高中数学复数参赛教案

第5讲 复 数

[最新考纲]

1．理解复数的基本概念． 2．理解复数相等的充要条件．

3．了解复数的代数表示法及其几何意义． 4．会进行复数代数形式的四则运算．

5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

知 识 梳 理

1．复数的有关概念 (1)复数的概念

形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数． (2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．

(4)复数的模：向量OZ →

的模叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2

＋b 2

. 2．复数的几何意义

(1)复数z ＝a ＋b i ――→一一对应

复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――→一一对应平面向量OZ →. 3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则

①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝

a ＋

b i

c ＋

d i ＝

a ＋

b i

c －

d i c ＋d i c －d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad

c 2＋

d 2

i(c ＋d i≠0)．

(2)复数加法的运算律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝

z 1＋(z 2＋z 3)．

辨 析 感 悟

1．对复数概念的理解

(1)方程x 2

＋x ＋1＝0没有解．(×) (2)2i 比i 大．(×)

(3)(教材习题改编)复数1－i 的实部是1，虚部是－i.(×) 2．对复数几何意义的认识 (4)原点是实轴与虚轴的交点．(√)

(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√)

(6)(2013·福建卷改编)已知复数z 的共复轭复数z ＝1＋2i ，则z 在复平面内对应的点位于第三象限．(×)

3．对复数四则运算的理解 (7)(教材习题改编)1

i

＝－i.(√)

(8)(2013·浙江卷改编)(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.(√) [感悟·提升]

1．两点提醒 一是在实数范围内无解的方程在复数范围内都有解，且方程的根成对出现，如(1)；

二是两个虚数不能比较大小，如(2)． 2．两条性质 (1)i 4n

＝1，i 4n ＋1

＝i ，i

4n ＋2

＝－1，i

4n ＋3

＝－i ，i n ＋i

n ＋1

＋i

n ＋2

＋i

n ＋3

＝0(各式中n

∈N )．

(2)(1±i)2

＝±2i，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i

＝－i.

考点一 复数的概念

【例1】 (1)(2013·山东卷)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )．

A ．2＋i

B ．2－i

C ．5＋i

D ．5－i

(2)(2013·新课标全国Ⅰ卷)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4－3i|，则z 的虚部为( )．

A ．－4

B ．－45

C ．4 D.4

5

解析 (1)由(z －3)(2－i)＝5， 得z ＝

52－i ＋3＝52＋i 2－i 2＋i

＋3＝52＋i

5

＋3＝5＋i ， ∴z ＝5－i.故选D. (2)(3－4i)z ＝|4＋3i|＝5.

∴z ＝53－4i ＝3＋4i 5，∴z 的虚部为4

5.

答案 (1)D (2)D

规律方法 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．

【训练1】 (1)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b

i 为纯虚数”的( )．

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

(2)若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2

＋z 2

的虚部为( )． A ．0 B ．－1 C ．1 D ．－2

解析 (1)ab ＝0?a ＝0或b ＝0，这时a ＋b i ＝a －b i 不一定为纯虚数，但如果a ＋b

i ＝a －b i 为

纯虚数，则有a ＝0且b ≠0，这时有ab ＝0，由此知选B. (2)∵z 2

＋z 2

＝(1＋i)2

＋(1－i)2

＝0，∴z 2

＋z 2

的虚部为0. 答案 (1)B (2)A

考点二 复数的几何意义

【例2】 (1)(2013·湖南卷)复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )．

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 (2)复数z ＝

2－i

2

i

(i 为虚数单位)，则|z |＝( )．

A ．25 B.41 C ．5 D. 5

解析 (1)z ＝i ＋i 2

＝－1＋i ，对应的点为(－1,1)，位于复平面第二象限． (2)∵z ＝4－4i －1i ＝3－4i i ＝3－4i i i·i ＝4＋3i

－1＝－4－3i ，

∴|z |＝

－4

2＋－3

2

＝5.

答案 (1)B (2)C

规律方法 要掌握复数的几何意义就要搞清楚复数、复平面内的点以及向量三者之间的一一对应关系，从而准确理解复数的“数”与“形”的特征．

【训练2】 (1)(2013·四川卷)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )． A ．A B ．B C ．C D ．D

(2)(2013·湖北卷)i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.

解析 (1)设z ＝－a ＋b i(a ，b ∈R ＋)，则z 的共轭复数z ＝－a －b i ，它的对应点为(－a ，－

b )，是第三象限的点，故选B.

(2)在复平面内，复数z ＝a ＋b i 与点(a ，b )一一对应．

∵点(a ，b )关于原点对称的点为(－a ，－b )，则复数z 2＝－2＋3i. 答案 (1)B (2)－2＋3i

考点三 复数代数形式的四则运算

【例3】 (1)已知复数z ＝

3＋i 1－3i

2

，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.

(2)

2＋2i 3

4＋5i 5－4i

1－i

＝________.

(3)已知复数z 满足

i

z ＋i

＝2－i ，则z ＝________. 解析 (1)法一 |z |＝

|3＋i||

1－3i

2

|＝12

， z ·z ＝|z |2＝14

.

法二 z ＝

3＋i －2

1＋3i

＝－

34＋i 4

， z ·z ＝? ????－

34＋i 4? ????－34－i 4＝14

. (2)2＋2i 3

4＋5i 5－4i 1－i

＝

22

1＋i 3

i 5－4i

5－4i

1－i

＝

22

1＋i 4

i 2

＝2i(1＋i)4＝2i[(1＋i)2]2

＝2i(2i)2

＝－42i. (3)由

i z ＋i ＝2－i ，得z ＝i 2－i

－i ＝i 2＋i 5－i ＝25i －15－i ＝－15－3

5

i.

答案 (1)14 (2)－42i (3)－15－3

5

i

规律方法 在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z 1，z 2互为共轭复数，则z 1·z 2＝|z 1|2

＝|z 2|2

，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化． 【训练3】 (1)(2014·临沂模拟)设z ＝1＋i ，则2z

＋z 2

等于( )．

A ．1＋i

B ．－1＋i

C ．－i

D ．－1－i

(2)(2013·安徽卷)设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )． A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i

解析 (1)2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2

＝

21－i

1＋i 1－i

＋2i

＝

21－i

2

＋2i ＝1－i ＋2i ＝1＋i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z i ＋2＝(a ＋b i)·(a －b i)·i＋2＝2＋(a 2

＋b 2

)i ＝2a ＋2b i ，

故2＝2a ，a 2

＋b 2

＝2b 解得a ＝1，b ＝1 即z ＝1＋i. 答案 (1)A (2)A

1．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．

2．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合．

3．要记住一些常用的结果，如i ，－12＋3

2

i 的有关性质等，可简化运算步骤提高运算速度．

思想方法12——解决复数问题的实数化思想

【典例】 (2013·天津卷)已知a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.

