专题：三角形
专题平行线与三角形
一、相关知识点复习：
（一）平行线
定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
判定：
相等，两直线平行.
相等，两直线平行.
相等，两直线平行.
垂直于同一直线的两直线平行.
性质：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行.
两直线平行，同位角相等.
两直线平行，内错角相等.
两直线平行，同旁内角互补
（二）三角形
知识点1 三角形的边、角关系
1.三角形任何两边之和大于第三边；
2.三角形任何两边之差小于第三边；
3.三角形三个内角的和等于；
4.三角形三个外角的和等于；
5.三角形一个外角等于；
6.三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
知识点2 三角形的主要线段和外心、内心
1.三角形的角平分线、中线、高；
2.三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，性质
3.三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，性质
4.连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线知识点3 等腰三角形等腰三角形的识别：
1.有两边相等的三角形是等腰三角形；
2.有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；
3.三边相等的三角形是等边三角形；
4.三个角都相等的三角形是等边三角形；
5.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
等腰三角形的性质：
1.等边对等角；
2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；
3.等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；
4.等边三角形的三个内角都等于60°。
知识点4 直角三角形直角三角形的识别：
1.有一个角等于90°的三角形是直角三角形；
2.有两个角互余的三角形是直角三角形；
3.勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
4.直角三角形的性质：
①直角三角形的两个锐角互余
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
③勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
知识点5 全等三角形
定义、判定、性质
练习：
1.如图，若AB ∥CD ，∠C = 60o，则∠A ＋∠E ＝
2.如图，1l //2l ，则α=
3.如果两个角的两边分别平行且一个角比另外一个角的3倍少
30，这两个角的度数分别为
4.如图，在同一平面内，两条平行高速公路1l 和2l 间有一条“Z ”型道路连通，其中AB 段与高速公路1l 成 30角，长为20km;BC 段与AB 、CD 段都垂直，长为10km ；CD 段长为30km ，求两高速公路间的距离 （结果保留根号）
5.等腰三角形ABC 的周长为21，底边BC 长为5，腰AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接BE ，则三角形BEC 的周长为
6.如图，在三角形ABC 中，∠C= 90，∠A=
30，BD 是∠ABC 的平分线，若AB=6，则点D 到AB 间的距离是
7..如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD=BC ，AD=DE=EB ，则∠A=
8.如图，AD 是△ABC 的角平分线，若△ABC 的面积是48，且AC=16，AB=12，则点D 到AB 的距离是 。
9.已知如图等腰△ABC ，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥BC 于点D ，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP=OC ，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；② △OPC 是等边三角形；③AC=AO+AP；④S △ABC =S 四边形AOCP 。其中正确的有
10.如图，在RT △ABC 中，∠BAC= 90，D 是BC 边上的一点，点E,F 分别是线段AB ，AD 的中点，
连接CE 、CF 、EF
（1）求证：△CEF △AEF
（2）连接DE ，当BD=2CD 时，求证：DE=AF
11.如图所示，设A 城气象台测得台风中心在A ?城正西方向600km 的B 处，正以每小时200km 的速度沿北偏东60°的BF 方向移动，距台风中心500km ?的范围是受台风影响的区域．
（1）A 城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A 城受到这次台风的影响，那么A 城遭受这次台风的影响有多长时间？
12两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B 、
C 、E 在同一条直线上，连接DC 。
（1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）试说明：DC ⊥BE
13.如图，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为直线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为直角边且在AD 的上方做等腰直角三角形ADF 。
1.若AB=AC ，∠BAC=
90
（1）当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），试探讨CF 与BD 的数量关系和位置关系
（2）当点D 在线段BC 的延长线上时，（1）中结论是否依然成立，在图2中画出相应图形并说明理由；
2.若AB ≠AC,∠BAC 90≠,∠BAC= 45,点D 在线段BC 上运动，试探究CF 与BC 的位置关系。
(完整版)解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角
中考数学专题复习三角形专题训练
