小五培优课程全年简洁版
Part 1“数与运算”之分数计算与比较大小
理解分数的概念，熟练掌握分数四则运算中的通分、约分等技巧，了解分数运算中的一些速算方法；学会比较分数大小的各种方法，包括通分母、通分子、交叉相乘、倒数比较法、间接比较法. 1、比较下列分数的大小： 2、将下列分数由小到大排列起来： Part 1“数与运算”之分数与循环小数
掌握分数与小数互相转化的方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分数的形式判断相应的小数类型；注意利用周期性分析循环小数的小数部分.
1、把下列循环小数化成分数： (3)0.08， (4)0.7，0.12，0.123，0.123.
2、计算： Part 2“应用题”之行程问题4
流水行程问题与环形问题.流水行程问题中，注意水速对实际速度的影响，初步了解速度的相对性；环形问题中，注意相遇和追及问题的周期性.
1、两地相距480千米，一艘轮船在两地之间往返航行，顺流行驶一次需要16小时，逆流返回需要20小时，该船在静水中的速度是多少？水流速度是多少？
2、甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步.甲以每分钟300米的速度从起点跑出.1分钟后，乙从起点同向跑出.又过了5分钟，甲追上乙.请问：乙每分钟跑多少米？如果他们的速度保持不变，甲还需要再过多少分钟才能第二次追上乙？
Part 2“应用题”之和差倍分问题
在和差倍分问题中引入“分数倍”的概念，并理解其含义.解题中应合理选取单位“1”；题目中隐藏的不变量或公共量往往是关键.
1、有红、黄两种颜色的小球，其中红色小球有60个，黄色小球的数量比红色小球的四分之五倍还多1个，那么一共有小球多少个？
2、运输连要将450枚弹药送到前线，其中炮弹占了九分之五，其余都是手榴弹.由于遇上敌军伏击，炮弹损失了五分之二，而手榴弹只剩八分之三.送到时剩多少枚弹药？
Part 2“应用题”之拓展问题
掌握比的概念，从份数的角度理解量与量的比；学会计算简单的按比分配的问题；了解连比的含义.剪短的不确定性问题，通常利用大小估计和整数性质进行分析，有时需要分类讨论.
1、水果店运来了西瓜和哈密瓜共234个，如果西瓜和哈密瓜的个数比为5:4，那么水果店运来的西瓜和哈密瓜各多少个？
2、有429名小学生参加数学冬令营，其中男生和女生的个数比为7:6.后来又有一些女生报名参赛，这时男生和女生的人数比变为11:10.请问：后来报名的女生有多少人？
Part 2“应用题”之工程问题
掌握工作总量、工作效率、工作时间的基本概念和关系；理解“单位1”的概念并 .
2313
，1915，2314，2413，1914 7920 与32079)4( 409 与133)3( 6032 与247)2( 854 与171)1(
灵活应用；熟悉多人、多工程、效率变化、总量变化等各种形式的问题；学会处理“水池注水”形式的问题.
1、如果甲、乙两队合做一项工程，恰好24天完成；如果乙队先做5天，然后甲队来帮忙，又共同做了10天后，全部工程才完成了一半.请问：甲队单独完成这项工程需要多少天？
2、一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成.如果按甲、乙、甲、乙......的顺序交替工作，每人工作1小时后交换，那么需要多少小时才能完成任务？
Part 2“应用题”之牛吃草问题与钟表问题
牛吃草问题是一类特殊的工程问题，难点在于草的总量有变化，要注意单位“1”的选取。
1、有一片匀速生长的草地，可以供10头牛吃20天，或者供15头牛吃10天，那么这 片草地上每天长出的草量可以供几头牛吃一天？
2、有一片匀速生长的草地，可以供18头牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果一头牛每天的吃草量相当于3只羊每天的吃草量.请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？
钟表问题是一类特殊的行程问题，掌握钟表的相关知识，学会将指针成角度问题转化为指针间的环形追及问题或相遇问题，学会用比例分析两个速度不同的钟表之间 的时间对比关系。
1、有一座时钟现在显示上午10点整.请问：(1)多少分钟后，分针与时针第一次重合？
(2)再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？
2、小易早上6点半起床，赶到学校时发现手表上的时针和分针恰好第一次张开成一条直线，那么小易到达学校的时间是几点几分？
Part 2“应用题”之行程问题5
运动过程中，速度的大小或方向有变化的行程问题.掌握分段计算和估算的方法，注意两个不同运动过程之间的对比与计算.
1、邮递员早晨从邮局开始先走12千米的上坡路，再走6千米的下坡路.上坡的速度是3千米/时，下坡的速度是6千米/时.请问：(1)邮递员去村里的平均速度是多少？(2)邮递员返回时的平均速度是多少？(3)邮递员往返的平均速度是多少？
2、王老师开车去学校，前一半时间车速为每小时40千米，后一半时间车速变为每小时60千米，那么他的平均速度是每小时多少千米？
Part 3“几何问题”之直线形计算2 进一步学习直线形面积公式的运用；学会将线段倍数关系与
面积倍数关系进行相互转化；初步学习添加辅助线的分析方法.
