拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用

目录

引言 ............................................... 错误!未定义书签。

1 拉普拉斯变换以及性质 (1)

拉普拉斯变换的定义 ...................................................................................... 错误!未定义书签。拉普拉斯变换的性质 ...................................................................................... 错误!未定义书签。

2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 ........................... 错误!未定义书签。

3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 ........................... 错误!未定义书签。初值问题与边值问题 ...................................................................................... 错误!未定义书签。常系数与变系数常微分方程........................................................................ 错误!未定义书签。含 函数的常微分方程.................................................................................. 错误!未定义书签。常微分方程组 .................................................................................................... 错误!未定义书签。拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 ........................ 错误!未定义书签。拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广 ...................................... 错误!未定义书签。

4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 ........................... 错误!未定义书签。齐次与非齐次偏微分方程............................................................................. 错误!未定义书签。有界与无界问题................................................................................................ 错误!未定义书签。

5 综合比较，归纳总结 ............................................................... 错误!未定义书签。结束语 ........................................................................................... 错误!未定义书签。参考文献 ....................................................................................... 错误!未定义书签。英文摘要 (21)

致谢 ............................................................................................... 错误!未定义书签。

拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用

物理系0801班 学 生 岳艳林 指导老师 韩新华

摘 要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯

变换的定义及性质；其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含δ函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。

关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解 引言

傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在+∞<<∞-t 内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 为自变量的函数通常在0t <时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换[1]。

1 拉普拉斯变换以及性质 拉普拉斯变换的定义

设函数()f t 当0t ≥时有定义，而且积分

()st f t e dt +∞

-?

(s 是一个复参量)在s 的某

一区域内收敛，则此积分所确定的函数可写为0

()()st F s f t e dt +∞

-=

?

.我们称上式为

函数()f t 的Laplace 变换式.记为()[()]F s L f t =,()F s 称为()f t 的Laplace 变换（或称为象函数）.

若()F s 是()f t 的Laplace 变换，则称()f t 为()F s 的Laplace 逆变换（或称为象原函数），记为1()[()]f t L F s -=[2].

Laplace 变换的存在定理 若函数()f t 满足下列条件:

1?在0t ≥的任一有限区间上分段连续；

2?当t →+∞时，()f t 的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数0M >及0c ≥，使得c ()0f t Me t ≤≤<+∞ｔ，成立（满足此条件的函数，称它的增大是不超过指数级的，c 为它的增长指数）.

则()f t 的Laplace 变换0

()st F f t e dt +∞

-?（s ）=在半平面Re()s c >上一定存在，右

端的积分在1Re()s c c ≥>的半平面内,()F s 为解析函数[2]. 拉普拉斯变换的性质

⑴线性性质 若αβ，是常数，11[()]()L f t F s =, 22[()]()L f t F s =,

则有1212[()()][(t)]+[()]L f t f t L f L f t αβαβ+=,

1111212[()()][(s)]+[()]L F s F s L F L F s αβαβ---+=.

⑵微分性质 若[()]()L f t F s =,则有'[()]()(0)L f t sF s f =-. 高阶推广 若[()]()L f t F s =,则有2'[()]()(0)(0)L f t s F s sf f ''=--.

一般，12'(2)(1)[()]()(0)(0)(0)(0)n n n n n n L f t s F s s f s f sf f ----=---???--.

⑶积分性质 若[()]()L f t F s =,则0

1

[()][()]t

L f t dt L F s s

=

?. ⑷位移性质 若[()]()L f t F s =，则[()]()(Re())at L e f t F s a s a c =-->. ⑸延迟性质 若[()]()L f t F s =,又0t <时()=0f t ,

则对于任一非负实数τ，

有[()]()s L f t e F s ττ--=,或1[()]()s L e F s f t ττ--=-[2].

⑹相似性性质 若[()]()L f t F s =,则1[()]()s L f at F a a

=

. ⑺卷积性质 若11[()]()L f t F s =,22[()]()L f t F s =，

则11212[()()]()()L f t f t F s F s *=，

其中112120()()()()t

f t f t f f t d τττ*≡-?称为)(1t f 与)(2t f 的卷积[3].

由于从定义以及性质求拉普拉斯变换或拉普拉斯逆变换困难且复杂，在控制工程中，常常通过查阅已编好的“拉氏变换对照表”来实现。拉氏变换对照表列

出了工程上常用的时间函数及其对应的拉氏变换，可以根据该表查找原函数的象函数，或者从象函数查找原函数。对于表中不能找到的形式，可以把它展开成部分分式，再求拉普拉斯变换或拉普拉斯逆变换。以下是本文将用到的几种常用的拉普拉斯变换函数对[3]:

表一：拉普拉斯变换函数表

2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤

像其他方法求解微分方程一样，应用拉普拉斯变换求解微分方程也有规范的步骤，其一般步骤[4]如下：

1、根据自变量的变化范围和方程及其定解条件的具体情况来决定对哪一个自变量进行拉普拉斯变换，然后对线性微分方程中每一项取拉普拉斯变换，使微分方程变为s的代数方程；

2、解象函数的代数方程，得到有关变量的拉普拉斯变换表达式，即象函数；

3、对象函数取拉普拉斯逆变换，得到微分方程的时域解。

流程图法[5]如下：

图一：拉普拉斯变换求解微分方程的流程图

拉普拉斯变换在物理和工程等领域有着广泛的应用，通过拉普拉斯变换，可以方便地对线性控制系统进行分析、研究，可以对一些级数进行求和，还可以求解微分方程[1]。接下来重点讨论拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用。

3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 初值问题与边值问题

例：求解初值问题''''43,(0)(0)1t y y y e y y -++===[2]. 解：设)],([)(t y L s Y =对方程两边同时取拉普拉斯变换，有

2'1[()(0)(0)]4[()(0)]3()1

s Y s sy y sY s y Y s s --+-+=

+, 结合初始条件，有21[()1]4[()1]3()1

s Y s s sY s Y s s --+-+=

+, 整理展开成部分分式，有22266711131

()(1)(3)412(1)43

s s Y s s s s s s ++==?+?-?

+++++. 由拉普拉斯变换函数表1

1[]t L e s λλ-=-,可知11[]1t

L e s --=+,131[]3t L e s --=+.

由拉普拉斯变换函数表11!

[]n n n L t s

-+=,并结合位移性质[()]()t L e f t F s λλ-=+，

可知1

2

1[

](1)t

L te s --=+， 对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为

1337131

()[()][(72)3]4244

t t t t t y t L Y s e te e t e e ------==+-=+-。

微分方程的解

取拉普拉斯变换

解代数方程

原函数 象函数

微分方程

象函数的代数方程

例：求解边值问'''0,(0)0,(2)1y y y y π-===[2]. 解：设)],([)(t y L s Y =对方程两边同时取拉普拉斯变换，有

,0)()]0()0()(['2=---s Y y sy s Y s

结合初始条件，有,0)()]0()(['2=--s Y y s Y s

整理展开成部分分式，有),11

11(21)0(1)0()('2'+--=-=s s y s y s Y

由拉普拉斯变换函数表,]1[

1

t e s L λλ=--可知,]11[1t e s L =--.]1

1

[1t e s L -=+- 对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为

.sinh )0())(0(2

1)]([)(''

1t y e e y s Y L t y t t =-=

=-- 为了确定)0('y ，将条件1)2(=πy 代入上式可得,2sinh 1

)0('π

=y

所以，方程的解为.2sinh sinh )(π

t

t y =

常系数与变系数常微分方程

例：求解常系数微分方程2)1(,0)0(,02'''===+-y y y y y [2]. 解：设)],([)(t y L s Y =对方程两边同时取拉普拉斯变换，有

,0)()]0()([2)]0()0()(['2=++---s Y y s sY y sy s Y s 结合初始条件，有,0)()]([2)]0()(['2=+--s Y s sY y s Y s

整理展开成部分分式，有,)1()

0(12)0()(2

'2'-=+-=s y s s y s Y 由拉普拉斯变换函数表,]![1

1

n n t s

n L =+-并结合位移性质),()]([λλ+=-s F t f e L t

可知.])