三角形 一、选择题 1.若一个直角三角形的两边长为12和5，则第三边为（） A. 13 B.13或 C. 13或5 D. 15 2.三角形的角平分线、中线和高（） A. 都是射线 B. 都是直线 C. 都是线段 D. 都在三角形内 3.小明用同种材料制成的金属框架如图所示，已知∠B=∠E，AB=DE，BF=EC，其中框架△ABC的质量为840克，CF的质量为106克，则整个金属框架的质量为（） A. 734克 B. 946克 C. 1052克 D. 1574克 4.到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的是（） A. 三条中线的交点, B. 三条角平分线的交点 C. 三条高线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 5.如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做使用的数学道理是（） A. 两点之间线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 长方形的四个角都是直角 6.如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC的大小是( )
A. 100° B. 80° C. 70° D. 50° 7.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 8.已知在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( ) A. AB=DE，AC=DF- B. AC=EF，BC=DF - C. AB=DE，BC=EF- D. ∠C=∠F，AC=DF 9.若等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角度数为（） A. 20° B. 50° C. 80° D. 100° 10.如图，点M是边长为4cm的正方形的边AB的中点，点P是正方形边上的动点，从点M出发沿着逆时针方向在正方形的边上以每秒1cm的速度运动，则当点P逆时针旋转一周时，随着运动时间的增加，△DMP面积达到5cm2的时刻的个数是（） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题 11.在△ABC中，已知∠A=30°，∠B=70°，则∠C的度数是________。 12.将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为________． 13.如图,点P为△ABC三条角平分线的交点,PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,则PD____________PF.
中考专题复习解三角形
1．（10分） 我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC ∥AD ，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=600 ，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决 定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过450 时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC 削进到E 处，问BE 至少是多少米(结果保留根号)？ 2. 如图，山顶建有一座铁塔，塔高CD ＝20m ，某人在点A 处，测得塔底C 的仰角为45o ，塔顶D 的仰角为60o ，求山高BC （精确到1m ，参考数据：2 1.41,3 1.73≈≈） 3．(10分)如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡角∠BAD= 60,坡长AB=m 320,为加强水 坝强度,将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡的坡角∠F= 45,求AF 的长度(结果精确到1米,参考数据: 414.12≈,732.13≈). D A B C E F G (22题图)
4．(８分)某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长AB=6m , ∠ABC=45o ，后考虑到安全因素，将楼梯脚B 移到CB 延长线上点D 处，使0 30=∠ADC （如图所示）． （1）求调整后楼梯AD 的长； （2）求BD 的长． （结果保留根号） 5．(８分)为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中，需修建隧道AB. 如图,在山外一点C 测得BC 距离为20m ，∠,540=CAB ∠,300=CBA 求隧道AB 的长.(参考 数据: ,73.13,38.154tan ,59.054cos ,81.054sin 000≈≈≈≈精确到个位） 6．（8分）（2013?恩施州）“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点．某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A 处测得“香顶”N 的仰角为45°，此时，他们刚好与“香底”D 在同一水平线上．然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110米，到达B 处，测得“香顶”N 的仰角为60°．根据以上条件求出“一炷香”的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到1米，参考数据：， ）．
中考数学一轮专题复习三角形认识综合复习
