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人教版勾股定理单元达标检测

一、解答题

1．Rt ABC ?中，90CAB ∠=，4AC =，8AB =，M N 、分别是边AB 和CB 上的动

点，在图中画出AN MN +值最小时的图形，并直接写出AN MN +的最小值为 .

2．已知：四边形ABCD 是菱形，AB ＝4，∠ABC ＝60°，有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD 的顶点A 重合，两边分别射线CB 、DC 相交于点E 、F ，且∠EAP ＝60°．

（1）如图1，当点E 是线段CB 的中点时，请直接判断△AEF 的形状是．（2）如图2，当点E 是线段CB 上任意一点时（点E 不与B 、C 重合），求证：BE ＝CF ；（3）如图3，当点E 在线段CB 的延长线上，且∠EAB ＝15°时，求点F 到BC 的距离．

3．（1）如图1，在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，且点D 在BC 边上滑动（点D 不与点B ，C 重合），连接EC ，

①则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为； ②求证：BD 2+CD 2＝2AD 2；

（2）如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°．若BD ＝9，CD ＝3，求AD 的长．

4．在ABC ?中，90ACB ∠=?，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC 上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线

AB 于点H ．

（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明；（2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由．

5．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题

问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC ，其顶点A ，B ，C 都在格点上，同时构造长方形CDEF ，使它的顶点都在格点上，且它的边EF 经过点A ，ED 经过点B ．同学们借助此图求出了△ABC 的面积．

（1）在图（1）中，△ABC 的三边长分别是AB ＝，BC ＝，AC ＝．△ABC 的面积是．

（2）已知△PMN 中，PM ＝17，MN ＝25，NP ＝13．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN ，并直接写出△RMN 的面积．

6．在ABC ?中，AB AC =，CD 是AB 边上的高，若10,45AB BC ==.

（1）求CD 的长.

（2）动点P 在边AB 上从点A 出发向点B 运动，速度为1个单位/秒；动点Q 在边AC 上从点A 出发向点C 运动，速度为v 个单位秒()v>1，设运动的时间为()0t t >，当点Q 到点C 时，两个点都停止运动.

①若当2v =时，CP BQ =，求t 的值.

②若在运动过程中存在某一时刻，使CP BQ =成立，求v 关于t 的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围.

7．如图，△ABC 中，90BAC ∠=?，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ?<∠

（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).

（3）延长CD 与AP 交于点E,直接用等式表示线段BD 与DE 之间的数量关系.

8．如图1，已知△ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且CD ＝AE ，AD 与BE 相交于点F ．

（1）求证：∠ABE ＝∠CAD ；

（2）如图2，以AD 为边向左作等边△ADG ，连接BG ． ⅰ）试判断四边形AGBE 的形状，并说明理由；

ⅱ）若设BD ＝1，DC ＝k （0＜k ＜1），求四边形AGBE 与△ABC 的周长比（用含k 的代数式表示）．

9．如图， ABD 为边长不变的等腰直角三角形，AB AD =，90BAD ∠=?，在 ABD 外取一点 E ，以A 为直角顶点作等腰直角AEP △，其中 P 在

ABD 内部，90EAP ∠=?，2AE AP ==E 、P 、D 三点共线时，7BP =

下列结论：

①E 、P 、D 共线时，点B 到直线AE 5 ②E 、P 、D 共线时， 13ADP ABP S S ??+=

ABD S ?+③；

④作点 A 关于 BD 的对称点 C ，在 AEP 绕点 A 旋转的过程中，PC 的最小值为

5+232-；

⑤AEP △绕点A 旋转,当点E 落在AB 上，当点P 落在AD 上时，取BP 上一点N ，使得

AN BN =，连接 ED ，则AN ED ⊥．

其中正确结论的序号是___．

10．如图，在△ABC 中，AB ＝30 cm ，BC ＝35 cm ，∠B ＝60°，有一动点M 自A 向B 以1 cm/s 的速度运动，动点N 自B 向C 以2 cm/s 的速度运动，若M ，N 同时分别从A ，B 出发．

