湖北省荆州中学2015-2016学年高二(下)3月质检数学试卷(理科)
2015-2016学年湖北省荆州中学高二（下）3月质检数学试卷（理
科）
一、选择题（共20个小题，每小题5分，本题满分60分）
1．命题“?x0∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是（）
A．?x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．?x0∈R，x3﹣x2+1＜0
C．?x0∈R，x3﹣x2+1≤0 D．不存在x∈R，x3﹣x2+1＞0
2．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（）
A．90种B．180种C．270种D．540种
3．“a=1”是“方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k+1次正面的概率，那么k的值为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．函数f（x）=e x sinx的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为（）
A．0 B．C．1 D．
6．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆
与双曲线渐近线的一个交点为（1，2），则此双曲线方程为（）
A．B．C．D．
7．若函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
8．我们把由半椭圆+=1（x＞0）与半椭圆+=1（x＜0）合成的曲线称作“果圆”
（其中a2=b2+c2，a＞b＞c＞0）．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是腰长为1的等腰直角三角形，则a，b的值分别为（）
A．5，4 B．C．D．
9．若方程x3﹣3x+m=0在上只有一个解，则实数m的取值范围是（）
A． B．（0，2﹣2，0）∪{2}D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
10．已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是（）
A．K∈B．K∈∪hslx3y3h，+∞﹣，﹣∞，﹣，+∞13，14），第二组17，
180，2﹣2，2 C．0，20，1，
根据f（x）在区间上只有一个解，
f（0）=m，f（1）=m﹣2，f（2）=2﹣m，
当f（1）=m﹣2=0时满足条件，即m=2，满足条件，
当f（0）f（2）≤0时，解得﹣2≤m≤0时，
当m=0时，方程x3﹣3x=0．解得x=0，x=1，不满足条件，
故要求的m的取值范围为﹣，﹣∞，﹣，+∞﹣，﹣∞，﹣，+∞﹣，xf（x）1，3）．
18．某学校1800名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组14，15），第五组，图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩小于15秒认为良好，求该样本在这次百米测试中成绩良好的人数；
（2）请估计学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数；
（3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数和中位数．
【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．
【分析】（1）根据题意，成绩在第一组的为优秀，其频率为0.06，由频率计算公式即可算出该样本中成绩优秀的人数；
（2）由频率分布直方图知成绩在第三组的频率0.32，因此估计成绩属于第三组的人数约为900×0.32；
（3）由频率分布直方图估计样本数据的中位数，众数，规律是，众数即是最高的小矩形的底边中点横坐标，中位数，出现在概率是0.5的地方．
【解答】解：（1）样本在这次百米测试中成绩良好的人数是：1×0.06×50+1×0.16×
50=3+9=11（人）；
（2）学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数1×0.32×1800=576（人）；
（3）由图可知众数落在第三组15，16）中，
假设中位数是x，所以1×0.06+1×0.16+（x﹣15）×0.38=0.5，
解得中位数x=≈15.7368≈15.74．
19．如图，一圆形靶分成A，B，C三部分，其面积之比为1：1：2．某同学向该靶投掷3枚飞镖，每次1枚．假设他每次投掷必定会中靶，且投中靶内各点是随机的．
（Ⅰ）求该同学在一次投掷中投中A区域的概率；
（Ⅱ）设x表示该同学在3次投掷中投中A区域的次数，求x的分布列及数学期望；（Ⅲ）若该同学投中A，B，C三个区域分别可得3分，2分，1分，求他投掷3次恰好得4分的概率．
【考点】几何概型；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（1）题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出满足条件A的区域面积和总面积之间的关系，再根据几何概型计算公式给出答案；（2）根据（1）中投中A区域的概率，不难列出x的分布列并进行数学期望；（3）考查的是古典概型，我们可以列举出三次投掷总的基本事件个数及恰得4分的事件个数，代入古典概型计算公式求解．
【解答】解：（Ⅰ）设该同学在一次投掷中投中A区域的概率为P（A），
依题意，．