三角形认识综合复习 一选择题： 1.有5根小木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm、6cm，任意取其中的3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的个数为（） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2.在△ABC中，画出边AC上的高，下面4幅图中画法正确的是（） A．B． C． D． 3.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，若S△DEF=2，则S△ABC等于( ) A．16 B．14 C．12 D．10 4.三角形两边长为6与8，那么周长的取值范围（） A．2<<14 B．16<<28 C．14<<28 D．20<<24 5.如图，已知点D是△ABC的重心，连接BD并延长，交AC于点E，若AE=4，则AC的长度为（） A．6 B．8 C．10 D．12 6.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′ DB=( ) A．40° B．30° C．20° D．10° 7.在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是（） A．6＜AD＜8 B．2＜AD＜14 C．1＜AD＜7 D．无法确定 8.在△ABC中，三边长分别为、、，且＞＞，若=8，=3，则的取值范围是（） A.3＜＜8 B.5＜＜11 C.6＜＜10 D.8＜＜11 9.一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为( ) A．5 B．6 C．7 D．8 10.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等
高考解三角形专题(一)及答案
解三角形专题 1．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1,3 a b B π ===，则A = ( ) A. 12π B. 6π C. 3π D. 2 π 2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC ?的面积，若 () 2 2214 S b c a = +-，则A ∠=（ ） A. 90? B. 60? C. 45? D. 30? 3．在ABC ?中，若sin 2sin cos A B C =,且 ()()3b c a b c a bc +-++=，则该三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 4. 在 中，内角为钝角， ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 5.在中，若，，则的周长为（ ）C A ． B ． C. D ． 6. 在锐角中，角、、所对的边分别为，且、、成等差数列， 则面积的取值范围是 7.已知锐角的内角 的对边分别为 ,且 ,则 的最大值为 __________． 8.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则的最小值为 ． 9.在 中，内角，，所对的边分别为，，，已知 . （1）求角的大小； （2）若的面积，为边的中点，，求. ABC △23 C π = 3AB =ABC △6sin 33A π?? + + ?? ?6sin 36A π??++ ???33A π??++ ???36A π? ?++ ?? ?ABC ?A B C ,,a b c A B C b =ABC ?ABC ?A B C a b c 2sin cos 2sin sin C B A B =+3c ab =ab
专题三角形总复习(含答案)
三角形知识 【知识精读】 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形中的几条重要线段： （1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质 （1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180° （3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。 4. 补充性质：在?ABC中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则 ?=?。 S S S S ABE CDE BDE CAE ???? 5. 三角形边角关系、性质的应用 1）. 三角形的内角和定理与三角形的外角和定理；
2）. 三角形中三边之间的关系定理及其推论； 3）. 全等三角形的性质与判定； 4）. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）； 5）. 直角三角形的性质与判定。 三角形一章在平面几何中占有十分重要的地位。从知识上来看，许多内容应用十分广泛，可以解决一些简单的实际问题；从证题方法来看，全等三角形的知识，为我们提供了一个及为方便的工具，通过证明全等，解决证明两条线段相等，两个角相等，从而解决平行、垂直等问题。因此，它揭示了研究封闭图形的一般方法，为以后的学习提供了研究的工具。因此，在学习中我们应该多总结，多归纳，使知识更加系统化，解题方法更加规范，从而提高我们的解题能力。 【分类解析】 1. 三角形内角和定理的应用 例1. 如图1，已知?ABC 中，∠=?⊥BAC AD BC 90，于D ，E 是AD 上一点。 求证：∠>∠BED C 证明：由AD ⊥BC 于D ，可得∠CAD ＝∠ABC 又∠=∠+∠ABD ABE EBD 则∠∠ABD EBD > 可证∠∠CAD EBD > 即∠∠BED C > 说明：在角度不定的情况下比较两角大小，如果能运用三角形内角和都等于180°间接求得。 2. 三角形三边关系的应用
初中数学三角形综合题(含答案)
初中数学三角形综合题 一、单选题(共9道，每道10分) 1.(2010山西省)现有四根木棒，长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为（__） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：C 试题难度：三颗星知识点：三角形三边关系定理 2.等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为15和12两部分，则此三角形底边之长为（） A.7 B.11 C.7或11 D.不能确定 答案：C 试题难度：三颗星知识点：等腰三角形三边分类讨论 3.在△ABC中，AD为BC边的中线，若△ABD与△ADC的周长差为3，AB=8，则AC的长为（） A.5 B.11 C.8或3 D.5或11 答案：D 试题难度：三颗星知识点：中线 4.锐角△ABC中，BD和CE是两条高，相交于点M，BF和CG是两条角平分线，相交于点N，若∠BMC=100°，则∠BNC的度数为（） A.100 B.110 C.120 D.130 答案：D 试题难度：三颗星知识点：高线、角平分线、内角和 5.如图①，PB平分ABC，PC平分ACB；如图②，PB平分ABC，PC平分ACE如图③，PB