1(1

[

2

1

t te s L =-- 对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为,)0()]([)('1t te y s Y L t y ==- 为了确定)0('y ，将条件2)1(=y 代入上式可得,2)0('e

y = 所以，方程的解为.22)]([)(11--==

=t t

te te e

s Y L t y

例：求解变系数微分方程

''''0020,(0)1,(0),(ty y ty y y c c ++===为常数）

[2]. 解：设)],([)(t y L s Y =对方程两边同时取拉普拉斯变换，,0][][2]['''=++ty L y L ty L

即,0][4][]['

''=++ty L y L ty L

亦即,0)()]0()([2)]0()0()(['2=--+---

s Y ds

d

y s sY y sy s Y s ds d 两边积分可得,0)()]0()([2)]0()()(2[2=--++--s Y ds

d

y s sY y s Y ds d s s sY

结合初始条件，有,0)(]1)([2]1)()(2[2=--++--s Y ds

d

s sY s Y ds d s s sY

整理可得,11

)s (2+-=s Y ds d

两边积分可得,arctan )(c s s Y +-=

欲求待定系数c,可利用0)(lim =∞→s Y s ，所以从2π=

c ，s

s s Y 1

arctan arctan 2)(=-=

π

，

由拉普拉斯变换函数表,sin 1][arctan 1at t s a L =-可知.sin 1

][arctan 1t t

s L =-

对方程两边同时求反演，可得方程的解为.sin 1

)]([)(1t t s Y L t y ==-

含δ函数的常微分方程

例：质量为m 的物体挂在弹簧系数为k 的弹簧一端，当物体在0t =时在x 方向受到冲击力()()f t A t δ=(t),其中A 为常数。若物体自静止平衡位置0x =处开始运动，求该物体的运动规律()x t [2].

解：根据牛顿定律，有,)(''kx t f mx -=

其中kx -由胡克定律所得，是使物体回到平衡位置的弹簧的恢复力。所以，

物体运动的微分方程为

.0)0()0(),0)(('

''==≥=+x x t t f kx mx 且 这是二阶常系数非齐次微分方程，对方程两边取拉普拉斯变换，设

,)]([)]([),()]([A t A L t f L s X t x L ===δ并考虑到初始条件，则得

,)()(2A s kX s X ms =+ 如果记,2

0m

k

=

ω有.1)(202

ω+?=s m A s X

由拉普拉斯变换函数表,sin ][

2

21t s L ωω

ω

=+-可知.sin 1

]1[00

2

2

1t s L ωωω=+-

对方程两边同时取反演，从而方程的解为.sin )(00

t m A

t x ωω=

可见，在冲击力作用下，运动为一正弦振动，振幅是,0

ωm A

角频率是,0ω称0

ω为该系统的自然频率（或称固有频率）。 常微分方程组

例：求解三维常微分方程组

'''''''

''0,0,(0)1,(0)(0)(0)(0)(0)00,x x y z x y y z x y z x y z x y z z ?-++=?+-+=======??++-=?

[2] 解：设)],([)(t x L s X =)],([)(t y L s Y =)],([)(t z L s Z =对方程组的两个方程两边分别取拉普拉斯变换并结合初始条件，有

??

???=-++=+-+=-+-.0)()1()()(0)()()1()(,0)()()()1(22

2s Z s s Y s X s Z s Y s s X s Z s Y s X s 解该方程组，整理展开成部分分式，有

???

?

??

?+?+-?-=-+-==+?+-?=-+=.131231)2)(1()()(,131232)2)(1()(22222

2223s s s s s s s s Z s Y s s s s s s s s X 取其逆变换，可得原方程组的解

???

???

?

+-==+=.cos 31)2cosh(31)()(,cos 3

1)2cosh(32)(t t t z t y t t t x 拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用

形如)('1)1(1)(x f y a y a y a y n n n n =++???++--的方程称为n 阶常系数非齐次线性微分方程，这里n n a a a a ,,,1,21-???为常数，()f x 为连续函数。我们平时用到的

()f x 主要有三种形式：()x f x e λ=,

212()()(())x n n f x e p x p x p x p x p x λ==+++L 其中,

()sin ()cos f x x f x x λλ==、[6].

该非齐次微分方程的解即该非齐次微分方程的特解与对应的齐次微分方程的通解。对于该方程的通解可用多种方法求特解，如：比较系数法、常数变易法、算子法等。下面将用拉普拉斯变换法求解该方程的特解。

设)],([)()],([)(x f L s F t y L s Y ==为求特解令初始条件为零，对方程两边同时取拉普拉斯变换，得到n

n n n a s a s a s s F s Y ++++=--11

1)

()(Λ，下面结合f(x)的三种形式分别作介绍。 （1）x e x f λ=)( 此时，)

)((1

)(11

1n n n n

a s a s

a s s s Y ++++-=

--Λλ，

对其进行部分分式分解，令)()(11

121n n n n

n n a s a s a s D

Cs Bs s A s Y ++++++++-=----ΛΛλ， 则该齐次微分方程特解的形式与自由项f(x)有关，也就是说与变换项

λ

-s A

有关；对应的齐次微分方程的通解由)(11

121n n n n n n a s a s a s D

Cs Bs +++++++----ΛΛ决定，只要该项分母中不含有特解因子λ-s ，则特解只取决于λ

-s A [7]。

若,0111≠++++=--λ

s n n n n a s a s a s Λ

则λ

λ=--*++++=

-=s n n n n a s a s

a s x Y s A )

(1

)()(11

1Λ，

即相应的拉普拉斯变换特解为].)

(1[1)(111λ

λ=--*++++?-=

s n n n n

a s a s a s s x Y Λ

对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为)].([)(1s Y L t y *-*= 例：求解常系数线性齐次方程x e y y 2'''=-的特解。

解：设)],([)(t y L s Y =令初始条件为零， 对方程两边同时取拉普拉斯变换，有.2

1)()(2-=-s s Y s s 整理展开成部分分式，有,2))(2(1)(2

2s

s C

Bs s A s s s s Y -++-=--= 此时,0)

(2

2≠-=s s s 则

,2

121]1[21])

(1[1)(2

2

111-?=-?-=

++++?-=

==--*s s s s a s a s a s s x Y s s n n n n

λλΛ 对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为

x e s L s Y L t y 21121

]2121[)]([)(=-?==-*-*

若,0)(])[(11111=++-=++++----==--m n m n m n s m

s n

n n n b s b s s a s a s a s λ

λ

λΛ

令)()()(11'

2'1'1'm n m n m n m n m n m b s b s D s C s B s A s Y --------++++++++

-=ΛΛλ， 同理，相应的拉普拉斯变换特解为

].)