(1)经过多少秒，△BMN 为等边三角形； (2)经过多少秒，△BMN 为直角三角形．

11．如图，将一长方形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，动点F 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿OC 向终点C 运动，运动

秒时，动点E 从点A 出发以相同的速度沿AO 向终点O 运动，当点E 、F 其中一点到达终点时，另一点也停止运动．

设点E 的运动时间为t :（秒）

（1）OE =_________，OF =___________（用含t 的代数式表示）

（2）当1t =时，将OEF ?沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标及直线DE 的解析式；

（3）在（2）的条件下，点M 是射线DB 上的任意一点，过点M 作直线DE 的平行线，与x 轴交于N 点，设直线MN 的解析式为y kx b =+，当点M 与点B 不重合时，设

MBN ?的面积为S ，求S 与b 之间的函数关系式．

12．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，动点D 在直线AB （点A 与点B 重合除外）上时，以CD 为一腰在CD 上方作等腰直角三角形ECD ，且90ECD ∠=?，连接AE ．

（1）判断AE 与BD 的数量关系和位置关系；并说明理由．

（2）如图2，若4BD =，P ，Q 两点在直线AB 上且5EP EQ ==，试求PQ 的长．（3）在第（2）小题的条件下，当点D 在线段AB 的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ 的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出PQ 的长；若不是请简单说明理由． 13．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==．（1）若30AED ∠=?，则ADB =∠______．（2）求证：BED CDF △≌△．

（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．

14．如图，已知ABC ?中，90B ∠=?，8AB cm =，6BC cm =，P 、Q 是ABC ?边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C →方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．

（1）当2t =秒时，求PQ 的长；

（2）求出发时间为几秒时，PQB ?是等腰三角形？

（3）若Q 沿B C A →→方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ?成为等腰三角形的运动时间．

15．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．（1）求BF 的长；（2）求CE 的长．

16．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，E 是AB 的中点，连接CE 交AD 于点F ，BD =3，求BF 的长．

17．已知：如图，在ABC ?中，90ACB ∠=，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 与点E . （1）根据题意用尺规作图补全图形（保留作图痕迹）；（2）设,BC m AC n ==

①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根吗？并说明理由. ②若线段2AD EC =，求

的值.

18．已知a ，b ，c 满足88a a -+-＝|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，

（1）求a ，b ，c 的值；

（2）试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．

19．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在ABC ?中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值，可记为22AB AC OA BO ?=-

（1）在ABC ?中，若90ACB ∠=?，81AB AC ?=，求AC 的值．

（2）如图2，在ABC ?中，12AB AC ==，120BAC ∠=?，求AB AC ?，BA BC ?的值．

（3）如图3，在ABC ?中，AO 是BC 边上的中线，24ABC S ?=，8AC =，

64AB AC ?=-，求BC 和AB 的长．

20．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:

(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述); (2)证明勾股定理;

(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2

a b +的值.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、解答题

1．作图见解析，32 5

【分析】

作A点关于BC的对称点A'，A'A与BC交于点H，再作A'M⊥AB于点M，与BC交于点N，此时AN+MN最小，连接AN，首先用等积法求出AH的长，易证△ACH≌△A'NH，可得A'N=AC=4，然后设NM=x，利用勾股定理建立方程求出NM的长，A'M的长即为AN+MN的最小值．

【详解】

如图，作A点关于BC的对称点A'，A'A与BC交于点H，再作A'M⊥AB于点M，与BC交于点N，此时AN+MN最小，最小值为A'M的长．

连接AN，

在Rt△ABC中，AC=4，AB=8，

∴2222

AB AC=84=45

∵11

AB AC=BC AH 22

∴

85 45

∵CA⊥AB，A'M⊥AB，

∴CA∥A'M

∴∠C=∠A'NH，

由对称的性质可得AH=A'H，∠AHC=∠A'HN=90°，AN=A'N 在△ACH和△A'NH中，

∵∠C=∠A'NH，∠AHC=∠A'HN，AH=A'H，

∴△ACH≌△A'NH（AAS）

∴A'N=AC=4=AN，

设NM=x，

在Rt△AMN中，AM2=AN2-NM2=222

416

-=-

x x

在Rt△AA'M中，165

，A'M=A'N+NM=4+x

∴AM 2=AA '2-A 'M 2=()2

1654??-+ ? ?