平分CBF，PC平分BCE，若∠A=30°，则∠P为______度。 A.100，15，60 B.105，15，75 C.120，30，60 D.120，15，75 答案：B 试题难度：三颗星知识点：角平分线、内角、外角 6.如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D 、E分别在AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A‘重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=（__） A.70° B.110° C.130° D.140° 答案：D 试题难度：三颗星知识点：三角形内角及折叠 7.如图，已知△ABC，D在BC的延长线上，E在CA的延长线上，F在AB上，下列关于∠1与∠2关系描述正确的是（） A.∠1=∠2 B.∠1=2∠2 C.∠1＜∠2 D.∠1＞∠2
解三角形专题题型归纳
解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??=?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角
初中三角形专题 必做40题
专题十四【三角形的基本知识】 1．（2015?荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（） A．8或10 B．8 C．10 D．6或12 【答案】C． 2．（2015?安徽）在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠ AED=60°，则一定有（） A．∠ ADE=20°B．∠ ADE=30° C．∠ ADE=∠ ADC D．∠ ADE=∠ ADC 【答案】D． 3．（2015?东莞）如图，直线a∥ b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是（） A．75°B．55°C．40°D．35° 【答案】C． 4．（2015?长沙）如图，过△ ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（） A．B．C．D． 【答案】A． 5．（2015?山西）如图，在△ ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△ DBE的周长是6，则△ ABC的周长是（） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C． 6．（2015?黄冈）如图，在△ ABC中，∠C=90°，∠B=30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=3，则BC的长为（） A．6 B．6C．9 D．3 【答案】C． 7．（2015?荆州）如图，△ ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ ABC与△ EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB=cm． 【答案】16．
9．（2015?苏州）如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG∥ CD，交AC边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△ CEG的周长为． 【答案】27． 10．（2015?广州）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为． 【答案】3． 1．（2015?陕西）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（） A．2个B．3个C．4个D．5个 【答案】D． 2．（2015?烟台）等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程 x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为（） A．9 B．10 C．9或10 D．8或10 【答案】B． 3．（2015?黄石）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（） A．36°B．54°C．18°D．64° 【答案】B． 4．（2015?北京）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（） A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km
专题：相似三角形综合题型
专题：相似三角形综合题型 1.如图，已知△ABC 的面积是3的等边三角形，△ABC ∽△ADE ，AB=2AD ， ∠BAD=45°，AC 与DE 相交于点F ，则△AEF 的面积等于__________（结果保留根号）. 【答案】 4 3 3- 2.如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ， 连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B. (1) 求证：△ADF ∽△DEC (2) 若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长. 3.（1）如图1，在△ABC 中，点D ，E ，Q 分别在AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点 P ．求证： QC PE BQ DP =． （2） 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接 AG ，AF 分别交DE 于M ，N 两点． ①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN 的长； ②如图3，求证MN 2 =DM·EN ． 【答案】（1）证明：在△ABQ 中，由于DP ∥BQ ， ∴△ADP ∽△ABQ ， ∴DP/BQ ＝AP/AQ ． 同理在△ACQ 中，EP/CQ ＝AP/AQ ． ∴DP/BQ ＝EP/CQ ． （2） 9 2． （3）证明：∵∠B ＋∠C =90°，∠CEF ＋∠C =90°． ∴∠B =∠CEF ， 又∵∠BGD =∠EFC ， ∴△BGD ∽△EFC ． ∴DG/CF ＝BG/EF ， ∴DG·EF ＝CF·BG