(1

[

)(1)(111λ

λ=----+*+++?-=

s m n m n m n m b s b s s x Y Λ

例：求解常系数线性齐次方程x e y y y y 2''''''485=-+-的特解。 解：设)],([)(t y L s Y =令初始条件为零，

对方程两边同时取拉普拉斯变换，有.2

1)()485(23-=-+-s s Y s s s 则,)

1()2)(2(1

)485)(2(1)(2

23---=-+--=

s s s s s s s s Y 此时,0485223=-+-=s s s s

令,)1()2()('

'3

'-++-=s B s A s A s Y 则相应的拉普拉斯变换特解为

,)

2(1

]1

1

.[

)2(1])

(1[

)(1)(3

23111-=

--=

+++?-=

==----+*s s s b s b s s x Y s s m n m n m n m λλΛ

对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为

.21])2(1[

)]([)(223

11x

e x s L s Y L t y =-==-*-* （2）))()(()(221n n x x p x p x p x p x p e x

f +++==Λ其中λ. 例：求微分方程x xe y y y 2'''65=+-的特解。 解：设)],([)(t y L s Y =令初始条件为零，

对方程两边同时取拉普拉斯变换，有,)

2(1

)()65(2

2-=

+-s s Y s s 则,)

3)(2()2(1)65()2(1)(2

22---=+--=

s s s s s s s Y 此时,06522=+-=s s s 令,6

5)2()(2

2+-++-+=

s s D

Cs s B As s Y ,2

12

31)

1)(2(121651)2()(4

424

44

44

422222

2

--=+--=

---=

-=

+-=-=+-=--=--=--=-*s s s s s s s s s

s s s s Y B As s s s s s s s s

相应的拉普拉斯变换特解为,)2(1

)2(121)2(1)2()(3

222

----=--?-=-+=*s s s s s s B As s Y

对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为

).211()21(])2(1)2(1[)]([)(2223

211x xe xe xe s s L s Y L t y x

x x +-=--=----

==-*-*

（3）x x f x x f λλcos )(sin )(==、

例：求解微分方程x y y y 2sin 54'''=++的特解[7]。 解：设)],([)(t y L s Y =令初始条件为零，

对方程两边同时取拉普拉斯变换，有,4

2

)()54(22+=++s s Y s s 令,5

44)(2

2+-++++=

s s D

Cs s B As s Y

,

65

)14(21

16)14(2)

14)(14()14(21

42542)4)((4

24

4

4

22222

2

--=--=+-+=

+=

++=+=+-=-=-=-=s s s s s s s s s s s Y B As s s s s

相应的拉普拉斯变换特解为),4

2

48(651

)

4(65)14(24

)(2

22

2+-+?-=+--=++=*s s s s s s B As s Y 对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为

1122

21

()[()][8](8cos 2sin 2).4465

s y t L Y s L x x s s *-*-==?

-=--++ 拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广

对于n 阶常系数线性齐次微分方程()(1)'110n n n n y a y a y a y --++???++=满足以下两个引理[8]：

引理1 n 阶常系数线性齐次方程的解（积分曲线）具有平移不变性。也就是说，若y=y(x)为n 阶常系数线性齐次方程的一个解，则对任意的常数c,()y y x c =+也是n 阶常系数线性齐次方程的解。

引理2 若),,(00y x x y y =为n 阶常系数线性齐次方程的一个解，),,(00y x x y y =经平移后变为),,0,(00y x x y y -=则),0,(00y x x y y -=也是n 阶常系数线性齐次方程的解。

下面给出利用拉普拉斯变换方法求解三阶常系数线性齐次方程

0''')3(=+++ry qy py y 满足在任意点的初始条件

2

00''100'00)(y ,)(,)(y x y x y y x y ===的解。

设方程的解为),,0,(),,(0000y x x y y x x y y -≡=这样，我们便将初值点平移到了00=-x x 点，于是可用如下的拉普拉斯变换方法求解该初值问题。 令),t )(,0,()(000x x y x x y t y -=-=其中

.)0(y ,)0(,)0(,)0()

3(03()2(0'''0'0y y y y y y y ====）

设)],([)(t y L s Y =对方程两边同时取拉普拉斯变换，得到,0][''')3(=+++ry qy py y L 由拉普拉斯变换的导数性质)0()()](['f s sF t f L -=以及

高阶导数推广)0()0()0()0()()]([)1()2('21------???---=n n n n n n f sf f s f s s F s t f L 可得，

.0)()]0()([)]0()0()([)]0()0()0()(['2'''23=+-+--+---s rY y s sY q y sy s Y s p y sy y s s Y s 结合初始条件，有

.0)(])([])([])([01

0022010023=+-+--+---s rY y s sY q y sy s Y s p y sy y s s Y s 整理可得].)()[(1)(2

01

00223y y p s y q ps s r

qs ps s s Y ++++++++=

对上式两边同时取拉普拉斯逆变换，可得

}].)(){(1[

)]([2

01

0022311y y p s y q ps s r

qs ps s L s Y L ++++++++=--

进行变量还原，便得到所求初值问题的解为

).()(),0,(),,(00000x x y t y y x x y y x x y y -==-≡=

例：求解二阶常系数线性齐次方程0''=+y y ，该方程满足初始条件

'()1,()144

y y ππ

==-[8] 解：首先转化初值条件).4

)(()1,0,4

()1,4

,

(πππ-

==-

≡=x t t y x y x y y 其中

设)],([)(t y L s Y =对方程两边同时取拉普拉斯变换，得到,0][''=+y y L 即.0)(]1)([2=++-s Y s s Y s 整理成部分分式，有.1

1

111)(2

22+-+=+-=s s s s s s Y 由拉普拉斯变换函数表,cos ][

221

t s s L ωω=+-可知,cos ]1[2

1t s s L =+- 由拉普拉斯变换函数表,sin ][221t s L ωωω=+-可知,sin ]1

1

[2

1t s L =+- 对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为.sin cos )]([)(1t t s Y L t y -==- 变量还原，得到原初值问题的解为

.cos 2)4

sin()4

cos(sin cos )()1,0,4

()1,4

,(x x x t t t y x y x y y =-

--

=-==-

≡=ππππ

4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 齐次与非齐次偏微分方程 例：求解齐次偏微分方程

???

?

?????==+∞<>=???==.3,),,0(,0202

2y u x u y x y x y x u x y [2] 解：对该定解问题关于y 取拉普拉斯变换，并利用微分性质及初始条件可得

),,()],([s x U y x u L =

,)0,(),(][

2x sU x u s x sU y

u

L -=-=?? ,2][)]([][0

2x dx

dU

s

x

u x u sL x u y L y x u L y -=??-??=????=???= ,][22

2

s

x y x L =

.3][2

0s U

u L x x =

=== 这样，原定解问题转化为含参数s 的一阶常系数线性非齐次微分方程的边值问题：

???

???