1、如右图，在△ABC 中，AB
是AD 的3倍，△ACD 的
面积是
5平方厘米.请问：△ABC 的面积是多少？ 2、如图1，四边形ABCD 是直角梯形.其中AD=12(厘米)，AB=8(厘米)，BC=15(厘米)，且△ADE ，四边形DEBF ，△CDF 的面积相等.阴影△DEF 的面积是多少平方厘米？
A D B
C A E B A B C
D E
3、如图2，在△ABC中，BC是DC的3倍，AC是EC的3倍,△DEC的面积是3平方厘米.请问：△ABC的面积是多少？
4、如图3,平行四边形ABCD的面积为36，△AOD的面积为8，△BOC的面积是多少？
Part 3“几何问题”之圆与扇形
掌握圆与扇形的基本概念和性质，以及它们的周长和面积计算公式，并能熟练运用公式处理相关的几何问题；学习如何利用割补法和包含排除的思想计算图形中特定部分的面积；学会分析几何图形的运动过程，并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域.
1、(1)右图1中每个小圆的半径为1厘米，
求这个图形的外周长和面积(π取3.14)
(2)如图2，有8个半径为1厘米的小圆，用它们
圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是
这些圆的圆心.如果圆周率π取3.14，那么花瓣
图形的周长和面积分别是多少？
2、如图，求各图形中阴影部分的面积.(图中长度单位为厘米，π取
3、右图中甲区域比乙区域的面积大57
且半圆的半径是10厘米.其中直角三角形竖直的
直角边的长度是多少？(π取3.14)
4、如右图2,在3×3的方格表中,分别以A、E
为
圆心，3、2为半径，画出圆心角都是90o的两段
圆弧.图中阴影部分的面积是多少? (π取3.14)
Part 3“几何问题”之直线形计算3
学习直线形中的各类比例关系，重点是与三角形相关的、与平行线相关的比例关系；学习勾股定理并能简单应用.
1、如图，在△ABC中，AD的长度是AB的四分之三，AE的长度是AC的三分之二.请问：△ADE的面积是△ABC面积的几分之几？
2、如上图2，在梯形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD长9厘米，BC长15厘米，BD长12厘米，那么OD长多少厘米？
3、如上图3，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分.
●
3 3
4
A
A D
B
O
A
D
B
E
C
△AOB的面积是3平方千米，△BOC的面积是2平方千米，△COD的面积是1平方千米，公园由大小为6.9平方千米的陆地和一块人工湖组成，人工湖的面积是多少？
4、如下图1，请根据所给的条件，计算出大梯形的面积(
单位：厘米)。
5、如上图2，边长为8厘米和12厘米的两个正方形并排
放在一起，求图中阴影部分的面积。
4、如上图3，AC的长度是AD的五分之四，且三角形AED
的面积是三角形ABC面积的一半.AE是AB的几分之几？
7、根据右图中所给的条件，求梯形ABCD的面积。
Part 4“组合问题”之构造论证一
各种形式的构造问题，解题时要不断地调整设计方案以满足全部要求，有时应从简单情形入手寻找规律.本讲的论证问题，一般采用奇偶性或整除性的分析方法.
1、如图，用1×2和1×3两种规格的小长方形
地板砖铺满的地面，至少需要地板砖多少块？
2、国际象棋的皇后可以控制她所在的横线、竖线
和斜线，图中一个皇后(图中的五角星)就把整个
3×3的棋盘控制了.为了控制一个4×4的棋盘至少要放几个皇后？
Part 4“组合问题”之抽屉原理二
抽屉原理在数字、表格、图形等具体问题中有较复杂的应用.能够根据已知条件合理地选取和设计“抽屉”与“苹果”，有时还应构造出达到最佳状态的例子.
1、17名同学参加一次考试，考试题是道判断题(答案只有对或错)，每名同学都在答题纸上依次写上了3道题目的答案.请问：至少有几名同学的答案是一样的？
2、从1,2,3,...,99,100这100个数中任意选出51个数.请说明：
(1)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；(2)在这51个数中，一定有两个数差1.
Part 5“数论问题”之整除
整除的概念和基本性质，掌握能被某些特殊数整除的数的特征.通过分析整除特征解决数的补填问题，以及多位数的构成问题.
能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2、5整除；
能被4、25整除的数的特征：末两位数能被4、25整除；
能被8、125整除的数的特征：末三位数能被8、125整除；
能被3、9整除的数的特征：各位数字之和能被3、9整除；
*能被7整除的数的特征：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7 的倍数，就需要继续上述【截尾、倍大、相减、验差】的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139 是7的倍数，余类推。
*能被11整除的数的特征：奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。11的倍数检验法也可用上述
★
A
B
C
A
B
C
E
D
15 12 13
10
检查7的【割尾法】处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！
*能被13整除的数的特征：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述【截尾、倍大、相加、验差】的过程，直到能清楚判断为止。
*能被17整除的数的特征：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述【截尾、倍大、相减、验差】的过程，直到能清楚判断为止。{另一种方法：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。}
*能被19整除的数的特征：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述【截尾、倍大、相加、验差】的过程，直到能清楚判断为止。{另一种方法：若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。}
*能被23整除的数的特征：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29) 整除，则这个数能被23整除。
1、下面有9个自然数：14，35，80，152，650，434，4375，9064，24125.
