 即：

()*,012--t t E E 。()*可以用矢量形式表示为：()

()@012=?-t E E ρ

ρρ

式中t 为沿着矩形长边的界面切线方向单位矢量。

令矩形面法线方向单位矢量为't ，它与界面相切，显然有()#'t n t ?= 将()()式式代入@#，则

(

)()

()$,0'

12=??-t n E E ρρρρ，利用混合积公式

()()B A C C B A ρρρρρρ??=??，改写()#式为：()[]

012'=?-?n E E t ρ

ρρρ此式对任意't 都成立，

因此()

012=?-n E E ρ

ρρ，此式表示电场在分界面切线方向分量是连续的。

10、试由麦克斯韦方程组推导出亥姆霍兹方程022

=+?E k E ρ

ρ

答：从时谐情形下的麦氏方程组推导亥姆霍兹方程。在一定的频率下，有

H B E D με==,，把时谐电磁波的电场和磁场方程：

()()()().

,,,iwt

iwt e

x B t x B e x E t x E --==代入麦氏

方程组??????

???

=??=????=????-=??.

0,

0,

,B D t D H t B E 消去共同因子iwt e -后得???????=??=??-=??=??.

0,0,,H E E iw H H iw E εμ在此注意一点。在

0≠w 的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的。取第一式的散度，由于

()0=????E ，因而0=??H ，即得第四式。同样，由第二式可导出第三式。在

此，在一定频率下，只有第一、二式是独立的，其他两式可由以上两式导出。 取第一式旋

度并用第二

式得

()E

w E με2=????由

()()E E E E 2

2

-?=?-???=????，上式变为???==+?.

,

022μεw k E k E 此为亥姆霍兹方

程。 11、

设?和A ρ是满足洛伦兹规范的矢势和标势，现引入一矢量函数()t x Z ,ρ

ρ（赫

兹矢量），若令.1,2t Z c A Z ??=??=ρρ

证明? 证明：?和A ρ

满足洛伦兹规范，故有

2、 计算题：

1、真空中有一半径为0R 接地导体球，距球心为()0R a a >处有一点电荷Q ，求空间各点的电势。

解：假设可以用球内一个假想点电荷'Q 来代替球面上感应电荷对空间电场的作用。由对称性，'Q 应在OQ 连线上。关键是能否选择'Q 的大小和位置使得球面上

0＝?的条件使得满足？

考虑到球面上任一点P 。边界条件要求.0''

=+r Q r Q 式中r 为Q 到P 的距离，

的距离。到为P Q r '

'

因此对球面上任一点，应有）常数。（1'

'=-=Q

Q r r 由图可看

出，只要选'Q 的位置使则,~'OPQ P OQ ??

）常数。（＝20

'=a

R r r 设'Q 距球心为b ，两三角形相似的条件为()3.,2

000a

R b a R R b

==或由（1）和（2）式求出)4.(0'Q a R Q -=（3）和（4）式确定

假想电荷'Q 的位置和大小。

由Q 和镜象电荷'Q 激发的总电场能够满足在导体面上0＝?的边界条件，因此是空间中电场的正确解答。球外任一点

p

的电势是：

????

?

?????-+--+=??????-θθπεπε?cos 2cos 24141220220'00Rb b R a Q R Ra a R Q ar Q R r Q ＝式中r 为由Q 到P 点的距离，'r 为由'Q 到P 点的距离，R 为由球心O 到P 点的距离，

的夹角。与为OQ OP θ

4、电荷Q 均匀分布于半径为a 的球体内，求各点的电场强度，并由此直接计算电场的散度。

解：作半径为r 的球（与电荷球体同心）。由对称性，在球面上各点的电场强度有相同的数值E ，并沿径向。当时，a r >球面所围的总电荷为Q ，由高斯定理得

,40

2επQ

E r ds E ==??

因而,42

0r

Q E πε=

写成矢量式得()()@.43

0a r r

Qr E >=

πε

若,a r <则球面所围电荷为：.3

4343433

333a Qr a Q r

r ==ππρπ 应用高斯定理得：.43

03

2

a

Qr E r ds E επ==?? 由此得()()*.43

0a r a

Qr E <=

πε

现在计算电场的散度。当时a r >E 应取()@式，在这区域0≠r ，由直接计算可得()0,03≠=?

?r r

r

因而()a r r

r

Q E >=?

?=

??.0430

πε 当时a r

Q r a Q E <==

??=

??.43403

03

0ερ

πεπε 10、静止长度为0l 的车厢，以速度v 相对于地面S 运行，车厢的后壁以速度为0U 向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。

解：S 系的观察者看到长度为2

01β-l 的车厢以()i v v v ρρρ=运动，又看到小球以

i u u ρ

ρ=追赶车厢。∴小球从后壁到前壁所需的时间为：

()

()()

??

??

??+-=???

???+-=

??

??

??-+--=-=--??? ??+=?∴+-=+??? ??+-+=-++=--=?=-202

200020022'1'22'1'2221200'1'22202002

022020200

20022

01111

111111111u u 10'1'2c vu c v u l l c v u l c v x x c v t t c v t t u l t t c v u c vu l t c

vu c v u c vu c vu v v u v u c vu v v u c v

l t l x x ，或，，。

13、内外半径分别为a 和b 的球形电容器，加上wt v v cos 0=的电压，且ω不大，故电场分布和静态情形相同，计算介质中位移电流密度D j 及穿过半径R ()b R a <<的球面的总位移电流D J 。 解：位移电流密度为：

穿过半径

R

()

b R a <<的球面的总位移电流D J 为：

wt a b R w v R R j J D D sin 2

440022

-+

-==εππρρ

17、设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度为0l ，它们以相同速率v 相对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行于尺子，求站在一根尺上测量另一根尺的长度。 解：'S 系观察到''S 的速度

()