?==-=.3,22022s U s x x dx dU s x 方程222s x x dx dU s =-可转化为22

2s

x x dx dU s =-

解此微分方程，可得其通解为,32

33c s x s x U ++=其中c 为常数。

为了确定常数c ，将边界条件20

3s U

x =

=代入上式，可得.3

2

s

c = 所以，.3

3),(2233s s x s

x s x U ++

= 由拉普拉斯变换函数表,1]1

[1

=-s

L 可知.][22

1x s x L =-

由拉普拉斯变换函数表,]!

[11

n

n t s n L =+-可知,2]3[23331

y x s x L =-.3]3

[21y s

L =- 方程两边取反演，从而原定解问题的解为

.36

)],([),(22

31

x y y x s x U L y x u ++==-

例：求解非齐次偏微分方程

????

?

?

???==??=>>+??=??===.0,0,0),0,0((,0

22

222x t t u t u u t x g g x u a t u 为常数），[2] 解：对该问题关于t 取拉普拉斯变换，，并利用微分性质及初始条件可得

),,()],([s x U t x u L =

,),(][20222U s t u

u s s x U s t

u L o

t t =??-

-=??==

,][s g

g L =

,)],([][22

2222U dx d t x u L x x u L =??=??

.

0][0

0====x x U

u L

这样，原定解问题转化为含参数s 的二阶常系数线性非齐次微分方程的边值问题：

????

?==-=-∞→=.

0lim ,0,1102

2222U U s g

a U s a dx U d s x

方程s g a U s a dx U d 2222211-=-可转化为,1122222s g

a U s a dx U d -=

解此微分方程，可得其通解为,),(3

21s

g

e

c e c s x U x a

s x a

s

+

+=-其中为常数。21,c c 为了确定常数,,21c c 将边界条件0lim ,00

==∞

→=U U

s x 代入上式，

可得,,03

21s g c c -

== 所以，.)1(),(333s a x

x a

s

e s

g s g e s g s x U ---=-=

由拉普拉斯变换函数表,]![1

1

n

n t s n L =+-可知.2][2

3

1

t g s

g L =- 由拉普拉斯变换函数表,]!

[

1

1

n n t s n L =+-并结合延迟定理),()]([010t t f s F e L st -=--

可知).()(2][231

a x

t u a x t g e s

g L s a x

--=--

方程两边取反演，从而原定解问题的解为

).()(22][)],([),(22331

1

a x

t u a x t g t g e s

g s g L s x U L t x u s a x

---=-==---

（或）

??????

?>--<=.,)(22

;,2222

a x t a x t g t g a x t t g 有界与无界问题 例：求解有界偏微分方程

???

?

?

????=??===><

0,0(,00022222t t l x x t u u t u u t l x x u a t

u ?[2]

解：对该定解问题关于t 取拉普拉斯变换，记

),,()],([s x U t x u L =

,][20

222U s t u u s U s t u L t o x =??-

-=??==

,][2

222dx

U

d x u L =??

,0][0

====x o x U u L

).([s U

u L l

x l x φ====

这样，原定解问题转化为含参数s 的二阶常系数线性齐次微分方程的边值问题：

该方程的通解为,),(21x

a s x a s e c e c s x U -+=其中21,c c 是常数。

为确定常数21,c c ，将边界条件,00

==x U 代入上式，可得,021=+c c 即;21c c -=

将边界条件)(s U l

x φ==代入上式，可得.)(21l a

s l a

s e

c e c s -+=φ

因此.)(21l a

s l a

s e

e s c c --=-=φ

从而

.

11)()

)(())(()

()(),(4)3()3(4)()(33s a

l x l a

s

x l a

s

s a

l x l a

s

x l a

s

l a

s l a

s l a

s l a

s l a

s l a

s x a s x a s l a

s l a

s x a s x a s e

e

e

e

e

e s e

e e

e e e e

e

s e e e

e

s s x U -

+----

+----

---

------+??

??

?

--=+-+-=--=φφφ

为了求(,)U x s 的拉普拉斯逆变换，注意到分母为,14s a

l e -

-所以逆变换(,)u x t 是周

期为

a

l 4的关于ｌ的周期函数。根据周期函数的拉普拉斯变换式，其中s a

l

e s 41)(--φ表明)(t ?是以a

l

4为周期的周期函数，即

?

----=

-=

a l s s a

l s a

l d e e

e

s t L 40

44,)(111)()]([ττ?φ?τ

由拉普拉斯变换函数表),(]1)

([

41t e

s L s a

l ?φ=---

并结合延迟定理),()]([010t t f s F e L st -=-- 可知).()(]1)([

41

a

x

l t u a x l t e

e

s L s a

x

l s a

l ----

=?---

--?φ ?????===-==).(,0,

00

2222s U U U a s dx U d l x x φ

同理可知

).()(]1)([

41

a x

l t u a x l t e

e

s L s a

x

l s a

l +-+-

=?-+-

--?φ).3()3(]1)([

341

a

x

l t u a x l t e

e

s L s a

x

l s a

l

----

=?---

--?φ).3()3(]1)([

341

a

x

l t u a x l t e

e

s L s a

x

l s a

l +-+-

=?-+-

--?φ 方程两边取反演，从而原定解问题的解为

).

3()3()3()3()()()()()],([),(1a

x l t u a x l t a x l t u a x l t a

x l t u a x l t a x l t u a x l t s x U L t x u +-+------++-+------

==-????

其中)(a u 为单位阶跃函数，

即???><=.0,1,

0,0)(a a a u

例：求解无界偏微分方程

???

?

?

????==>>-??=??==.0(),0,0x (,00022

2t x u u u t h hu x u

a t u 常数），为常数），（[2] 解：对该问题关于t 取拉普拉斯变换，记

),,()],([s x U t x u L =

,),(][

sU u s x sU t

u

L x =-=??=

,)],([][222222dx

U d t x u L x x u L -??=?? .][0

0s

u U

u L x x ==== 这样，原定界问题转化为含参数s 的二阶常系数线性齐次微分方程的边值问题：

???

???

?===+-∞→=.(0lim ,,00

0222为自然定解条件）U s u U U a h

s dx U d x x 解此微分方程可得通解为

12(,)U x s c c e

=+,其中1c ,2c 为常数。

为确定常数1c ,2c ，将边界条件s

u U

x 00

=

=代入上式，可得012u c c s +=;

将边界条件0lim =∞

→U x 代入上式，可得10c =.

因此，0

2u c s

=

.

所以，0(,)u U x s e

s

=.

从而1

1

0(,)[(,][]u U x t L U x s L e

s

--==），

由拉普拉斯变换函数表11

[]1L s -=，可知100[]u L u s -=。

由拉普拉斯变换函数表2

11[L e erfc d s νν+∞---==，

可知2

1

1[L e erfc d s νν+∞--==.

如果令,2

)(22

νπ

νd e t f t

a x

?

+∞-=

显然(0)0f =,

由导数性质)0()()](['

f s sF t f L -=

可知'

1

1()[f t L s e s

-=?,

亦即t

a x t

a x s a

x e t

at x t a x dt d e

t f e

L 222

4)2(

'12)2(2

)(][-

--

-=?

