第一章 质点运动学(答案)

第一章

质点运动学

一. 选择题:

［ C ］1、[基础训练1]如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的

运动是 (A) 匀加速运动． (B) 匀减速运动．

(C) 变加速运动． (D) 变减速运动． (E) 匀速直线运动． 【提示】如图建坐标系，设船离岸边x 米，

222l h x =+，22dl dx

l

x

dt dt

=， 22dx l dl x h dl dt x dt x dt +==，0dl

v dt

=-，

2

2

0dx h x

v i v i dt x

+=

=- 2203v h dv dv dx

a i dt dx dt x

==?=-

可见，加速度与速度同向，且加速度随时间变化。

［ B ］2、[基础训练2]一质点沿x 轴作直线运动，其v t 曲线如图所示，如t =0时，质点位于坐标原点，则t = s 时，质点在x 轴上的位置为 (A) 5m ． (B) 2m ． 《

(C) 0． (D) 2 m ．

(E) 5 m. 【提示】质点在x 轴上的位置即为这段时间内v-t 曲线下的面积的代数和。

4.50

(1 2.5)22(21)122()s

x vdt m =

=+?÷-+?÷=?

［ D ］3、[基础训练4] 质点作曲线运动，r 表示位置矢量，v 表示速度，a

表示加速度，s 表示路程，t a 表示切向加速度分量，下列表达式中， (1) a t = d /d v ， (2) v =t r d /d ，

(3) d d /t =s v ， (4) t a t =d /d v

．

(A) 只有(1)、(4)是对的． (B) 只有(2)、(4)是对的． (C) 只有(2)是对的． (D) 只有(3)是对的． ^

【提示】根据定义式d d t =s v ，d d t a t

=v

，d d a a t ==v 即可判断。

［ C ］4、[基础训练6]一飞机相对空气的速度大小为 200 km/h, 风速为56 km/h ，

1 4.54

32.52

-1

12

t v (m/s)

v

；

x

o

x

l

h

n a

t

a

[

方向从西向东．地面雷达站测得飞机速度大小为 192 km/h ，方向是

(A) 南偏西°；(B) 北偏东°；

(C) 向正南或向正北； (D) 西偏北°； (E) 东偏南°．

【提示】根据三个速率的数值关系，以及伽利略速度变换式=+v v v →→→机地机空气空气地，可以画出三个速度之间的矢量关系，如图所示。

=200km/h, 56/, =192km/h km h v v v →→→=机空气空气地机地,根据余弦定理，

222200=56192256192cos θ+-??，解得cos =0θ，所以=2

π

θ±

.

￥

［ C ］5、[自测提高6]某物体的运动规律为t k t 2

d /d v v -=，式中的k 为大于零的

常量．当0=t 时，初速为v 0，则速度v 与时间t 的函数关系是

(A) 0221v v +=

kt , (B) 022

1

v v +-=kt , (C) 02121v v +=kt , (D) 0

21

21v v +

-=kt 【提示】t k t 2

d /d v v -=，分离变量并积分，020

v t

v dv ktdt v =-??，得021

21v v +=kt .

［ B ］6、[自测提高7]在相对地面静止的坐标系内，A 、B 二船都以2 m/s 速率匀速行驶，A 船沿x 轴正向，B 船沿y 轴正向．今在A 船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x 、y 方向单位矢用i 、j

表示)，那么在A 船上的坐标系中，B 船的速度（以m/s 为单位）

为

(A) 2i ＋2j ． (B) 2i ＋2j ． (C) －2i －2j ． (D) 2i －2j ．

【提示】B A 对v =B 对v 地+A 对v 地 =B 对v 地-A 对v 地 =2222 (/)j i i j m s -=-+.

