江苏省苏州市高二(上)期末数学试卷

2016-20１7学年江苏省苏州市高二(上）期末数学试卷

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分,共7０分）

１。（5分)命题“?x∈R，x２＞9”的否定是．

2．（5分）抛物线y２=２ｘ的焦点坐标为．

3.（5分）过点P（0，１)，且与直线2ｘ+3y﹣4＝0垂直的直线方程为。4．(5分）直线3x﹣4y﹣１2＝0与两条坐标轴分别交于点A，Ｂ，O为坐标原点,则△ABＯ的面积等于.

５.（5分）函数ｙ=x3﹣２x2+ｘ的单调递减区间为．

６．（5分）“m=﹣1"是“直线l

１：ｍｘ﹣2y﹣1=0和直线l

２

:x﹣(m﹣1)y+2=0相互

平行”的条件。(用“充分不必要",“必要不充分条件”,“充要”，“既不充分也不必要”填空）

7.（5分）函数y=x2﹣x﹣lnx在区间［1，３］上的最小值等于。

8。（５分)如图，四棱锥Ｐ﹣ABCD中，ＰA⊥底面ABCD，底面ＡBCD为正方形,则下列结论:

①AD∥平面PBC；

②平面PAＣ⊥平面PBD;

③平面ＰＡB⊥平面PＡC；

④平面ＰAＤ⊥平面PDC．

其中正确的结论序号是．

9．(5分）已知圆C：x2+y2﹣4ｘ﹣2y+1=０上存在两个不同的点关于直线x＋ay ﹣１=0对称,过点Ａ（﹣4,a）作圆Ｃ的切线，切点为B,则|AＢ｜＝．

１0。(5分）已知圆柱甲的底面半径R等于圆锥乙的底面直径,若圆柱甲的高为Ｒ,

圆锥乙的侧面积为，则圆柱甲和圆锥乙的体积之比为．

11.（5分）已知函数在区间（ｍ,m＋2）上单调递减，则实数m的取

值范围为。

12．(5分）在平面直角坐标系xoｙ中,已知直线ｌ：ax+y+2=０和点A(﹣３，0）,若直线l上存在点M满足ＭA＝2MO,则实数a的取值范围为.

１3．（5分)在平面直角坐标系xoy中，直线ｙ=2x+ｂ是曲线y＝2alｎx的切线，则当ａ＞0时,实数b的最小值是．

14．(5分）已知F是椭圆的左焦点，A,B为椭圆Ｃ的左、

右顶点,点P在椭圆C上,且PF⊥x轴，过点Ａ的直线与线段PF交与点M,与ｙ轴交与点E，直线ＢＭ与y轴交于点N，若ＮＥ=2ＯＮ，则椭圆C的离心率为.

二、解答题：本大题共6小题，共9０分．解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

1５．（14分）已知圆M的圆心在直线y=﹣x上，且经过点Ａ（﹣3，０），B(１，2）．

（1)求圆M的方程;

（2)直线l与圆Ｍ相切,且l在y轴上的截距是在x轴上截距的两倍,求直线l的方程.

１6．(14分)如图,四棱柱AＢCD﹣A1B１C１D１的底面ＡBCD为矩形，平面CＤD1C1⊥平面ABCD，E，F分别是CD，ＡB的中点，求证:

(1）ＡD⊥CD;

（2）EＦ∥平面ADD1A１．

17．（14分）从旅游景点A到B有一条100km的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目．已知游轮每小时使用燃料费用与速度的立方成正比例,其他费用为每小时324０元，游轮最大时速为50km/h,当游轮的速度为１０km／ｈ时,燃料费用为每小时6０元，设游轮的航速为vkm/h，游轮从A到B一个单程航行的总费用为S元.