2

2

2

''121c

v v

c v v v v v +-=----=

'S ∴测得''S 的尺子长度是 (

)

()

2

2

2

202

2

2

141v

c v c l c v

v l l +-=+-=Θ运动尺的收缩，只与相对运动的速度的绝对值有关，∴'

'S 测得'

S 的尺子长度也是()

2

22

20v

c v c l +-。 19、设有一随时间变化的电场wt E E cos 0ρ

ρ=，试求它在电导率为σ，介电常数为ε的导体中，引起的传导电流和位移电流振幅之比，从而讨论在什么情况下，传

导电流起主要作用，什么情况下位移电流其主要作用。

解：可知传导电流为：i j ρ

ρσ=，位移电流为：

()

w

j j E wt w wt E t

t E j D D εσ

εεε=

∴

-=??=??=ρρ

ρρ

ρ

ρ.sin cos 00。当w εσ>>时，传导电流起主要作用；当w εσ<<时，位移电流起主要作用。

20、已知矢势i z y x A ρρ)(52

22++=，求B ρ，若k j A A ρρρρ65++='，A 'ρρ与A 是否对应同一电磁场。 解：

22、矢势j x B A i y B A ρ

?ρρ0'0=-=，，其中0B 为常数，它们对应着同一磁场，因此，

??+=A A ρ

ρ'求式中的标量函数?。

解：()z f xy B j x B i y B A A +=∴+=-=?000'??，ρ

ρρρΘ

《简单的轴对称图形》典型例题1(1)(答案)

《简单的轴对称图形》典型例题 例1 想一想等边三角形的三个内角各是多少度，它有几条对称轴。 例2 如图，已知ABC ?是等腰三角形，AC AB 、都是腰，DE 是AB 的垂直平分线，12=+CE BE 厘米，8=BC 厘米，求ABC ?的周长． 例3 AC AB ABC =,:中在已知? _____ ,100)3(____,30)2(___ __,,70)1(00为则它的另外两内角分别若一角为为则它的另外两内角分别若一个角为则若=∠=∠=∠C B A ο 例 4 如图，已知：在ABC ?中，AC AB =，?=∠110ACD ，求ABC ?各内角的度数.

例5 如下图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E在AD上，用轴对称的性质证明：BE＝CE． 例6如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，求∠1和∠ADC的度数．

参考答案 例1 分析：由等腰三角形的性质易知等边三角形三个内角相等都是60°，它有三条对称轴。 解：三个内角都是60°，它有三条对称轴。 说明：等边三角形是等腰三角形的特例，所以等腰三角形的性质对其都是适用的，在数学的学习时这样的情况是会经常出现的。 例2 分析：本题依据线段垂直平分线的性质可以得到． 解：DE Θ是AB 的垂直平分线 ∴BE AE = ∴12=+CE AE 厘米AC = ABC ?Θ是等腰三角形 ∴12==AC AB 厘米 ∴ABC ?的周长是3281212=++=++BC AC AB 厘米 例3 分析：注意到题中所给的条件AB ＝AC ，得到三角形为等腰三角形。利用等腰三角形的性质对问题（1）可得οο55,55=∠=∠C B ；对问题（2）考虑到所给这个角可能是顶角也可能是底角；对问题（3）由三角形内角和为ο180可得此等腰三角形的顶角只能为ο100这一种情况。 略解：（1）οο55,55=∠=∠C B （2）另外两内角分别为：οοοο120,30;75,75（3）οο40,40 说明：通过题目中的（2）、（3）渗透分类思想，训练思维的严密性。

高中物理磁场知识点总结+例题

磁场 一、基本概念 1．磁场的产生 ⑴磁极周围有磁场。⑵电流周围有磁场（奥斯特）。 安培提出分子电流假说（又叫磁性起源假说），认为磁极的磁场和电流的磁场都是由电荷的运动产生的。 ⑶变化的电场在周围空间产生磁场（麦克斯韦）。 2．磁场的基本性质 磁场对放入其中的磁极和电流有磁场力的作用（对磁极一定有力的作用；对电流可能有力的作用，当电流和磁感线平行时不受磁场力作用）。 3．磁感应强度 IL F B （条件是L ⊥B ；在匀强磁场中或ΔL 很小。） 磁感应强度是矢量。单位是特斯拉，符号为T ，1T=1N/(A m)=1kg/(A s 2) 4．磁感线 ⑴用来形象地描述磁场中各点的磁场方向和强弱的曲线。磁感线上每一点的切线方向就是该点的磁场方向，也就是在该点小磁针N 极受磁场力的方向。磁感线的疏密表示磁场的强弱。 ⑵磁感线是封闭曲线（和静电场的电场线不同）。 ⑶要熟记常见的几种磁场的磁感线： 地磁场的特点：两极的磁感线垂直于地面；赤道上方的磁感线平行于地面；除两极外，磁感线的水平分量总是指向北方；南半球的磁感线的竖直分量向上，北半球的磁感线的竖直分量向下。 + N S 地球磁场 条形磁铁 蹄形磁铁 通电环行导线周围磁场 通电长直螺线管内部磁场 通电直导线周围磁场