-

==ππ

,

由位移性质[()]()t L e f t F s λλ-=+, 可知.22][)

4(

41

2222ht t

a x ht

t

a x x

a

h

s e

t

at x e

e

t

at x e

L +---

+--=

?=

ππ

由卷积定理),()()]()([21211s F s F t f t f L =*

可得],[][),(101

x a

h

s e

L s

u

L t x U +---*=

令,2τ

νa x =

最后可得该定解问题的解为

?

?

∞++

--+--+-+-

--=

--=*

=*=t

a x

a hx t

t h t a x ht t

a x x a

h

s d e

u d e

t t a x u e

t at x u e

L s u

L t x u 2)

4(0

)]

()

(4[

0)

4(0101

.

2)

()(2)(2][][),(2

222

2222νπ

ττπττπννττ

5 综合比较，归纳总结

从以上的例题可以看出，用拉普拉斯变换方法求解微分方程有如下的优缺点

[1~13]：

⑴拉普拉斯变换对像函数要求比傅里叶变换弱，其使用面更宽。但拉普拉斯变换像其他变换一样都有其局限性，只有满足其存在定理时才可以使用拉普拉斯变换。而在微分方程的一般解法中，并没有任何限制；

⑵用拉普拉斯变换方法求解微分方程，由于同时考虑初始条件，求出的结果便是需要的特解。而微分方程的一般解法中，先求通解，再考虑初始条件确定任意常数，从而求出特解的过程比较复杂；

⑶零初始条件、零边界条件使得拉普拉斯变换方法求解微分方程更加简单。而在微分方程的一般解法中，不会因此而有任何简化；

⑷用拉普拉斯变换求解微分方程，对于自变量是零的初始条件，求其特解是非常方便的。但微分方程的一般解法并没有简化；

⑸用拉普拉斯变换方法求解微分方程，对方程的系数可变与否、对区域有界与否、对方程和边界条件齐次与否并无特殊关系。而在微分方程的一般解法中，会遇到很多困难；

⑹用拉普拉斯变换方法求解微分方程组，可以在不知道其余未知函数的情况下单独求出某一个未知函数。但在微分方程的一般解法中通常是不可能的；

⑺拉普拉斯变换可以使解n 个自变量偏微分方程的问题，转化为解1n -个自变量的微分方程的问题，逐次使用拉普拉斯变换，自变量会逐个减少，有时还可

傅里叶变换和拉普拉斯变换的性质应用

1.前言 1.1背景 利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。类似的，变换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。积分变换的使用，可以 使求解微分方程的过程得到简化，比如乘积可以转化为卷积。什么是积 分变换呢？即为利用含参变量积分，把一个属于A函数类的函数转化属 于B函数类的一个函数。傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要积分变 换。分析信号的一种方法是傅立叶变换，傅里叶变换能够分析信号的成 分，也能够利用成分合成信号。可以当做信号的成分的波形有很多，例 如锯齿波，正弦波，方波等等。傅立叶变换是利用正弦波来作为信号的拉普拉斯变换最早由法国数学家天文学家 成分。Pierre Simon Laplace （拉普拉斯）（1749-1827）在他的与概率论相关科学研究中引入，在他 的一些基本的关于拉普拉斯变换的结果写在他的著名作品《概率分析理 论》之中。即使在19世纪初，拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉 斯变换的相关研究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理 学家，同时也是一位电气工程师的Oliver Heaviside奥利弗·亥维赛 （1850-1925）在电学相关问题之中引入了算子运算，而且得到了不少方 法与结果，对于解决现实问题很有好处，这才引起了数学家对算子理论 的严格化的兴趣。之后才创立了现代算子理论。算子理论最初的理论依 据就是拉普拉斯变换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论的继续发展也 是得益于算理理论的更进一步发展。这篇文章就是针对傅里叶变换和拉 普拉斯变换的相关定义，相关性质，以及相关应用做一下简要讨论，并 且分析傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别与联系。 1.2预备知识 定理1.2.1（傅里叶积分定理）

电路设计中拉普拉斯变换的应用

电路设计中拉普拉斯变换的应用 拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有引数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个引数为复数s的函数。拉氏变换英文名为Laplace Transform，为法国著名数学家拉普拉斯 （Laplace,Pierre-Simon,marquisde）创立。主要运用于现代控制领域，和傅氏变换并称为控制理论中的两大变换。 拉氏变换里的S是复变函数里最为基础的一个符号，数学题做了这么多，考分也不低，但如果在多年的电路设计中用不上的话，岂不是对不起宝贵的青春了。 要用好拉氏变换，先了解S的物理含义和其用途。信号分析有时域分析、频域分析两种，时域是指时间变化时，信号的幅值和相位随时间变化的关系；频域则是指频率变化时，信号的幅值和相位随时间变化的关系；而S则是连接时域与频域分析的一座桥梁。 在电路中，用到的阻性用R表示；用到的感性特性和容性特性，分别用SL和1/SC表示，然后将其看成一个纯粹的电阻，只不过其阻值为SL（电感）和1/SC（电容）； 其他特性（如开关特性）则均可通过画出等效电路的方式，将一个复杂的特性分解成一系列阻性、感性、容性相结合的方式。并将其中的感性和容性分别用SL和1/SC表示。

然后，就可以用初中学过的电阻串、并联阻抗计算的方式来进行分压、分流的计算，这当然很简单了。计算完后，最后一定会成一个如下四种之一的函数： Vo=Vi（s）-------------------（1） Io=Vi（s）--------------------（2） Vo=Ii（s）--------------------（3） Io=Ii（s） --------------------（4） 下一步，如果是做时域分析，则将S=d/dt代入上述1-4其中之一的式子中，随后做微分方程的求解，则可求出其增益对时间的变化式 G（t）； 而如果做的是频域分析，则将S=jw代入上述1-4其中之一的式子中，随后做复变函数方程的求解，则可求出其增益对时间的变化式 G （w）、和相位对频率的变化式 θ（w）； 至于求出来时域和频域的特性之后，您再想把数据用于什么用途，那就不是我能关心得了的了。 下面举一简单例子说明。

拉普拉斯变换在自动控制领域中的应用

复变函数的发展史及laplace变换在自控领域中的应用 摘要：复变函数经历了150多年的发展历程，在不断发展和更新的过程中愈来愈完善并不断向各个领域延伸，特别是在自动控制领域的作用愈来愈重要。复变函数中的Laplace变换是近一世纪来迅速发展起来的一种有效的数学方法。借助于Laplace变换可把微积分的运算转化复平面的代数运算，因此，可利用它解常微分方程、偏微分方程、积分方程及差分方程，简化了求解过程，是解线性系统的重要工具，。通过在自动控制理论中建立系统的动态数学模型，根据拉普拉斯变换及其反变换的定义式，求解得到系统的动态过程，从而阐明其计算具有快速、简洁和方便的特点，在现代自控理论中得到广泛的应用。 关键词：复变函数拉普拉斯变换原函数象函数传递函数 Abstract : Complex function has experienced 150 years of development,and it became be more perfect and constantly to the various fields in the process of developing and updating, especially it palys a more and more important role in the field of automatic https://www.docsj.com/doc/b13411034.html,place transform is nearly a century to rapidly develop an effective mathematical method. Using Laplace transform can turn calculus operations in the plane of the transformation of complex arithmetic, therefore, can use it to solution of differential equation, partial differential equations and integral equations and difference equation, simplified the solving process, is an important tool for solving linear system, in the modern theory of automatic widely applied. These contents in relevant tutorial or monographs, already common occurance. This paper will give out Laplace transform another new applications, namely using Laplace transform calculating generalized integrals, thus obtains the calculation kind of generalized integrals of new methods. Keywords: Complex function ,Laplace transform, Primary function,image function,Transform function

