立体几何测试题(文科)
立体几何文科试题
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( )
A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥n
B.若m ?α,n ?α,m ∥β,n ∥β,则α∥β
C.若α⊥β，m ?α,则m ⊥β
D.若α⊥β，m ⊥β，m ?α,则m ∥α
2、已知直线,l m 与平面αβγ，，满足//l l m βγαα=?I ，，和m γ⊥，则有
A ．αγ⊥且l m ⊥
B ．αγ⊥且//m β
C ．//m β且l m ⊥
D ．//αβ且αγ⊥
3.若()0,1,1a =-r ，()1,1,0b =r
，且()
a b a λ+⊥r r r ，则实数λ的值是（ ）
A .－1 B.0 C.1 D.－2
4、已知平面α⊥平面β，α∩β= l ，点A ∈α，A ?l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是（ ） A. AB ∥m B. AC ⊥m C. AB ∥β D. AC ⊥β 5一个几何体的三视图及长度数据如图，则几何体的表面积与体积分别为
()3,27+
A ()328，+B
()2327，+C ()2
3,28+D
6、已知长方体的表面积是2
24cm ，过同一顶点的三条棱长之和是6cm ，则它
的对角线长是（ ）
A. 14cm
B. 4cm
C. 32cm
D. 23cm
7、已知圆锥的母线长5l cm =，高4h cm =，则该圆锥的体积是____________3
cm
A. 12π B 8π C. 13π D. 16π
8、某几何体的三视图如图所示，当b a +取最大值时，这个几何体的体积为 （ ）
A ．
6
1 B ．
31
C ．32
D ．2
1 9、已知,,,A B C D 在同一个球面上,,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若6,AB =213,AC =8AD =,则,B C 两点间的球面距离是 （ ） A.
3π B. 43π C. 23π D. 53
π
10、四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且2CD =，3=AB ，在外接球面上A B ，两点间的球面距离是（ ）
A ．
π6
B ．
π3
C ．
2π3 D ．
5π6
11、半径为2cm 的半圆纸片做成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，它的最高处距桌面（ ） A ．4cm
B ．2cm
C ．cm 32
D ．cm 3
12、 有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示.如果记
3的对面的数字为m ，4的对面的数字为n ，那么m+n 的值为（ ） A ．3 B ．7 C ．8 D ．11
二．填空题：本大题共4个小题。把答案填在题中横线上。
13．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，
底面周长为3，那么这个球的体积为 ________
14、在ABC V 中，13,12,5AB AC BC ===,P 是平面ABC 外一点，
1310
PA PB PC ===
,则P 到平面ABC 的距离是 15、设A B C D 、、、是半径为2的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ?=u u u r u u u r ，0AC AD ?=u u u r u u u r ，0AD AB ?=u u u r u u u r
，用
123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是 .
16、一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为2，2，3，则此球的表面积为 ．
三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、(本小题满分12分)如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90?.E 为BB 1的中点，D 点
在AB 上且DE = 3 .
（Ⅰ）求证：CD ⊥平面A 1ABB 1； （Ⅱ）求三棱锥A 1－C DE 的体积.
18、(本小题满分12分)
如图6，已知四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ， ABCD 是直角梯形，BC AD //，BAD ∠=90o，AD BC 2=． （1）求证：AB ⊥PD ；
（2）在线段PB 上是否存在一点E ，使AE //平面PCD ， 若存在，指出点E 的位置并加以证明；若不存在，请说明理由．
19、(本小题满分12分)如图，四棱锥P —ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD ⊥面ABCD ，且AB=1，AD=2，E 、F 分别为PC 和BD 的中点．
（1）证明：EF ∥面PAD ； （2）证明：面PDC ⊥面PAD ； （3）求四棱锥P —ABCD 的体积．
20、(本小题满分12分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12CC AC BC ===，90ACB ∠=?. （1） 下图给出了该直三棱柱三视图中的主视图，请据此画出它的左视图和俯视图；
（2） 若P 是1AA 的中点，求四棱锥111B C A PC -的体积.
主视图
左视图
俯视图
2
2
A
1
A 1
C C
A
C
D B
P
图6
AB =66,高CD=3，点E是21、(本小题满分12分)如图所示，等腰△ABC 的底边
线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.记BE x
V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积.