二. 填空题

1、[基础训练10 ] 一物体作如图所示的斜抛运动，测得

在轨道A 点处速度v

的大小为v ，其方向与水平方向夹角成30°，则物体在A 点的切向加速度a t = -0.5g

，轨道的曲率半径2

23

3v

g

?.（重力加速度为g ） 【提示】如图，将重力加速度分解为切向加速度分量和法向加速度分量，得

v 30°

A

v →机地

v →空气地

v →机v →空气地

v →机空气

v →机地

θ

θ

2

2

sin 300.5, cos 30 cos 30t n v v a g g a g g ρρ=-=-==∴=

2、[基础训练12 ]一质点沿直线运动,其运动学方程为x = 6 t －t 2 (SI)，则在t 由0至4s

的时间间隔内，质点的位移大小为 8 () m ，在t 由0到4s 的时间间隔内质点走过的路程为 10 () m ．

【提示】（1）x = 6 t －t 2 (SI)，位移大小()

24064408 ()r x x m ?=-=?--=；

（2）62x dx

v t dt

=

=-，可见，t<3s 时，x v >0；t=3s 时，x v =0；而t>3s 时，x v <0；所以，路程=()()()3034()909810 ()x x x x m -+-=-+-=

…

3、[基础训练13 ]在x 轴上作变加速直线运动的质点，已知其初速度为0v ，初始位置为

x 0，加速度2

Ct a =（其中C 为常量），则其速度与时间的关系为=v 3

0 3

C v t +

，运动学方程为=x 4

00 + 12

C x v t t +

． 【提示】（1）2

dv a Ct dt ==，02

v

t

v dv Ct dt =??，得：303C v v t =+.

（2）303C dx v v t dt =+=，03003x t

x C dx v t dt ?

?=+ ??

???，得：400+12C x x v t t =+

.

4、[自测提高9 ]一质点从静止出发沿半径R=1m 的圆周运动，其角加速度随时间t 的变化规律为2

126 (SI)t t β=-，则质点的角速度ω =3

2

43 (/) t t rad s -；加速度切向分量a t =2

2

126 (/) t t m s -。

【提示】（1）2

126d t t dt ωβ=-=，()

200

126t

d t t dt ωω=-??，3243 (/)t t rad s ω=-；

（2）22126 (/)t a R t t m s β==-；

5、[自测提高11]一质点从O 点出发以匀速率1 cm/s 作顺时针转向的圆周运动，圆的半径为1 m ，如图所示．当它走过2/3圆周时，走过的路程是

__4π/3= （m ），这段时间

内的平均速度大小为3

)=4.1310(/) m s π-?，方向是__与x 轴正方向逆时

针成600．

【提示】24S 2R (m);33

π

π=

?=路程 <

v

0r 2cos3033

v m /s S t 400v

π??===?平均速度大小（）

； 方向如图。

6、[自测提高14 ]小船从岸边A 点出发渡河，如果它保持与河岸垂直向前划，则经过时间t 1到达对岸下游C 点；如果小船以同样速率划行，但垂直河岸横渡到正对岸B 点，则需与A 、B 两点联成的直线成角逆流划行，经过时间t 2到达B 点．若B 、C 两点间距为S ，

则(1) 此河宽度l =22

2

21 t t -；(2) =()112 cos / t t -或22

21

1

2sin t t -???????

?

-。 【提示】设小船速度为v ，水流速度为u ，如图。 （1）保持与河岸垂直向前划时，

1 l vt =……①； 1S ut =……②；

（2）成角逆流划行时，

()2cos l v t α=……③； sin u v α=……④.

;

联立①和③得：

()()11212cos /, cos /t t t t αα-=∴=；

联立②和④，可求出

()()

1122

12sin 1cos 1S t S t u v t t αα

=

==-??- ???

再代入①得：22

22

1

l t t

=-.