⑷电流的磁场方向由安培定则（右手螺旋定则）确定：对直导线，四指指磁感线方向；对环行电流，大拇指指中心轴线上的磁感线方向；对长直螺线管大拇指指螺线管内部的磁感线方向。 二、安培力 （磁场对电流的作用力） 1．安培力方向的判定 ⑴用左手定则。 ⑵用“同向电流相吸，反向电流相斥”（适用于两电流互相平行时）。 ⑶可以把条形磁铁等效为长直通电螺线管（不要把长直通电螺线管等效为条形磁铁）。 例1．条形磁铁放在粗糙水平面上，其中点的正上方有一导线，在导线中通有图示方向的电流后，磁铁对水平面的压力将会______（增大、减小还是不变）。水平面对磁铁的摩擦力大小为______。 解：本题有多种分析方法。⑴画出通电导线中电流的磁场中通过两极的那条磁感线（如图中下方的虚线所示），可看出两极受的磁场力的合力竖直向上。磁铁对水平面的压力减小，但不受摩 擦力。⑵画出条形磁铁的磁感线中通过通电导线的那一条（如图中上方的虚线所示），可看出导线受到的安培力竖直向下，因此条形磁铁受的反作用力竖直向上。⑶把条形磁铁等效为通电螺线管，上方的电流是向里的，与通电导线中的电流是同向电流，所以互相吸引。 例2．电视机显象管的偏转线圈示意图如右，即时电流方向如图所示。该时刻由里向外射出的电子流将向哪个方向偏转 解：画出偏转线圈内侧的电流，是左半线圈靠电子流的一侧为向里，右半线圈 靠电子流的一侧为向外。电子流的等效电流方向是向里的，根据“同向电流互相吸引，反向电流互相排斥”，可判定电子流向左偏转。 F 2

浮力经典计算题带答案

计算题(本题包含26小题) 50．(04吉林)边长均为2cm实心正方体的木块和铁块，木块密度为0.6×103kg/m3. 将它们放入水中，待其静止时，分别求出木块和铁块受到的浮力（g=10N/kg） 51．(04长春)弹簧测力计下吊着一重为1.47N的石块，当石块全部浸入水中时，弹簧测力计的示数为0.98N。 求：（1）石块受到的浮力； （2）石块的体积；（3）石块的密度 52．(03辽宁省)如图所示,在空气中称木块重6N；当该木块的3/5体积浸入水中时,弹簧测力计的示数恰好为零. 求:(1) 木块的密度多大? (2) 若把木块从测力计上取下,并轻轻放入水里,那么在木块上加多大竖直向下的压力,才能使木块刚好全部浸入水中?(g=10N/kg) 53．(05毕节地区)如图所示，边长为10 cm的实心正方体木块，密度为0.6×103kg/m，静止在装有足量水的容器中，且上下底面与水面平行，求： (1)木块的质量； (2木块在水中所受浮力的大小； (3)木块浸在水中的体积； (4)水对木块下底面的压强。(取g＝10 N/kg） 54．一个圆柱形物体悬浮在密度为1.2×103kg/m3的盐水中如图,已知圆柱体的横截面积是10cm2,长度为15cm,物体上表面到液面的距离为5cm,物体上、下表面受到的压力多大?物体受到的浮力是多大?(g=10N/kg) 55．(05自贡市)一个体积为80cm3的物块，漂浮在水面上时，有36cm3的体积露出水面，试问： （l）物块所受浮力为多少？ (2)物块的密度为多少？(ρ水＝1.0×1O3kg/m3, g＝10N/kg)

56．(03四川中考)在"抗洪抢险"中,几位同学找到了一张总体积为0.3m3质量分布均匀的长方体塑料泡膜床垫,将其放入水中时,床垫有1/5的体积浸没在水中,若g取10N/kg,求: (1) 此时床垫受到的浮力有多大? (2) 床垫的密度是多少? (3)若被救的人的平均质量为50kg,要保证安全,该床垫上一次最多能承载多少个人? 57．一实心塑料块漂浮在水面上时，排开水的体积是300厘米3。问：塑料块的质量是多大?当在塑料块上放置一个重为2牛的砝码后，塑料块刚好没入水中，问此时塑料块受到的浮力是多大?塑料块的密度是多大?( g=10 牛/千克) 58．一个均匀的正方体木块，浮在水面上时有2/5的体积露出水面，若用10牛竖直向下的力压着木块,木块刚好能被淹没，求木块的质量是多少?( g=10 牛/千克) 59．将一重为2牛的金属圆筒容器,开口向上放入水中,圆筒有1/3的体积露出水面,如在圆筒内再装入100厘米3的某种液体后,金属圆筒有14/15的体积浸没在水中,(g=10N/kg)求:(1)金属圆筒的容积为多少米3?(筒壁厚度不计) (2)金属圆筒内所装液体的密度为多少? 60．(05南宁市)"曹冲称象"是家喻户晓的典故。某校兴趣小组模仿这一现象，制作了一把"浮力秤"。将厚底直筒形状的玻璃杯浸入水中，如图所示。已知玻璃杯的质量为200g，底面积为30cm2，高度为15cm。（水的密度ρ水＝1×103kg/m3） 求： ⑴将杯子开口向上竖直放入水中时（注：水未进入杯内），杯子受到的浮力。 ⑵此时杯子浸入水中的深度（即为该浮力秤的零刻度位置）。 ⑶此浮力秤的最大称量（即量程）。 61．(04重庆)把一个外观体积为17.8cm3的空心铜球放入水中，它恰好处于悬浮状态，已知铜的密度是8.9× 103kg/m3，g取10N/kg。求： （1）空心铜球的重力；（2）铜球空心部分的体积。 62．一个空心球重60牛,它的空心部分占整个球体积的1/5.将它放入水中,露出水面的体积是整个体积的1/4.如果在它的中空部分装满某种液体,此球悬浮在水中(g=10N/kg)求:(1)此球在水中漂浮和悬浮时,所受的浮力各是多少? (2)球的空心部分所充液体的密度是多大?