解析 (a ＋i)·(1＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ＝b i

则?????

a －1＝0a ＋1＝b

解得a ＝1，b ＝2.所以a ＋b i ＝1＋2i.

答案 1＋2i

[反思感悟] (1)复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程(组)来求未知数的值．

(2)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法． 【自主体验】

1．(2014·滨州模拟)已知

a －2i

i

＝b ＋i(a ，b ∈R )，则a －b ＝( )．

A ．1

B ．2

C ．－1

D ．－3

2．(2012·湖北卷)若3＋b i 1－i

＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________.

一、选择题

3．(2013·北京卷)在复平面内，复数(2－i)2

对应的点位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

4．(2013·广东卷)若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( )． A ．(2,4) B ．(2，－4) C ．(4，－2) D ．(4,2)

5．(2014·武汉模拟)设复数z ＝(3－4i)(1＋2i)，则复数z 的虚部为( )． A ．－2 B ．2 C ．－2i D ．2i

6．(2013·新课标全国Ⅱ卷)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )． A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i

7．(2013·陕西卷)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( )． A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2

C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2

D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 2

1＝z 2

2 二、填空题

8．(2013·江苏卷)设z ＝(2－i)2

(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________．

9．(2014·郑州模拟)?

??

??1＋i 1－i 4＝________.

10．(2013·上海卷)设m ∈R ，m 2

＋m －2＋(m 2

－1)i 是纯虚数，则m ＝________. 三、解答题

11．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.

12．当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3

＋(m 2

＋5m ＋6)i ，(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；

(4)复数z 对应的点在复平面内的第二象限．

能力提升题组

一、选择题

13．(2014·陕西师大附中模拟)? ??

??1－i 1＋i 2 014＝( )． A ．－i B ．i C ．－1 D ．1

14．方程x 2

＋6x ＋13＝0的一个根是( )． A ．－3＋2i B ．3＋2i C ．－2＋3i D ．2＋3i 二、填空题

15．(2014·北京西城模拟)定义运算????a c b d ＝ad －bc .若复数x ＝1－i 1＋i ，y ＝????

4i 2

x i x ＋i ，则y ＝________. 三、解答题 16.

如图，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求： (1)AO →所表示的复数，BC →

所表示的复数； (2)对角线CA →

所表示的复数； (3)求B 点对应的复数． 一、选择题

17．(2013·湖北卷)在复平面内，复数z＝

2i

1＋i

(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于

( )．

A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限

18．(2013·辽宁卷)复数z＝

1

i－1

的模为( )．

A.1

2

B.

2

2

C. 2 D．2

19．(2013·江西卷)已知集合M＝{1,2，z i}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝( )．

A．－2i B．2i

C．－4i D．4i

20．(2014·佛山二模)已知复数z的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是( )．

A．－ 3 B.3i

C．±3i D．± 3

21．(2014·青岛一模)某程序框图如图所示，若a＝3，则该程序运行后，输出的x值为( )．

A．15 B．31 C．62 D．63

22．(2014·郑州一模)执行如图所示的程序框图，则输出n的值为( )．

A．6 B．5 C．4 D．3

23.(2014·咸阳模拟)某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为5,57，则判断框内应为

( )．

A ．k ≤6? B．k ＞4? C ．k ＞5? D ．k ≤5?

24．(2014·福州质检)将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是( )．

A ．第一列

B ．第二列

C ．第三列

D ．第四列

25．(2013·长沙模拟)我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a ，b ，c 为直角三角形的三边，其中c 为斜边，则a 2

＋b 2

＝c 2

，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O －ABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝90°，S 为顶点O 所对面的面积，S 1，S 2，S 3分别为侧面△OAB ，△OAC ，△OBC 的面积，则下列选项中对于S ，S 1，S 2，S 3满足的关系描述正确的为( )． A ．S 2＝S 21＋S 22＋S 23 B ．S 2

＝1S 21＋1S 22＋1S 23

C ．S ＝S 1＋S 2＋S 3

D ．S ＝1S 1＋1S 2＋1

S 3

二、填空题

26．(2013·重庆卷)已知复数z ＝

5i

1＋2i

，则|z |＝________. 27．(2014·茂名一模)设i 是虚数单位，复数1＋a i

2－i 为纯虚数，则实数a ＝________.

28．(2014·湖南十二校二联)为调查长沙市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间(单位：分钟)，按锻炼时间分下列四种情况统计：①0～10分钟；②11～20分钟；③21～30分钟；④30分钟以上．有10 000名中学生参加了此项活动，如图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6 200，则平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的频率是________．

29．(2014·泰安一模)若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值为________．

30．(2013·宝鸡二检)已知2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42

×415，…，若9＋b a ＝92×

b a (a ，b 为正整数)，则a ＋b ＝________.

31．(2014·兰州质检)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接

圆面积为S 2，则S 1S 2＝1

4

.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体A －BCD 的内切球体积

为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2

＝________. 三、解答题

32．在单调递增数列{a n }中，a 1＝2，不等式(n ＋1)a n ≥na 2n 对任意n ∈N *

都成立． (1)求a 2的取值范围；

(2)判断数列{a n }能否为等比数列，并说明理由．

33．(2013·常德模拟)设a＞0，f(x)＝ax

a＋x

，令a1＝1，a n＋1＝f(a n)，n∈N*.

(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{a n}的通项公式；

(2)用数学归纳法证明你的结论．

1. 解析 a －2i ＝b i ＋i 2

＝－1＋b i ，∴a ＝－1，b ＝－2，∴a －b ＝1. 答案 A 2.解析 由已知得3＋b i ＝(1－i)(a ＋b i)＝a ＋b i －a i －b i 2

＝(a ＋b )＋(b －a )i ，

根据复数相等得???

??

a ＋

b ＝3，

b －a ＝b ，

解得???

??

a ＝0，

b ＝3.

∴a ＋b ＝3. 答案 3

3. 解析 (2－i)2

＝4－4i ＋i 2

＝3－4i ，对应的点为(3，－4)，位于第四象限，故选D. 4. 解析 由已知条件得z ＝

2＋4i

i

＝4－2i ，所以z 对应的点的坐标为(4，－2)，故选C. 5. 解析 z ＝(3－4i)(1＋2i)＝11＋2i ，所以复数z 的虚部为2. 答案 B 6. 解析 由题意得z ＝

2i 1－i ＝2i·1＋i 2

＝－1＋i ，故选A. 7. 解析 A 中，|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故z 1＝z 2，成立．

B 中，z 1＝z 2，则z 1＝z 2成立．

C 中，|z 1|＝|z 2|，则|z 1|2

＝|z 2|2

，即z 1z 1＝z 2z 2，C 正确． D 不一定成立，如z 1＝1＋3i ，z 2＝2，

则|z 1|＝2＝|z 2|，但z 2

1＝－2＋23i ，z 2

2＝4，z 2

1≠z 2

2. 答案 D 8. 解析 ∵z ＝(2－i)2

＝3－4i ，∴|z |＝32

＋－4

2

＝5. 答案 5

9. 解析 ? ????1＋i 1－i 4＝? ??