又∵DG ＝GF ＝EF ，∴GF 2 ＝CF·BG 由（1）得DM/BG ＝MN/GF ＝EN/CF ∴（MN/GF ）2＝(DM/BG )·(EN/CF ) ∴MN 2 ＝DM·EN 4.如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(80)-，，直线BC 经过点(86)B -，，(06)C ，，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA B C '''，此时直线OA '、直线B C ''分别与直线BC 相交于点P 、Q ． （1）四边形OABC 的形状是 ，当90α=°时， BP BQ 的值是 ； （2）①如图2，当四边形OA B C '''的顶点B '落在y 轴正半轴时，求 BP BQ 的值； ②如图3，当四边形OA B C '''的顶点B '落在直线BC 上时，求OPB '△的面积． （3）在四边形OABC 旋转过程中，当0180α<≤°时，是否存在这样的点P 和点Q ，使 1 2 BP BQ =？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）矩形（长方形）； 4 7 BP BQ =． （2）① POC B OA ''∠=∠，PCO OA B ''∠=∠90=°， COP A OB ''∴△∽△． CP OC A B OA ∴='''， 即668CP =， 9 2 CP ∴=，72 BP BC CP =-= ． 同理B CQ B C O '''△∽△ CQ B C C Q B C '∴ =''' ， 即106 68CQ -=， 3CQ ∴=，11BQ BC CQ =+=． 722 BP BQ ∴ =． ②在OCP △和B A P ''△中， ） （图3） （图2） x
解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22A B C += 解三角形有用的结论
三角形三线专题
1.三角形的三线： （1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的_______，_叫做这 个三角形的中线，三角形的三条中线____________交_于一点，这点称为三角形的_________．_ （2）在三角形中，一个角的角平分线与它的对边相交，这个角的 顶点与交点之间的______叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线______________交__于一点，这点称为三角形的________．_ （3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂 足之间的_______叫_做三角形的高线（简称三角形的高），三角形的三条高______________交__于一点，这点称为三角形的_______；_锐角三角形的三条高线及垂心都在其_______，_直角三角形的垂心是 _______，_钝角三角形的垂心和两条高线在其_______．_ 一．选择题（共9小题） 1．如图，在△ABC中，BC边上的高是、在△BCE中，BE边上的高、在△ACD中，AC边上的高分别是（） A．AF、B．AF、C．AC、D．AF、 CD、CE、CE、CD、 CECDCDCE 2．下列说法中正确的是（） A．三角形三条高所在的直线交于一点 B．有且只有一条直线与已知直线平行 C．垂直于同一条直线的两条直线互相 垂直 D．从直线外一点到这条直线的垂线段， 叫做这点到这条直线的距离
3．△ABC中BC边上的高作确的是（） A．B． C．D． 4．如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的部，那么这个三角形是（） A．锐角B．直角C．钝角D．任意 三角三角三角三角 形形形形 5．不一定在三角形部的线段是（） A．三角形的角平分B．三角形的中线 线 C．三角形的高D．以上皆不对 6．已知AD是△ABC的中线，且△ABD比△ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为（） A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm 7．下列说法中正确的是（） A．三角形的角平分线、中线、高均在三 角形部 B．三角形中至少有一个角不小于60° C．直角三角形仅有一条高 D．三角形的外角大于任何一个角 8．三角形的①中线、角平分线、高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于一点；④三条高必在三角形．其中 正确的是（） A．①②B．①③C．②④D．③④ 9．（2015春?校级月考）下列说确的是（） ①三角形的角平分线是射线； ②三角形的三条角平分线都在三角形部，且交于同一点； ③三角形的三条高都在三角形部； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分． A．①②B．②③C．③④D．②④
2017高考真题专题解三角形
2017高考解三角形汇总 1. （2017全国│文，11）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B+sin A （sin C ―cosC ）=0, a =2, c=√2, 则C= A.π12 B. π6 C. π4 D. π3 2. （2017全国Ⅱ文，16）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B= 3. （2017全国Ⅲ文，15）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,，已知3,6,600===c b C ，则=A ________ 4. （2017山东文，17）△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=3，AB ????? ·AC ????? =?6,S △ABC =3,求A 和a 。 5. （2017山东理，9）锐角△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列成立的是（） A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 6. （2017浙江文（理），14）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______． 7. （2017全国│理，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2 3sin a A （1）求sin B sin C ; （2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长 8. （2017全国Ⅱ理，17）ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2 sin()8sin 2 B A C +=． (1)求cos B (2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b 9. （2017全国Ⅲ理，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A cos A =0，a ,b =2. （1）求c ；