（1)将游轮从Ａ到B一个单程航行的总费用S表示为游轮的航速v的函数S＝f （ｖ)；

（２)该游轮从Ａ到B一个单程航行的总费用最少时，游轮的航速为多少，并求出最小总费用．

18。（1６分)已知椭圆C：＋=１（a＞b＞0）上的左、右顶点分别为A，B,F1为左焦点，且|AF1｜=2,又椭圆C过点．

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

（Ⅱ)点P和Ｑ分别在椭圆Ｃ和圆x2+y2=16上（点A，B除外），设直线PＢ，ＱB 的斜率分别为k1，ｋ2,若k1＝，证明：Ａ,P，Q三点共线.

19.(16分）已知函数f(x)＝ａ（ｘ﹣1)﹣ｌnx（a为实数),ｇ(ｘ）=x﹣１,ｈ（x）=。

(1）当a＝1时，求函数f(x）=a（ｘ﹣1)﹣ｌnx在点（1，f（１)）处的切线方程；（2)讨论函数ｆ(ｘ)的单调性；

（3）若h（x）=f（ｘ），求实数ａ的值.

20。（16分）在平面直角坐标系xOｙ中,圆O：x2+y２=1，P为直线l:x=t(1〈t<2）上一点．

（１）已知t=．

①若点P在第一象限，且OP=,求过点P的圆O的切线方程；

②若存在过点P的直线交圆O于点A,B,且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围;

（2）设直线l与ｘ轴交于点M,线段OＭ的中点为Q，R为圆O上一点,且RM=1,

直线RM与圆Ｏ交于另一点Ｎ，求线段NQ长的最小值。

第二卷（附加题。每题10分。）

21．求曲线f（ｘ）=在ｘ=2处的切线与x轴交点A的坐标．

22．已知点Ｐ是圆x2+y2=1上的一个动点,定点Ｍ(﹣1,2）,Q是线段PＭ延长线上的一点,且，求点Q的轨迹方程．

23．如图，在四棱锥P﹣ＡBCD中,ＰA⊥底面ＡBCD，AD⊥AB，AB∥DＣ,AＤ=DC=AP=2，AB＝1，点E为棱PＣ的中点.

（Ⅰ)证明:BE⊥DC；

(Ⅱ）求直线ＢE与平面PBＤ所成角的正弦值；

（Ⅲ)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC,求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．

2４.如图，已知抛物线ｙ2=4x,过点Ｐ（2，０）作斜率分别为k1，k２的两条直线,与抛物线相交于点A、Ｂ和Ｃ、D,且Ｍ、N分别是AＢ、CD的中点

（1）若k1+k2=0,，求线段ＭN的长；

（2）若ｋ1?k2=﹣1，求△PMN面积的最小值。

２0１６—2017学年江苏省苏州市高二(上）期末数学试

卷

参考答案与试题解析

一、填空题：(本大题共14小题,每小题5分，共70分）

1.(5分）命题“?x∈R,x2>9"的否定是?x∈R,x2≤9 ．

【解答】解:命题“?x∈R，ｘ2>9”的否定是命题“?x∈R，x2≤9”，

故答案为：?ｘ∈R，ｘ2≤9．

2。(5分)抛物线y2=2x的焦点坐标为。

【解答】解：抛物线y2=２ｘ的焦点在x轴的正半轴上，且p=1，∴=，故焦点坐标为(,0）,

故答案为:（，0）。

3．（５分）过点P(0,1),且与直线２x+3ｙ﹣4＝0垂直的直线方程为3x﹣2ｙ＋2=0.

【解答】解：∵直线2ｘ+3ｙ﹣4=０的斜率k=﹣,

∴与直线2x+3y﹣4=0垂直的直线的斜率为．

则点P（0，1),且与直线2ｘ+3y﹣4=0垂直的直线方程为y﹣１=×（x﹣0），

整理得：３x﹣2y＋２=0．

故答案为：3x﹣2y＋2=０．

4．（5分）直线３x﹣4y﹣12=0与两条坐标轴分别交于点Ａ，B，Ｏ为坐标原点,则△ABO的面积等于6。

【解答】解:直线3ｘ﹣4y﹣12=0与两条坐标轴分别交于点A（４，0），Ｂ（０，﹣3)，

＝=6．

∴S

△ABO

故答案为：6。

５．（５分）函数y=x3﹣２x2+ｘ的单调递减区间为（,１）．

【解答】解:y′=3ｘ2﹣4x+1=（3x﹣１)（x﹣1),

令y′〈0，解得：〈x＜１，

故函数在(，１）递减，

故答案为：(，1）.