?

?2i －2i 2＝1. 答案 1

10. 解析 由题意知?????

m 2

＋m －2＝0，

m 2

－1≠0，

解得m ＝－2. 答案 －2

11. 解 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ?z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R )， 则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. ∵z 1·z 2∈R .∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.

12. 解 (1)若z 为实数，则???

??

m 2

＋5m ＋6＝0，

m ＋3≠0，解得m ＝－2.

(2)若z 为虚数，则?

??

??

m 2

＋5m ＋6≠0，

m ＋3≠0，

解得m ≠－2且m ≠－3.

(3)若z 为纯虚数，则?????

m 2

＋5m ＋6≠0，m 2

－m －6

m ＋3

＝0，解得m ＝3.

(4)若z 对应的点在第二象限，则?????

m 2

－m －6m ＋3

＜0，

m 2＋5m ＋6＞0，

即?

??

??

m ＜－3或－2＜m ＜3，m ＜－3或m ＞－2，∴m ＜－3或－2＜m ＜3.

13. 解析 ? ????1－i 1＋i 2 014＝??????1－i 2

1＋i 1－i 2 014＝? ????－2i 2 2 014＝ (－i)

2 104

＝i

2 014

＝i

4×503＋2

＝－1. 答案 C

14. 解析 法一 x ＝－6±36－522

＝－3±2i.

法二 令x ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，∴(a ＋b i)2

＋6(a ＋b i)＋13＝0，即a 2

－b 2

＋6a ＋13＋(2ab ＋6b )i ＝0，

∴?

??

??

a 2

－b 2

＋6a ＋13＝0，2ab ＋6b ＝0，

解得a ＝－3，b ＝±2，即x ＝－3±2i. 答案 A 15. 解析 因为x ＝1－i 1＋i ＝

1－i 2

2

＝－i.

所以y ＝????4i 2 x i x ＋i ＝????4i 2 1

0＝－2. 答案 －2

16. 解 (1)AO →＝－OA →，∴AO →

所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →

所表示的复数为－3－2i.

(2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →

所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，

∴OB →

所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i. 17. 解析 z ＝

2i

1＋i

＝1＋i ，z ＝1－i ，对应点(1，－1)在第四象限．答案 D 18. 解析 z ＝1i －1＝－1－i －1＋i －1－i ＝－12－1

2i ，

∴|z |＝

? ????－122＋? ??

??－122＝22.答案 B 19. 解析 由M ∩N ＝{4}知4∈M ，所以z i ＝4，z ＝－4i ，选C. 20. 解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知a ＝1， ∴1＋b 2

＝4，∴b 2

＝3，∴b ＝± 3.答案 D 21. 解析 第一次循环：x ＝2×3＋1＝7，n ＝2； 第二次循环：x ＝2×7＋1＝15，n ＝3；

第三次循环：x ＝2×15＋1＝31，n ＝4. 此时不满足条件，输出x ＝31. 答案 B

22. 解析 第一次循环，n ＝1，S ＝1＋2＝3；第二次循环，n ＝2，S ＝2×3＋2＝8；第三次循环，n ＝3，S ＝3×8＋2＝26；第四次循环，n ＝4，S ＝4×26＋2＝106，此时满足条件，输出n ＝4. 答案 C

23. 解析 当k ＝1时，S ＝2×0＋1＝1；当k ＝2时，S ＝2×1＋2＝4；当k ＝3时，S ＝2×4＋3＝11；当k ＝4时，S ＝2×11＋4＝26；当k ＝5时，S ＝2×26＋5＝57，由题意知此时退出循环，因而选B. 答案 B

24. 解析 正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列．答案 D

25. 解析 如图，作OD ⊥BC 于点D ，连接AD ，由立体几何知识知，AD ⊥BC ，从而S 2

＝? ??

?

?12BC ·AD 2

＝14BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2)＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋14BC 2·OD 2

＝? ????12OB ·OA 2＋? ??

??12OC ·OA 2＋? ??

??12BC ·OD 2＝S 21＋S 22＋S 23.答案 A 26. 解析 z ＝5i 1＋2i ＝5i 1－2i 1＋2i 1－2i ＝2＋i ，∴|z |＝ 5.答案

5

27.解析

1＋a i 2－i ＝1＋a i 2＋i 2－i

2＋i ＝2－a 5＋2a ＋1

5

i ，

由题意知：2－a

5

＝0，∴a ＝2. 答案 2

28. 解析 由已知得，输出的数据为体育锻炼时间超过20分钟的学生数6 200，故锻炼时间不超过20分钟的学生数为10 000－6 200＝3 800，由古典概型的概率计算公式可得，P ＝

3 800

10 000＝0.38.故所求频率是0.38. 答案 0.38 29. 解析 第一次：n ＝3×5＋1＝16，k ＝1； 第二次：n ＝16

2＝8，k ＝2；

第三次：n ＝8

2＝4，k ＝3；

第四次：n ＝4

2＝2，k ＝4；

第五次：n ＝2

2

＝1，k ＝5，

此时满足条件，输出k ＝5. 答案 5

30. 解析 观察分数的分子规律得b ＝9，则a ＝b 2

－1＝80，故a ＋b ＝89. 答案 89 31. 解析 平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与球的半径的立方成正比，所以V 1V 2＝

127.答案 1

27

32. 解 (1)因为{a n }是单调递增数列，所以a 2＞a 1，即a 2＞2. 又(n ＋1)a n ≥na 2n ，令n ＝1，则有2a 1≥a 2，即a 2≤4，所以a 2∈(2,4]． (2)数列{a n }不能为等比数列． 用反证法证明：

假设数列{a n }是公比为q 的等比数列，由a 1＝2＞0，得a n ＝2q n －1

.

因为数列{a n }单调递增，所以q ＞1. 因为(n ＋1)a n ≥na 2n 对任意n ∈N *

都成立， 所以对任意n ∈N *

，都有1＋1n

≥q n .①

因为q ＞1，所以存在n 0∈N *，使得当n ≥n 0时，q n

＞2. 因为1＋1n

≤2(n ∈N *

)．

所以存在n 0∈N *，使得当n ≥n 0时，q n

＞1＋1n

，与①矛盾，故假设不成立．

33. 解 (1)∵a 1＝1，∴a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a 1＋a ；a 3＝f (a 2)＝a 2＋a ；a 4＝f (a 3)＝a

3＋a .

