2020届重庆市高三上学期期末测试数学(文)( 一诊康德卷)试题(解析版)

2020届重庆市高三上学期期末测试数学（文）（ 一诊康德卷）

试题

一、单选题

1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，集合{}

2

|20B x x x =->，则R A B =I e（ ）

A ．{1,3}-

B ．{0,1}

C ．{0}

D ．{0,1,2}

【答案】D

【解析】化简集合B ，求出R C B ，按照交集的定义，即可求解. 【详解】

{}2|20{|0B x x x x x =->=<或{}|22},0R x B x x C >=≤≤， R A B =I e{0,1,2}.

故选:D. 【点睛】

本题考查交集、补集的混合运算，属于基础题. 2．设复数z 满足13iz z +=，则||z =（ ）

A B C D

【答案】A

【解析】由已知得1

13z i

=-，根据复数的除法法则，求出z 的实部和虚部，即可求解. 【详解】

13iz z +=，11313

13101010

i z i i +=

==+-，

||z =

. 故选:A. 【点睛】

本题考查复数的代数运算以及复数模长，属于基础题.

3．在区间[2,2]-内随机取一个数a ，则关于x 的方程220x x a -+=无实根的概率是（ ）

A ．

15

B ．

14

C ．

13

D ．

34

【答案】B

【解析】由已知条件，得440a ?=-<，结合[2,2]a ∈-，求出a 的范围，根据几何概型的概率公式，a 取值范围区间长度除以[2,2]-长度，即可求解. 【详解】

关于x 的方程220x x a -+=无实根，

得440,1,[2,2],(1,2]a a a a ?=-<>∈-∴∈Q ， 所以所求的概率为14

P =. 故选:B. 【点睛】

本题考查几何概型的概率，转化为区间的长度比，属于基础题. 4．函数2log ()2

x

f x -=的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】运用对数的运算法则将函数()f x 化简为1

()||

f x x =，即可求解. 【详解】

2

2log l g 1o )2

1

(2

x

x

f x x

-===

，()f x 为偶函数，

图像关于y 轴对称，当10,()x f x x

>=. 故选:D. 【点睛】

本题考查用对数的运算法则化简函数解析式，将问题转化为熟悉函数的图像，属于基础题.

5．已知a R ∈，则“12

a <”是“1

2a >”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】解不等式12a >，求出1

2a >的充要条件，与12

a <对比，即可求解. 【详解】

1211

2002

a a a a ->?

a <”是“1

2a >”的必要不充分条件.

故选:B. 【点睛】

本题考查充分必要条件，等价转化是解题的关键，属于基础题.

6．为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：

①样本数据落在区间[300500),

的频率为0.45； ②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策； ③样本的中位数为480万元. 其中正确结论的个数为（ ） A ．0 B ．1

C ．2

D ．3

【答案】D

【解析】根据直方图求出0.0025a =，求出[300500),的频率，可判断①；求出[200500),

的频率，可判断②；根据中位数是从左到右频率为0.5的分界点，先确定在哪个区间，再求出占该区间的比例，求出中位数，判断③. 【详解】

由(0.0010.00150,0020.00052)1001a ++++?=，0.0025a =， [300500),的频率为(0.0020.0025)1000.45+?=，①正确；

[200500),的频率为(0.00150.0020.0025)1000.55++?=，②正确； [20000),4的频率为0.3，[200500),的频率为0.55，

中位数在[400,500)且占该组的4

5

， 故中位数为0.50.3

4001004800.25

-+?=，③正确.

故选:D. 【点睛】

本题考查补全直方图，由直方图求频率和平均数，属于基础题 7．执行如下图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

【答案】B

【解析】根据循环结构的计算公式，当结果不满足条件时，退出循环体，输出n . 【详解】

解：0,3,1s m n ===；3,9,2s m n =-==；

12,27,3s m n =-==；39,81,4s m n =-==，

退出循环体，输出4n =. 故选:B.