（Ⅱ）依题意知，，（k=0，1，2，3）
从而X的分布列为：
（Ⅲ）设B i表示事件“第i次击中目标时，击中B区域”，C i表示事件“第i次击中目标时，击中C区域”，i=1，2，3．
依题意知．
20．已知F1、F2分别是椭圆C： +y2=1的左、右焦点．
（1）若P是第一象限内该椭圆上的一点，?=﹣，求点P的坐标；
（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）求得椭圆的a，b，c，可得左右焦点，设P（x，y）（x＞0，y＞0），运用向量的数量积的坐标表示，解方程可得P的坐标；
（2）显然x=0不满足题意，可设l的方程为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由∠AOB为锐角，即为，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求k的范围．
【解答】解：（1）因为椭圆方程为，
知a=2，b=1，，
可得，，
设P（x，y）（x＞0，y＞0），
则，
又，联立，
解得，即为；
（2）显然x=0不满足题意，可设l的方程为y=kx+2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，
由△=（16k）2﹣4（1+4k2）?12＞0，得．
，．
又∠AOB为锐角，即为，
即x1x2+y1y2＞0，x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，
，可得k2＜4．又，即为，
解得．
21．已知函数f（x）=aln（x+1）﹣ax﹣x2．
（1）若x=1为函数f（x）的极值点，求a的值；
（2）讨论f（x）在定义域上的单调性．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）求函数的导数，根据x=1为函数f（x）的极值点，建立方程f'（1）=0，进行求解即可．
（2）求函数的导数，讨论a的取值范围，结合函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可．【解答】解：（1）因为f′（x）=﹣a﹣2x，
令f'（1）=0，即﹣a﹣2=0，解得a=﹣4，
经检验：此时，x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；
x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，
∴f（x）在x=1处取极大值．满足题意．
（2）f′（x）=﹣a﹣2x=，
令f'（x）=0，得x=0，或x=﹣，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞）
①当﹣≤﹣1，即a≥0时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；
若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；
②当﹣1＜﹣＜0，即﹣2＜a＜0时，若x∈（﹣1，﹣），则f'（x）＜0，f（x）递减；
若x∈（﹣，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；
③当﹣=0，即a=﹣2时，f'（x）≤0，f（x）在（﹣1，+∞）内递减，
④当﹣＞0，即a＜﹣2时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＜0，f（x）递减；
若x∈（0，﹣），
则f'（x）＞0，f（x）递增；
若x ∈（﹣
，+∞），则f'（x ）＜0，f （x ）递减；
22．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：的上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 1：x 2=4y 的焦点，点M 是C 1与C 2在第二象限的交点，且．
（1）求椭圆C 1的方程；
（2）已知A （b ，0），B （0，a ），直线y=kx （k ＞0）与AB 相交于点D ，与椭圆C 1相交于点E ，F 两点，求四边形AEBF 面积的最大值．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
【分析】（1）利用抛物线的标准方程即可得出焦点坐标，再利用抛物线的定义和点M 在抛物线上即可得到点M 的坐标；利用点M 在椭圆C 1上满足椭圆的方程和c 2=a 2﹣b 2即可得到椭圆的方程；
（2）设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），其中x 1＜x 2，由点F 满足，及，
，故四边形AEBF 的面积S=S △
BEF +S △AEF ==，再利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：（1）由抛物线C 1：x 2=4y 的焦点，得焦点F 1（0，1）．
设M （x 0，y 0）（x 0＜0），由点M 在抛物线上， ∴，，解得，．
而点M 在椭圆C 1上，∴，化为， 联立，解得， 故椭圆的方程为
． （2）由（1）可知：|AO |=
，|BO |=2．设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），其中x 1＜x 2， 把y=kx 代入，可得
，x 2＞0，y 2=﹣y 1＞0，且． ，
， 故四边形AEBF 的面积S=S △BEF +S △AEF ==
=≤=．
当且仅当时上式取等号．
∴四边形AEBF面积的最大值为．
2016年10月18日