猜想a n ＝

a

n －1＋a

(n ∈N *

)．

(2)证明：①易知，n ＝1时，猜想正确． ②假设n ＝k 时猜想正确， 即a k ＝

a

k －1＋a

，

则a k ＋1＝f (a k )＝

a ·a k a ＋a k ＝a ·

a

k －1＋a a ＋

a k －1＋a

＝a k －1＋a ＋1＝a

[k ＋1－1]＋a

. 这说明，n ＝k ＋1时猜想正确． 由①②知，对于任何n ∈N *

，都有a n ＝a

n －1＋a

.

高中数学函数说课稿范文

各位评委老师，大家好！ 我是本科数学**号选手，今天我要进行说课的课题是高中数学必修一第一章第三节第一课时《函数单调性与最大（小）值》（可以在这时候板书课题，以缓解紧张）。我将从教材分析；教学目标分析；教法、学法；教学过程；教学评价五个方面来陈述我对本节课的设计方案。恳请在座的专家评委批评指正。 一、教材分析 1、教材的地位和作用 （1）本节课主要对函数单调性的学习； （2）它是在学习函数概念的基础上进行学习的，同时又为基本初等函数的学习奠定了基础，所以他在教材中起着承前启后的重要作用；（可以看看这一课题的前后章节来写） （3）它是历年高考的热点、难点问题 （根据具体的课题改变就行了，如果不是热点难点问题就删掉） 2、教材重、难点 重点：函数单调性的定义 难点：函数单调性的证明

重难点突破：在学生已有知识的基础上，通过认真观察思考，并通过小组合作探究的办法来实现重难点突破。（这个必须要有） 二、教学目标 知识目标：（1）函数单调性的定义 （2）函数单调性的证明 能力目标：培养学生全面分析、抽象和概括的能力，以及了解由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想 情感目标：培养学生勇于探索的精神和善于合作的意识 （这样的教学目标设计更注重教学过程和情感体验，立足教学目标多元化） 三、教法学法分析 1、教法分析 “教必有法而教无定法”，只有方法得当才会有效。新课程标准之处教师是教学的组织者、引导者、合作者，在教学过程要充分调动学生的积极性、主动性。本着这一原则，在教学过程中我主要采用以下教学方法：开放式探究法、启发式引导法、小组合作讨论法、反馈式评价法 2、学法分析

“授人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于方法的只是。学生作为教学活动的主题，在学习过程中的参与状态和参与度是影响教学效果最重要的因素。在学法选择上，我主要采用：自主探究法、观察发现法、合作交流法、归纳总结法。 （前三部分用时控制在三分钟以内，可适当删减） 四、教学过程 1、以旧引新，导入新知 通过课前小研究让学生自行绘制出一次函数f(x)=x和二次函数 f(x)=x^2的图像，并观察函数图象的特点，总结归纳。通过课上小组讨论归纳，引导学生发现，教师总结：一次函数f(x)=x的图像在定义域是直线上升的，而二次函数f(x)=x^2的图像是一个曲线，在（-∞，0）上是下降的，而在（0，+∞）上是上升的。（适当添加手势，这样看起来更自然） 2、创设问题，探索新知 紧接着提出问题，你能用二次函数f(x)=x^2表达式来描述函数在（-∞，0）的图像？教师总结，并板书，揭示函数单调性的定义，并注意强调可以利用作差法来判断这个函数的单调性。 让学生模仿刚才的表述法来描述二次函数f(x)=x^2在（0，+∞）的图像，并找个别同学起来作答，规范学生的数学用语。

高中数学选修4-4全套教案

高中数学选修4-4全套教案 第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置

3.1.1数系的扩充和复数的概念(教学设计)

§3.1.1数系的扩充和复数的概念（教学设计） 教学目标： 知识与技能目标： 了解引进复数的必要性；理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等）。理解虚数单位i 以及i 与实数的四则运算规律。 过程与方法目标： 通过问题情境，了解扩充数系的必要性，感受数系的扩充过程，体会引入虚数单位i 和复数形式的合理性，使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识。 情感、态度与价值观目标： 通过问题情境，体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。 教学重点： 复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用 教学难点： 虚数单位i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i 并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i 的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立 教学过程： 一、创设情境、新课引入： 数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N 随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q .显然N Q .如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z ，则有Z Q 、N Z .如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集 有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R .因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集 因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i ，叫做虚数单位.并由此产生的了复数 二、师生互动、新课讲解 1.虚数单位i : (1)它的平方等于-1，即 2 1i =-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. 2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i ! 3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1 4.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示* 3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫

精选高中数学教案优秀范文

精选高中数学教案优秀范文 讲授新课前，做一份完美的教案，能够更大程度的调动学生在上课时的积极性，下面是我为大家收集了数学教案，希望你们能喜欢。 精选数学教案优秀范文一 一、教学目标 【知识与技能】 在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件。 【过程与方法】 通过对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的的条件的探究，学生探索发现及分析解决问题的实际能力得到提高。 【情感态度与价值观】 渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。 二、教学重难点 【重点】 掌握圆的一般方程，以及用待定系数法求圆的一般方程。 【难点】 二元二次方程与圆的一般方程及标准圆方程的关系。 三、教学过程 (一)复习旧知，引出课题

1.复习圆的标准方程，圆心、半径。 2.提问1：已知圆心为(1,-2)、半径为2的圆的方程是什么? 精选数学教案优秀范文二 一、教学目标 【知识与技能】 掌握三角函数的单调性以及三角函数值的取值范围。 【过程与方法】 经历三角函数的单调性的探索过程，提升逻辑推理能力。【情感态度价值观】 在猜想计算的过程中，提高学习数学的兴趣。 二、教学重难点 【教学重点】 三角函数的单调性以及三角函数值的取值范围。 【教学难点】 探究三角函数的单调性以及三角函数值的取值范围过程。三、教学过程 (一)引入新课 提出问题：如何研究三角函数的单调性 (四)小结作业 提问：今天学习了什么? 引导学生回顾：基本不等式以及推导证明过程。 课后作业：

高中数学教学设计模版及案例

联系已学知识，可以解决这个问题。 对应问题1. 第三边c 是确定的，如何利用条件求之？ 首先用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c ()() 222 2 2c c c a b a b a a b b a b a b a b =?=--=?+?-?=+-? C a 从而2222cos c a b ab C =+-，同理可证2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+- 于是得到以下定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+- 教学情境二 对余弦定理的理解、定理的推论 对应问题2 公式有什么特点？能够解决什么问题？ 等式为二次齐次形式，左边的边对应右边的角。主要作用是已知三角形的两边及夹角求对边。 对应问题3 从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论：（由学生推出）