【点睛】

本题考查循环结构输出结果，读懂程序框图是解题的关键，属于基础题.

8．已知平面非零向量,a r b r 满足：(4)(2)a b a b +⊥-r r r r

，a r 在b r 方向上的投影为1||2

b -r ，

则a r 与b r

夹角的余弦值为（ ）

A

．3

-

B ．23

-

C ．13

-

D ．16

-

【答案】D

【解析】设两向量夹角为θ，a r 在b r

方向上的投影为1||cos ||2

a b θ=-r r ，从而有

21||2

a b b ?=-r

r r ，

再由(4)(2)a b a b +⊥-r r r r

，得出||a r 3b =r ，根据向量的夹角公式，即可求解.

【详解】

设两向量夹角为θ，则有1||cos ||2a b θ=-r r 21||2

a b b ??=-r

r r ，

(4)(2)a b a b +?-r r r

r 22||28a a b b =+?-r r r r 22||9a b =-r r 0=||a ?r 3b =r ，

所以cos ||||a b

a b θ?=?r

r r r

21||2||||

b a b -=?r r r 16=-. 故选:D. 【点睛】

本题考查向量的数量积以及向量数量积的几何意义，考查向量的夹角，属于中档题. 9．已知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系不一定成立的是（ ）

A ．22

1a b >+ B ．1

22

a b +>

C ．2

4a b >

D ．1a

b b

>+ 【答案】D

【解析】||1a b >+两边平方，结合绝对值的性质，可判断选项A 成立；

||11a b b >+>+，再由指数函数的单调性，可判断选项B 正确；由212||b b +≥，结

合选项A ，判断选项C 正确； 令5,a =3b =，满足||1a b >+，1a

b b

>+不成立. 【详解】

||1a b >+2222||11a b b b ?>++>+，A 一定成立； ||11a b b >+≥+122a b +?>，B 一定成立；

又2

12||b b +≥，故2

4||4a b b >≥，C 一定成立； 令5,a =3b =，即可推得D 不一定成立. 故选:D. 【点睛】

本题考查不等式与不等关系，注意绝对值性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题.

10．如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合.已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为51-和3，则此组合体的外接球的表面积是（ ）

A ．16π

B ．20π

C ．24π

D ．28π

【答案】B

【解析】设外接球半径为R ，球心为O ，圆台较小底面圆的圆心为1O ，根据球的性质1

OO 与圆台的上下底面垂直，从而有222

11OO R +=，且球心在上下底面圆心的连线上，

152OO R -，即可求出R ，得出结论.

【详解】

解：设外接球半径为R ，球心为O ，圆台较小底面圆的圆心为1O ，

则222

11OO R +=，而152OO R =-，

故22152)R R =+-5R ?=2420S R ππ?==.

故选:B. 【点睛】

本题考查组合体外接球的表面积，利用球的性质是解题的关键，属于基础题.

11．已知AB 是圆22

:1O x y +=的任意一条直径，点P 在直线20(0)x y a a +-=>上

运动，若PA PB ?u u u r u u u r

的最小值为4，则实数a 的值为（ ）

A ．2

B ．4

C ．5

D ．6

【答案】C

【解析】将,PO OA PB PO PA OB +=+=u u u r u u u r u u u r u u u u u u r r u u u r 代入PA PB ?u u u r u u u r

，结合,OA OB u u u r u u u r 是相反向量且

模长为1，可得2||1PA PB PO ?=-u u u r u u u u u u r r ，由已知条件得出，||OP uuu r

点O 到直线的距离为，即可求解. 【详解】

()()PA PB PO OA PO OB ?=+?+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2||PO OA OB =+?u u u r u u u r u u u r 2

||1PO =-u u u r ，

由题得||OP uuu r

即点O

=5a ?=. 故选:C. 【点睛】

本题考查向量的线性关系以及向量的数量积，解题的关键要把最值转化为点到直线的距离，属于中档题.