??x ∴()2

1654=16??-+- ? ?

x x 解得12

x =

此时AN MN +的最小值=A'M=A'N+NM=4+125=325

【点睛】

本题考查了最短路径问题，正确作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键． 2．（1）△AEF 是等边三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）点F 到BC 的距离为3﹣．【解析】【分析】

（1）连接AC ，证明△ABC 是等边三角形，得出AC ＝AB ，再证明△BAE ≌△DAF ，得出AE ＝AF ，即可得出结论；

（2）连接AC ，同（1）得：△ABC 是等边三角形，得出∠BAC ＝∠ACB ＝60°，AB ＝AC ，再证明△BAE ≌△CAF ，即可得出结论；

（3）同（1）得：△ABC 和△ACD 是等边三角形，得出AB ＝AC ，∠BAC ＝∠ACB ＝∠ACD ＝60°，证明△BAE ≌△CAF ，得出BE ＝CF ，AE ＝AF ，证出△AEF 是等边三角形，得出∠AEF ＝60°，证出∠AEB ＝45°，得出∠CEF ＝∠AEF ﹣∠AEB ＝15°，作FH ⊥BC 于H ，在△CEF 内部作∠EFG ＝∠CEF ＝15°，则GE ＝GF ，∠FGH ＝30°，由直角三角形的性质得出FG ＝2FH ，GH ＝FH ，CF ＝2CH ，FH ＝

CH ，设CH ＝x ，则BE ＝CF ＝2x ，FH ＝

x ，GE ＝GF ＝

2FH ＝2x ，GH ＝FH ＝3x ，得出EH ＝4+x ＝2

x +3x ，解得：x ＝

﹣1，求出FH ＝

＝3﹣即可．

【详解】

（1）解：△AEF 是等边三角形，理由如下：连接AC ，如图1所示： ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ＝AD ，∠B ＝∠D ， ∵∠ABC ＝60°，