八年级第十三章《轴对称》知识点及典型例题

第十三章《轴对称》 一、知识点归纳 （一）轴对称和轴对称图形 1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． 2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线） 3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 5．画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。 （二）、轴对称与轴对称图形的区别和联系 区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称． 联系： 1：都是折叠重合 2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。 （三）线段的垂直平分线 （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线） （2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． （证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合． （四）用坐标表示轴对称 1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）；

简单的轴对称图形练习习题

欢迎阅读 页脚内容 A B C N O 图3 轴对称复习练习题1．已知等腰三角形的一个角为42 0，则它的底角度数_______． 2．下列10个汉字：林 上 下 目 王?田 天 王 显 吕，其中不是轴对称图形的是______有一条对称轴的是________；有两条对称轴的是_______；有四条对称轴的是________． 3.如图，镜子中号码的实际号码是___________． 4．等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为______． 5．已知等腰ABC △的周长为10，若设腰长为x ，则x 的取值范围是 ． 6．在△A BC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于 7 8的长915和6________________________． Ｄ．2.．三条角平分线的交点 345．如图3，已知△ABC 中，AC+BC=24，AO 、BO 分别是角平分线，且MN ∥BA ，分别交AC 于N 、BC 于M ，则△CMN 的周长为（ ）A ．12 B ．24 C ．36 D ．不确定 6．如图4所示,Rt △ABC 中∠C=90°,AB 的中垂线 DE 交BC 于D ，交AB 于点E ．当∠B=30°时，图中不一定相等的线段有（ ）A ．AC=AE=BE B ．AD=BD C ．CD=DE D ．AC=BD 7．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 等于（ ）A ．30o B ．40o C ．45o D ．36o 8．如图，等腰△ABC 的周长为21，底边BC ＝ 5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交 AC 于点E ，则△BEC 的周长为（ ）A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 9．如图，AB ＝AC,BD ＝°，则∠ABD 的度数是（ ） A D E

磁场知识点总结

（第三章）磁场 知识点1．了解磁现象和磁场：能说出电流的磁效应；能描述磁场和地磁场；知道我国古代在磁现象方面的研究成果及其对人类文明的影响；能举例说明磁现象在生产和生活中的应用． 用罗盘指引航向，探索航道，将船舶航向的变动与指南针指向变动的对应关系总结出来，画出的航线在古代称作“针路”或“针径”。利用“针路”，船能够靠指南针导航。 1．磁场的产生：磁场是存在于磁体、电流和运动电荷周围空间的一种特殊形态的物质，本质上讲磁场是由于电荷运动所产生的。变化的电场空间也产生磁场。 2．磁场的基本特性：磁场对处于其中的磁极、电流和运动电荷有力的作用；磁极与磁极、磁极与电流、电流与电流之间的相互作用都是通过磁场发生的。 3．磁场的方向：规定在磁场中任意一点小磁针北极的受力方向（小磁针静止时N极的指向）为该点处磁场方向。 4．磁现象的电本质：奥斯特发现电流磁效应（电生磁）后，安培提出分子电流假说：认为在原子、分子等物质微粒内部，存在着一种环形电流——分子电流，分子电流使每个物质微粒都成为微小的磁体，它的两侧相当于两个磁极；从而揭示了磁铁磁性的起源：磁铁的磁场和电流的磁场一样都是由电荷运动产生的；根据分子电流假说可以解释磁化、去磁等有关磁现象。 5地磁场（1）地球是一个巨大的磁体、地磁的N极在地理的南极附近，地磁的S极在地理的北极附近；（2）地磁场的分布和条形磁体磁场分布近似；（3）在地球赤道平面上，地磁场方向都是由北向南且方向水平（平行于地面）；（4）近代物理研究表明地磁场相对于地球是在缓慢的运动和变化的；地磁场对于地球上的生命活动有着重要意义。 知识点2．理解磁感应强度：知道磁感应强度的概念，会运用磁感应强度的概念描述磁场． 1．定义：在磁场中垂直于磁场方向的通电直导线，所受的安培力F跟电流I和导线长度L之乘积IL的比值叫做磁感应强度，定义式为B＝F/IL。 2．对定义式的理解： （1）式中反映的F、B、I方向关系为：B⊥I，F⊥B，F⊥I，则F垂直于B和I所构成的平面。 （2）式子可用来量度磁场中某处磁感应强度，不决定该处磁场的强弱，该处磁感应强度大小由磁场自身性质来决定。 （3）磁感应强度是矢量，其矢量方向是小磁针在该处的北极受力方向，与安培力方向是垂直的。 （4）如果空间某处磁场是由几个磁场共同激发的，则该点处合磁场（实际磁场）是几个分磁场的矢量和；某处合磁场可以依据问题求解的需要分解为两个分磁场；磁场的分解与合成必须遵循矢量运算法则。 （5）在国际单位制中，磁感应强度的单位是特斯拉（T） 1T＝1N/(A·m) 知识点3．能说出磁感线特点；识别几种常见磁场的磁感线分布；会用安培定则判断通电直导线和通电线圈周围磁场方向；会计算磁通量． 地磁场

浮力复习知识点与经典例题

浮力复习知识点与经典例题

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《浮力》复习提纲 一、浮力的定义：一切浸入液体（气体）的物体都受到液体（气体）对它竖直向上的力 叫浮力。 二、浮力方向：竖直向上，施力物体：液（气）体 三、浮力产生的原因（实质）：液（气）体对物体向上的压力大于向下的压力，向上、向下的压力差 即浮力。 四、物体的浮沉条件： 1、前提条件：物体浸没在液体中，且只受浮力和重力。 2、请根据示意图完成下空。 下沉 悬浮 上浮 漂浮 F 浮 < G F 浮 = G F 浮 > G F 浮 = G ρ液<ρ物 ρ液 =ρ物 ρ液 >ρ物 ρ液 >ρ物 3、说明： ① 密度均匀的物体悬浮（或漂浮）在某液体中，若把物体切成大小不等的两块，则大块、小块都悬浮（或漂浮）。 ②一物体漂浮在密度为ρ的液体中，若露出体积为物体总体积的1/3，则物体密度为 2 3ρ 分析：F 浮 = G 则：ρ液V 排g =ρ物Vg ρ物=（ V 排／V ）·ρ液= 2 3ρ液 ③ 悬浮与漂浮的比较 相同： F 浮 = G 不同：悬浮ρ液 =ρ物 ；V 排=V 物 漂浮ρ液 <ρ物；V 排