222cos 2+-=b c a A bc ； 222cos 2+-=a c b B ac ； 222 cos 2+-=b a c C ba [理解定理]余弦定理及其推论的基本作用为： ①已知三角形的任意两边及它们的夹角求第三边； ②已知三角形的三条边求三个角。 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ （由学生总结）若?ABC 中，C=90，则cos 0=C ，这时222=+c a b 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 教学情境三 例题与课堂练习 例题．在?ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ⑴解：2222cos =+-b a c ac B =222+-?cos 045=2121)+-=8 ∴=b 求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： ⑵解法一：∵cos 2221,22+-=b c a A bc ∴060.=A 解法二：∵0sin sin sin45a A B = 又 a ＜c ，即00＜A ＜090, ∴060.=A 评述：解法二应注意确定A 的取值范围。 课堂练习 在?ABC 中，若222a b c bc =++，求角A （答案：A=120°） 教学情境四 课堂小结 （1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； （2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。 （3）正、余弦定理从数量关系的角度解释了三角形全等，已知边角求做三角形两类问题，使其化为可以计算的公式。 习题设计 1． 在?ABC 中，a=3,b=4,?=∠60C ,求c 边的长。 2． 在?ABC 中，a=3,b=5，c=7,求此三角形的最大角的度数。 3． 若sin :sin :sin 5:7:8A B C =,求此三角形的最大角与最小角的和的大小。 4． △ABC 中，若()222tan a c b B +-=，求角B 的大小。 5． ?ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,求角C 的大小） （本案例由河北师大附中 刘建良设计，由汉沽五中 纪昌武 在目标设计和习题设计方面略作改动） 编写要求： 1、页面设置：A4，上、下、左、右边距都为2cm ；教学课题：小四宋体加粗；问题设计：课本上没有的有价值的情境、问题、例题、习题用五号黑体字，并简要说明设计意图。其他都用五号宋体。“目标设计、情境设计、问题设计、习题设计”要加粗。 2、目标设计主要写知识目标的设计。目标要具体明确、具有可操作性、可测性。

最新高中数学万能优秀说课稿模板

精品文档 说课稿模板 尊敬的各位专家、各位评委： 大家好！ 今天我说课的课题是，选自人教版高中数学必修一第章第节的我分别从教学内容的分析、教学目标的确定、教学方法的选择和教内容。下面，学过程的设计这四个方面来展开我今天的说课。 地位如何（承上启下） 作用分析（通过，培养学生能力，体会思想方法。 成功的教育必须以认识学生为前提，他和他的学习能力可能不一样，对知识的理解也可能不一样，我们教师只有充分地了解他们，才可能使我们的教学比较顺利地进行。他们高一年级的学生，已经具有了一定的观察问题和分析问题的能力，抽象思维也得到了一定的发展。但是针对这一节课，在过程中，学生可能会遇到一定的困难，这就要求我们在教学过程中，要特别注意启发引导。 根据以上教材分析和学情分析，我将这节课的三维目标设置如下 知识与技能 过程与方法 情感态度与价值观 结合新课标要求，确定了以下教学目标和教学重难点。 根据教学目标和考试大纲，本节课的重点是，难点是，这是由于。 为突出重点、突破难点，实现教学目标，接下来，我来说第二点，教法学法分析。 教法与学法是互相联系辩证统一的，不能孤立地去研究，什么样地教法必定带来什么样的学法。新课程标准要求教师是教学的组织者、引导者、合作者，在教学过程中要充分调动学生的积极性。学生作为教学活动的主体，在学习过程中的参与状态和参与度是影响教学效果最重要的因素。根据这个原则，结合本节课实际，在教法上，主要体现教师的引导，在学法上，突出学生的探索发现。通过大量生动有趣的生活实例，引导学生去发现问题探究问题。在教学过程中，注重启发式引导、反馈式评价，充分调动学生的学习积极性，同时为优化教学内容，提高课堂表现力和学

高中数学教案模板

高中数学教案模板 篇一：高中数学备课模板《空间中的垂直关系》教学计划- 1 -- 2 - - 3 - - 4 - 篇二：高中数学教案模板(1) 课题：三角函数模型的简单应用学校莱钢高中姓名李红一、教学目标：（1）通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法，根据解析式作出图象并研究性质；（2）体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型；（3）让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。二、教学重点、难点：重点：用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．难点：将某些问题抽象为三角函数模型。三、教学方法：数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是三角函数的应用，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题，然后由老师启发、总结、提炼，升华为分析和解决问题的能力。四、教学过程：（一）课题引入生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替四季轮回，潮涨潮散、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，一切都逃不过数学的眼睛！这节课我们就来学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象-----1.6三角函数模型的简单应用。（二）典型例题（1）由图象探求三角函数模型的解析式例1．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数错误！未找到引用源。．（1）求这一天6～14时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式意图：切入本节课的课题，让学生明确学习任务和目标。同时以设问和探索的方式导入新课，创设情境，激发思维，做好基础铺垫，让学生带着问题，有目的地参与后续教学活动。解：（1）由图可知：这段时间的最大温差是20?C；（2）从图可以看出：从6～14是y?Asin(?x??)?b的半个周期的图象，∴ T ?14?6?8∴T?16 2 2? ∵T? ? ，∴?? ? 8 30?10?A??10??A?10?2又∵? ∴? b?20??b?30?10?20 ?2? ∴y?10? 8 x??)?20 3? ??)??1， 4 将点(6,10)代入得：∴ 3?3????2k??,k?Z，42 3?3? ， ,k?Z，取?? 44 ∴??2k?? ?3? ∴y?10x?)?20,(6?x?14)。 84 【问题的反思】：①一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围；②与学生一起探索?的各种求法；（这是本题的关键！也是难点！）设计意图：提出问题，有学生动脑分析，

《复数的概念》教学设计【高中数学人教A版必修2(新课标)】

《复数的概念》教学设计 教材通过三个环节完成了对实数系的扩充过程：(1)提出问题(用什么方法解决方程x2＋1＝0在实数集中无解的问题)，引发学生的认知冲突，激发学生扩充实数系的欲望；(2)回顾从自然数集逐步扩充到实数集的过程和特点(添加新数，满足原来的运算律)；(3)类比、设想扩充实数系的方向及引入新数i所满足的条件(使i2＝－1成立，满足原来的运算律)．由于学生对数系扩充的知识并不熟悉，教学中教师需多作引导． 复数的概念是复数这一章的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的．虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的概念，以及虚数、纯虚数等概念的理解，教学中可结合具体例子，以促进对复数实质的理解． 课时分配 1课时． 1．了解引进复数的必要性；理解虚数单位i以及i与实数的四则运算规律．理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等)．2．通过问题情境，了解扩充数系的必要性，感受数系的扩充过程，体会引入虚数单位i和复数形式的合理性，使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识． 3．通过问题情境，体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． 重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念． ~ 难点：虚数单位i的引进及复数的概念． 引入新课 请同学们回答以下问题： (1)在自然数集N中，方程x＋4＝0有解吗