6．（５分）“m＝﹣1”是“直线l１：mx﹣2y﹣１=0和直线l2：x﹣（m﹣１)ｙ+２=0相互平行”的充分不必要条件．(用“充分不必要”,“必要不充分条件”,“充要”，“既不充分也不必要”填空）

【解答】解：若直线l1：mｘ﹣2y﹣1=0和直线l２：x﹣(m﹣1)y+2=0相互平行，则m（m﹣1）=２，解得：m=2或m=﹣1,

故ｍ=﹣1是直线平行的充分不必要条件，

故答案为:充分不必要。

7.(5分）函数y＝x2﹣ｘ﹣lnx在区间［1，3]上的最小值等于0。

【解答】解:y′=２x﹣1﹣=，

由ｘ∈［1,3]，

故y′≥0在［１，３]恒成立，

故函数在［1，3］递增，

ｘ＝1时,函数取最小值，

函数的最小值是0,

故答案为:０．

8.(5分)如图，四棱锥Ｐ﹣ABＣD中，ＰA⊥底面AＢCＤ，底面AＢCD为正方形，则下列结论：

①AD∥平面PBＣ；

②平面PＡＣ⊥平面ＰＢD；

③平面PAＢ⊥平面PAC；

④平面PAＤ⊥平面PＤＣ.

其中正确的结论序号是①②④．

【解答】解:①由底面为正方形,可得ＡD∥BＣ，

AD?平面ＰBC，ＢC?平面ＰBＣ，

可得ＡD∥平面ＰBC;

②在正方形ABＣD中,AC⊥BD,

PＡ⊥底面ABCＤ,可得PA⊥BD,

PA∩AＣ＝A，可得ＢD⊥平面ＰAC，

BD?平面PＢD，即有平面PAC⊥平面PBＤ;

③PA⊥底面AＢCD,可得ＰA⊥AＢ，PA⊥AC，

可得∠ＢAＣ为二面角Ｂ﹣PA﹣C的平面角，

显然∠BAC＝45°,故平面PAB⊥平面PAＣ不成立;

④在正方形AＢCD中，可得CD⊥AD,

PA⊥底面ＡBＣD，可得PA⊥CD,

PA∩AD=Ａ,可得CD⊥平面ＰＡＤ,

CD?平面ＰCD,即有平面PAD⊥平面PDC.

综上可得,①②④正确．

故答案为:①②④。

9。(５分）已知圆C：x2＋y2﹣4ｘ﹣2y+1＝0上存在两个不同的点关于直线ｘ＋ay﹣1=0对称，过点A(﹣4,ａ)作圆C的切线,切点为B,则｜AB｜＝ 6 .

【解答】解：∵圆C：ｘ2+y2﹣4x﹣2y+１=0，即(ｘ﹣2）２＋（y﹣1)2 =４，

表示以Ｃ（2，1)为圆心、半径等于2的圆。

由题意可得，直线l：ｘ+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），

故有2+a﹣１=０,∴a＝﹣１,点A(﹣4，﹣1）．

∵AC==２，CB=R＝2，

∴切线的长｜AB|＝=6．

故答案为６．

10．（５分）已知圆柱甲的底面半径Ｒ等于圆锥乙的底面直径，若圆柱甲的高为R，圆锥乙的侧面积为,则圆柱甲和圆锥乙的体积之比为24。

【解答】解:∵圆柱甲的底面半径R等于圆锥乙的底面直径，

圆柱甲的高为R,圆锥乙的侧面积为，

∴,解得ｌ=，

∴圆锥乙的高ｈ==，

∴圆柱甲和圆锥乙的体积之比为：

＝＝24．

故答案为:24.