∴∠BAD ＝120°，△ABC 是等边三角形， ∴AC ＝AB ，

∵点E 是线段CB 的中点， ∴AE ⊥BC ， ∴∠BAE ＝30°， ∵∠EAF ＝60°，

∴∠DAF ＝120°﹣30°﹣60°＝30°＝∠BAE ，在△BAE 和△DAF 中，

，

∴△BAE≌△DAF（ASA），

∴AE＝AF，

又∵∠EAF＝60°，

∴△AEF是等边三角形；

故答案为：等边三角形；

（2）证明：连接AC，如图2所示：

同（1）得：△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，

∵∠EAF＝60°，

∴∠BAE＝∠CAF，

∵∠BCD＝∠BAD＝120°，

∴∠ACF＝60°＝∠B，

在△BAE和△CAF中，

，

∴△BAE≌△CAF（ASA），

∴BE＝CF；

（3）解：同（1）得：△ABC和△ACD是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，

∴∠ACF＝120°，

∵∠ABC＝60°，

∴∠ABE＝120°＝∠ACF，

∵∠EAF＝60°，

∴∠BAE＝∠CAF，

在△BAE和△CAF中，

，

∴△BAE≌△CAF（ASA），

∴BE＝CF，AE＝AF，

∵∠EAF＝60°，

∴△AEF是等边三角形，

∴∠AEF＝60°，

∵∠EAB＝15°，∠ABC＝∠AEB+∠EAB＝60°，

∴∠AEB＝45°，

∴∠CEF＝∠AEF﹣∠AEB＝15°，

作FH⊥BC于H，在△CEF内部作∠EFG＝∠CEF＝15°，如图3所示：

则GE＝GF，∠FGH＝30°，

∴FG＝2FH，GH＝FH，

∵∠FCH＝∠ACF﹣∠ACB＝60°，

∴∠CFH＝30°，

∴CF＝2CH，FH＝CH，

设CH＝x，则BE＝CF＝2x，FH＝x，GE＝GF＝2FH＝2x，GH＝FH＝3x，

∵BC＝AB＝4，

∴CE＝BC+BE＝4+2x，

∴EH＝4+x＝2x+3x，

解得：x＝﹣1，

∴FH＝x＝3﹣，

即点F到BC的距离为3﹣．

【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．

3．（1）①BC＝DC+EC，理由见解析；②证明见解析；（2）6.

【解析】

【分析】

(1)证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答;

(2)根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ACE＝∠B，得到∠DCE＝90°，根据勾股定理计算即可;

(3)作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE＝9，根据勾股定理计算即可.

【详解】

（1）①解：BC＝DC+EC，理由如下：

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，

即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中，，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝EC，

∴BC＝DC+BD＝DC+EC，；

故答案为：BC＝DC+EC；

②证明：∵Rt△ABC中，AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

由（1）得，△BAD≌△CAE，

∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，

∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，

∴CE2+CD2＝ED2，

在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，

又AD＝AE，

∴BD2+CD2＝2AD2；

（2）解：作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，如图2所示：

∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，

即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD与△CAE中，，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE＝9，

∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，

∴∠EDC＝90°，

∴DE＝＝＝6，

∵∠DAE＝90°，

∴AD＝AE＝DE＝6．

【点睛】

本題是四边形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、等直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形的判定等知识:本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键.

，证明见解析；（2）依然成立，点E与点C之间的距离为4．（1）CF FH

333-．理由见解析.

【分析】

（1）做辅助线，通过已知条件证得ADG 与DEF 是等腰直角三角形．证出

CEF FGH ≌，利用全等的性质即可得到CF FH =.

（2）设AH ，DF 交于点G ，可根据ASA 证明△FCE ≌△HFG ，从而得到CF FH =，当

ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==．利用勾股定理可以求DE 、CE 的长，即可求出CE 的长，即可求得点E 与点C 之间的距离．【详解】

（1）CF FH =

证明：延长DF 交AB 于点G

∵在ABC △中，90ACB ∠=?，6AC BC ==， ∴45A B ∠=∠=?

∵DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，

∴90EDF ∠=?，ADG 与DEF 是等腰直角三角形．

∴45AGD DEF ∠=∠=?，AD DG =，90DCF CFD ∠+∠=?， ∴135CEF FGH ∠=∠=?，

∵点D 是AC 的中点，∴1

CD AD AC ===，∴CD DG =

∴CE FG =

∵FH CF ⊥于点F ，∴90CFG ∠=?，∴90GFH CFD ∠+∠=? ∴DCF GFH ∠=∠ ∴CEF FGH ≌ ∴CF FH =；

（2）依然成立

理由：设AH ，DF 交于点G ，由题意可得出：DF=DE ， ∴∠DFE=∠DEF=45°， ∵AC=BC ， ∴∠A=∠CBA=45°， ∵DF ∥BC ，

∴∠CBA=∠FGB=45°，

∴∠FGH=∠CEF=45°，

∵点D为AC的中点,DF∥BC，

∴DG=1

BC,DC=

AC，

∴DG=DC，

∴EC=GF，

∵∠DFC=∠FCB，

∴∠GFH=∠FCE，

在△FCE和△HFG中

CEF FGH

EC GF

ECF GFH

∠=∠

?∠=∠

，

∴△FCE≌△HFG(ASA)，

∴HF=FC.