(2)在整数集Z中，方程3x－2＝0有解吗 (3)在有理数集Q中，方程x2－2＝0有解吗 ) 活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，最后师生总结． 活动成果：问题(1)在自然数集中，方程x＋4＝0无解，为此引进负数，自然数→整数； 问题(2)在整数集中，方程3x－2＝0无解，为此引进分数，整数→有理数； 问题(3)在有理数集中，方程x2－2＝0无解，为此引进无理数，有理数→实数． 数集的每一次扩充，对数学本身来说，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，如分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾． 提出问题：从自然数集N扩充到实数集R经历了几次扩充每一次扩充的主要原因是什么每一次扩充的共同特征是什么 活动设计：先让学生独立思考，然后小组讨论，师生共同归纳总结． 活动成果：扩充原因：①满足解决实际问题的需要；②满足数学自身完善和发展的需要． $ 扩充特征：①引入新的数；②原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展，都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律． 设计意图 回顾从自然数集N扩充到实数集R的过程，帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同特征． 探究新知 提出问题：方程x2＋1＝0在R上有解吗如何对实数集进行扩充，使方程x2＋1＝0在新的数集中有解 活动设计：小组讨论，类比猜想，设想新数的引进，师生共同完成． 学情预测：学生讨论可能没有统一结果，无法描述． 类比原来不同阶段数系的每一次扩充的特点，在实数集中方程x2＋1＝0无解，需要引进“新数”扩充实数集．让我们设想引入一个新数i，使i满足两个条件：(1)i是方程x2＋1＝0

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说课稿 各位评委:下午好！ 我叫,来自。今天我说课的课题《》 （第课时）。下面我将围绕本节课“教什么？”、“怎样教？”以及“为什么这 样教？”三个问题，从教材分析、教学目标分析、教学重难点分析、教法与学法、课堂设计五方面逐一加以分析和说明。 一、教材分析 （一）教材的地位和作用 《》是人教版出版社第册、第单元的内容。 《》既是在知识上的延伸和发展，又是本章的运用与 巩固，也为下一章教学作铺垫，起着链条的作用。同时，这部分内容较 好地反映了的内在联系和相互转化，蕴含着归纳、转化、数形结合等 丰富的数学思想方法，能较好地培养学生的观察能力、概括能力、探究能力及创新意识。 概括地讲，本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。 （二）、学情分析 通过前一阶段的教学，学生对的认识已有了一定的认知结构，主 要体现在三个层面： 知识层面：学生在已初步掌握了。 能力层面：学生在初步已经掌握了用 初步具备了思想。 情感层面：学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性。但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡. （三）教学课时 本节内容分课时学习。（本课时，品味数学中的和谐美，体验成功的乐趣。） 二、教学目标分析 根据教学大纲的要求、本节教材的特点和高中生的认知规律，本节课的教学目标确定为： 知识与技能：

过程与方法： 情感态度： （例如：创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用。在自主探究与讨论交流过程中，培养学生的合作意识和创新精神.通过对立统一关系的认识，对学生进行辨证唯物主义 教育） 在探索过程中，培养独立获取数学知识的能力。在解决问题的过程中，让学生感受到成功的喜悦，树立学好数学的信心。在解答数学问题时，让学生养成理性思维的品质。 三、重难点分析 重点确定为： 要把握这个重点。关键在于理解 其本质就是 本节课的难点确定为： 要突破这个难点，让学生归纳

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高中教师教案模板范文总汇合集 高中教师教案模板范文总汇合集一 一、概述 1. 说明学科(数学、语言艺术等)和年级 2.简要描述课题来源和所需课时 3.概述学习内容 4.概述这节课的价值以及学习内容的重要性 二、教学目标分析 从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度对该课题预计要达到的教学目标做出一个整体描述。 三、学习者特征分析 说明学习者在知识与技能、过程与方法、情感态度等三个方面的学习准备(学习起点)，以及学生的学习风格。要注意结合特定的情境，切忌空泛。 说明教师是以何种方式进行学习者特征分析，比如说是通过平时的观察、了解;或是通过预测题目的编制使用等。 四、教学策略选择与设计 说明本课题设计的基本理念、主要采用的教学与活动策略，以及这些策略实施过程中的关键问题。 五、教学资源与工具设计 教学资源与工具包括两个方面：一是为支持教师教的资源;二是支持学生学习的资源和工具，包括学习的环境、多媒体教学资源、特

定的参考资料、参考网址、认知工具以及其他需要特别说明的传统媒体。 如果是其他专题性学习、研究性学习方面的课程，可能还需要描述需要的人力支持及可获得情况。 六、教学过程 这一部分是该教学设计方案的关键所在。在这一部分，要说明教学的环节及所需的资源支持、具体的活动及其设计意图以及那些需要特别说明的教师引导语。 最后，画出教学过程流程图。同时，流程图中需要清楚标注每一个阶段的教学目标、媒体和相应的评价方式。 七、教学评价设计 创建量规，向学生展示他们将被如何评价(来自教师和小组其他成员的评价)。另外，可以创建一个自我评价表，这样学生可以用它对自己的学习进行评价。 八、帮助和总结 说明教师以何种方式向学生提供帮助和指导，可以针对不同的学习阶段设计相应的不同帮助和指导，针对不同的学生提出不同水平的要求，给予不同的帮助。 在学习结束后，对学生的学习做出简要总结。可以布置一些思考或练习题以强化学习效果，也可以提出一些问题或补充的链接鼓励学生超越这门课，把思路拓展到其他领域 高中教师教案模板范文总汇合集二

复数教学设计(省优质课)

§5.1 数系的扩充与复数的引入 江西省永新县任弼时中学 文辉 【教学目标】 （1） 了解引进复数的必要性，理解复数的基本概念，了解复数的代数法表示， 理解虚数单位，理解复数相等的充要条件. （2） 了解复数的几何意义，理解复数模的概念，了解复数与复平面内的点的 对应关系. （3） 体会实际需求与数学内部的矛盾在数学扩充过程中的作用，感受人类理 性思维在数系的扩充过程的作用以及数与现实世界的联系。 （4） 通过复数与复平面内的点的对应关系，体会二维空间中数与形之间的内 在联系. 【教学重难点】 重点：引进虚数单位i 的必要性，对i 的规定，复数的有关概念. 难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，复数的概念的理解. 教学方法：1.启发式教学法. 2.激励---探索---讨论---发现. 教具准备：多媒体，投影仪. 教学过程 Ⅰ.课题导入 ㈠引导学生回顾数的变化发展过程 数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N 随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展. 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q .显然N Q .如果把自然数集(含正整数和零)与负整数集合并在一起，构成整数集Z ，则有Z Q 、N Z .如果把整数看作分母为1的分数，那么﹛有理数﹜=﹛分数﹜=﹛循环小数﹜. 有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R .因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以﹛实数﹜=﹛小数﹜. ㈡设置问题情境，探究实践 问题①：请类比引进2，就可以解决方程02x 2=-在有理数集中无解的问题，怎么解决方程01x 2=+在实数集中无解的问题？