拉普拉斯变换基本应用.docx

拉普拉斯变换的应用 一?拉普拉斯变换的应用 拉普拉斯变换在许多领域中都有着重要的作用，在工程学上应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（S域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。在计算机图像处理方面，拉普拉斯变换在MatIab上的拉普拉斯算子在图像处理上有很强的应用性，例如：在图像的边缘检测、对图像进行拉普拉斯锐化、对图像进行滤波等。 二?拉普拉斯变换在图像处理方面的应用 计算机进行图像处理一般有两个目的：（1）产生更适合人观察和识别的图像。⑵ 希望能由计算机自动识别和理解图像。数字图像的边缘检测是图像分害IJ、目标区域的识别、区域形状提取等图像分析领域的重要基础，图像处理和分析的第一步往往就是边缘检测。 物体的边缘是以图像的局部特征不连续的形式出现的，也就是指图像局部亮 度变化最显著的部分，例如灰度值的突变、颜色的突变、纹理结构的突变等， 同时物体的边缘也是不同区域的分界处。图像边缘有方向和幅度两个特性，通常沿边缘的走向灰度变化平缓，垂直于边缘走向的像素灰度变化剧烈。根据灰度变化的特点，图像边缘可分为阶跃型、房顶型和凸缘型。 首先要研究图像边缘检测，就要先研究图像去噪和图像锐化。前者是为了得到飞更真实的图像，排除外界的干扰，后者则是为我们的边缘检测提供图像特征更加明显的图片，即加大图像特征。早期的经典算法有边缘算子法、曲面拟合法、模版匹配法等。经典的边缘检测算法是对原始图像中像素的某小领域米构造边缘检测算子，常用的边缘检测算子有RObertS算子、Sobel算子、LaPlaCian算子、Canny算子等。 三?应!步骤 用拉普拉斯变换进行数字图像处理，需要借用计算机上的MatIab软件去进行程序编码和运行来实现。下边是应用步骤:

拉普拉斯变换在电路中的应用

拉普拉斯变换在电路中的应用 10071051朱海云 应用拉普拉斯变换求解线性电路的方法称为运算法。运算法的思想是：首先找出电压、电流的像函数表示式，而后找出R、L、C单个元件的电压电流关系的像函数表示式，以及基尔霍夫定律的像函数表示式，得到用像函数和运算阻抗表示的运算电路图，列出复频域的代数方程，最后求解出电路变量的象函数形式，通过拉普拉斯反变换，得到所求电路变量的时域形式。显然运算法与相量法的基本思想类似，因此，用相量法分析计算正弦稳态电路的那些方法和定理在形式上均可用于运算法。 1.电路定律的运算形式 基尔霍夫定律的时域表示： 把时间函数变换为对应的象函数： 得基尔霍夫定律的运算形式： 2.电路元件的运算形式 根据元件电压、电流的时域关系，可以 推导出各元件电压电流关系的运算形式。 图1（a） 1)电阻R的运算形式

图1(a)所示电阻元件的电压电流关系为： u =Ri ，两边取拉普拉斯变换，得电阻元件VCR 的运算形式： 或 根据上式得电阻R 的运算电路如图（b ）所示。 图1（b ） 2)电感L 的运算形式 图2(a)所示电感元件的电压电 流关系为 两边取拉普拉斯变换并根据 拉氏变换的微分性质，得电感元件VCR 的运算形式： 或 根据上式得电感L 的运算电路如图(b)和图(c) 所示。图中 表示附加电压源的电压，表示附加电流源的电流。 式中 图2（a ） 图2（b ） 图2（c ）

分别称为电感的运算阻抗和运算导纳。 3)电容C的运算形式 图3(a)所示电容元件的电压电流关系为： 两边取拉普拉斯变换并根据拉氏变换的微分性质，得电容元件VCR的运算形式： 或 根据上式得电容C的运算电路如图(b)和图(c)所示。 图中表示附加电流源的电 流，表示附加电压源的电压。 式中分别为电容的运算阻抗和运算导纳。 图3（a） 图3（b） 图3（c） 4)耦合电感的运算形式 图4（a）所示耦合电感的电压电流关系为： 图4（a）

常用拉普拉斯变换总结

常用拉普拉斯变换总结 1、指数函数 000)(≥

??∞-∞-∞ ----==000d d ][t s e s e t t te t L st st st 2 01d 1s t e s st ==?∞- 6、正弦函数 00sin 0)(≥

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换 Prepared on 22 November 2020

§13拉普拉斯变换 重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开 2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路 3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤 难点： 1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法 2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用 本章与其它章节的联系： 是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。 预习知识： 积分变换 §13－1拉普拉斯变换的定义 1.拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。 2.拉普拉斯变换的定义 一个定义在[0,+∞)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为 式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。 由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为 式中c为正的有限常数。 注意： 1）定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，即： 它计及t=0-至0+，f(t)包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。 2）象函数F(s)一般用大写字母表示,如I(s)，U(s)，原函数f(t)用小写字母表示，如 i(t),u(t)。 3）象函数F(s)存在的条件： 3.典型函数的拉氏变换 1)单位阶跃函数的象函数

常用函数的拉氏变换[1]

附录A 拉普拉斯变换及反变换 419

420

421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；

拉普拉斯变换基本应用

拉普拉斯变换的应用 一·拉普拉斯变换的应用 拉普拉斯变换在许多领域中都有着重要的作用，在工程学上应用拉普 拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。在计算机图像处理方面，拉普拉斯变换在Matlab上的拉普拉斯算子在图像处理上有很强的应用性，例如：在图像的边缘检测、对图像进行拉普拉斯锐化、对图像进行滤波等。 二·拉普拉斯变换在图像处理方面的应用 计算机进行图像处理一般有两个目的: (1)产生更适合人观察和识别的图像。 (2)希望能由计算机自动识别和理解图像。数字图像的边缘检测是图像分割、目标区域的识别、区域形状提取等图像分析领域的重要基础，图像处理和分析的第一步往往就是边缘检测。 物体的边缘是以图像的局部特征不连续的形式出现的，也就是指图像局部亮度变化最显著的部分，例如灰度值的突变、颜色的突变、纹理结构的突变等，同时物体的边缘也是不同区域的分界处。图像边缘有方向和幅度两个特性，通常沿边缘的走向灰度变化平缓，垂直于边缘走向的像素灰度变化剧烈。根据灰度变化的特点，图像边缘可分为阶跃型、房顶型和凸缘型。 首先要研究图像边缘检测，就要先研究图像去噪和图像锐化。前者是为了得到飞更真实的图像，排除外界的干扰，后者则是为我们的边缘检测提供图像特征更加明显的图片，即加大图像特征。早期的经典算法有边缘算子法、曲面拟合法、模版匹配法等。经典的边缘检测算法是对原始图像中像素的某小领域米构造边缘检测算子，常用的边缘检测算子有Roberts算子、Sobel算子、Laplacian算子、Canny算子等。 三·应用步骤 用拉普拉斯变换进行数字图像处理，需要借用计算机上的Matlab软件去进行程序编码和运行来实现。下边是应用步骤：