12．已知双曲线22

22:1x y C a b

-=(0,0)a b >>的左焦点为(,0)F c -，过点F 且斜率为

1的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点(2,0)P c ，则双曲线C 的离心率为（ ）

A B C D ．2

【答案】D

【解析】设线段AB 的中点坐标为()00,M x y ，根据11,1,MF MP k k ==- 求出线段AB 的中点M 坐标，用点差法求出,a c 关系，即可求解 【详解】

设线段AB 的中点坐标为()00,x y ，

则有0

001

1

2y x c y x c

?=?+??

?=-?-?0,2c x ?=032y c =， 设1122(,),(,)A x y B x y ，代入双曲线方程有，

22221122

22221,1x y x y a b a b

-=-=两式相减得， 1212121222

()()()()

1x x x x y y y y a b -+-+-= 可得002210x y a b -?=，即2213,a b

=2

2

3b a =， 2,c a ∴=2e =.

故选:D. 【点睛】

本题考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键要把问题转为相交弦的中点，利用点差法求出参数关系式，属于中档题.

二、填空题

13．曲线(sin )e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为________. 【答案】2y x =

【解析】求导，求出切线的斜率0|x y =' ，用直线方程的点斜式，即可求解. 【详解】

0(sin cos 1)e ,|2x x y x x x y =''=+++=,

所以切线方程为2y x =. 故答案为:2y x =. 【点睛】

本题考查切线的几何意义，属于基础题. 14．函数()sin 22cos()2f x x x ππ??

=-++ ??

?

的最大值为________. 【答案】

32

【解析】由诱导公式和二倍角余弦公式，()f x 化为关于cos x 的二次函数，配方结合余

弦函数的范围，即可求解. 【详解】

解：2

()2cos 2cos 1f x x x =--+2

1332cos 222x ??=-++≤ ??

?， 当且仅当1

cos 2

x =-时等号成立. 故答案为:32

. 【点睛】

本题考查三角函数的化简，转化为求含余弦的二次函数的最值，属于基础题. 15．已知等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足12n n S a +=+，则1a =________. 【答案】-2

【解析】根据前n 项和与通项关系，求出2n ≥时数列的公比，结合{}n a 是等比数列，此公比也满足12,a a 关系，再由1n =时，122a a =+，即可求出结论. 【详解】 解：1

1

22n n n n S a S a +-=+??

=+?12(2)n n a a n +?=≥，

故212a a =，在原式中令1n =有122a a =+，

1122a a ∴=+，即12a =-.

故答案为:-2. 【点睛】

本题考查数列的前n 项和与通项的关系，属于基础题.

16．已知函数2,()1,2x x x a

f x x a ?≤?

=???>? ???

?,若()f x 的值域为(0,)+∞，则实数a 的取值范围是

________.

【答案】(,4][2,0)-∞--U

【解析】由0不在()f x 的值域中，从而有0a <，当1

(0,()())2

,a

x a f x >∈，当x a ≤时，

2())[,a f x ∈+∞，()f x 的值域为(0,)+∞，需满足21

()2

a a ≤，结合0x <时，2y x =与

2x y -=的图象，分析可求出21

()2

a a <的解，即为所求.

【详解】

解：Q 0不在()f x 的值域中，0a ∴<，又数形结合可知，

当1,()21(0,())2x

a x a f x ??∈>= ???

，当x a ≤时， 22[,)()f x x a ∈+∞=，()f x 的值域为(0,)+∞，需满足21

()2

a a ≤，

当0x <时，2

y x =与2x

y -=的图象恰有两个交点(4,16)-和(2,4)-，

且当4x <-或02x >>-时，2x y -=图象位于2

y x =的图象上方，

当42x -<<-时，2x y -=图象位于2

y x =的图象下方，

所以有4a ≤-或20a -≤<. 故答案为:(,4][2,0)-∞--U .

【点睛】

本题考查分段函数的值域，数形结合思想是解题的关键，属于中档题.