新课标高中数学1全部说课稿

第一章集合与函数概念 1.1集合 1.1.1集合的含义与表示 集合的含义与表示（说课稿） 各位老师，大家好！ 我是08数学本科（2）班的xx，我今天说课的题目是集合的含义与表示.下面我先对教材进行分析. 一、教材分析 集合的含义与表示是选自高中新课标A版教材必修1第一章第一节内容。在此之前，学生已经接触过集合的一些相关概念，如自然数的集合、有理数的集合.集合是一个基础性概念，是数学以至所有科学的基础，应用广泛. 集合是高考的对象，在高考中以选择题或填空题的形式出现，在高考中具有不可忽视的地位.本节内容能够培养学生的探索精神和数学素养. 二、教学目标 根据上述对教材的分析，我确定本节课的教学目标为 1. 知识与技能目标 理解集合的含义，集合的元素的特征，元素与集合的关系. 掌握集合的表示方法. 了解常用的数集.培养学生的抽象思维能力、分析能力、判断能力. 2. 过程与方法目标 应用自然语言与集合语言描述不同的具体问题，与学生一道归纳出集合的含义. 掌握从具体到抽象，从特殊到一般的研究方法. 3. 情感态度价值观目标 使得学生感受数学的简洁美与和谐统一美. 培养学生正确的、高尚的、唯物的价值观.培养学生独立思考、敢于创新、勇于探索的科学精神，激发同学们学习数学的兴趣. 三、重点和难点 重点：根据上述对教材的分析，确定的教学目标，我确定本节课的教学重点为：集合的含义，集合的表示方法. 难点：考虑到学生已有的知识基础与认知能力，我认为教学难点是集合的表示方法. 关键：学好本节课的关键是理解集合的含义，掌握集合的表示方法. 四、教学方法 1.学情分析 （1）生理特点：高中阶段是智力发展的关键年龄，学生逻辑思维从经验型逐步走向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随之迅速发展. （2）心理特点：高中学生虽有好奇，好表现的因素，更有知道原理、明白方法的理性愿望，希望平等交流研讨，厌烦空洞的说教. （3）认知障碍：有的学生遗忘了学过的知识，有的学生想象能力与归纳能力较差. 2.教法学法 根据上面的分析，从高中生的心理特点和认知水平出发，结合学生的实际情况与认知障碍，按照突出重点，突破难点，本节课采用学生广泛参与，师生共同探讨的启发式教学法. 五、教学过程（用描述性语言，不要具体化！） 根据以上分析，我对本节课的教学过程作如下安排：

高中数学【北师大选修1-1】教案全集

第一章常用逻辑用语1.1 命题 教学过程： 一、复习准备： 阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？ （1）矩形的对角线相等； >； （2）312 >吗？ （3）312 （4）8是24的约数； （5）两条直线相交，有且只有一个交点； （6）他是个高个子. 二、讲授新课： 1. 教学命题的概念： ①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）. 也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件. 上述6个语句中，（1）（2）（4）（5）（6）是命题. ②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）； 假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）. 上述5个命题中，（2）是假命题，其它4个都是真命题. ③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ （1）空集是任何集合的子集； （2）若整数a是素数，则a是奇数； （3）2小于或等于2； （4）对数函数是增函数吗？ x<； （5）215 （6）平面内不相交的两条直线一定平行； （7）明天下雨. （学生自练→个别回答→教师点评） ④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假. 2. 将一个命题改写成“若p，则q”的形式： ①例1中的（2）就是一个“若p，则q”的命题形式，我们把其中的p叫做命题的条件，q 叫做命题的结论. ②试将例1中的命题（6）改写成“若p，则q”的形式. ③例2：将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）两条直线相交有且只有一个交点； （2）对顶角相等； （3）全等的两个三角形面积也相等. （学生自练→个别回答→教师点评） 3. 小结：命题概念的理解，会判断一个命题的真假，并会将命题改写“若p，则q”的形式. 巩固练习： 教材 P4 1、2、3 4. （师生共析→学生说出答案→教师点评） ②例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假： （1）同位角相等，两直线平行； （2）正弦函数是周期函数；

高中数学_数系的扩充和复数的概念教学设计学情分析教材分析课后反思

《数系的扩充与复数的概念》教学设计 §3.1.1 数系的扩充和复数的概念 一、学习目标： 1.在问题的情境中让学生了解把实数系扩充到复数系的过程. 2.理解复数的有关概念以及复数相等的充要条件，掌握复数的代数形式 二、重点、难点： 重点：复数的概念与复数的代数形式，复数的分类. 难点：复数的概念及分类,复数相等. 三、学习过程： 1.复习回顾 问题1：你知道的数集有哪些？分别用什么符号表示？它们有什么关系？ 2. 3.问题2：方程012=+x 在实数集中无解。联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想 一种方法，使这个方程有解吗？ 结论：引入一个新数 ，规定（1） （2） 【复数的概念及代数形式】 练习1.指出下列复数的实部与虚部。 （1）2+3i （2）1-2i （3）5i -4（4）2i （5）-3i （6）8i （7）10 （8）-8 （9）0 问题3：你认为应怎样定义两个复数相等？ 【复数相等的充要条件】 问题4：复数),(R b a bi a z ∈+=在什么条件下是实数？ 【复数的分类】 练习2.下列各数是否是虚数，并说出各数的实部与虚部. i 3-1 i 7 1 31+ i ）（π-1 85-i

问题5.两个复数能否比较大小？ 4、例题巩固 例1.实数m 取什么值时，复数i m m z )1(1-++=是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。 变式：将复数改为i m m m z )1(1-++=应注意什么？ 方法小结： 例2. 下列命题中正确的有_____ （1）若C z ∈,则02≥z （2） i yi x +=+1(x,y 为实数)的充要条件是 1==y x （3）1＋ai 是一个虚数（4）若a ＝0，则a ＋bi 为纯虚数 方法小结： 例3.已知i xyi y x 222 2=+-，求实数y x ,的值。 变式1：已知0222=+-xyi y x ，求实数y x ,的值。 变式2：若0)1(2>-+i x x ，则=x 方法小结 5、课堂小结 6、作业布置（课本55页A 组1、2题） 《数系扩充和复数的概念》学情分析 在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各 种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成 发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。另 一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思 维习惯。