三．计算题

1、[基础训练16 ]有一质点沿x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为x = t 2 – 2 t 3 (SI) ．试求：

(1) 第2秒内的平均速度； (2) 第2秒末的瞬时速度； (3) 第2秒内的路程． '

解：（1）t 1=1s: x 1=2.5m; t 2=2s: x 2=2m ;

∴ 21212 2.5

0.5(/)21

x x v i i i m s t t --=

==--- （2）,)69(2

i t t i dt

dx v -== )/(6)4629(22s m i i v s t -=?-?==∴时，

B

S

C l

(1)垂直前划 (2) 成角逆流划

v

v u

u

α

A A

（3）令0)69(2

=-=i t t v ， 得：' 1.5t s =. 此时x’=3.375m;

∴第二秒内的路程s=(x ’-x 1)+(x ’-x 2)=（）+=2.25m

2、[基础训练19 ]质点沿半径为R 的圆周运动，加速度与速度的夹角?保持不变，求该质点的速度随时间而变化的规律，已知初速为0v 。

解：,n t a tg a ?= 将t dv

a dt

=，2n v a R =代入，得2dv v dt Rtg ?=，

分离变量并积分：

002000

11, v

t

v v Rtg dv dt t

v v Rtg v v Rtg Rtg v t ????=-+=∴=-?? —

4、[自测提高15 ]质点按照2

12

s bt ct =-

的规律沿半径为R 的圆周运动，其中s 是质点运动的路程，b 、c 是常量，并且b 2 >cR 。问当切向加速度与法向加速度大小相等时，质点运动了多少时间

解：212s bt ct =-，ds

v b ct dt

==-，

切向加速度大小t dv a c c dt ==-=，法向加速度大小2

n v a R

=； 当切向加速度与法向加速度大小相等时：2

v cR =，v cR =±，即b ct cR -=±，

得1b cR t -=

；

2b cR

t +=

。 讨论：若s 是路程，则v>0，只有t 1一个解。

4、[自测提高17 ] 一敞顶电梯以恒定速率v 10 m/s 上升．当电梯离地面h =10 m 时，一小孩竖直向上抛出一球．球相对于电梯初速率200=v m/s ．试问： (1) 从地面算起，球能达到的最大高度为多大 —

(2) 抛出后经过多长时间再回到电梯上

解：(1) 根据伽利略速度变换式对对对v v v =+球地球梯梯地，可得球相对地面的初速度：方向

向上，大小为

2010对v =+=球地30 m/s

球到达最高点时，对地的速度为零。可得最大高度为

245.92对v h g

=

=球地

m/s

离地面高度为

H = +10) m =55.9 m

(2) 以地面作为参考系：球回到电梯上时，电梯上升的高度＝球上升的高度，即

21

2

v v 对对t t gt =-梯地球地

$

解得： 0

2v 0 4.08t t g

===（舍去）

或 s

【若以电梯作为参考系：则00v v gt -=-】

附加题：[ 自测提高16 ] 一飞机相对于空气以恒定速率v 沿正方形轨道飞行，在无风天气

其运动周期为T ．若有恒定小风沿平行于正方形的一对边吹来，风速为)1(<<=k k V v ．求飞机仍沿原正方形（对地）轨道飞行时周期要增加多少．

解：如图，设风对地v kvj =，正方形边长为L ，根据+风对地机对地

机对风v v v =求解。

（1）A →B ，

机对地v =

==

AB L t v ∴=

=

=机对地

； （2）B →C ，()1机对地v v kv k v =-=-，

()()

141BC L L T t v v k k ∴=

=

=--机对地

；

（3）C →D 的飞行时间与A →B 的飞行时间相等，CD AB t t =； （4）D →A ，()1机对地v v kv k v =+=+

()()

141DA L L T

t v v k k ∴=

=

=++机对地

所以，有恒定小风时飞行周期为'AB BC CD DA T t t t t =+++， 与无风时相比，周期增加了'T T T ?=-

。根据上述计算结果，可得

()(

)222

121211

221T k T k T k ?

--?

??=-??=-?

-?

因为1k

<<和

2

11k

-展开，并保留到2

k 项，得

2

22

131122

24T k T T k k ???≈

+++-≈????

x

y

A

B

C

风对地v 机对风

v 风对地

v 机对风

v 机对地v 机对地v