三、解答题

17．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知36,a =2

,n S n n λ=+R λ∈.

（1）求λ的值及{}n a 的通项公式； （2）设1

n n b S n

=

+，求数列{}n b 的前n 项和. 【答案】（1）1λ=；2n a n =，*n N ∈， （2）n T =

213232232n n n +??

- ?++??

【解析】（1）由n S 与n a 的关系，当2n ≥时，1n n n a S S -=-求出n a ，将36a =代入，求出λ，再由11a S =，即可求出n a ； （2）由（1）得2

2,n n a n S n n ==+，1(2)n b n n =

+11122n n ??

=- ?+??

，裂项相消求和，

即可求得结论. 【详解】

解：（1）当2n ≥时，22

1(1)(1)

n n S n n

S n n λλ-?=+?=-+-? (21)1n a n λ?=-+，

故3516a λ=+=1λ?=， 即2n a n =，

又1112a S λ==+=， 故对任意*n N ∈，2n a n =. （2）由题知2112(2)n b n n n n =

=++11122n n ??

=- ?+??

，

则前n 项和1111111112324112n T n n n n ??=

-+-++-+- ?-++??

L 213232232n n n +??

=

- ?++??

. 【点睛】

本题考查数列的前n 项和与通项的关系，考查裂项相消法求数列和，属于基础题. 18．某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思想，扶贫工作小组经过多方调研，综合该地区的气候、地质、地理位置等特点，决定向当地农户推行某类景观树苗种植.工作小组根据市场前景重点考察了A ，B 两种景观树苗，为对比两种树苗的成活率，工作小组进行了引种试验，分别引种树苗A ，B 各50株，试验发现有80%的树苗成活，未成活的树苗A ，B 株数之比为1：3.

（1）完成2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为树苗A ，B 的成活率有差异？

2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++

（2）已知树苗A 经引种成活后再经过1年的生长即可作为景观树A 在市场上出售，但每株售价y （单位：百元）受其树干的直径x （单位：cm ）影响，扶贫工作小组对一批已出售的景观树A 的相关数据进行统计，得到结果如下表：

根据上述数据，判断是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？并用相关系数r 加以说明.

（一般认为，||0.75r >为高度线性相关）

参考公式及数据：相关系数()()

n

i

i

x x y y r --=

∑()

2

1

5

250,i i x x =-=∑

()

2

1

5

320i i y y =-=∑.

【答案】（1）填表见解析；没有99%的把握认为二者有差异； （2）可以用线性回归模型拟合. r 0.950.75≈>.

【解析】（1）根据条件，求出A 树苗未成活、成活株数，B 树苗未成活有、成活株数，完成列联表；根据提供的公式，求出2K ，与提供的数据对比，即可得出结论； （2）根据表格数据求出,x y ，代入相关系数公式求出r 的值，即可得出结论.. 【详解】

解：试验发现有80%的树苗成活，故不成活20株，未成活的树苗A ，B 株数之比为1：3.

A 树苗未成活有5株，成活45株，

B 树苗未成活有15株，成活35株，

（1）列联表如下：

A B 合计 成活株数 45 35 80 未成活株数 5 15 20 合计 50

50

100

2

2

100(4515535)80205050

K ??-?=

??? 6.25 6.635=<， 故没有99%的把握认为二者有差异； （2）20,x =13y =.

250320

r =

?

202

=

0.950.75≈>.

故可以用线性回归模型拟合. 【点睛】

本题考查两个变量的独立性检验，考查判断两个变量间是否具有线性相关性，考查计算能力，属于基础题.

19．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别是棱

1,CC 1,DD 11,B C 11A D 的中点，直线AF 与DH 交于点P ，直线BE 与CG 交于点S.