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高中数学说课稿(模板) 尊敬的各位专家、评委： 下午好！ 我的抽签序号是＿＿＿＿，今天我说课的课题是《＿＿＿＿＿＿＿》第＿＿课时。我尝试利用新课标的理念来指导教学，对于本节课，我将以“教什么，怎么教，为什么这样教”为思路，从教材分析、目标分析、教法学法分析、教学过程分析和评价分析五个方面来谈谈我对教材的理解和教学的设计，敬请各位专家、评委批评指正。 一、教材分析 （一）地位与作用 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。 （二）学情分析 （1）学生已熟练掌握＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 （2）学生的知识经验较为丰富，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力。（3）学生思维活泼，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。（4）学生层次参次不齐，个体差异比较明显。 二、目标分析 新课标指出“三维目标”是一个密切联系的有机整体，应该以获得知识与技能的过程，同时成为学会学习和正确价值观。这要求我们在教学中以知识技能的培养为主线，透情感态度与价值观，并把这两者充分体现在教学过程中，新课标指出教学的主体是学生，因此目标的制定和设计必须从学生的角度出发，根据＿＿＿＿在教材内容中的地位与作用，结合学情分析，本节课教学应实现如下教学目标：（一）教学目标 （1）知识与技能 使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法；。 （2）过程与方法 引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。 （3）情感态度与价值观 在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 （二）重点难点 本节课的教学重点是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，教学难点是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 三、教法、学法分析 （一）教法

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高中数学备课教案范文 【篇一：高中数学备课教案模板[1]】 高中数学备课教案模板 【篇二：高中数学教案模版】 高中数学备课教案模板 【篇三：高中数学教案模板】 高中数学教案模板 各位老师你们好!今天我要为大家讲的课题是 首先,我对本节教材进行一些分析: 一、教材分析（说教材）： 1. 教材所处的地位和作用： 本节内容在全书和章节中的作用是：《》是中数学教材第册第章第节内容。在此之前学生已学习了基础，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是在中，占据的地位。以及为其他学科和今后的学习打下基础。 2. 教育教学目标： 根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标： （1）知识目标： （ 2）能力目标：通过教学初步培养学生分析问题，解决实际问题，读图分析，收集处理信息，团结协作，语言表达能力以及通过师生双边活动，初步培养学生运用知识的能力，培养学生加强理论联系实际的能力，（3）情感目标：通过的教学引导学生从现实的生活经历与体验出发，激发学生学习兴趣。 3. 重点，难点以及确定依据： 下面，为了讲清重难上点，使学生能达到本节课设定的目标，再从教法和学法上谈谈： 二、教学策略（说教法） 1. 教学手段：

如何突出重点，突破难点，从而实现教学目标。在教学过程中拟计 划进行如下操作：教学方法。基于本节课的特点：应着重采用的教 学方法。 2. 教学方法及其理论依据：坚持“以学生为主体，以教师为主导”的 原则，根据学生的心理发展规律，采用学生参与程度高的学导式讨 论教学法。在学生看书，讨论的基础上，在老师启发引导下，运用 问题解决式教法，师生交谈法，图像信号法，问答式，课堂讨论法。在采用问答法时，特别注重不同难度的问题，提问不同层次的学生，面向全体，使基础差的学生也能有表现机会，培养其自信心，激发 其学习热情。有效的开发各层次学生的潜在智能，力求使学生能在 原有的基础上得到发展。同时通过课堂练习和课后作业，启发学生 从书本知识回到社会实践。提供给学生与其生活和周围世界密切相 关的数学知识，学习基础性的知识和技能，在教学中积极培养学生 学习兴趣和动机，明确的学习目的，老师应在课堂上充分调动学生 的学习积极性，激发来自学生主体的最有力的动力。 3. 学情分析：（说学法） （1）学生特点分析：中学生心理学研究指出，高中阶段是（查同中学生心发展情况）抓住学生特点，积极采用形象生动，形式多样的 教学方法和学生广泛的积极主动参与的学习方式，定能激发学生兴趣，有效地培养学生能力，促进学生个性发展。生理上表少年好动，注意力易分散 （2）知识障碍上：知识掌握上，学生原有的知识，许多学生出现 知识遗忘，所以应全面系统的去讲述；学生学习本节课的知识障碍，知识学生不易理解，所以教学中老师应予以简单明白，深入浅出的 分析。 （3）动机和兴趣上：明确的学习目的，老师应在课堂上充分调动学生的学习积极性，激发来自学生主体的最有力的动力 最后我来具体谈谈这一堂课的教学过程： 4. 教学程序及设想： （1）由引入：把教学内容转化为具有潜在意义的问题，让学生产 生强烈的问题意识，使学生的整个学习过程成为“猜想”继而紧张的 沉思，期待录找理由和证明过程。在实际情况下学习可以使学生利 用已有的知识与经验，同化和索引出当肖学习的新知识，这样获取 知识，不但易于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。 （2）由实例得出本课新的知识点

高中数学人教版选修1-2全套教案

高中数学人教版选修1-2全套教案 第一章统计案例 第一课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一） 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析. 教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想. 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？ 2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报. 二、讲授新课： 1. 教学例题： ① 例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示： 体重. （分析思路→教师演示→学生整理）

第一步：作散点图第二步：求回归方程第三步：代值计算 ②提问：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？ 不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右. ③解释线性回归模型与一次函数的不同 事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y和身高x之间的关系并不能用一次=+来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体函数y bx a 重的关系）. 在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e（即残差变量或随机 =++，其中残差变量e中包含体重变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型y bx a e 不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式. 2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义. 3. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.

高中数学教学设计模版及案例

教学情境一：（问题引入）在ABC中，已知两边a,b和夹角C，作出三角形。 联系已学知识，可以解决这个问题。

对应问题1. 第三边c 是确定的，如何利用条件求之 首先用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c ()() 222 2 2c c c a b a b a a b b a b a b a b =?=--=?+?-?=+-? C a 从而2222cos c a b ab C =+-，同理可证2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+- 于是得到以下定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+- 教学情境二 对余弦定理的理解、定理的推论 对应问题2 公式有什么特点能够解决什么问题 等式为二次齐次形式，左边的边对应右边的角。主要作用是已知三角形的两边及夹角求对边。 对应问题3 从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角 从余弦定理，又可得到以下推论：（由学生推出） 222cos 2+-=b c a A bc ； 222cos 2+-=a c b B ac ； 222 cos 2+-=b a c C ba [理解定理]余弦定理及其推论的基本作用为： ①已知三角形的任意两边及它们的夹角求第三边； ②已知三角形的三条边求三个角。 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系 （由学生总结）若?ABC 中，C=90，则cos 0=C ，这时222=+c a b 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 教学情境三 例题与课堂练习 例题．在?ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ⑴解：2222cos =+-b a c ac B =222+-?cos 045=2121)+-=8 ∴=b 求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： ⑵解法一：∵cos 2221,22+-==b c a A bc ∴060.=A 解法二：∵0sin sin sin45a A B b = 又 a ＜c ，即00＜A ＜090, ∴060.=A 评述：解法二应注意确定A 的取值范围。