轴对称整章知识点复习题含答案

m C A B P 图3 图2 m C A B 第十二章 轴对称知识点总结 我保证认真独立地完成今天的作业！ 签名：____________ 一、知识梳理 1、轴对称图形____________________ ____________________________ 这条直线叫做________________。互相重合的点叫做________________。 轴对称_______________________________________________ _ 这条直线叫做________________。。互相重合的点叫做________________。。 2、轴对称图形与轴对称的区别与联系： 区别________________________________________________。 联系________________________________________________。 3、轴对称的性质： _______________________________________________。 _______________________________________________。 4、线段的垂直平分线定义： ________________________________________________ 如图2， ∵CA=CB ， 直线m ⊥AB 于C ， ∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。 5、线段的垂直平分线性 质:_______________________________________________。 如图3， ∵CA=CB ， 直线m ⊥AB 于C ， 点P 是直线m 上的点。 ∴PA=PB 。 6、等腰三角形定 义:___________________________________________： 7、等腰三角形性质:___________________________________________： ___________________________________________： 8、等腰三角形判定。 判定①。___________________________________________： 判定②___________________________________________：

三年级轴对称图形练习题

三年级数学下册轴对称图形练习题 一、填空。 1、如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是（），折痕所在的直线叫做（）。 2、圆的对称轴有（）条，半圆形的对称轴有（）条。 3、在对称图形中，对称轴两侧相对的点到对称轴的（）相等。 4、（）三角形有三条对称轴，（）三角形有一条对称轴。 5、正方形有（）条对称轴，长方形有（）条对称轴，等腰梯形有（）条对称轴。 6、如果把一个图形沿着一条直线折过来，直线两侧部分能够完全重合，那么这个图 形就叫做___________，这条直线叫做________． 7、对称轴_______连结两个对称点之间的线段． 8、宋体的汉字“王”、“中”、“田”等都是轴对称图形，?请再写出三个这样的汉字：_________． 9、长方形有_____条对称轴，正方形有_____条对称轴，圆有_____条对称轴． 10、如图是一种常见的图案，这个图案有_____条对称轴，请在图上画出对称轴． 11、右图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为 . 12、下列图形中是轴对称图形的在括号里画“√”。二、选择题。 1、下列英文字母中，是轴对称图形的是（） A、S B、H C、P D、Q 2、下列各种图形中，不是轴对称图形的是（） 3、下图是一些国家的国旗，其中是轴对称图形的有（） A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 4、下列图形中：角、线段、直角三角形、等边三角形、长方形，其中一定是轴对称 图形的有（） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 5、下列图形中，对称轴最多的是（）。 A、等边三角形 B 、正方形 C 、圆 D、长方形 6、下面不是轴对称图形的是（）。 A、长方形 B、平行四边形 C、圆 D、半圆 7、要使大小两个圆有无数条对称轴，应采用第（）种画法。8题）

(完整版)高中选修磁场知识点总结(很详细)

第三章磁场知识点 1、磁场 ★★★磁场和电场一样，是客观存在的一种物质。 磁体周围空间存在磁场； 电流周围空间也存在磁场。电流是大量运动电荷形成的，所以运动电荷周围空间也有磁场。静止电荷周围空间没有磁场 与用检验电荷检验电场存在一样，可以用小磁针来检验磁场的存在。 如图所示为证明通电导线周围有磁场存在一一奥斯特实验，以及磁场对电流有力的作用实验。 ★★★地磁场 地球本身是一个磁体，附近存在的磁场叫地磁场，地磁的S极在地球北极附近，地磁的N极在地球的南极附近。地磁场与条形磁铁周围的磁场分布情况相似。但实际上地球的地理两极与地磁两极并不重合，磁针并非准确地指南或指北，其间有一个交角，叫地磁偏角，简称磁偏角。 二、磁场的方向 规定：在磁场中的任意一点小磁针北极受力的方向就是那一点的磁场方向。 确定磁场方向的方法是：将一不受外力的小磁针放入磁场中需测定的位置，当小磁针在该位置静止时，小磁针 N极的指向即为该点的磁场方向。 磁体磁场：可以利用同名磁极相斥，异名磁极相吸的方法来判定磁场方向。电流磁场：利用安培定则（也叫右手螺旋定则）判定磁场方向。 三、磁感线 在磁场中画出有方向的曲线表示磁感线，在这些曲线上，每一点的切线方向都跟该点的磁场方向相同。 ★★★磁感线特点a.磁感线的疏密反映磁场的强弱，磁感线越密的地方表示磁场越强，磁感线越疏的地方表示磁场越弱。b.磁感线上每一点的切线方向就是该点的磁场方向。 c.磁场中的任何一条磁感线都是闭合曲线，在磁体外 部由N极到S极，在磁体内部由S极到N极。D.磁感线是不存在的，人们为了方便研究假想出来（电场线一样） 以下各图分别为条形磁体、蹄形磁体、直线电流、环行电流的磁场 ★★★①磁感线是为了形象地描述磁场而在磁场中假想出来的一组有方向的曲线，并不是客观存在于磁场中的真实 曲线。②磁感线与电场线类似，在空间不能相交，不能相切也不能中断。③磁感线是闭合的曲线，而电场线不闭合 四、几种常见磁场 1通电直导线周围的磁场 奥斯特实验 磁场对电流的作爲 通电直导线的隔场 安培定则通电螺线菅的隘场环形电涼的磁场

轴对称知识点及对应例题(经典).

