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概率论与数理统计测试题及答案

概率论与数理统计测试题

一、填空题(每小题3分，共15分)

1?将3个小球随机地放到 3个盒子中去，每个盒子都有

1个小球的概率为 ___________ .

2?设 A ，B 是两事件，P(A) =1/4,P(B| A) =1/3，则 P(AB) = ________________ . 3?掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和是

5,则其中有一颗是 1点的概率是 _____________ .

0 , X ：：： 1

4 ?设随机变量 X 的分布函数为 F (x) = < In x,1兰x c e ，贝V X 的概率密度为 ____________ .

1 , x 兰 e

5?设总体 X~U[O ,1], X 「X 2,X 3 是其一个样本，则 P{max( X 1,X 2,X 3)<1/2} = _______________ 二、单项选择题(每小题 3分，共15分) 1.

设两事件 A 与B 互不相容，且 P(A)>0 , P(B)>0，则( )正确.

(A ) A 与 B 互不相容； (B ) P(AB^ P(A)P(B); (C ) P(AB) =P(A)P(B) ;

( D ) P(A-B)=P(A).

一种零件的加工由两道工序完成，第一道工序、第二道工序的废品率分别为 p , q ,设两道

工序的工作是独立的，则该零件的合格品率是 ( )

(A ) 1 - p -q ; (B) 1 - pq ;

3 ?设X ~t(n),则X 服从( )分布

(A)

( n) ； (B ) F(1, n) ； ( C ) F( n,1) ；

(D ) F(1, n-1).

4?设随机变量 X 与Y 的协方差Cov(X,Y)=0,则下列结论正确的是 ( )

(A) X 与Y 独立； (B ) D(X Y)二 D(X) D(Y); (C ) D(X -Y) = D(X) -D(Y);

(D) D(XY) =D(X)D(Y)

(A) X ~ N(?

);(B) E(S )二

:;(C) E(S 2)二

n -1

2 2 2

二;(D) (n-1)S / ~

(n-1).

5.设X1,X2」l(,X n为来自正态总体N(=；「2)的一个样本，X,S2( (X j-X)2)分别

n — 1 y

为样本均值和样本方差，则下面结论中不正确的是()

三、解答题（6个小题，共60分）

1 . （10分）设一仓库中有10箱同样规格产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的废品率依次为0.1、0.2、0.3,从这10箱产品中任取一箱，再从该箱中

任取一件产品.（1）求取到的产品为废品的概率；⑵若已知取到的产品为废品，求该废品是由甲

厂生产的概率?

2. （10分）对一批次品率为0.1的产品进行重复抽样检查，现抽取3件产品，以X表示抽取

的3件产品中次品的件数，试求（1）X的分布律；（2）至少有一件是次品的概率.

asinx,0

3. （12分）设连续型随机变量X的概率密度为f（X）二一宀，求：（1）系数a; （2）

Q ,其它

分布函数F （x）;（3） P{二/ 4 ：：：X ：：7： / 2}.

6y,0 ：：y x ：：1

f(x,y「0,其它

（1 ）试求关于X及Y的边缘概率密度；（2）判断X与Y是否相互独立，并说明理由.

「（日 + 1）X日0 ￡X ￡1

6. （10分）设总体X的概率密度为f（X；二），其中二（v - - 1）是未知

I 0 ,其它

参数，X1,X2」l（,X n是X的样本，求参数二的矩估计量与最大似然估计量.

四、证明题（2个小题，共10分）

1 . （5分）设随机变量X?N （0, 1），证明随机变量Y=b X+??>0）?N（卩? ）.

证明丫=（兀次2厂以3*4）2

2. （5分）设X1.X2.X

3.X4是来自总体N（,「2）的样本, 服从

分布，并写出自由度.

、填空题（每小题3分，共15分）

11/ x,1 ：x ：e

1 . 2/9；2. 1/1

2 ；3. 1/2 ；4. f(x)二》亠

5. 1/8.

1. （10分）解：人.民.人3分别表示取得产品是甲、乙、丙厂生产的, B表示取出的产品为

10 ,其它

二、单项选择题（每小题3分，共15分）1. （D）2.

三、解答题（6个小题，共60分）

1. （10分）解：人.民.人3分别表示取得产品是甲、乙、丙厂生产的, B表示取出的产品为

废品，

P(A i )=0.5, P(A 2)=0.3, P(A 3)=0.2, P(B|A I )=0.1, P(B|A 2)=0.2, P(B|A 3)=0.3 (3)

分

(1) P(B)=P(A 1)P(B|A 1)+P(A 2)P(B|A 2)+P(A 3)P(B|A 3)

(5)

分

=0.5 0.1+0.3 0.2+0.2 0.3=0.17

(7)

分

0分

2. ( 10 分)解：

(1) X ?b(3, 0.1), P{X =k} =C ：0.1k 0.9i (k =0,1,2,3)

2 3 p 0.729 0.243

0.027

0.001

F(x)「J(t )d t

分

4 ? (8 分)解： E (X )= 0.5, E (Y )= 0.3 , E (XY )= 0.1

⑵ P(A |B)=

P(A)P(B |A i ) 0.5 0.1 0.17

5 17

= 0.29

7分

(2)P{X _1}=1 P{X=0}=0.271 3 ? ( 12 分)解:

(1)

a sin xdx =1= a =

0 2

10分

(3)

,x 乞0

x 1 sin tdt,0 :: x 込二 0 2 1

心0

1 —COSX c / ,0 :: x 二■:

2 1 , x ■

(3)P{「/4 ： X ::二 /2}= J-sin xdx 二

4 2

Cov (X, Y )= E (XY )— E (X ) E (Y )=- 0.05

P{X +Y _1}=0.2 + 0.4 + 0.1=0.7

5. ( 10 分)解:

(2) X 与Y 不相互独立，因为f (x, y) = f X (x) f Y (y) 6. ( 10分)解

(1)矩估计量

气=E(X) = ]xe+1)x 划

叫-1

X -1

(2)最大似然估计量

对于给定样本值x 1,x 2JH,x n ,似然函数为

f(X i ；R=； (―1)x 「：

T)n (X 1X2”IX n )：0 ：：：x ：：1

.............. 7分

i 壬

lnL (=) = n ln( v 1) 八 In x i ,

n 中瓦In N

=彳= ------- =

，最大似然估计量为■?=

'In 备

i =1

四、证明题(2个小题，共10 分)

1 .证明 X 的概率密度为

f x (x)=

函数、= ：*-' ,、= ：： 0, y

(-：：,：：),

=h(y ),h(

y^-,

(1) f x (x)二

_f (x, y)dy 二

6ydy,0 ::: x :: 1

,其它

r 2

3x ,0 c xc1 0 ,其它

f Y

(y )

：f(x,y)dx

■ 1

11' 6ydx,0 ::: y ::: 1 -y 0

，其它

[6y(1-y),0 ：： y :: 1 0

,其它

n 'TnX j

im n

' In X i

i =1

10分

Y（y）二

2 ?证明：两者独立

因此

1(y-u)2

I —5~L 2

f X[h(y)]| h(y)|：-^_e 2二=Y~N(U「2).

寸2兀CT

X^X2 ~ N(0, 2b2)= X i：X2?N(0,1),同理X3：X4?N(0,1),

、、2 二?、, 2 二

2 2

Y」X「X2) (X”X4)?2(2)

匚