典型信号的拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换

成绩评定表

课程设计任务书

目录 1.Matlab介绍.............. 错误！未定义书签。 2.利用Matlab实现信号的复频域分析—拉普拉斯变化和拉普拉斯逆变换的设计 (5) 2.1.拉普拉斯变换曲面图的绘制 (5) 2.2.拉普拉斯变化编程设计及实现 (7) 2.3.拉普拉斯逆变化编程设计及实现 (8) 3.总结 (14) 4.参考文献 (15)

1．Matlab介绍 MATLAB语言是当今国际上在科学界和教育界中最具影响力、也最具活力的软件；它起源于矩阵运算，现已发展成一种高度集成的计算机语言；它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、丰富的交互式仿真集成环境，以及与其他程序和语言便捷接口的功能。 经过多年的开发运用和改进，MATLAB已成为国内外高校在科学计算、自动控制及其他领域的高级研究工具。典型的用途包括以下几个方面： 1）数学计算； 2）新算法研究开发； 3）建模、仿真及样机开发； 4）数据分析、探索及可视化； 5）科技与工程的图形功能； 6）友好图形界面的应用程序开发。 1.1Matlab入门 Matlab7.0介绍 Matlab7.0比Matlab的老版本提供了更多更强的新功能和更全面、更方便的联机帮助信息。当然也比以前的版本对于软件、硬件提出了更高的要求。 在国内外Matlab已经经受了多年的考验。Matlab7.0功能强大，适用范围很广。其可以用来线性代数里的向量、数组、矩阵运算，复数运算，高次方程求根，插值与数值微商运算，数值积分运算，常微分方程的数值积分运算、数值逼近、最优化方法等，即差不多所有科学研究与工程技术应用需要的各方面的计算，均可用Matlab来解决。 MATLAB7.0提供了丰富的库函数（称为M文件），既有常用的基本库函数，又有种类齐全、功能丰富多样的的专用工具箱Toolbox函数。函数即是预先编制好的子程序。在编制程序时，这些库函数都可以被直接调用。无疑，这会大大提高编程效率。MATLAB7.0的基本数据编程单元是不需要指定维数的复数矩阵，所以在MATLAB环境下，数组的操作都如数的操作一样简单方便。而且，MATLAB7.0界面友好，用户使用方便。首先，MATLAB具有友好的用户

拉普拉斯变换基本应用

. 拉普拉斯变换的应用一·拉普拉斯变换的应用在工程学上应用拉普拉拉 普拉斯变换在许多领域中都有着重要的作用，使问题得以解决。可以将微分方程化为代数方程，斯变换解常变量齐次微分方程，转换为复频拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，在工程学上，域）上来表示；在线性系统，控 制自动化上都有广泛的应用。在计算机图域（s上的拉普拉斯算子在图像处理上有很强的像处理方面，拉普拉斯变换在Matlab应用性，例如：在图像的边缘检 测、对图像进行拉普拉斯锐化、对图像进行滤波等。 二·拉普拉斯变换在图像处理方面的应用 计算机进行图像处理一般有两个目的: (1)产生更适合人观察和识别的图像。(2)希 望能由计算机自动识别和理解图像。数字图像的边缘检测是图像分割、目标区域的识别、区域形状提取等图像分析领域的重要基础，图像处理和分析的第一步往往就是边缘检测。 物体的边缘是以图像的局部特征不连续的形式出现的，也就是指图像局部亮度变化最显著的部分，例如灰度值的突变、颜色的突变、纹理结构的突变等，同时物体的边缘也是不同区域的分界处。图像边缘有方向和幅度两个特性，通常沿边缘的走向灰度变化平缓，垂直于边缘走向的像素灰度变化剧烈。根据灰度变化的特点，图像边缘可分为阶跃型、房顶型和凸缘型。 首先要研究图像边缘检测，就要先研究图像去噪和图像锐化。前者是为了得到飞更真实的图像，排除外界的干扰，后者则是为我们的边缘检测提供图像特征更加明显的图片，即加大图像特征。早期的经典算法有边缘算子法、曲面拟合法、 . . 模版匹配法等。经典的边缘检测算法是对原始图像中像素的某小领域米构造边 缘检测算子，常用的边缘检测算子有Roberts算子、Sobel算子、Laplacian算子、Canny算子等。 三·应用步骤 用拉普拉斯变换进行数字图像处理，需要借用计算机上的Matlab软件去进行程 序编码和运行来实现。下边是应用步骤：

拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用

目录 拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用 物理系0801班学生岳艳林 指导老师韩新华 摘要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质； 其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边 函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程值问题、常系数与变系数常微分方程、含 特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界 与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。 关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解

引言 傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在+∞<<∞-t 内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 为自变量的函数通常在0t <时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换[1]。 1 拉普拉斯变换以及性质 拉普拉斯变换的定义 设函数()f t 当0t ≥时有定义，而且积分 ()st f t e dt +∞ -? (s 是一个复参量)在s 的某一区域内收 敛，则此积分所确定的函数可写为0 ()()st F s f t e dt +∞ -= ? .我们称上式为函数()f t 的Laplace 变换 式.记为()[()]F s L f t =,()F s 称为()f t 的Laplace 变换（或称为象函数）. 若()F s 是()f t 的Laplace 变换，则称()f t 为()F s 的Laplace 逆变换（或称为象原函数），记为1()[()]f t L F s -=[2]. Laplace 变换的存在定理 若函数()f t 满足下列条件: 1?在0t ≥的任一有限区间上分段连续； 2?当t →+∞时，()f t 的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数0M >及0c ≥，使得c ()0f t Me t ≤≤<+∞ｔ，成立（满足此条件的函数，称它的增大是不超过指数级的，c 为它的增长指数）. 则()f t 的Laplace 变换0 ()st F f t e dt +∞ -?（s ）=在半平面Re()s c >上一定存在，右端的积分在1Re()s c c ≥>的半平面内,()F s 为解析函数[2]. 拉普拉斯变换的性质 ⑴线性性质 若αβ，是常数，11[()]()L f t F s =, 22[()]()L f t F s =, 则有1212[()()][(t)]+[()]L f t f t L f L f t αβαβ+=, 1111212[()()][(s)]+[()]L F s F s L F L F s αβαβ---+=. ⑵微分性质 若[()]()L f t F s =,则有'[()]()(0)L f t sF s f =-. 高阶推广 若[()]()L f t F s =,则有2'[()]()(0)(0)L f t s F s sf f ''=--.