（1）求证：直线PS ∥平面ABCD ； （2）求四棱锥B-PDCS 的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）

16

15

【解析】（1）由已知条件可得,HG AB ∥，可证面HG P 平面ABEF ，再根据线面平行的性质定理可得HG PS ∥，进而有PS AB ∥，即可证明结论；

（2）E 、G 分别是棱1,CC 11,B C 的中点，平几知识可证BE CG ⊥，再由正方体线面垂直关系可得CD BE ⊥，推证出BE ⊥面PDCS ，求出,BS CS ，即可求出结论. 【详解】

解：（1）G ，H 分别是棱11,B C 11A D 的中点，

,HG AB ∥HG ?面ABEF HG ?∥面ABEF ，

又因为面HGSP I 面ABEF PS =， 所以HG PS ∥，

所以PS AB ∥，又PS ?/面ABCD ， 所以PS ∥面ABCD ；

（2）显然1Rt Rt ,BCE CC G ?V V

1EBC GCC ∴∠=∠， 又190GCC GCB ?

∠+∠=， 所以90EBC BCG ?∠+∠=， 即BE CG ⊥，又CD ⊥面11BCC B ， 所以CD BE ⊥，

而CG CD C =I ，所以BE ⊥面PDCS ， 在Rt BSC V 中，

BS =

SC = 所以1

3B PDCS PDCS B V S h -=??123?=? ?

1615=. 【点睛】

本题考查线面平行的证明，要熟练掌握线面平行的判断和性质定理，考查椎体的体积，证明底面的高是解题的关键，属于中档题.

20．已知椭圆22

:143

x y C +=，点(0,3)P ，直线:1l y kx =-与椭圆C 交于不同的两点

M ，N. （1）当1

2

k =

时，求PMN V 的面积； （2）设直线PM 与椭圆C 的另一个交点为Q ，当M 为线段PQ 的中点时，求k 的值. 【答案】（1）6 （2）5

2

±

【解析】（1）将直线1

12

y x =

-与椭圆方程联立，消元得到220x x --=，求出,M N 的坐标，即可求出面积；

（2）()00,M x y ，根据中点坐标关系得()002,23Q x y -，将,P Q 两点坐标代入椭圆方程，相减，求出M 点坐标，即可求出结论. 【详解】

解：（1）2211

23412

y x x y ?

=-???+=?220x x ?--=

1,M x ?=-2N x =，所以1

42

M N S x x =??-6=；

（2）设()00,M x y ，则()002,23Q x y -， 分别代入椭圆方程可得：

22001,43

x y +=2

200

09314434y y x -++=， 两式相减得0933434y -

=，

即03

,2

y =01x ∴=±，

所以001y k x +=

5

2

=?. 【点睛】

本题考查直线与椭圆的位置关系，考查相交弦有关的中点问题，要注意点差法的应用，属于中档题.

21．已知函数1()e ln 1,x f x a x -=+-a R ∈.

（1）若1x =是()f x 的极值点，求a 的值及()f x 的单调区间； （2）若对任意[1,)x ∈+∞，不等式()0f x ≥成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）1,a =-()f x 在(0,1)上单减，在(1,)+∞上单增. （2）1a ≥-

【解析】（1）求导，由()01f '=，求出a 的值，代回()f x '，分析()f x '

单调性以及

()01f '=，求出()0,()0f x f x ''><的解，即可得出结论；

（2）注意(1)0f =，若()f x 在[1,)+∞为增函数，不等式()0f x ≥恒成立，若()f x 在

0[1,)x 为减函数，则不等式()0f x ≥不恒成立，将问题转化为研究()f x 在[1,)+∞上的

单调性，求出()f x '

，对a 分类讨论，求出()f x '

在[1,)+∞正负情况，即可求出a 的取

值范围. 【详解】

解：（1）1

()e x a

f x x

-'=+

(1)10f a '?=+=1,a ?=- 11()e x f x x

-'∴=-

， 显然()f x '

在(0,)+∞上单调递增， 又()01f '=，

所以当01x <<时，()0f x '<， 当1x >时，()0f x '>，

故()f x 在(0,1)上单减，在(1,)+∞上单增. （2）1

()x a f x e

x

-'=+， 当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在[1,)+∞上单增， 则()(1)0f x f ≥=，满足题意；