由（1）可知ABC

△和CFH

△均为等腰直角三角形

当他们面积相等时，6

CF AC

==．

∴2233

DE DF CF CD

==-=

∴333

CE DE DC

=-=-

∴点E与点C之间的距离为333

-．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，学会利用全等和等腰三角形的性质，借助勾股定理解决问题.

5．（1131710，

；（2）图见解析；7．

【分析】

（1）利用勾股定理求出AB，BC，AC，理由分割法求出△ABC的面积．

（2）模仿（1）中方法，画出△PMN，利用分割法求解即可．

【详解】

解：（1）如图1中，AB22

AE BE

+22

+13BC22

BD CD

2214+＝17，AC ＝22AF CF +＝2213+＝10，

S △ABC ＝S 矩形DEFC ﹣S △AEB ﹣S △AFC ﹣S △BDC ＝12﹣3﹣32﹣2＝112

，故答案为13，17，10，11

．（2）△PMN 如图所示．

S △PMN ＝4×4﹣2﹣3﹣4＝7，故答案为7．【点睛】

此题重点考查学生对勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键. 6．（1）CD=8；（2）t=4；（3）12-=t

v t

(26t ≤<) 【分析】

（1）作AE ⊥BC 于E ，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=1

BC ，然后利用勾股定理求出AE ，再用等面积法可求出CD 的长；

（2）①过B 作BF ⊥AC 于F ，易得BF=CD ，分别讨论Q 点在AF 和FC 之间时，根据△BQF ≌△CPD ，得到PD=QF ，建立方程即可求出t 的值；

（3）同（2）建立等式关系即可得出关系式，再根据Q 在FC 之间求出t 的取值范围即可. 【详解】

解：（1）如图，作AE ⊥BC 于E ，

∵AB=AC ， ∴BE=

BC=25在Rt △ABE 中，

()2

222

AE=AB BE=1025=45

∵△ABC的面积=11

BC AE=AB CD 22

∴

BC AE4545 CD===8

AB10

（2）过B作BQ⊥AC，当Q在AF之间时，如图所示，

∵△ABC的面积=11

AC BF=AB CD

??，AB=AC

∴BF=CD

在Rt△CPD和Rt△BQF中

∵CP=BQ，CD=BF，

∴Rt△CPD≌Rt△BQF（HL）

∴PD=QF

在Rt△ACD中，CD=8，AC=AB=10∴22

AD=AC CD=6

同理可得AF=6

∴PD=AD=AP=6-t，QF=AF-AQ=6-2t 由PD=QF得6-t=6-2t，解得t=0，∵t＞0，

∴此种情况不符合题意，舍去；当Q点在FC之间时，如图所示，

此时PD=6-t，QF=2t-6

由PD=QF 得6-t=2t-6，解得t=4，综上得t 的值为4.

（3）同（2）可知v ＞1时，Q 在AF 之间不存在CP=BQ ，Q 在FC 之间存在CP=BQ ，Q 在F 点时，显然CP ≠BQ ，

∵运动时间为t ，则AP=t ，AQ=vt ， ∴PD=6-t ，QF=vt-6，由PD=QF 得6-t=vt-6，整理得12-=

v t

， ∵Q 在FC 之间，即AF ＜AQ ≤AC ∴610<≤vt ，代入12-=

v t

得 61210<-≤t ，解得26t ≤<

所以答案为12-=t

v t

(26t ≤<) 【点睛】

本题考查三角形中的动点问题，熟练掌握勾股定理求出等腰三角形的高，利用全等三角形对应边相等建立方程是解题的关键.