(完整版)四年级下册三角形综合练习题
三角形知识点复习 一、下面的说法正确吗？正确的画“√”，错误的画“×”。 1、在一个三角形中，如果有两个锐角，那么这个三角形就一定是锐角三角形。 2、钝角三角形只有一条高。 3、锐角三角形中任意两个锐角的和一定大于90°。 4、把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是 90°。 5、一个等腰三角形的周长是21厘米，底边长是3厘米，则腰长是9厘米。 6、有一个角是60°的等腰三角形一定是一个等边三角形。 7、三角形的稳定性在日常生活中有广泛应用。 8、任意三条不同长度的绳子都可以围成三角形 9、一个六边形的内角和是720° 10、一个直角三角形有一个锐角是45°，这个三角形是等腰三角形。 11、四边形的内角和是360°，八边形的内角和是720° 12、任意一个三角形都有两个锐角。 13、等腰三角形不一定是锐角三角形。 二、填空。 1、一个三角形有一个角是115°，这个三角形是（）三角形。 2、一个三角形的三条边的长度分别是5cm，5cm，8cm，这个三角形是（）三角形。一个等腰直角三角形的一个底角是（）°。 3、一个等腰三角形的底角是30°，它的另一个底角是（）°，它的顶角是（）°。 4、用一根45cm长的铁丝围成一个等边三角形，这个三角形每条边长都是（）cm；它的每个角都是（）°。 5、用一根100cm长的铁丝围成一个底边长40cm的等腰三角形，这个三角形的一条腰长（）cm。 6、一个三角形有两个内角和是90°，这个三角形一定是一个（）三角形。 7、用一根35cm长的铁丝围成一个等腰三角形，三角形的一条腰长10cm，这个三角形的底边长（）cm。 8、一个等腰三角形的两条边长分别是4cm和8cm。第三天边长是（）cm。 9、把两个完全相同的直角三角形拼在一起，拼成一个大三角形，拼成的大三角形的内角和是（）°。
北京高三理科解三角形大题专题带答案
实用文档 解三角形大题专题 20141513 分）（．（本小题满分石景山一模）B，Ca，b，cA，ABCca?b?Asin2b3a?中， 角．，的对边分别为，且在△B的大小；（Ⅰ）求角c ABC2a?7?b的面积．，求边的长和△（Ⅱ）若， 13201415分）（．（本小题满分西城一模）222 aBACbcABC bca?b?c?．在△中，角，，所对的边分别为．已知，，A的大小；（Ⅰ）求6b?2?Bcos ABC 的面积．，（Ⅱ）如果，求△3 标准文案． 实用文档 （2014海淀二模）15.（本小题满分13分）
A7sina?2ABC?b?21. 且在锐角中，B的大小；（Ⅰ）求c c3a?的值（Ⅱ）若. ，求 20151513 分）西城二模）（．（本小题满分 b 3 a C ABC AB ab c 7，，＝，所对的边分别为＝在锐角△中，角，，，，已知 ．A 的大小；（Ⅰ）求角ABC 的面积．（Ⅱ）求△ 标准文案． 实用文档 （2013丰台二模）15．（13分） 2(B?C)?32sinsin2A.的三个内角分别为已知A,B,C,且ABC?（Ⅰ）求A的度数； BC?7,AC?5,求（Ⅱ）若的面积S. ABC?
20141513 分）（．（本小题满分延庆一模）?3c,a,b,AB,C?C?Bcos2ABCa?．在三角形中，角，且所对的边分别为，，45Asin的值；（Ⅰ）求ABC?的面积．（Ⅱ）求 标准文案． 实用文档 （2015顺义一模）15.（本小题满分13分） ?6ABC??32,sinBb?B?A?c,a,bA,B,C. 在已知,中角,所对的边分别为, 32a; (I)求的值Ccos. 的值(II)求
2020年九年级中考数学专题复习 几何：三角形综合(包含答案)
2020中考数学专题复习几何：三角形综合(含答 案) 一、选择题（本大题共6道小题） 1. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD=2，AB=3，DE=4，则BC等于() A.5 B.6 C.7 D.8 2. 如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E.AD=3，BE=1.则DE的长是 () A.B.2 C.2D. 3. 如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为 () A.(1，1) B.(1，) C.(，1) D.() 4. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC 交AB于M，交AC于N.若△AMN的周长为18，BC=6，则△ABC的周长为() A.21 B.22 C.24 D.26
5. 如K19-6，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F.若∠ABC=35°，∠C=50°，则∠CDE的度数为 () A.35° B.40° C.45° D.50° 6. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是125，小正方形的面积是25，则(sinθ-cosθ)2= () A.B.C.D. 二、填空题（本大题共5道小题） 7. 如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=45°，点D在AC边上，将△ABD 绕点A逆时针旋转45°得到△ACD'，且点D'，D，B在同一直线上，则∠ABD的度数是. 8. 如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3∶4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是(6，0)，则点C的坐标是. 9. 如图，△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DEC，连接BD，则BD2的值是.