第十三章轴对称 《轴对称、线段垂直平分线、、等腰三角形、等边三角形》轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴． 轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． 图形轴对称的性质 如果两个图形成轴对称，?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 轴对称与轴对称图形的区别 轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称． 考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识 1.下列几何图形中，○1线段○2角○3直角三角形○4半圆，其中一定是轴对称图形的有【】A．1个B．2个C．3个D．4个 2．图中，轴对称图形的个数是【】 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

3．正n 边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴 线段的垂直平分线 （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）． （2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合． 考点四、线段垂直平分线的性质 6．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，BD 为∠ABC 平分线，DE ⊥BC ，E 是BC 的中点，求∠C 的度数。 7．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，PB ＝PC ，连AP 并延长交BC 于D ，求证：AD 垂直平分 BC 8．如图,DE 是?ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC ＝8厘米，AB ＝10厘米，则?EBC 的周长为【 】 A.16厘米 B.18厘米 C.26厘米 D.28厘米 C E B D A

七年级数学下册《轴对称图形典型例题》

轴对称图形典型例题 例1 如下图，已知，PB⊥AB，PC⊥AC，且PB＝PC，D是AP上一点．求证：∠BDP＝∠CDP． 证明：∵PB⊥AB，PC⊥AC，且PB＝PC， ∴∠P AB＝∠P AC（到角两边距离相等的点在这个角平分线上），∵∠APB＋∠P AB＝90°，∠APC＋∠P AC＝90°， ∴∠APB＝∠APC， 在△PDB和△PDC中， ∴△PDB≌△PDC（SAS）， ∴∠BDP＝∠CDP． （图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形的全等） 注 利用角平分线定理的逆定理，可以通过距离相等直接得到角相等，而不用再证明两个三角形全等．

已知如下图（1），在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC．求证：∠A＋∠C＝180°． （1） 证法一：过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC于F， ∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF， 在Rt△EAD和Rt△FCD中， （角平分线是常见的对称轴，因此可以用轴对称的性质或全等三角形的性质来证明．） ∴Rt△EAD≌Rt△FCD（HL）， ∴∠C＝∠EAD， ∵∠EAD＋∠BAD＝180°， ∴∠A＋∠C＝180°． 证法二：如下图（2），在BC上截取BE＝AB，连结DE，证明△ABD ≌△EBD可得．

证法三：如下图（3），延长BA到E，使BE＝BC，连结ED，以下同证法二． （3） 注 本题考察一个角平分线上的任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等，关键是掌握遇到角的平分线的辅助线的不同的添加方法． 例3 已知，如下图，AD为△ABC的中线，且DE平分∠BDA交AB于E，DF 平分∠ADC交AC于F． 求证：BE＋CF＞EF． 证法一：在DA截取DN＝DB，连结NE、NF，则DN＝DC，在△BDE 和△NDE中，

浮力经典例题(强烈推荐)

初中物理浮力典型例题解析 例1下列说法中正确的是（） A．物体浸没在水中越深，受的浮力越大 B．密度较大的物体在水中受的浮力大 C．重的物体受的浮力小 D．同体积的铁块和木块浸没在水中受的浮力一样大 注意：物体所受的浮力跟物体自身的重力、自身的密度、自身的形状无关． 例2质量为79g的铁块，密度是7.9g/cm3，这个铁块的质量是多少?重多少?将这个铁块浸没于水中，排开水的质量是多少?所受浮力是多少?（g取10N/kg）精析这道题考查学生对计算物体重力和计算浮力的公式的区别． 计算物体重力：G＝ρ物gV物 计算物体在液体中受的浮力：F浮＝ρ液gV排．可以说：从计算的方法上没有本质的区别，但计算的结果却完全不同． 例3（广州市中考试题）用弹簧测力计拉住一个重为43N的空心铜球，全部浸在水中时，弹簧测力计的示数为33.25N，此铜球的空心部分的体积是________m3．（已知铜的密度为8.9×103kg/m3）

例4体积相同的A、B、C三个物体，放入水中静止后，处于图1—5—1所示的状态，试比较三个物体受的重力G A、G B、G C和密度ρA、ρB、ρC． 图1—5—1 精析不同物体的重力可借助浮力的知识来比较． 例5将一个蜡块（ρ蜡＝0.9×103kg/m3）分别放入酒精、水和盐水中静止后，试比较它受的浮力大小和排开液体的体积大小．（ρ盐水＞ρ水＞ρ蜡＞ρ酒精） 精析确定状态→受力分析→比较浮力→比较V排． 此题考查学生能否在判断状态的基础上，对问题进行分析，而不是急于用阿基米德原理去解题． 例6（广州市中考试题）将重为4.5N、体积为0.5dm3的铜球浸没在水后放手，铜球静止后所受的浮力是________N． 精析此题考查学生是否注意了在解题前先要对物体作“状态的判定”，即铜球静止时是漂浮于水面，还是沉于水中．有的学生拿到题后，就认定V排＝0.5 dm3，然后根据F浮＝ρ液gV排，求出浮力F浮＝4.9N．

第二章轴对称图形知识点归纳+典型例题+提优

2.1轴对称与轴对称图形 姓名_______学号_______班级_______ 学习目标: 1.欣赏生活中的轴对称现象和轴对称图案,探索它们的共同特征,发展空间观念. 2.通过具体实例了解轴对称概念,了解轴对称图形的概念，知道轴对称与轴对称图形的区别和联系. 学习重点: 了解轴对称图形和轴对称的概念，并能简单识别、体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的丰富文化价值. 学习难点: 能正确地区分轴对称图形和轴对称，进一步发展空间观念． 学习过程: 一、创设情境 观察如下的图案, 它们有什么共同的特征? 二、探索活动 活动一折纸印墨迹 问题1.你发现折痕两边的墨迹形状一样吗？

问题2.两边墨迹的位置与折痕有什么关系？ 概念：把一个图形沿着___________________翻折，如果它能够与另一个图形__________，那么称这两个图形____________________对称,也称这两个图形成______________. 这条直线叫做________________，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点． 如图，△ABC和△DEF关于直线MN对称， 直线MN是对称轴，点A与点D、点B与点E、 点C与点F都是关于直线MN的对称点. 活动二切藕制作成轴对称的两个截面 联系实际，你能举出一些生活中图形成轴对称的实例吗？ 活动三

把_________图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是_______________，这条直线就是_____________. 请你找出图1-5中的各图的对称轴. 联系实际，你能举出一个轴对称图形的实例吗？ 活动五轴对称与轴对称图形的区别和联系 三、课堂练习 1. 分别画出下列轴对称型字母的对称轴以及两对对称点. 2.画出下列各轴对称图形的对称轴.