傅里叶变换拉普拉斯变换的物理解释及区别教学教材

傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的相位有关系吗？信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。 傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。

附表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表

附录A拉普拉斯变换及反变换1.拉氏变换的基本性质 附表A-1 拉氏变换的基本性质 419

2．常用函数的拉氏变换和z变换表 附表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表 420

421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式，即 11 10111) ()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++== ---- （m n >） 式中，系数n n a a a a ,,...,,110-和011,,,,m m b b b b - 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 （1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即 ∑ =-= -+ +-+ +-+ -= n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 1 2 21 1)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，可按下列两式计算：lim ()()i i i s s c s s F s →=- （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= ) ()( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为 []?? ????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1)()(＝1i n s t i i c e =∑ (F -4) （2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为

拉普拉斯变换及在线性系统的应用

本科生毕业论文 拉普拉斯变换及在线性系统的应用 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学 班级 2007级本科3班 学号 0501070310 学生姓名 联系方式 指导教师职称讲师助教 2011年 4月

独创性声明 本人郑重声明：所呈交的毕业论文是本人在指导老师指导下取得的研究成果.除了文中特别加以注释和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果.与本研究成果相关的所有人所做出的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 签名： 年月日 授权声明 本人完全了解许昌学院有关保留、使用本科生毕业论文的规定,即：有权保留并向国家有关部门或机构送交毕业论文的复印件和磁盘,允许毕业论文被查阅和借阅.本人授权许昌学院可以将毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编论文. 本人论文中有原创性数据需要保密的部分为（无） 签名： 年月日 指导教师签名： 年月日

本文由拉普拉斯变换的一些基础知识入手,介绍了拉普拉斯变换的概念,定理.归纳总结了它的一些性质及关于各性质的证明和用法.重点讨论了如何用拉普拉斯变换解常系数线性微分方程（组）,总结出象原函数的几种求解方法,以及不同的方法适合使用的情况等.另外还简单介绍了拉普拉斯变换在工程学中的一些线性系统的应用,其中包括在动态电路系统和电力系统的应用. 关键词：拉普拉斯变换；常系数微分方程；线性系统 ABSTRACT This paper is about the basic knowledge of the Laplace Transform. It contains the concept of Laplace Transform, theorems,summarizes some of its properties and the nature of the proof and usage.It discusses hou to use the Laplace Transform to solve Linear Differential Equations (group). And it sums up a variety of solutions of the original function, what’s more,the different methods are used in different situations. And it also introduces the Laplace transform of some linear systems engineering applications, including dynamic circuit system and electrical system. Keywords: Laplace transform; Constant coefficient differential equations; Linear system

拉普拉斯变换及逆变换

第十二章 拉普拉斯变换及逆变换 拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。 第一节 拉普拉斯变换 在代数中，直接计算 是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为 然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N 。 这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。 一、拉氏变换的基本概念 定义12.1 设函数()f t 当0t ≥时有定义，若广义积分0 ()pt f t e dt +∞ -? 在P 的某一区域内收敛，则 此积分就确定了一个参量为P 的函数，记作()F P ，即 dt e t f P F pt ? ∞ +-= )()( （12.1） 称（12.1）式为函数()f t 的拉氏变换式，用记号[()]()L f t F P =表示。函数()F P 称为()f t 的拉氏变 换(Laplace) (或称为()f t 的象函数)。函数()f t 称为()F P 的拉氏逆变换（或称为()F P 象原函数），记作 )()]([1t f P F L =-，即)]([)(1P F L t f -=。 关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明： （1）在定义中，只要求()f t 在0t ≥时有定义。为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在0t <时，()0f t =。 （2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P 是在复数范围内取值。为了方便起见，本章我们把P 作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。 （3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换。一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。 例12.1 求斜坡函数()f t at = （0t ≥，a 为常数）的拉氏变换。 解：00 00 []()[]pt pt pt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞ +∞+∞---+∞-= =-=-+? ?? 二、单位脉冲函数及其拉氏变换 在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电 流为零的电路中，某一瞬时(设为0t =)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流()i t ，以()Q t 表示上述电路中的电量，则 由于电流强度是电量对时间的变化率，即 t t Q t t Q dt t dQ t i t ???) ()(lim )()(0-+== →，

拉普拉斯变换的实际应用

拉普拉斯变换的实际应用 在工程学上的应用 应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s 域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。 拉氏变换在微分方程(组)初值问题中的应用 1．1 利用拉氏变换解常系数线性微分方程的初值问题 例1 求初值问题Y”一2y +2y=e～，y(O)=0，Y (0)=1． 例2求解初值问题 用拉氏变换求常系数线性微分方程(组)，是把关于Y(t)的微分方程(组) 转化成关于象函数l，(s)的代数方程，从而容易确定l，(s)．从象函数l，(s)求其拉氏逆变换即得原函数 Y(t)．由于在求解过程中同时利用了初值条件，因此用拉氏变换求得的解是初值问题的解．如果把初值视为任意常数，则用拉氏变换求得的解就是通解． 2 利用拉氏变换求积分方程 用拉氏变换求解相关问题既方便又简洁． 答案补充：应用拉普拉斯变换分析RLC电路,不需要确定积分常数 拉普拉斯变换的数值逆在偏微分方程中的应用ut(t,x)-∫0^t(t-s)^-1/2uxx(s,x)ds=f(t,x)的数值解。该方法选择适当的n可以达到相当高的精度。 用拉氏变换引入网络函数的概念，网络函数是分析电路正弦稳态响应的工具，最后，希望以系统的方式将电路的时域特性与频域特性联系起来，拉氏变换加深对电路功能的理解。答案补充拉氏反变换：有理真分式、有理假分式、部分分式展开法、具有独立实根的有理真分式的拉氏反变换、具有共轭复根的有理真分式的拉氏反变换、具有实重根的有理真分式的拉氏反变换、具有多重复根的有理真分式的拉氏反变换、假分式的拉氏反变换（整理为一个多项式和有理真分式之和，然后分别求其拉氏反变换）、F（s）的零点极点、初值定理和终值定理、初值定理终值定理的应用。 s域电路分析 拉氏变换用于电路分析具有两个特点：第一，拉氏变换将线性常系数微分方程转化为容易处理的线性多项式方程，第二，拉氏变换将电流和电压变量的初始值自动引入到多项式方程中，这样在变换处理过程中，初始条件就成为变换的一部分。 s称为复频率、复频域分析方法（又称运算法）、动态元件的初始储能问题、s域欧姆定律V=ZL、拉氏变换的线性特性决定了线性电路理论在s域同样适用、这些线性电路理论包括：KCL、KVL、节点电压法、网孔电流法、戴维南等效、诺顿等效、叠加定理等。答案补充我自己的经历，就只有在信息系统里，用到，主要是求初值问题，积分问题

拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系

铜陵学院 论文题目：拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 院部：电气工程学院 班级：电气工程及其自动化(1)班学号：1109141054 姓名：吴旭照 指导老师: 董德智 2013.6

拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 傅里叶变换（Transformée de Fourier）在物理学、数论、组合数学、信号处理、 概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅立叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的相位有关系吗？信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。 傅立叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。 想一想这个问题：给你很多正弦信号，你怎样才能合成你需要的信号呢？答案是要两个条件，一个是每个正弦波的幅度，另一个就是每个正弦波之间的相位差。所以现在应该明白了吧，频域上的相位，就是每个正弦波之间的相位。 傅立叶变换用于信号的频率域分析，一般我们把电信号描述成时间域的数学模型，而数字信号处理对信号的频率特性更感兴趣，而通过傅立叶变换很容易得到信号的频率域特性傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。如减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的对比，可以快速判断哪级齿轮损伤。 拉普拉斯变换（Laplace Transform)，是工程数学中常用的一种积分变换。 它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程