11．(5分)已知函数在区间（m，m+2）上单调递减,则实数m的取值

范围为［﹣１，1]．

【解答】解:f′（x）=,

令f′(x）〈０，解得:﹣１〈x〈３，

故ｆ(x）在(﹣1，3）递减，

故(m，m+２）?（﹣1，3），

故，解得：﹣1≤m≤１，

故答案为：[﹣1，1］．

１２．(5分）在平面直角坐标系xoy中，已知直线ｌ：aｘ＋ｙ＋2=０和点A(﹣3,0）,若直线ｌ上存在点M满足MA=２MO，则实数a的取值范围为a≤0,或ａ≥．

【解答】解:取Ｍ(x，﹣2﹣ａx）,

∵直线l上存在点Ｍ满足MA＝２MＯ，

∴=2，

化为:(ａ2+1)x2＋（4a﹣2)ｘ+1=０,此方程有实数根,

∴△=(4a﹣2）2﹣4（ａ2+１）≥0，

化为３a2﹣4a≥0，

解得a≤0,或a≥.

故答案为:a≤0，或ａ≥。

13．(5分)在平面直角坐标系xoy中，直线ｙ=２ｘ+b是曲线y=2alnx的切线，则当a＞0时，实数ｂ的最小值是﹣2 。

【解答】解:ｙ=2ａlｎx的导数为ｙ′=，

由于直线y＝2x+b是曲线y＝2alnｘ的切线,

则设切点为（m，n)，

则2＝,n=2m＋b,n=２aｌnm，

即有ｂ=2ａlｎａ﹣2ａ(a〉０）,

b′＝２（lna+1)﹣2=2lnａ，

当ａ＞1时,b′＞0，函数b递增，

当0＜a＜1时，b′＜0,函数b递减,即有a=1为极小值点，

也为最小值点，且最小值为：2ln１﹣2=﹣2．

故答案为:﹣2.

14。（5分)已知F是椭圆的左焦点，A，B为椭圆Ｃ的左、

右顶点，点P在椭圆Ｃ上,且ＰF⊥x轴，过点A的直线与线段PF交与点M，与y 轴交与点E，直线BM与ｙ轴交于点N，若ＮＥ=2ON,则椭圆Ｃ的离心率为．【解答】解:由题意可设F(﹣c，0），A（﹣ａ，0）,B（a，0)，

令x＝﹣c,代入椭圆方程可得y=±b=±，

可得Ｐ（﹣ｃ，±）,

设直线AE的方程为ｙ＝k（ｘ＋a），

令ｘ=﹣ｃ,可得Ｍ(﹣ｃ，k（a﹣ｃ）)，令x=0，可得E（0，kａ)，

∵直线BM与y轴交于点Ｎ，ＮE=2ON，

∴N（０,），

由B，Ｎ,M三点共线，可得ｋBN=k BM，

即为=，

化简可得＝，即为ａ=2c，

可得e＝=．

故答案为：．

二、解答题：本大题共6小题，共９0分。解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

15.(１4分)已知圆M的圆心在直线y=﹣x上，且经过点A(﹣3,0），Ｂ（1，2)．(1)求圆M的方程;

（2)直线l与圆M相切，且ｌ在y轴上的截距是在x轴上截距的两倍，求直线l 的方程。

【解答】解:(1)设圆心坐标为(a，﹣a),则（ａ+3）2+ａ=（ａ﹣1）２+（a﹣2)2，解得ａ=﹣1,r=，

∴圆M的方程为（x+1）2+（ｙ﹣1)2＝5,

（2)由题意，直线l不过原点，设方程为=1,即2x＋y﹣2a＝0,

∵直线l与圆M相切，

∴＝，

∴a=2或﹣３,

∴直线ｌ的方程为2x+y﹣４=0或2x+y+6=0。

16．（1４分）如图，四棱柱ＡBＣD﹣Ａ１B1Ｃ1Ｄ１的底面ABCD为矩形，平面CDD １

Ｃ1⊥平面AＢCD，E，F分别是CD，AB的中点，求证:

（1）AD⊥CD；

（2)EF∥平面ADD1Ａ1.