典型的轴对称图形练习题(带答案)

1 一、选择题 1．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形（位置？）；②等腰三角形的 对称轴是底边上的中线所在直线；③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（ d ）个 A A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 （1）两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形，由于位置关系不确定，不能正确判定，错误； （2）等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，而非中线，故错误； （3）等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线，应该改为高所在的直线，故错误； （4）一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，符合轴对称性质，正确． 2．下列图形中：①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等腰三角 形. 其中是轴对称图形有（ c ）个 B ①、②不是轴对称图形；③长方形是轴对称图形；④等腰三角形是轴对称图形 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 //3．∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 的内部，P 1与P 关于OA 对称，P 2与P 关于OB 对称，△P 1OP 2是 （ c ）：∵P 为∠AOB 内部一点，点P 关于OA 、OB 的对称点分别为P 1、P 2， ∴OP=OP 1=OP 2且∠P 1OP 2=2∠AOB=60°， ∴△OP 1P 2是等边三角形． A ．含30°角的直角三角形； B ．顶角是30的等腰三角形； C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形. 4．等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（ c ）----证全等，等量代换. 等边△ABC 中，有∠ABC=∠C=60°，AB=BC ，BD=CE ∴△ABD ≌△BCE （SAS ） ∴∠BAD=∠CBE=∠PBD ∴∠APE=∠BAD +∠ABP=∠ABP+∠PBD =∠ABD =60° A ．45° B ．55° C ．60° D ．75° 5. 等腰梯形两底长为4cm 和10cm ，面积为21cm 2，则 这个梯形较小 的底角是（ c ）度. A 已知等腰梯形两底长AD=4cm ，BC=10cm ，面积为21cm 2，求出梯形的高为AE=3．而BC-AD=BE+CF=6，∴BE=3，由等腰梯形的性质即可求出梯形较小的底角为45°． A ．45° B ．30° C ．60° D ．90° 6．已知点P 在线段AB 的中垂线上，点Q 在线段AB 的中垂线外，则 （ D ） A ．PA+P B ＞QA+QB B ．PA+PB ＜QA+QB D ．PA+PB ＝QA+QB D ．不能确定 7．已知△ABC 与△A 1B 1C 1关于直线MN 对称，且BC 与B 1C 1交与直线MN 上一点O ，（ C ） A ．点O 是BC 的中点 B ．点O 是B 1 C 1的中点 C ．线段OA 与OA 1关于直线MN 对称 D ．以上都不对 8．如图：已知∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ， PD ⊥OA ，若PC=4 ，则PD=（C ）过点P 作PM ⊥OB 于M ，∵PC ∥OA ，∴∠COP=∠CPO=∠ POD=15°，∴∠BCP=30°，∴PM= A O P A E C B D

高中物理磁场知识点总结+例题

高中物理磁场知识点总 结+例题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

磁场 一、基本概念 1．磁场的产生 ⑴磁极周围有磁场。⑵电流周围有磁场（奥斯特）。 安培提出分子电流假说（又叫磁性起源假说），认为磁极的磁场和电流的磁场都是由电荷的运动产生的。 ⑶变化的电场在周围空间产生磁场（麦克斯韦）。 2．磁场的基本性质 磁场对放入其中的磁极和电流有磁场力的作用（对磁极一定有力的作用；对电流可能有力的作用，当电流和磁感线平行时不受磁场力作用）。 3．磁感应强度 IL F B （条件是L ⊥B ；在匀强磁场中或ΔL 很小。） 磁感应强度是矢量。单位是特斯拉，符号为T ，1T=1N/(A ?m)=1kg/(A ?s 2) 4．磁感线 ⑴用来形象地描述磁场中各点的磁场方向和强弱的曲线。磁感线上每一点的切线方向就是该点的磁场方向，也就是在该点小磁针N 极受磁场力的方向。磁感线的疏密表示磁场的强弱。 ⑵磁感线是封闭曲线（和静电场的电场线不同）。 ⑶要熟记常见的几种磁场的磁感线： 地磁场的特点：两极的磁感线垂直于地面；赤道上方的磁感线平行于地面；除两极外，磁感线的水平分量总是指向北方；南半球的磁感线的竖直分量向上，北半球的磁感线的竖直分量向下。 ⑷电流的磁场方向由安培定则（右手螺旋定则）确定：对直导线，四指指磁感线方向；对环行电流，大拇指指中心轴线上的磁感线方向；对长直螺线管大拇指指螺线管内部的磁感线方向。 二、安培力 （磁场对电流的作用力） 1．安培力方向的判定 ⑴用左手定则。 ⑵用“同向电流相吸，反向电流相斥”（适用于两电流互相平行时）。 ⑶可以把条形磁铁等效为长直通电螺线管（不要把长直通电螺线管等效为条形磁铁）。 条形磁铁 通电环行导线周围磁场 通电长直螺线管内部磁场 通电直导线周围磁场

最新轴对称压轴题解析

轴对称 【知识脉络】 【基础知识】 知识点一：轴对称图形及对称轴 1、轴对称图形：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴 2、要点：前提是一个图形，且这个图形满足两个条件：①存在直线（对称轴）；②沿着这条直线折叠，折痕两旁的部分能重合． 3、注意：一个轴对称图形的对称轴是直线且不一定只有一条，可能有两条或多条．如图所示： 知识点二：轴对称及对称点 1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点也叫做对称点 2、要点：①前提是两个图形；②存在一条直线；③两个图形沿着这条直线对折能够完全重合． 3、注意：①成轴对称的两个图形一定全等；②它与轴对称图形的区别主要是：它是指两个图形，而轴