解三角形大题专项训练
标准文档 1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）的值． 2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求的值； （2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长． 3.△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．（Ⅰ）求； （Ⅱ）若C2=b2+a2，求B．
4.在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC （1）求cosA的值 （2）若a=1，，求边c的值． 5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c （1）若，求A的值； （2）若，求sinC的值． 6.△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC= （I）求△ABC的周长； （II）求cos（A﹣C）的值．
7.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=． （I）求sinC的值； （Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长． 8.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3b2+3c2﹣3a2=4bc． （Ⅰ）求sinA的值； （Ⅱ）求的值． 9.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．（Ⅰ）求A的大小； （Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．
10.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且．（1）确定角C的大小； （2）若，且△ABC的面积为，求a+b的值． 11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，． （Ⅰ）求sinC的值； （Ⅱ）求△ABC的面积． 12.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=60°，c=3b．求：（Ⅰ）的值； （Ⅱ）cotB+cot C的值．
专题三角形的五心汇总
专题:三角形的五心 三角形五心将在本节详细介绍,其难度较大,望量力而行 三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍． 三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心 三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心 三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)． 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 内切圆半径r 的计算： 设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =S p ． 特别的，在直角三角形中,有 r =1 2(a +b －c )． 3、三角形的重心 三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心． 上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2． 4、三角形的垂心 三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心． 斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”． 5、三角形的旁心 三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)． 每个三角形都有三个旁切圆． A 类例题 例1 证明重心定理。 证法1 如图，D 、E 、F 为三边中点，设BE 、CF 交于G ，连接EF ，显然EF ∥=12 BC ，由三角形相似可得GB ＝2GE ，GC =2GF ． 又设AD 、BE 交于G '，同理可证G 'B =2G 'E ，G 'A =2G 'D ，即G 、G '都是BE 上从B 到E 的三分之二 处的点，故G '、G 重合． A B C O A B C D E F G A B C D E F I a I K H E F D A B C M A B C D E F G
专题24解三角形中的最值、范围问题(解析版)
专题24 解三角形中的最值、范围问题 解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意2 2 ,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===，其中为ABC V 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 学/科-+网 例如：（1）2 2 2 2 2 2 sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=?+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=?+=（恒等式） （3） 22sin sin sin bc B C a A = 2、余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc A =+- 变式：()()2 2 21cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值 4、三角形中的不等关系 （1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少 （2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系： sin sin cos cos a b A B A B A B >?>?>?<
专题 三角函数及解三角形(解析版)
专题 三角函数及解三角形 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )= 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（ 2 π，π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③ 3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2 π为周期且在区间( 4 π， 2 π)单调递增的是 A ．f (x )=|cos2x | B ．f (x )=|sin2x | C ．f (x )=cos|x | D ．f (x )=sin|x | 4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0， 2 π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α= A ． 15 B ． 5 C 3 D 5 5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5 x ωπ + ）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 2 sin cos ++x x x x
③()f x 在（0, 10 π ）单调递增 ④ω的取值范围是[1229 510 ，) 其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④ 6．【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π ，且4g π?? = ???38f π??= ??? A ．2- B ． C D ．2 7．【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________． 8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π 6,2,3 b a c B === ，则ABC △的面积为_________． 9．【2019年高考江苏卷】已知 tan 2π3tan 4αα=-??+ ?? ?，则πsin 24α? ?+ ???的值是 ▲ . 10．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若 45BDC ∠=?，则BD =___________，cos ABD ∠=___________． 11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设 22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-． （1）求A ； （2 2b c +=，求sin C ． 12．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2 A C a b A +=． （1）求B ；