在这些自然数中，请问：(1)有哪些数能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？
(2)有哪些数能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？
2、有如下9个三位数：452，387，228，975，525，882，715，775，837.
这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能同时被2和3整除？
3、有如下4个自然数：2695，1804，1963，23205.这些数中哪些能被11整除？哪些能被7整除？哪些能被13整除？
掌握质数与合数的概念；熟悉常用的质数，并掌握质数的判定方法；能够利用分解质因数的方法解决相关的整数问题；学会计算乘积末尾零的个数.
1、请写出50以内的所有质数.
2、(1)如果两个质数相加等于16，这两个质数有可能等于多少？
(2)如果两个质数相加等于25，这两个质数有可能等于多少？
(3)如果两个质数相加等于29，这样的两个质数存在吗？
3、有人说：“任何7个连续整数中一定有质数.”请你举一个例子，说明这句话是错的.
Part 5“数论问题”之约数与倍数
掌握约数与倍数的概念.学会约数个数与约数和的计算方法；掌握最大公约数、最小公倍数的常用计算方法；能够利用最大公约数和最小公倍数的性质解决相关的整数问题.
1、计算：(1)(28,72),[28,72]; (2)(28,44,260),[28,44,260].
2、(1)求1085和1178的最大公约数和最小公倍数;
(2)求3553,3910和1411的最大公约数.
Part 5“数论问题”之余数
掌握余数的概念与基本性质，掌握除以某些特殊数的余数的计算方法.学会利用余数的可加性、可减性和可乘性计算余数；学会运用周期性处理各类余数计算问题；学会求解“物不知数”问题.
1、100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0.这个除数可能是多少？
2、某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件.月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个.请
问：最后一包有多少个零件？
Part 6“计数问题”之包含与排除
有重叠部分的若干对象的计数问题.利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合文氏图理解两个对象和三个对象的容斥原理；处理具有一些不确定性的计数问题、重复计数问题.
1、某次练习共有2道题，做对第一题的有40人，这40人中有13人第二题做错了，那么第一题和第二题全对的共有多少人？
2、一群小朋友共有40人，他们都喜欢吃馒头或者米饭中的一种或者两种，喜欢吃馒头的有30人，两种都喜欢的有7人，那么喜欢吃米饭的有多少人？
Part 6“计数问题”之几何计数
合理使用各种已学的计数方法来解决几何计数问题；学会利用图形的位置和形状进行恰当的分类；掌握方格表中长方形个数的计算方法；注意利用图形的对称性来简化计算.
1
一个巧克力棒.请问：
(1)一共有多少个巧克力棒？
(2)这些巧克力棒共构成了多少个三角形？
(3)嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后(图中两端带有
箭头的小边)，剩下的图形中还有多少个三角形？
2、如图，数一数，图中共有多少个三角形？
Part 6“计数问题”之计数综合二
涉及整数知识，包括数字或数阵图形式的计算问题.解题中需要灵活应用已学的各种计数方法，并注意结合题目的具体形式.
1、个位比十位大的两位数共有多少个？个位比十位大，十位比百位大的三位数共有多少个？
2、一个正整数，如果从左往右看和从右往左看都是一样的，那么把这个数称为“回文数”.例如：1331,7,202,66都是回文数，而220则不是回文数.请问：从一位到六位的回文数一共有多少个？其中第1997个回文数是什么？
Part 7“数字谜问题”之数字谜综合一
涉及小数、分数、循环小数的数字谜问题；需要利用数论知识解决的数字谜问题.
1、有一个整数，在它的个位与十位之间加上一个小数点后，得到一个小数.
这个小数与原来的整数之差是264.6，求原来的整数.
2、试将1,2,3,4,5,6,7分别填入下面的方框中，每个数字只用一次：
(这是一个三位数)，(这是一个三位数)，(这是一个一位数)，使得这三个数中任意两个都互质.已知其中一个三位数已填好，它是714，求另外两个数.
Part 7“数字谜问题”之数字问题
各种与数字相关的数字谜问题.学会位值原理的分析方法；综合应用已学的数字谜技巧和数论知识.
1、一个四位数，在它的个位后面再添上数字“0”就可以得到一个五位数，这个五位数与四位数的和等于24684，这个四位数是多少？
2、一张卡片上写了一个五位数，刘老师给学生看时拿倒了，这时卡片上还是一个五位数.这个五位数比原来的五位数小71355.问：原来卡片上写的五位数是多少？