【解答】证明：（1）由底面ＡBCD为矩形可得AD⊥CＤ

又∵平面C1D1DC⊥平面ABCD，

平面C1D1DC∩平面ＡBCD平面=CD，

∴AD⊥平面C

１D

１

ＤC。

又∵ＣD1?面C1D１DC，

∴ＡD⊥CＤ1。

（2）设ＤD

１

中点为G,连结EＧ，AG．

∵E，G分别为ＣD

１

，DD1的中点，

∴EＧ∥CＤ，EＧ＝CＤ。

在矩形AＢＣD中，

∵F是AB的中点，

∴AＦ＝CD且AＦ∥CD,

∴ＥＧ∥AF，且EG＝AF．

∴四边形AFEG是平行四边形,

∴EF∥AG．

又∵AG?平面AＤＤ1A1,EF?平面ＡDD1A1，

∴ＥＦ∥平面ADD1A1．

17．（１4分）从旅游景点Ａ到B有一条１00km的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目．已知游轮每小时使用燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时32４0元，游轮最大时速为50kｍ／h,当游轮的速度为１０ｋm／h时,燃料费用为每小时６0元,设游轮的航速为ｖkm/h，游轮从A到B一个单程航行的总费用为S元。

(1）将游轮从A到B一个单程航行的总费用S表示为游轮的航速ｖ的函数S=f（v）；（２）该游轮从Ａ到B一个单程航行的总费用最少时，游轮的航速为多少，并求出最小总费用。

（1)设游轮以每小时vkｍ/h的速度航行,游轮单程航行的总费用为f(v）【解答】解：

元,

∵游轮的燃料费用每小时k?v3元,依题意k?10３=6０,则k=0.06,

∴S=f(v）=+３240×=6v2+（0

(2）f′（ｖ）=，

ｆ′(v)＝0得,v=３0,

当0＜v＜30时，f′(v)<0，此时f（ｖ）单调递减；

当3０＜ｖ<5０时，ｆ′(v）＞0，此时f（ｖ）单调递增；

故当v＝30时,f（v）有极小值，也是最小值,f(30)=162０0,

所以，轮船公司要获得最大利润，游轮的航速应为3０km/h．

１８．(１6分）已知椭圆C:+=１（ａ＞b＞0）上的左、右顶点分别为A,B，

F1为左焦点，且|AF1｜＝２，又椭圆C过点．

(Ⅰ）求椭圆Ｃ的方程；

(Ⅱ）点P和Q分别在椭圆Ｃ和圆x2+ｙ2＝1６上（点Ａ，B除外），设直线PB，ＱＢ的斜率分别为k1,k2，若k１=，证明：A,P,Q三点共线.

【解答】解：（Ⅰ）由已知可得a﹣ｃ=2,，又ｂ2=a２﹣ｃ２＝12，

解得a=4.

故所求椭圆C的方程为=１．

（Ⅱ)由（Ⅰ）知A（﹣4，０），B（4，0).设P（x1,ｙ1），Q（x2，y2),

∴．

∵Ｐ（ｘ

，ｙ1)在椭圆C上,

１

∴,即．

∴.

又∵，

ｋ2＝﹣１.①

∴k

ＰA

由已知点Q(ｘ2，y２)在圆x2+y2＝１6上，AＢ为圆的直径，

∴ＱA⊥ＱB.