对称图形前提是一个图形；③成轴对称的两个图形除了全等外还有特定的位置关系．如图所示： 知识点三：轴对称与轴对称图形 1、相互转化：轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称 2、轴对称、轴对称图形的性质 （1）性质1：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 注：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 性质1的证明如下：如图所示，△ABC与△关于l对称，其中点A、是对称点，设交对称轴于点P．将△ABC和△沿l折叠后，点A与重合，则有，∠1=∠2=90°，即对称轴把垂直平分，同样也能把、都垂直平分，于是得出性质1． （2）性质2：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．证明类似性质1． （3）小结：不论性质1，还是性质2所指的都是只要两个点关于某直线对称，那么这条直线（对称轴）就是这两个点连线的垂直平分线．也就是说这两条性质所体现的是对称点与对称轴的关系．也揭示了轴对称（轴对称图形）的实质．

典型的轴对称图形练习习题(带答案

精心整理 一、选择题 1．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形； ②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上 的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂 2 ）3对称， B．顶 . 4与BE 相交于点P，则 ∠APE的度数是（） A．45°B．55° C．60°D．75°

5.等腰梯形两底长为4cm和10cm，面积为21cm2，则这个梯形较 小 的底角是（）度. A．45°B．30°C．60°D．90°6．已知点P在线段AB的中垂线上，点Q在线段AB的中垂线外，则 A． D． 7． C D 8 PC （ A．4B．3 C．2D．1 9．∠AOB的平分线上一点P到OA的距离 为5，Q是OB上任一点，则（）

A．PQ＞5B．PQ≥5 C．PQ＜5D．PQ≤5 10．等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的底长为（） A．3cm或5cm B．3cm或7cm C．3cm D．5cm 11 12 13CD=4， 14 15AB=6， 的周 1610且有一底角为 60°，则它的两底长分别为____________． 17．若D为△ABC的边BC上一点，且AD=BD，AB=AC=CD， 则∠BAC=____________．

18．△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC=115°，则∠EAF=___________． 三．解答题 19．如图：已知∠AOB和C、D两点，求作 两边20C， 21 22AC于E、 23ABP=结论．

参考答案 第一章 轴对称图形 1．A 2．B 3．C 4．C 5．A 6．D 7．C 8．C 9．B 10．C 1116．4、6 19202123＝AQ ，

磁场知识点汇总

磁场知识点汇总 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT

磁场知识点汇总 一、 磁场 二、 ⒈磁场是一种客观物质，存在于磁体和运动电荷（或电流）周围。 三、 ⒉磁场（磁感应强度）的方向规定为磁场中小磁针N 极的受力方向（磁感线的切 线方向）。 四、 ⒊磁场的基本性质是对放入其中的磁体、运动电荷（或电流）有力的作用。 五、 磁感线 六、 ⒈磁感线是徦想的，用来对磁场进行直观描述的曲线，它并不是客观存在的。 七、 ⒉磁感线是闭合曲线?? ?→→极 极磁体的内部极 极磁体的外部N S S N 八、 ⒊磁感线的疏密表示磁场的强弱，磁感线上某点的切线方向表示该点的磁场方 向。 九、 ⒋任何两条磁感线都不会相交，也不能相切。 十、 安培定则是用来确定电流方向与磁场方向关系的法则 十一、 弯曲的四指代表???)()(环形电流或通电螺线管电流的方向 直线电流磁感线的环绕方向 十二、 安培分子电流假说揭示了磁现象的电本质，即磁体的磁场和电流的磁场一 样，都是由电荷的运动产生的。 十三、 几种常见磁场 十四、 ⒈直线电流的磁场：无磁极，非匀强，距导线越远处磁场越弱 十五、 ⒉通电螺线管的磁场：管外磁感线分布与条形磁铁类似，管内为匀强磁 场。 十六、 ⒊地磁场（与条形磁铁磁场类似）

十七、 ⑴地磁场N 极在地球南极附近，S 极在地球北极附近。 十八、 地磁场B 的水平分量总是从地球南极指向北极，而竖直分量南北相反，在 南半球垂直地面向上，在北半球垂直地面向下 十九、 ⑵在赤道平面上，距离地球表面相等的各点，磁感强度相等，且方向水平 向北。 二十、 二十一、 磁感应强度：⑴定义式LI F B = （定义B 时，B I ⊥）⑵B 为矢量，方向与磁场方向相同，并不是在该处电流的受力方向，运算时遵循矢量运算法则。 二十二、 磁通量 二十三、 ⒈定义一：φ=BS ，S 是与磁场方向垂直的面积，即φ=B ⊥S ，如果平面与磁 场方向不垂直，应把面积投影到与磁场垂直的方向上，求出投影面积⊥S 二十四、 ⒉定义二：表示穿过某一面积磁感线条数 二十五、 磁通量是标量，但有正、负，正、负号不代表方向，仅代表磁感线穿入或 穿出。 二十六、 当一个面有两个方向的磁感线穿过时，磁通量的计算应算“纯收入”，即ф=ф1-ф2（ф1为正向磁感线条数，ф2为反向磁感线条数。） 二十七、 安培力大小 二十八、 ⒈公式BLI F =sin θ（θ为B 与I 夹角）[]BLI F ,0∈ 二十九、 ⒉通电导线与磁场方向垂直时，安培力最大BIL F = 三十、 ⒊通电导线平行于磁场方向时，安培力0=F 三十一、 ⒋B 对放入的通电导线来说是外磁场的磁感应强度 三十二、 ⒌式中的L 为导线垂直于磁场方向的有效长度。例如，半径为r 的半圆形 导线与磁场B 垂直放置，导线的的等效长度为2r ，安培力BIr F 2=。