数值分析大作业讲解学习

数值分析大作业2014

课程设计

课程名称：高等数值计算

设计题目：数值计算B课程设计

学号：

姓名：

完成时间： 2014年10月20日

题目一：非线性方程求根

用Newton 法计算下列方程

（1） 310x x --=，初值分别为01x =，00.45x =，00.65x =；

（2） 32943892940x x x +-+=其三个根分别为1,3,98-。当选择初值02x =时

给出结果并分析现象,当6510ε-=?，迭代停止。

一、摘要

非线性方程的解析解通常很难给出，因此非线性方程的数值解就尤为重要。本实验通过使用常用的求解方法二分法和Newton 法及改进的Newton 法处理几个题目，分析并总结不同方法处理问题的优缺点。观察迭代次数，收敛速度及初值选取对迭代的影响。

二、数学原理

构造迭代函数的一条很重要的途径是，用近似方程来代替原方程去求根。因此，如果能将非线性方程用线性方程来代替的话，求近似根问题就很容易解决，而且十分方便。Newton 法就是把非线性方程线性化的一种方法。

在求解非线性方程()0f x =时，它的困难在于()f x 是非线性函数，为克服这一困难，考虑它的线性展开。设当前点为k x ，在k x 处的Taylor 展开式为

()()()()k k k f x f x f x x x '≈+-

令()0f x =，可以得到上式的近似方程

()()()0k k k f x f x x x '+-=

设()0k f x '≠，解其方程得到

1()

(0,1,)()k k k k f x x x k f x +=-='…

这就是牛顿迭代公式。用牛顿迭代公式求方程()0f x =根的方法称为牛顿迭代法。

牛顿迭代法的几何意义为，不断用切线来近似曲线得到方程的根，我们知道方程()0f x =的实根*x 是函数()y f x =的图形与横坐标的交点，1k x +是函数()f x 在点(,())k k x f x 处的切线与x 轴的交点，此时就是用切线的零点代替曲线的零点，因此，牛顿迭代法又称为切线法。

三、程序设计

基于MATLAB软件编写程序，先定义一个用Newton法求解的功能函数，然后调用函数用于计算不同的方程。各变量定义见程序。

1、选取初值。

2、利用公式求解

1

()

(0,1,)

()

k

k k

k

f x

x x k

f x

+

=-=

'

…

3、计算所得

1

-

k k

x x

+

是否满足精度要求

4、如不满足继续迭代运算，如满足则输出所求结果

四、结果分析和讨论

1、第一题计算结果：

首先得到函数在区间[-2.5，2.5]的图像，即可知函数()

f x与x轴有交点，也就是说有根，并且从图中能够大致估算到根的位置。

(1)、取初值

1

x=时

得到根值r=1.3247，迭代次数t=4次

(2)、取初值

0.45

x=时

得到根值r=1.3247，迭代次数t=42次

(3)、取初值

0.65

x=时

得到根值r=1.3247，迭代次数t=8次

根据结果可以分析得到，当使用牛顿迭

代法时，所选初始值对迭代速度（迭代次

数）有较大影响。当初始值

x充分接近方程

的单根时，可保证迭代序列快速收敛，当初

值选择不当时会造成迭代次数大幅增加或不

一定收敛。

2、第二题计算结果：