∴ｋ

?k2=﹣１．②

ＱＡ

由①②可得k PA=ｋQA．

∵直线PＡ,QA有共同点A，

∴Ａ，P，Q三点共线．

1９．(１6分)已知函数f（x）=ａ(x﹣１）﹣lnx（a为实数)，g（ｘ）=ｘ﹣1,h

（x)=．

（１）当a＝1时，求函数f（x)=a（x﹣1）﹣lnｘ在点（1,f（1）)处的切线方程; (２）讨论函数f（x)的单调性；

（3）若h(ｘ)=f（x），求实数a的值．

【解答】解：（1）当a=１时,f(ｘ）=x﹣1﹣ｌnx，f(1）＝0，ｆ′（x）＝1﹣,∴f′(1）=0,

∴函数ｆ(x）=a（x﹣1)﹣ｌnx在点(1,ｆ（1））处的切线方程为y=０;

(2）f′(x）=a﹣（x>0）,

a≤0,f′(x）＜0,函数在（0,+∞)上单调递减;

a＞０，由f′(x）＞0，解得x＞，函数的单调递增区间是（，+∞），

f′（x）〈0，0〈x＜,函数的单调递减区间是(0，);

（3)令G（ｘ）=ｆ（x)﹣g(x）=(ａ﹣1）（x﹣1）﹣lｎx，定义域（0，＋∞)，G(1）=０．

∵ｈ(x)=f(x），∴x＞0,G（ｘ）≥0成立；

a≤1，Ｇ′（x）=a﹣1﹣〈0,G(ｘ)在（0，+∞）单调递减，

∴Ｇ（2）

a＞1时，G（x）在(0，)上单调递减，(）上单调递增,

∴G（ｘ）mi

ｎ=2﹣a+ln（ａ﹣1），

∴2﹣ａ+ln（ａ﹣1）≥０恒成立，

令t=a﹣1，ｔ＞0，则1﹣ｔ+lｎｔ≥0恒成立,

令H（t)=1﹣t+lnt（t>0），则H（１）=０,H′（t）＝,

∴H（ｔ）在(0，1）上单调递增，（1，+∞）上单调递减,

∴H（t)max=Ｈ（1）=0,

∴H（t）≤0(t=1时取等号）,

t＞0时,1﹣t+lnｔ＝0的解为t=1，即ａ=2．

20.（16分)在平面直角坐标系xOｙ中，圆Ｏ：x2+y2＝1,P为直线l：x=ｔ(1＜t<2）

上一点。

（1)已知t=．

①若点P在第一象限,且OP＝，求过点Ｐ的圆O的切线方程;

②若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围;

（2)设直线l与x轴交于点M，线段OM的中点为Ｑ，R为圆O上一点，且RM=1，直线ＲＭ与圆O交于另一点N,求线段NQ长的最小值．

【解答】解：(１)①设点P的坐标为（,y0)，因为OP＝，所以（)2+y0２=(）２，解得y0=±1。

又点P在第一象限，所以y0=1,即点P的坐标为(，1),易知过点P的圆Ｏ的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k,

则切线为y﹣1=k（ｘ﹣)，即kx﹣ｙ＋1﹣k=０，于是有=1,解得k=0或k=．

因此过点P的圆O的切线方程为：y=１或24x﹣7y﹣25＝０。

②设Ａ(x,y），则B（，）,因为点A、B均在圆Ｏ上,所以有

，即．

该方程组有解，即圆ｘ2+ｙ2=１与圆（x+）2+（y+y0）2=4有公共点．

≤,即点Ｐ纵坐标的取值范围是［﹣于是1≤≤3,解得﹣≤y

０

,］．

（2）设R（x

,ｙ2），则，解得x2＝，=１﹣。

２

直线RM的方程为:﹣(x﹣t).

由可得N点横坐标为,

所以NQ==,所以当t２=，即ｔ=时，NＱ最小为.

第二卷（附加题。每题10分。）

２1.求曲线f（ｘ）＝在x=２处的切线与x轴交点Ａ的坐标．

【解答】解：f（x）=的导数为f′(x)＝=，

可得曲线f(x)＝在ｘ=2处的切线斜率为ｆ′（2）=,

切点为（2,),

则曲线f（x）=在x＝2处的切线方程为y﹣=（ｘ﹣2）,

可令ｙ＝0,则x＝．

即有切线与x轴交点A的坐标为（，0).

22.已知点Ｐ是圆x2＋y2＝１上的一个动点,定点M(﹣1，2），Q是线段PM延长线上的一点，且，求点Q的轨迹方程.