7．（1）见解析；（2）∠ADC=45α?+；（3）2BD DE =

【分析】

（1）根据题意画出图形即可；

（2）根据对称的性质，等腰三角形的性质及角与角之间的和差关系进行计算即可；（3）画出图形，结合（2）的结论证明△BED 为等腰直角三角形，从而得出结论. 【详解】

解：（1）如图所示；

（2）∵点B 与点D 关于直线AP 对称，∠BAP=α， ∴∠PAD=α，AB=AD ， ∵90BAC ∠=?， ∴902DAC α∠=?-，

又∵AB=AC ， ∴AD=AC ，

∴∠ADC=

[180(902)]2

α??-?-=45α?+；（3）如图，连接BE ，

由（2）知：∠ADC=45α?+， ∵∠ADC=∠AED+∠EAD ，且∠EAD=α， ∴∠AED=45°，

∵点B 与点D 关于直线AP 对称，即AP 垂直平分BD ， ∴∠AED=∠AEB=45°，BE=DE ， ∴∠BED=90°，

∴△BED 是等腰直角三角形， ∴22222BD BE DE DE =+=， ∴2BD DE =.

【点睛】

本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，明确角与角之间的关系，学会添加常用辅助线构造直角三角形是解题的关键.

8．（1）详见解析；（2）ⅰ）四边形AGBE 是平行四边形，证明详见解析；ⅱ）

22133k k k k ++++.

【解析】【分析】

（1）只要证明△BAE ≌△ACD ；

（2）ⅰ）四边形AGBE 是平行四边形，只要证明BG=AE ，BG ∥AE 即可； ⅱ）求出四边形BGAE 的周长，△ABC 的周长即可；【详解】

（1）证明：如图1中，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，

∵AE＝CD，

∴△BAE≌△ACD，

∴∠ABE＝∠CAD．

（2）ⅰ）如图2中，结论：四边形AGBE是平行四边形．

理由：∵△ADG，△ABC都是等边三角形，

∴AG＝AD，AB＝AC，

∴∠GAD＝∠BAC＝60°，

∴△GAB≌△DAC，

∴BG＝CD，∠ABG＝∠C，

∵CD＝AE，∠C＝∠BAE，

∴BG＝AE，∠ABG＝∠BAE，

∴BG∥AE，

∴四边形AGBE是平行四边形，

ⅱ）如图2中，作AH⊥BC于H．

∵BH＝CH＝1 (1) 2

∴

1113 1(1),31) 222

DH k k AH BH k =-+=-==+

∴222

AH DH k k1

AD=+=++

∴四边形BGAE的周长＝2

2k k1

k+++,△ABC的周长＝3（k+1），

∴四边形AGBE与△ABC

221 k k k

+++

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 9．②③⑤ 【分析】

①先证得ABE ADP ?，利用邻补角和等腰直角三角形的性质求得90PEB ∠=?，利

用勾股定理求出BE ，即可求得点B 到直线AE 的距离；

②根据①的结论，利用APD ABP ABE APB S S S S ???+=+AEP BEP S S ??=+即可求得结论；

③在Rt

AHB 中，利用勾股定理求得2AB ，再利用三角形面积公式即可求得ABD S ?；

④当A P C 、、共线时，PC 最小，利用对称的性质，AB BC =的长，再求得AC 的长，即可求得结论；

⑤先证得ABP ADE ?，得到ABP ADE ∠=∠，根据条件得到ABP NAB ∠=∠，利用互余的关系即可证得结论．【详解】

①∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，

∴90BAD ∠=?，90EAP ∠=?，AB AD =，AE AP =，45APE AEP ∠=∠=?， ∴EAB PAD ∠=∠，

∴

()ABE ADP SAS ?，

∴180********AEB APD APE ∠=∠=?-∠=?-?=?， ∴1354590PEB AEB AEP ∠=∠-∠=?-?=?， ∴222PE BE PB +=， ∵2AE AP ==，90EAP ∠=?，

∴22PE AE =

=，

∴()

27BE +=

，

解得：3BE =，

作BH ⊥AE 交AE 的延长线于点H ，

∵45AEP ∠=?，90PEB ∠=?，

∴180180904545HEB PEB AEP ∠=?-∠-∠=?-?-?=?， ∴26

sin 453

HB BE =?==

，