当0a <时，1

2

()e 0x a

f x x --''=+

>， ()f x '∴在[1,)+∞上单调递增，()(1)1f x f a ''≥=+，

①若1a ≥-，则()0f x '≥，()f x 在[1,)+∞上单增， 则()(1)0f x f ≥=，满足题意；

②若1a <-，则(1)0,f '<1()e 10a f a --'-=->， 故必存在01x >使得()00f x '=，

从而()f x 在[]01,x 上单减，在()0,x +∞上单增，

()0(1)0f x f ∴<=，与题意矛盾；

综上所述，1a ≥-. 【点睛】

本题考查导数的综合应用，涉及到函数的极值、单调区间、证明不等式，考查分类讨论

思想，通常以导数恒大于等于0（或恒小于等于0）作为分类依据，属于较难题. 22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2

8cos 6sin 110ρρθρθ---=. （1）求曲线C 的直角坐标方程；

（2）若直线l 的参数方程为1cos sin x t y t α

α

=+??=?，（t 为参数，0a π≤<），点(1,0)P ，直

线l 交曲线C 于A ，B 两点，求||||PA PB +的取值范围.

【答案】（1）2

2

:(4)(3)36C x y -+-=（2）

【解析】（1）将2

2

2,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入极坐标方程，即可求出曲线

C 的直角坐标方程；

（2）将直线参数方程代入曲线C 方程，得到关于t 的一元二次方程，记其两根为1,t 2t ，由韦达定理，得出1,t 2t 关系式，根据参数t 的几何意义，将||||PA PB +表示为α的函数，求其最值，即可求出结论. 【详解】

解：（1）2

8cos 6sin 110ρρθρθ---= 化为2

286110x y x y +---=

22:(4)(3)36C x y -+-=；

（2）将直线参数方程与圆C 方程联立得：

26(sin cos )180,t t αα-+-=

236(sin cos )7236sin 21080ααα?=++=+>，

记其两根为1,t 2t ，则12126(sin cos ),18t t t t αα+=-=+，

所以21||||PA PB t t +=-==， 又[0,),απ∈sin 2[1,1],α∈-

||||PA PB ∴+∈，

其中，4

πα

=

取到最大值12，3

4απ=时取到最小值【点睛】

本题考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数方程几何意义的运用，属于中档题.

23．已知不等式|2|||1x x m ---≤对任意x ∈R 成立，记实数m 的最小值为0m . （1）求0m ；

（2）已知实数a ，b ，c 满足：02,a b c m ++=2

2

2

3

16

a b c ++=，求C 的最大值. 【答案】（1）01m =（2）

512

【解析】（1）根据绝对值不等式性质，求出|2|||x x m ---最小值为|2|m -，结合已知可|2|1m -≤，去绝对值，求出m 的取值范围，即可得出结论； （2）由（1）可得12a b c +=-，由柯西不等式得到(

)22

2

(11)()

a b a b ++≥+，再结

合已知可得2232(12)16c c ??-≥-

???

，就出c 的范围，再由22

23016a b c +=

-≥求出c 的范围，两个范围取交集，即可求出结论. 【详解】

解：（1）由绝对值不等式知，

|2|||(2)()x x m x x m ---≤---|2|m =-，

当x m =时等号成立，

由题知|2|1m -≤，即13,m ≤≤01m ∴=；

（2）22212316a b c

a b c +=-??

?+=-??

，

由柯西不等式得(

)22

2

(11)()

a b a b ++≥+，

故2232(12)16c c ??

-≥-

???

， 即(41)(125)0c c --≤， 即

15412

c ≤≤， 又2

2

23016a b c +=

-≥

，c ≤≤ 综上，c 的最大值为

5

12

.

【点睛】

本题考查绝不等式的求解和应用，根据绝对值不等式的性质以及柯西不等式的应用，是解题的关键，属于中档题.