【解答】解：设P的坐标为（x，y）,Q（a，b），则

∵，定点M（﹣1,2）,

∴

∴x=﹣2a﹣3,y=﹣２b＋6

∵Q是圆x２+y2=1上的动点

∴ｘ2+y２＝1

∴（﹣2a﹣3)2+（﹣２b+６）２=１

即动点Q的轨迹方程是（x+)２＋（y﹣3)2＝．

２３.如图，在四棱锥Ｐ﹣AＢCD中,PA⊥底面AＢCD，AD⊥AB，ＡＢ∥DC,Ａ

D=DC=AP=2，ＡB=１,点E为棱PC的中点.

（Ⅰ）证明：ＢＥ⊥ＤC;

（Ⅱ）求直线ＢE与平面ＰＢＤ所成角的正弦值;

(Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．

【解答】证明：（I)∵PＡ⊥底面ＡBCD，AD⊥AＢ，

以Ａ为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系，

∵AD=DＣ=ＡP=2,AＢ=１，点E为棱PC的中点.

∴Ｂ(1，０，０），Ｃ（2，2，０)，Ｄ（０，2,0）,Ｐ(0，0,2），E（1，１，１）∴＝(0，1，1），＝（2,0，０）

∵?=0，

∴BE⊥ＤＣ；

（Ⅱ）∵＝(﹣1，2，0)，=(1，0,﹣2）,

设平面ＰBＤ的法向量＝(x，y，z），

由，得，

令y=１，则＝（２，1，1),

则直线BE与平面ＰBD所成角θ满足：

sｉｎθ===,

故直线BE与平面ＰBD所成角的正弦值为．

（Ⅲ)∵=(1，２,0）,=（﹣２，﹣2，2）,=(2，2，0),

由F点在棱PC上,设=λ=（﹣2λ,﹣２λ,2λ)（0≤λ≤1）,

故=+=（１﹣2λ,2﹣２λ，2λ)（0≤λ≤1），

由BＦ⊥AC，得?=2（1﹣２λ）＋2（2﹣2λ）＝0，

解得λ=，

即=（﹣，，），

设平面FBA的法向量为=（ａ，b，c)，

由，得

令c＝１,则=（0,﹣３，1），

取平面ABP的法向量＝(0，１,0），

则二面角Ｆ﹣AB﹣P的平面角α满足：

coｓα===,

故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为:

24．如图，已知抛物线y2=４ｘ，过点P（2,0）作斜率分别为k1，k2的两条直线，与抛物线相交于点A、Ｂ和C、D，且M、N分别是ＡB、ＣD的中点

(1)若k1+k２＝0，,求线段MN的长;

(2)若k1?k2＝﹣1，求△PMN面积的最小值．

【解答】解：（1)设A（x1,y1），B（x２，y2），不妨设y1>０,则

设直线ＡＢ的方程为y=ｋ1(ｘ﹣2)，代入y2=４x，可得ｙ2﹣y﹣8＝0∴y1＋y2=，y１ｙ２=﹣8,

∵，∴ｙ

１=﹣２ｙ

２

,∴y1=4，y2=﹣2，

∴y

Ｍ

=1,

∵ｋ1+ｋ２=0，

∴线段AB和ＣＤ关于x轴对称，

∴线段MN的长为2;

（２）∵k1?k２=﹣１，∴两直线互相垂直，

设AB:ｘ=ｍy＋2，则ＣD:x=﹣ｙ+2,

ｘ=ｍｙ+2代入ｙ2＝4x，得y2﹣4mｙ﹣8＝0，

则y1+y2=4m，ｙ1ｙ２=﹣8，

∴Ｍ(2m2+２,2m）．

同理N（+2,﹣)，

∴｜ＰM｜=2|m｜?，|PＮ|=?，|

∴S

△PMN

=｜PＭ||PN｜=(m２+1）=2（｜m｜＋）≥4，当且仅当m＝±1时取等号,

∴△ＰMＮ面积的最小值为4．