（1）求V(x)的表达式；
（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？22.（本小题满分14分）
如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）。（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结'
BC，证明：'
BC∥面EFG。
答案：
G
F
B'
D'
A
D
2
2
4
侧视图
正视图
6
2
4
F
E
A
D
B
C
P
F E
A
D
B
C P
一、选择题
1 D 2、A 3、D 4、D 5、C6、D 7、A. 8、D 9、B 10、C 11、D 12、C 二、填空题 13、
43π 14、39
2
15、8 16、17π 三、解答题
17解：解：(1)在Rt △DBE 中，BE=1，DE= 3 ，∴BD=DE 2－BE 2 = 2 = 12 AB ，∴ 则D 为AB 中点, 而AC=BC ， ∴CD ⊥AB 又∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱, ∴CD ⊥AA 1 又 AA 1∩AB =A 且 AA 1、AB ? 平面A 1ABB 1 故 CD ⊥平面A 1ABB 1 6分 （2）解：∵A 1ABB 1为矩形，∴△A 1AD ，△DBE ，△EB 1A 1都是直角三角形， ∴ 111111A EB DBE AD A ABB A DE A S S S S S ????---=
=2×2 2 －12 × 2 ×2－12 × 2 ×1－12 ×2 2 ×1= 3
2
2
∴ V A 1－CDE =V C －A 1DE = 13 ×S A 1DE ×CD= 13 ×3
2 2 × 2 =1 ∴ 三棱锥A 1－CDE 的体积为１． -------------------------12分
18解：解：（1）∵ PA ⊥平面ABCD ，AB ?平面ABCD ，
∴ PA ⊥AB ． …… 2分 ∵ AB ⊥AD ，PA I AD A =，
∴ AB ⊥平面PAD ， …… 4分
∵ PD ?平面PAD ，∴ AB ⊥PD ． …… 6分 （2）法1: 取线段PB 的中点E ，PC 的中点F ，连结DF EF AE ,,, 则EF 是△PBC 中位线．
∴EF ∥BC ，BC
EF 21
=， ……8分
∵ BC AD //，
BC AD 21=
，
∴EF AD EF AD =,//．
∴ 四边形EFDA 是平行四边形， ……10分
∴ DF AE //．
∵ AE ?平面PCD ，DF ?平面PCD ，
∴ AE ∥平面PCD ． ∴ 线段PB 的中点E 是符合题意要求的点． ……12分 法2: 取线段PB 的中点E ，BC 的中点F ，连结AF EF AE ,,, 则EF 是△PBC 的中位线．
∴EF ∥PC ，
BC CF 21=
，
∵?EF 平面PCD , ?PC 平面PCD ,
∴//EF 平面PCD ． …… 8分
∵ BC AD //，
BC AD 21
=
，
∴CF AD CF AD =,//．∴ 四边形DAFC 是平行四边形， ∴ CD AF //∵ AF ?平面PCD ，CD ?平面PCD ，
∴ AF ∥平面PDC ． ……10分 ∵F EF AF =I ,∴平面//AEF 平面PCD ．∵?AE 平面AEF , ∴AE ∥平面PCD ． ∴ 线段PB 的中点E 是符合题意要求的点． ……12分
19如图，连接AC ，
∵ABCD 为矩形且F 是BD 的中点， ∴AC 必经过F
1分
又E 是PC 的中点，
所以，EF ∥AP 2分
∵EF 在面PAD 外，PA 在面内，∴EF ∥面PAD
4分
（2）∵面PAD ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ，面PAD I 面ABCD=AD ，∴CD ⊥面PAD ，
又AP ?面PAD ，∴AP ⊥CD
6分 又∵AP ⊥PD ，PD 和CD 是相交直线，AP ⊥面PCD 7分 又AD ?面PAD ，所以，面PDC ⊥面PAD
8分
（3）取AD 中点为O ，连接PO ，
因为面PAD ⊥面ABCD 及△PAD 为等腰直角三角形，所以PO ⊥面ABCD ， 即PO 为四棱锥P —ABCD 的高
10分
∵AD=2，∴PO=1，所以四棱锥P —ABCD 的体积12
33V PO AB AD =??=--------12分
解：
（2）解：如图所示. 由1111B C A C ⊥，111B C CC ⊥，则11B C ⊥面11ACC A .所以，四棱锥111B C A PC -的体积为()111111111121222332B C A PC C A PC V B C S -??
=??=??+?=????
.
…3
…6
...10 (12)
21解: (1)11(96) (036)326V x x x =
-???<<即3
636V x x =-(036)x << (2)2266
36(36)V x x '=-
=-,(0,6)x ∴∈时,0;V '> (6,36)x ∴∈时,0;V '< 6x ∴=时()V x 取得最大值.
22 、解： （Ⅰ）如图
······························································································· 4分 （Ⅱ）所求多面体体积
V V V =-长方体正三棱锥
1144622232??
=??-???? ???
2284
(cm )3=
．············································································ 9分 （Ⅲ）证明：在长方体ABCD A B C D ''''-中，
连结AD '，则AD BC ''∥．
因为E G ，分别为AA '，A D ''中点， 所以AD EG '∥， 从而EG BC '∥．又BC '?平面EFG ， 所以BC '∥面EFG ． ·············································································································· 14分
4
6
4
2 2
2
4
6
2
2
（俯视图）
（正视图）
（侧视图）
A
B C
1
A 1
B 1
C P
C A 1
A 主视图左视图俯视图
1C 221C 1A 1
B 22
2C
21
B B 1
C A C D
E F G A ' B ' C ' D '